Kosočtverečný dvanáctistěn - Rhombic dodecahedron

Kosočtverečný dvanáctistěn
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Katalánština pevná
Coxeterův diagram
Conwayova notace	jC
Typ obličeje	V3.4.3.4 kosočtverec
Tváře	12
Hrany	24
Vrcholy	14
Vrcholy podle typu	8{3}+6{4}
Skupina symetrie	Ó_h, B₃, [4,3], (*432)
Rotační skupina	O, [4,3]⁺, (432)
Dihedrální úhel	120°
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní isohedrální, isotoxální, rovnoběžník
Cuboctahedron (duální mnohostěn )	Síť

3D model kosočtverečného dvanáctistěnu

v geometrie, kosočtverečný dvanáctistěn je konvexní mnohostěn s 12 shodný kosočtverečný tváře. Má 24 hrany a 14 vrcholy dvou typů. Je to Katalánština pevná a duální mnohostěn z cuboctahedron.

Vlastnosti

Kosočtverečný dvanáctistěn je a zonohedron. Jeho mnohostěn dvojí je cuboctahedron. Dlouhá úhlopříčka každé tváře je přesně √2 krát délku krátké úhlopříčky, takže akutní úhly na každé ploše měří oblouky (1/3), nebo přibližně 70,53 °.

Být dvojí Archimédův mnohostěn, kosočtverečný dvanáctistěn je tvář-tranzitivní, což znamená skupina symetrie pevných činů přechodně na množině tváří. Z elementárního hlediska to znamená, že pro jakékoli dvě tváře A a B existuje a otáčení nebo odraz pevné látky, která ji opouští, zabírá stejnou oblast prostoru a pohybuje se tváří A k tváři B.

Na kosočtverečný dvanáctistěn lze pohlížet jako na konvexní trup spojení vrcholů krychle a osmistěnu. 6 vrcholů, kde se setkávají 4 kosočtverce, odpovídá vrcholům osmistěnu, zatímco 8 vrcholů, kde se setkávají 3 kosočtverečky, odpovídá vrcholům krychle.

Kosočtverečný dvanáctistěn je jedním z devíti hrana tranzitivní konvexní mnohostěn, ostatní jsou pět Platonické pevné látky, cuboctahedron, icosidodecahedron a kosočtverečný triacontahedron.

Na kosočtverečný dvanáctistěn lze zvyknout mozaikový trojrozměrný prostor. Může být stohován tak, aby vyplňoval prostor podobně šestiúhelníky vyplnit letadlo.

Tento mnohostěn v prostorové mozaikování lze vidět jako Voronoi mozaikování z obličejově centrovaná kubická mříž. Jedná se o Brillouinovu zónu krychlových (bcc) krystalů se středem těla. Některé minerály jako např granát tvoří kosočtverečnou dvanáctistěnu krystalický zvyk. Tak jako Johannes Kepler uvedeno ve své knize o sněhových vločkách z roku 1611 (Strena seu de Nive Sexangula), včely medonosné použijte geometrii kosočtverečné dodekahedry k vytvoření voštiny z mozaikování buněk, z nichž každá je a šestihranný hranol limitován polovinou kosočtverečného dvanáctistěnu. Kosočtverečný dvanáctistěn se také objevuje v jednotkových buňkách diamant a diamanty. V těchto případech chybí čtyři vrcholy (střídavé trojnásobné), ale chemické vazby leží na zbývajících hranách.^[1]

Graf kosočtverečného dvanáctistěnu je nehamiltonovský.

Kosočtverečný dvanáctistěn může být členitý se středem do 4 trigonální lichoběžník. Tyto rhombohedry jsou buňky a trigonální lichoběžníkový plástev. To je analogické s pitvou a pravidelný šestiúhelník členitý do kosočtverec, a kachlová v rovině jako a kosočtverec.

Sbírky Louvre zahrnout kostku ve tvaru kosočtverečného dodekahdronu z roku Ptolemaiovský Egypt. Na tvářích jsou napsána řecká písmena představující čísla 1 až 12: Α Β Γ Δ Ε Ζ Ϛ Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Funkce matrice není známa.^[2]

Kosočtverečný dvanáctistěn
Kosočtverečný členitý šestiúhelník
A granát krystal
Tato animace ukazuje konstrukci kosočtverečného dodekaedru z krychle převrácením středových obličejových pyramid kostky.

