Disdyakis dodecahedron - Disdyakis dodecahedron

Disdyakis dodecahedron
(rotující a 3D Modelka)
Typ	Katalánština pevná
Conwayova notace	mC
Coxeterův diagram
Polygon obličeje	scalenový trojúhelník
Tváře	48
Hrany	72
Vrcholy	26 = 6 + 8 + 12
Konfigurace obličeje	V4.6.8
Skupina symetrie	Ó_h, B₃, [4,3], *432
Dihedrální úhel	155° 4' 56" ${ displaystyle arccos (- { frac {71 + 12 { sqrt {2}}} {97}})}$
Duální mnohostěn	zkrácený cuboctahedron
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní
síť

v geometrie, a disdyakis dodecahedron, (taky hexoktaedron,^[1] hexakis octahedron, octakis kostka, octakis hexahedron, kisrhombic dodecahedron^[2]), je Katalánština pevná s 48 tvářemi a duální na Archimedean zkrácený cuboctahedron. Jako takový to je tvář-tranzitivní ale s nepravidelnými polygony obličeje. Připomíná to rozšířený kosočtverečný dvanáctistěn. Nahrazením každé tváře kosočtverečného dodekaedru plochou pyramidou vznikne mnohostěn, který vypadá téměř jako disdyakis dodecahedron a je topologicky ekvivalent k ní. Více formálně je disdyakis dodecahedron Kleetope kosočtverečného dvanáctistěnu. Síť kosočtverečná dodekahedrální pyramida také sdílí stejnou topologii.

Symetrie

Má O_h oktaedrická symetrie. Jeho společné hrany představují odrazové roviny symetrie. To lze také vidět v rohu a střední hraně triangulace pravidelné krychle a osmistěnu a kosočtverečného dvanáctistěnu.

Disdyakis dvanáctistěn	Deltoidní icositetrahedron	Kosočtverečný dvanáctistěn	Hexahedron	Octahedron

Sférický mnohostěn

(vidět rotující model )	Ortografické projekce ze dvou, tří a čtyřnásobných os

Okraje sférického disdyakis dodecahedron patří 9 velké kruhy. Tři z nich tvoří sférický osmistěn (na obrázcích níže šedý). Zbývajících šest tvoří tři čtverce hosohedra (červená, zelená a modrá na obrázcích níže). Všichni odpovídají zrcadlová letadla - bývalý v vzepětí [2,2] a druhý v čtyřboká [3,3] symetrie.

Stereografické projekce
	2krát	3krát	4krát

Rozměry

Pokud mají jeho nejmenší okraje délku A, jeho povrchová plocha a objem jsou

{ displaystyle { begin {aligned} A & = { tfrac {6} {7}} { sqrt {783 + 436 { sqrt {2}}}} , a ^ {2} V & = { tfrac {1} {7}} { sqrt {3 left (2194 + 1513 { sqrt {2}} right)}} a ^ {3} end {aligned}}}

Tváře jsou scalenové trojúhelníky. Jejich úhly jsou ${ displaystyle arccos ({ frac {1} {6}} - { frac {1} {12}} { sqrt {2}}) přibližně 87,201 , 963 , 767 , 96 ^ { cirkus}}$ , ${ displaystyle arccos ({ frac {3} {4}} - { frac {1} {8}} { sqrt {2}}) přibližně 55,024 , 696 , 148 , 90 ^ { cirkus}}$ a ${ displaystyle arccos ({ frac {1} {12}} + { frac {1} {2}} { sqrt {2}}) přibližně 37,773 , 340 , 083 , 13 ^ { cirkus}}$ .

Ortogonální projekce

Zkrácený cuboctahedron a jeho duální, disdyakis dodecahedron lze nakreslit v řadě symetrických ortogonálních projektivních orientací. Mezi mnohostěnem a jeho duálem jsou vrcholy a plochy zaměňovány v pozicích a hrany jsou kolmé.

Projektivní symetrie	[4]	[3]	[2]	[2]	[2]	[2]	[2]⁺
obraz
Dvojí obraz

Související mnohostěny a obklady


Mnohostěny podobné disdyakis dodecahedron jsou duály k Osmiboký motýl a kostka, obsahující další páry trojúhelníkových ploch.^[3]

Disdyakis dodecahedron je jednou z rodiny dualů k jednotnému mnohostěnu souvisejícímu s krychlí a pravidelným osmistěnem.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Je to mnohostěn v pořadí definovaném znakem konfigurace obličeje V4.6.2n. Tato skupina je speciální pro to, že má sudý počet hran na vrchol a vytváří půlící roviny přes mnohostěn a nekonečné čáry v rovině a pokračuje do hyperbolické roviny pro libovolnou n ≥ 7.

Se sudým počtem ploch na každém vrcholu lze tyto mnohostěny a obklady zobrazit střídáním dvou barev, takže všechny sousední plochy mají různé barvy.

Každá tvář na těchto doménách také odpovídá základní doméně a skupina symetrie s objednávkou 2,3,n zrcadla na každém vrcholu trojúhelníku.

n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n* [ proti t E ]
Sym. *n32 [n,3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
Sym. *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Čísla
Konfigurace	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duální
Konfigurace	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

n42 mutace symetrie omnitruncated tilings: 4.8.2n* [ proti t E ]
Symetrie *n42 [n, 4]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
Symetrie *n42 [n, 4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncated postava	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncated duální	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Viz také

První stellation kosočtverečného dodecahedron
Disdyakis triacontahedron
Kisrhombille obklady
Velký kosočtverec —Jednotný duální mnohostěn se stejnou povrchovou topologií

Reference

^ https://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms
^ Conway, Symetrie věcí, str.284
^ Symmetrohedra: Polyhedra from Symetric Placement of Regular Polygons Craig S. Kaplan

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 285, kisRhombic dodecahedron)

externí odkazy

Eric W. Weisstein, Disdyakis dodecahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.
Disdyakis Dodecahedron (Hexakis Octahedron) Interaktivní model mnohostěnu

[1] ttps://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms

[2] Conway, Symetrie věcí, str.284

[3] Symmetrohedra: Polyhedra from Symetric Placement of Regular Polygons Craig S. Kaplan

[1]

[2]

[3]