Deltoidní icositetrahedron - Deltoidal icositetrahedron

Deltoidní icositetrahedron
(rotující a 3D model )
Typ	Katalánština
Conwayova notace	oC nebo deC
Coxeterův diagram
Polygon obličeje	papírový drak
Tváře	24
Hrany	48
Vrcholy	26 = 6 + 8 + 12
Konfigurace obličeje	V3.4.4.4
Skupina symetrie	Ó_h, PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM₃, [4,3], *432
Rotační skupina	O, [4,3]⁺, (432)
Dihedrální úhel	138°07′05″ arccos (-7 + 4√2/17)
Duální mnohostěn	kosočtverec
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní
Síť

D. i. jako umělecká díla a zemřít

D. i. promítnutý na krychli a osmistěn v Perspectiva Corporum Regularium

Dyakis dodecahedron krystalový model a projekce na osmistěn

v geometrie, a deltoidní icositetrahedron (také a lichoběžníkový icositetrahedron, tetragonální icosikaitetrahedron,^[1] tetragonální trisoctahedron^[2] a strombický ikositetrahedron) je Katalánština pevná. Své duální mnohostěn je kosočtverec.

Kartézské souřadnice

Kartézské souřadnice pro vhodně velký deltoidní icositetrahedron se středem v počátku jsou:

(±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1)
(0, ±1/2√2, ±1/2√2), (±1/2√2, 0, ±1/2√2), (±1/2√2, ±1/2√2, 0)
(±(2√2+1)/7, ±(2√2+1)/7, ±(2√2+1)/7)

Dlouhé okraje tohoto deltoidního dvacetistěnu mají délku √(2-√2) ≈ 0.765367.

Rozměry

Těch 24 tváří je draci.^[3] Krátké a dlouhé hrany každého draka jsou v poměru 1: (2 -1/√2) ≈ 1:1.292893... Pokud mají jeho nejmenší okraje délku A, jeho povrchová plocha a objem jsou

{ displaystyle { begin {aligned} A & = 6 { sqrt {29-2 { sqrt {2}}}} , a ^ {2} V & = { sqrt {122 + 71 { sqrt { 2}}}} , a ^ {3} end {zarovnáno}}}

Draci mají tři stejné ostré úhly s hodnotou ${ displaystyle arccos ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} { sqrt {2}}) přibližně 81,578 , 941 , 881 , 85 ^ { cirkus}}$ a jeden tupý úhel (mezi krátkými hranami) s hodnotou ${ displaystyle arccos (- {{frac {1} {4}} - { frac {1} {8}} { sqrt {2}}) přibližně 115,263 , 174 , 354 , 45 ^ { circ}}$ .

Výskyty v přírodě a kultuře

Deltový ikositetrahedron je a krystalický zvyk často tvořený minerálem analcime a občas granát. Tvar se v minerálních kontextech často nazývá lichoběžník, i když v objemová geometrie to jméno má další význam.

Ortogonální projekce

The deltoidní icositetrahedron má tři polohy symetrie, všechny se soustředí na vrcholy:

Ortogonální projekce
Projektivní symetrie	[2]	[4]	[6]
obraz
Dvojí obraz

Související mnohostěn

Projekce tělesa na a krychle rozdělí své čtverce na kvadranty. Projekce na osmistěn rozděluje jeho trojúhelníky na drakové tváře. v Conwayova mnohostěnová notace to představuje ortho operace na krychli nebo osmistěn.

Pevná látka (duální z malý kosočtverec ) je podobný disdyakis dodecahedron (duální z velký kosočtverec ).
Hlavní rozdíl spočívá v tom, že druhý má také hrany mezi vrcholy na 3 a 4násobných osách symetrie (mezi žlutými a červenými vrcholy na obrázcích níže).


Deltoidní icositetrahedron	Disdyakis dvanáctistěn	Dyakis dvanáctistěn	Tetartoid

Dyakis dodecahedron

Varianta s pyritohedrální symetrie se nazývá a dyakis dodecahedron^[4]^[5] nebo diploidní.^[6] Je to běžné v krystalografie.
Může být vytvořen zvětšením 24 z 48 tváří disdyakis dodecahedron. The tetartoid lze vytvořit zvětšením 12 z 24 ploch. ^[7]

Stelace

The velký triakis octahedron je stellace deltového icositetrahedronu.

Související mnohostěny a obklady

Deltoidní icositetrahedron je jednou z rodiny dualů k jednotnému mnohostěnu souvisejícímu s krychlí a pravidelným osmistěnem.

Při promítnutí na kouli (viz vpravo) je vidět, že hrany tvoří okraje osmistěnu a krychle uspořádané do jejich dvojí polohy. Je také vidět, že trojnásobné rohy a čtyřnásobné rohy mohou být vytvořeny tak, aby měly stejnou vzdálenost od středu. V takovém případě výsledný icositetrahedron již nebude mít rhombicuboctahedron pro duál, protože pro rhombicuboctahedron jsou středy jeho čtverců a jeho trojúhelníky v různých vzdálenostech od středu.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence deltových mnohostěnů s obličejovou postavou (V3.4.n.4) a pokračuje jako obklady hyperbolická rovina. Tyto tvář-tranzitivní čísla mají (*n32) reflexní symetrie.

*n42 mutace symetrie duálních rozšířených obkladů: V3.4.n.4
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.
Symetrie *n32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postava Konfigurace	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Viz také

Deltoidal hexecontahedron
Tetrakis hexahedron, další katalánská hmota s 24 tvářemi, která vypadá trochu jako přeplněná kostka.
"Haunter of the Dark ", příběh H.P. Lovecrafta, jehož zápletka zahrnuje tuto postavu
Pseudo-deltoidní icositetrahedron

Reference

^ Conway, Symetrie věcí, s. 284–286
^ https://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms
^ "Papírový drak". Citováno 6. října 2019.
^ Isohedron 24k
^ Izometrický krystalový systém
^ 48 speciálních křišťálových forem
^ Obojí je uvedeno ve dvou křišťálových modelech v pravém horním rohu tato fotka. Je možné vidět vizuální ukázku tady a tady.

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, PAN 0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duálů, strana 23, deltoidní icositetrahedron)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 286, čtyřúhelníkový icosikaitetrahedron)

externí odkazy

Eric W. Weisstein, Deltoidní icositetrahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.
Deltoidní (lichoběžníkový) Icositetrahedron - Interaktivní model mnohostěnu

[1] Conway, Symetrie věcí, s. 284–286

[2] ttps://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms

[3] "Papírový drak". Citováno 6. října 2019.

[4] Isohedron 24k

[5] Izometrický krystalový systém

[6] 48 speciálních křišťálových forem

[7] Obojí je uvedeno ve dvou křišťálových modelech v pravém horním rohu tato fotka. Je možné vidět vizuální ukázku tady a tady.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]