Rozměry

Pokud je délka hrany kosočtverečného dvanáctistěnu A, poloměr z vepsaná koule (tečna ke každé tváři kosočtverečného dodekahedronu) je

{ displaystyle r _ { mathrm {i}} = { frac { sqrt {6}} {3}} a přibližně 0,816 , 496 , 5809a,}

OEIS: A157697

a poloměr midsphere je

{ displaystyle r _ { mathrm {m}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}} a přibližně 0,942 , 809 , 041 , 58a,}

OEIS: A179587.

Plocha a objem

Oblast A a hlasitost PROTI kosočtverečného dvanáctistěnu o délce hrany A jsou:

{ displaystyle { begin {aligned} A & = 8 { sqrt {2}} a ^ {2} přibližně 11,313 , 7085a ^ {2} V & = { frac {16 { sqrt {3}} } {9}} a ^ {3} přibližně 3,079 , 201 , 44a ^ {3} end {zarovnáno}}}

Ortogonální projekce

The kosočtverečný dvanáctistěn má čtyři speciální ortogonální projekce podél jeho osy symetrie, se středem na ploše, hraně a dvou typech vrcholů, trojnásobném a čtyřnásobném. Poslední dva odpovídají B₂ a A.₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce
Projektivní symetrie	[4]	[6]	[2]	[2]
Kosočtverečný dvanáctistěn
Cuboctahedron (dvojí)

Kartézské souřadnice

Pyritohedron variace mezi krychlí a kosočtverečným dvanáctistěnem	Expanze kosočtverečného dvanáctistěnu

Osm vrcholů, kde se tři tváře setkávají v jejich tupých úhlech, mají Kartézské souřadnice:

(±1, ±1, ±1)

Souřadnice šesti vrcholů, kde se čtyři tváře setkávají v ostrých úhlech, jsou:

(± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0) a (0, 0, ± 2)

Kosočtverečný dvanáctistěn lze považovat za zvrhlý omezující případ a pyritohedron, s permutací souřadnic (±1, ±1, ±1) a (0, 1 + h, 1 − h²) s parametrem h = 1.

Topologicky ekvivalentní formy

Rovnoběžník

The kosočtverečný dvanáctistěn je rovnoběžník, a vesmírný mnohostěn, dodecahedrille, je dvojí vůči tetroctahedrille nebo napůl kubický plástev a popsáno dvěma Coxeterovy diagramy: a . S D._3d symetrie, to může být viděno jako protáhlý trigonální lichoběžník.

Kosočtverečný dvanáctistěn může mozaikový prostor překladovými kopiemi sebe sama. Stejně tak může hvězdný dodecahedron.	The kosočtverečný dvanáctistěn lze zkonstruovat se 4 sadami rovnoběžných hran.

Dihedral kosočtverečný dvanáctistěn

Další konstrukce symetrie kosočtverečného dodekaedru jsou také vyplňování prostoru a podobně rovnoběžníky jsou podobné variacím vyplňování prostoru zkrácená oktaedra.^[3]

Například se 4 hranatými plochami a kosočtverečnými plochami o 60 stupních a D._4h dihedrální symetrie, objednávka 16. Lze to vidět jako a cuboctahedron s čtvercové pyramidy rozšířené nahoře a dole.

	Síť	Souřadnice (0, 0, ±2) (±1, ±1, 0) (±1, 0, ±1) (0, ±1, ±1)

Bilinski dodecahedron

Bilinski dodecahedron s hranami a čelními plochami zbarvenými podle jejich poloh symetrie.	Bilinski dvanáctistěn zbarvený rovnoběžnými hranami

V roce 1960 Stanko Bilinski objevil druhý kosočtverečný dvanáctistěn s 12 shodnými kosočtverečnými tvářemi, Bilinski dodecahedron. Má stejnou topologii, ale odlišnou geometrii. Kosočtverečné tváře v této podobě mají Zlatý řez.^[4]^[5]

Tváře
První forma	Druhá forma

√2:1	√5 + 1/2:1

Deltoidní dvanáctistěn

Příklad sítě (3/4,3/2)

Další topologicky ekvivalentní variace, někdy nazývaná a deltoidní dvanáctistěn^[6] nebo lichoběžníkový dvanáctistěn,^[7]^[8] je isohedrální s čtyřboká symetrie řádu 24, deformující kosočtverečné tváře do draci (deltoidy). Má 8 vrcholů upravených dovnitř nebo ven v alternativních sadách 4, s omezujícím případem čtyřboká obálka. Varianty lze parametrizovat pomocí (A,b), kde b a A závisí na sobě navzájem tak, že čtyřstěn definovaný čtyřmi vrcholy plochy má objem nula, tj. je rovinná plocha. (1,1) je kosočtverečné řešení. Tak jako (A) přístupy 1/2, (b) se blíží nekonečnu. Vždy drží 1/A + 1/b = 2, s a, b> 1/2.

