Kosočtverečný triacontahedron - Rhombic triacontahedron

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Kosočtverečný triacontahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Katalánština pevná
Coxeterův diagram
Conwayova notace	jD
Typ obličeje	V3.5.3.5 kosočtverec
Tváře	30
Hrany	60
Vrcholy	32
Vrcholy podle typu	20{3}+12{5}
Skupina symetrie	Jáh, H3, [5,3], (*532)
Rotační skupina	Já, [5,3]+, (532)
Dihedrální úhel	144°
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní isohedrální, isotoxální, zonohedron
Icosidodecahedron (duální mnohostěn )	Síť

3D model kosočtverečného triacontahedronu

v geometrie, kosočtverečný triacontahedron, někdy jednoduše nazvaný triacontahedron protože se jedná o nejběžnější mnohostěn se třemi tvářemi, je a konvexní mnohostěn s 30 kosočtverečný tváře. Má 60 hrany a 32 vrcholy dvou typů. Je to Katalánština pevná a duální mnohostěn z icosidodecahedron. Je to zonohedron.

Tvář kosočtverečného triacontahedronu. Délky úhlopříček je v Zlatý řez.

Tato animace ukazuje transformaci z a krychle na kosočtverečný triacontahedron rozdělením čtvercových ploch na 4 čtverce a rozdělením středních okrajů na nové kosočtverečné plochy.

Poměr dlouhé úhlopříčky ke krátké úhlopříčce každé plochy je přesně stejný jako Zlatý řez, φ, takže ostré úhly na každé míře obličeje 2 tan⁻¹(1/φ) = opálení⁻¹(2)nebo přibližně 63,43 °. Takto získaný kosočtverec se nazývá a zlatý kosočtverec.

Být dvojí Archimédův pevný, kosočtverečný triacontahedron je tvář-tranzitivní, což znamená skupina symetrie pevných činů přechodně na množině tváří. To znamená, že pro jakékoli dvě tváře, A a B, existuje otáčení nebo odraz pevné látky, která ji opouští, zabírá stejnou oblast prostoru a pohybuje se tváří A k tváři B.

Kosočtverečný triacontahedron je poněkud zvláštní v tom, že je jedním z devíti hrana tranzitivní konvexní mnohostěn, ostatní jsou pět Platonické pevné látky, cuboctahedron, icosidodecahedron a kosočtverečný dvanáctistěn.

Kosočtverečný triacontahedron je také zajímavý tím, že jeho vrcholy zahrnují uspořádání čtyř platónských pevných látek. Obsahuje deset čtyřstěn, Pět kostky, an dvacetistěnu a a dvanáctistěn. Středy tváří obsahují pět oktaedra.

Může být vyroben z a zkrácený osmistěn dělením šestihranných ploch na 3 kosočtverce:

Topologický kosočtverečný triacontahedron v zkrácený osmistěn

Kartézské souřadnice

Nechat ${ displaystyle phi}$ být Zlatý řez. 12 bodů daných ${ displaystyle (0, pm 1, pm phi)}$ a cyklické permutace těchto souřadnic jsou vrcholy a pravidelný dvacetistěn. Je to dvojí pravidelný dvanáctistěn, jehož hrany protínají hrany dvacetistěnu v pravých úhlech, má jako vrcholy 8 bodů ${ displaystyle ( pm 1, pm 1, pm 1)}$ spolu s 12 body ${ displaystyle (0, pm phi, pm 1 / phi)}$ a cyklické permutace těchto souřadnic. Všech 32 bodů dohromady jsou vrcholy kosočtverečného triacontahedron se středem na počátku. Délka jeho okrajů je ${ displaystyle { sqrt {3- phi}} přibližně 1,175 , 570 , 504 , 58}$. Jeho tváře mají úhlopříčky s délkami ${ displaystyle 2}$ a ${ displaystyle 2 / phi}$.

Rozměry

Pokud je délka hrany kosočtverečného triacontahedronu A, povrchová plocha, objem, poloměr z vepsaná koule (tečna ke každé z kosočtverečných tváří triacontahedron) a midradius, který se dotýká středu každého okraje, jsou:^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} S & = 12 { sqrt {5}} , a ^ {2} && přibližně 26,8328a ^ {2} V & = 4 { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} , a ^ {3} && přibližně 12,3107a ^ {3} r _ { mathrm {i}} & = { frac { varphi ^ {2}} { sqrt {1 + varphi ^ {2}}}} , a = { sqrt {1 + { frac {2} { sqrt {5}}}}} , a && přibližně 1,37638a r _ { mathrm { m}} & = left (1 + { frac {1} { sqrt {5}}} right) , && přibližně 1,44721a end {zarovnáno}}}$

kde φ je Zlatý řez.

The insphere je tečna k obličejům v jejich centroidech obličeje. Krátké úhlopříčky patří pouze k okrajům vepsaného pravidelného dvanáctistěn, zatímco dlouhé úhlopříčky jsou zahrnuty pouze do okrajů vepsaného dvacetistěnu.

Pitva

Kosočtverečný triacontahedron lze rozdělit na 20 zlatý kosočtverec: 10 akutních a 10 tupých.^[2][3]

10	10
Akutní forma	Tupý formulář

Ortogonální projekce

Kosočtverečný triacontahedron má čtyři polohy symetrie, dvě soustředěné na vrcholech, jednu uprostřed obličeje a jednu uprostřed hrany. V projekci „10“ jsou zakomponovány „tlusté“ kosočtverce a „hubené“ kosočtverce, které společně vytvářejí neperiodickou mozaikování, často označovanou jako Penroseovy obklady.

Ortogonální projekce

Projektivní symetrie	[2]	[2]	[6]	[10]
obraz
Dvojí obraz

Stellations

Kosočtverec hexecontahedron

Příklad stellations kosočtverečného triacontahedron.

Kosočtverečný triacontahedron má 227 plně podporovaných hvězd.^[4][5] Další hvězdou kosočtvercového triacontahedronu je sloučenina pěti oktaedrů. Celkový počet hvězdokladů kosočtverečného triacontahedronu je 358 833 097.

Související mnohostěn

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Tento mnohostěn je součástí posloupnosti kosočtverečný mnohostěn a obklady s [n,3] Skupina coxeterů symetrie. Na kostku lze pohlížet jako na kosočtverečný šestistěn, kde jsou kosočtverce také obdélníky.

Mutace symetrie duálních kvaziregulárních tilingu: V (3.n)2
* n32	Sférické			Euklidovský	Hyperbolický
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Obklady
Konf.	V (3,3)2	V (3,4)2	V (3,5)2	V (3.6)2	V (3,7)2	V (3,8)2	V (3.∞)2

• 

  Sférický kosočtverečný triakontahedron

• 

  Kosočtverečný triacontahedron s vepsaným čtyřstěnem (červený) a krychlí (žlutý).
  (Kliknutím sem zobrazíte rotující model)

• 

  Kosočtverečný triacontahedron s vepsaným dvanáctistěnem (modrý) a dvacetistěnem (fialový).
  (Kliknutím sem zobrazíte rotující model)

• 

  Plně zkrácený kosočtverečný triacontahedron

6 kostek

Kosočtverečný triacontahedron tvoří vrchol 32 konvexní obal jedné projekce a 6 kostek do tří dimenzí.

Základní 3D vektory [u, v, w] jsou: u = (1, φ, 0, -1, φ, 0) v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1) w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Zobrazeno se skrytými vnitřními okraji 20 z 32 vnitřních vrcholů tvoří a dvanáctistěn a zbývajících 12 tvoří dvacetistěnu.

Použití

Příklad použití kosočtverečného triacontahedronu v konstrukci lampy

Dánský designér Holger Strøm použil kosočtverečný triacontahedron jako základ pro konstrukci své sestavitelné lampy IQ-light (IQ pro „Interlocking Quadrilaterals“).

Model STL kosočtverečné triakontahedrální krabice vyrobené ze šesti panelů kolem kubické díry - zvětšete model, abyste viděli díru zevnitř

Dřevařka Jane Kostick staví boxy ve tvaru kosočtverečného triacontahedronu.^[6] Jednoduchá konstrukce je založena na méně zjevném vztahu mezi kosočtverečným triacontahedronem a krychlí.

Roger von Oech „Ball of Whacks“ má tvar kosočtverečného triacontahedronu.

Kosočtverečný triacontahedron se používá jako „d30 „třicetistranný, někdy u některých užitečný roleplaying hry nebo jiná místa.

Christopher Bird, spoluautor knihy Tajný život rostlin napsal článek pro New Age Journal v květnu 1975 a popularizoval dvojí ikosahedron a dodekahedron jako „krystalickou strukturu Země“, model „Země (telurické) energetické mřížky“. Zeměkoule EarthStar od Billa Beckera a Bethe A. Hagensové má ukázat „přirozenou geometrii Země a geometrický vztah mezi posvátnými místy, jako je Velká pyramida, Bermudský trojúhelník a Velikonoční ostrov“. Je vytištěn jako kosočtverečný triacontahedron na 30 diamantech a skládá se do zeměkoule.^[7]

Viz také

• Zlatý kosočtverec
• Obklady kosočtverce
• Zkrácený kosočtverečný triacontahedron

Reference

• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Část 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN  978-0-521-54325-5, PAN  0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duálů, s. 22, kosočtverečný triacontahedron)
• Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5 [3] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, s. 285, kosočtverečný triacontahedron)

externí odkazy

• Eric W. Weisstein, Kosočtverečný triacontahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.
• Kosočtverečný trojúhelník - Interaktivní model mnohostěnu
• Mnohostěn virtuální reality - Encyklopedie mnohostěnů
• Hvězdy kosočtvercového trojúhelníku
• Zeměkoule EarthStar - projekce kosočtvercové trojúhelníkové katedrály
• IQ světlo —Lampa dánského designéra Holgera Strøma
• Vytvořte si vlastní
• dřevěná konstrukce kosočtvercového triacontahedronového boxu - dřevařka Jane Kostick
• 120 kosočtverečný triacontahedra, 30 + 12 kosočtverečný triacontahedra, a 12 Kosočtverec Triacontahedra autor: Sándor Kabai, Demonstrační projekt Wolfram
• Zmije tažená na kosočtverečném triacontahedronu.