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

(A, A, A), (−A, −A, A), (−A, A, −A), (A, −A, −A)

(−b, −b, −b), (−b, b, b), (b, −b, b), (b, b, −b)

(1,1)	(7/8,7/6)	(3/4,3/2)	(2/3,2)	(5/8,5/2)	(9/16,9/2)

Související mnohostěn

Sférický kosočtverečný dvanáctistěn

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Při promítnutí na kouli (viz vpravo) je vidět, že hrany tvoří okraje dvou čtyřstěnů uspořádaných do jejich dvojitých poloh (stella octangula). Tento trend pokračuje s deltoidní icositetrahedron a deltoidní hexekontahedron pro dvojí párování ostatních pravidelných mnohostěnů (vedle trojúhelníkový bipyramid pokud se má uvažovat o nesprávném naklonění), dává tomuto tvaru alternativní systematický název deltoidní dvanáctistěn.

*n42 mutace symetrie duálních rozšířených obkladů: V3.4.n.4
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.
Symetrie *n32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postava Konfigurace	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Tento mnohostěn je součástí posloupnosti kosočtverečný mnohostěn a obklady s [n,3] Skupina coxeterů symetrie. Na kostku lze pohlížet jako na kosočtverečný šestistěn, kde jsou kosočtverce čtverce.

Mutace symetrie duálních kvaziregulárních tilingu: V (3.n)²
* n32	Sférické			Euklidovský	Hyperbolický
* n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Obklady
Konf.	V (3,3)²	V (3,4)²	V (3,5)²	V (3.6)²	V (3,7)²	V (3,8)²	V (3.∞)²

*n42 mutací symetrie quasiregular dual tilings: V(4.n)²
Symetrie * 4n2 [n, 4]	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact	Nekompaktní
Symetrie * 4n2 [n, 4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ / λ, 4]
Obklady Konf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Podobně to souvisí s nekonečnou řadou obkladů s konfigurace obličeje V3.2n.3.2n, první v euklidovské rovině a zbytek v hyperbolické rovině.

V3.4.3.4 (Nakreslené jako síť )	V3.6.3.6 Obklady euklidovské roviny Obklady kosočtverce	V3.8.3.8 Hyperbolické obklady rovin (Vtaženo do Poincaré model disku )

Stellations

Jako mnoho konvexních mnohostěnů může být i kosočtverečný dvanáctistěn hvězdný prodloužením ploch nebo hran, dokud se nesetkají, aby vytvořily nový mnohostěn. Několik takových hvězd popsal Dorman Luke.^[9]

Tato animace ukazuje konstrukci a hvězdný dodecahedron převrácením pyramid středního obličeje kosočtverečného dvanáctistěnu.

První hvězdice, často jednoduše nazývaná hvězdný dodecahedron, je známý. To může být viděno jako kosočtverečný dodecahedron s každým obličejem rozšířen připojením kosočtverečné pyramidy na něj, s výškou pyramidy tak, že strany leží v obličejových rovinách sousedních ploch:

První stellace kosočtverečného dvanáctistěnu
3D model rozkladu na 12 pyramid a 4 polokrychle

Luke popisuje další čtyři hvězdy: druhou a třetí hvězdici (rozšiřující se směrem ven), jednu vytvořenou odstraněním druhé z třetí a druhou přidáním původního kosočtverečného dodekaedru zpět k předchozí.

Druhý	Třetí
Stellated rhombic dodecahedron	Velký hvězdný kosočtverečný dvanáctistěn

Související polytopy

V dokonalé projekci první vrchol dva z tesseract vrcholy (vyznačené světle zelenou barvou) se promítají přesně do středu kosočtverečného dvanáctistěnu

Kosočtverečný dvanáctistěn tvoří trup vrcholné projekce a tesseract do tří dimenzí. Existují přesně dva způsoby, jak rozložit kosočtverečný dvanáctistěn na čtyři shodné rhombohedra, dávat osm možných rhombohedra jako projekce tesseracts 8 kubických buněk. Jedna sada projektivních vektorů jsou: u=(1,1,-1,-1), proti=(-1,1,-1,1), w=(1,-1,-1,1).

Kosočtverečný dvanáctistěn tvoří maximální průřez a 24článková, a také tvoří trup jeho vrcholné první paralelní projekce do tří dimenzí. Kosočtverečný dvanáctistěn lze rozložit na šest shodných (ale nepravidelných) čtvercové dipyramidy setkání na jediném vrcholu uprostřed; tyto tvoří obrazy šesti párů oktaedrických buněk 24 buněk. Zbývajících 12 oktaedrických buněk vyčnívá na tváře kosočtverečného dvanáctistěnu. Nepravidelnost těchto obrazů je způsobena projektivním zkreslením; fazety 24 buněk jsou pravidelné oktaedry ve 4 prostoru.

Tento rozklad poskytuje zajímavou metodu pro konstrukci kosočtverečného dodekaedru: cut a krychle do šesti shodných čtvercových pyramid a připevněte je k plochám druhé krychle. Trojúhelníkové plochy každé dvojice sousedních pyramid leží na stejné rovině, a tak splývají v kosočtverce. 24článek může být také sestaven analogickým způsobem pomocí dvou tesseracts.^[10]

Praktické využití

V kosmické lodi reakční kolo layout, a čtyřboká konfigurace čtyř kol se běžně používá. U kol, která fungují stejně (z hlediska maximálního točivého momentu a maximálního momentu hybnosti) v obou směrech otáčení a napříč všemi čtyřmi koly, je maximální točivý moment a maximální hybnost obálek pro 3osou ovládání postoje Systém (s ohledem na idealizované akční členy) je dán projektováním tesseract představující limity točivého momentu nebo hybnosti každého kola do 3D prostoru pomocí matice os 3 × 4; výsledný 3D mnohostěn je kosočtverečný dvanáctistěn.^[11] Takové uspořádání reakčních kol není jedinou možnou konfigurací (jednodušší uspořádání se skládá ze tří kol namontovaných tak, aby se točily kolem ortogonálních os), ale je výhodné poskytnout redundanci ke zmírnění poruchy jednoho ze čtyř kol (se sníženým celkovým výkonem k dispozici od zbývajících tří aktivních kol) a při poskytování konvexnější obálky než u krychle, což vede k menší závislosti na hbitosti na směru osy (z hlediska pohonu / zařízení). Hmotnostní vlastnosti kosmické lodi ovlivňují celkovou hybnost a hbitost systému, takže snížená odchylka hranice obálky nemusí nutně vést ke zvýšené uniformitě upřednostňovaných předpětí osy (to znamená, že i při dokonale distribuovaném limitu výkonu v subsystému pohonu nemusí být upřednostňované osy rotace nutně libovolné na úrovni systému).

Viz také

Dodecahedron
Kosočtverečný triacontahedron
Zkrácený kosočtverečný dvanáctistěn
24článková - 4D analog kosočtverečného dvanáctistěnu
Konstrukční systémy Archimede
Plně zkrácený kosočtverečný dvanáctistěn

Reference

^ Dodecahedral Crystal Habit Archivováno 2009-04-12 na Wayback Machine. khulsey.com
^ Perdrizet, Paul. (1930). „Le jeu alexandrin de l'icosaèdre“. Bulletin de l'Institut français d'archéologie orientale. 30: 1–16.
^ Order in Space: Kniha designových zdrojů, Keith Critchlow, str. 56–57
^ Branko Grünbaum (2010). „The Bilinski Dodecahedron and Assorted Parallelohedra, Zonohedra, Monohedra, Isozonohedra, and Otherhedra“ (PDF). 32 (4): 5–15. Archivovány od originál (PDF) dne 02.04.2015. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ H.S.M Coxeter, „Regular polytopes“, publikace Dover, 1973.
^ Ekonomická mineralogie: Praktický průvodce studiem užitečných minerálů, str.8
^ http://mathworld.wolfram.com/Isohedron.html
^ http://loki3.com/poly/transforms.html
^ Luke, D. (1957). „Stellations of the rhombic dodecahedron“. Matematický věstník. 41 (337): 189–194. doi:10.2307/3609190. JSTOR 3609190.
^ https://www.youtube.com/watch?v=oJ7uOj2LRso
^ Markley, F. Landis (září 2010). „Maximální obálky točivého momentu a hybnosti pro pole reakčních kol“. ntrs.nasa.gov. Citováno 2020-08-20.

Další čtení

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Wenninger, Magnus (1983). Duální modely. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511569371. ISBN 978-0-521-54325-5. PAN 0730208. (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duálů, strana 19, kosočtverečný dvanáctistěn)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, s. 285, Kosočtverečný dvanáctistěn)