Utlumit dvanáctistěn - Snub dodecahedron

Utlumit dodekaedrický graf
	Pětinásobná symetrie Schlegelův diagram
Vrcholy	60
Hrany	150
Automorfismy	60
Vlastnosti	Hamiltonian, pravidelný
	Tabulka grafů a parametrů

Utlumit dvanáctistěn
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 92, E = 150, PROTI = 60 (χ = 2)
Tváře po stranách	(20+60){3}+12{5}
Conwayova notace	sD
Schläfliho symboly	sr {5,3} nebo ${ displaystyle s { begin {Bmatrix} 5 3 end {Bmatrix}}}$
Schläfliho symboly	ht_0,1,2{5,3}
Wythoffův symbol	\| 2 3 5
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Já, 1/2H₃, [5,3]⁺, (532), objednávka 60
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532), objednávka 60
Dihedrální úhel	3-3: 164°10′31″ (164.18°) 3-5: 152°55′53″ (152.93°)
Reference	U₂₉, C₃₂, Ž₁₈
Vlastnosti	Semiregular konvexní chirální
Barevné tváře	3.3.3.3.5 (Vrcholová postava )
Pětiúhelníkový hexecontahedron (duální mnohostěn )	Síť

3D model tupého dodecahedronu

v geometrie, urážet dvanáctistěnnebo potlačit icosidodecahedron, je Archimédův pevný, jeden ze třinácti konvexních isogonal neprismatické pevné látky konstruované dvěma nebo více typy pravidelný mnohoúhelník tváře.

Dodecahedron má 92 tváří (většina ze 13 archimédských těles): 12 je pětiúhelníky a dalších 80 je rovnostranné trojúhelníky. Má také 150 okrajů a 60 vrcholů.

Má dvě odlišné formy, které jsou zrcadlové obrazy (nebo „enantiomorfy ") navzájem. Spojení obou forem je a sloučenina dvou tupých dodekahedrů a konvexní obal obou forem je a zkrácený icosidodecahedron.

Kepler poprvé to pojmenoval latinský tak jako dodecahedron simum v roce 1619 v jeho Harmonices Mundi. H. S. M. Coxeter, berouce na vědomí, že by to mohlo být odvozeno stejně z dodecahedron nebo icosahedron, nazval to potlačit icosidodecahedron, se svislou prodlouženou Schläfliho symbol ${ displaystyle s scriptstyle { begin {Bmatrix} 5 3 end {Bmatrix}}}$ a plochý Schläfliho symbol sr {5,3}.

Kartézské souřadnice

Nechat ${ displaystyle xi přibližně 0,943 , 151 , 259 , 24}$ být skutečná nula polynomu ${ displaystyle x ^ {3} + 2x ^ {2} - phi ^ {2}}$ , kde ${ displaystyle phi}$ je Zlatý řez. Nechte bod ${ displaystyle p}$ být dán

{ displaystyle p = { begin {pmatrix} phi ^ {2} - phi ^ {2} xi - phi ^ {3} + phi xi +2 phi xi ^ {2} xi end {pmatrix}}}

.

Nechte matici ${ displaystyle M}$ být dán

{ displaystyle M = { begin {pmatrix} 1 / (2 phi) & - phi / 2 & 1/2 phi / 2 & 1/2 & 1 / (2 phi) - 1/2 & 1 / (2 phi) & phi / 2 end {pmatrix}}}

.

${ displaystyle M}$ je rotace kolem osy ${ displaystyle (0,1, phi)}$ skrz úhel ${ displaystyle 2 pi / 5}$ , proti směru hodinových ručiček. Nechte lineární transformace ${ displaystyle T_ {0}, ldots, T_ {11}}$ být transformacemi, které posílají bod ${ displaystyle (x, y, z)}$ do dokonce i obměny z ${ displaystyle ( pm x, pm y, pm z)}$ se sudým počtem znaků mínus. Transformace ${ displaystyle T_ {i}}$ tvoří skupinu rotačních symetrií a pravidelný čtyřstěn. Transformace ${ displaystyle T_ {i} M ^ {j}}$ ${ displaystyle (i = 0, ldots, 11}$ , ${ displaystyle j = 0, ldots, 4)}$ tvoří skupinu rotačních symetrií a pravidelný dvacetistěn. Pak 60 bodů ${ displaystyle T_ {i} M ^ {j} p}$ jsou vrcholy tupého dvanáctistěnu. Souřadnice vrcholů jsou integrální lineární kombinace ${ displaystyle 1}$ , ${ displaystyle phi}$ , ${ displaystyle xi}$ , ${ displaystyle phi xi}$ , ${ displaystyle xi ^ {2}}$ a ${ displaystyle phi xi ^ {2}}$ . Délka hrany se rovná ${ displaystyle 2 xi { sqrt {1- xi}} přibližně 0,449 , 750 , 618 , 41}$ . Negace všech souřadnic dává zrcadlový obraz tohoto tupého dvanáctistěnu.

Jako objem se dodecahedron skládá z 80 trojúhelníkových a 12 pětiúhelníkových pyramid. ${ displaystyle V_ {3}}$ jedné trojúhelníkové pyramidy je dán vztahem:

{ displaystyle V_ {3} = { frac {1} {3}} phi (3 xi ^ {2} - phi ^ {2}) přibližně 0,027 , 274 , 068 , 85,}

a hlasitost ${ displaystyle V_ {5}}$ jedné pětiúhelníkové pyramidy:

{ displaystyle V_ {5} = { frac {1} {3}} (3 phi +1) ( phi + 3-2 xi -3 xi ^ {2}) xi ^ {3} přibližně 0,103 , 349 , 665 , 04.}

Celkový objem je ${ displaystyle 80V_ {3} + 12V_ {5} přibližně 3,422 , 121 , 488 , 76}$ .

Cirkumradius se rovná ${ displaystyle { sqrt {4 xi ^ {2} - phi ^ {2}}} přibližně 0,969 , 589 , 192 , 65}$ .v midradius rovná se ${ displaystyle xi}$ . To poskytuje zajímavou geometrickou interpretaci čísla ${ displaystyle xi}$ . 20 „ikosahedrálních“ trojúhelníků výše popsaného tupého dodekaedru je koplanárních s plochami pravidelného dvacetistěnu. Midradius tohoto „ohraničeného“ dvacetistěnu se rovná ${ displaystyle 1}$ . Tohle znamená tamto ${ displaystyle xi}$ je poměr mezi midradii tupého dodekaedru a dvacetistěnu, ve kterém je zapsán.

Plocha a objem

U tupého dodekaedru, jehož délka hrany je 1, je povrchová plocha

{ displaystyle A = 20 { sqrt {3}} + 3 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} přibližně 55,286 , 744 , 958 , 445 , 15}

.

Jeho objem je, uvedení ${ displaystyle eta = varphi / xi}$ ,

{ displaystyle V = { frac {12 eta ^ {2} (3 varphi +1) - eta (36 varphi +7) - (53 varphi +6)} {6 { sqrt {3- eta ^ {2}}} ^ {3}}} přibližně 37,616 , 649 , 962 , 733 , 36}

.

Jeho obvod je

{ displaystyle R = { frac {1} {2}} { sqrt { frac {2- xi} {1- xi}}} přibližně 2,155 , 837 , 375}

.

Čtyři pozitivní skutečné kořeny sextic v ${ displaystyle R ^ {2}}$

{ displaystyle 4096R ^ {12} -27648R ^ {10} + 47104R ^ {8} -35776R ^ {6} + 13872R ^ {4} -2696R ^ {2} + 209 = 0}

jsou cirkadii z urážet dvanáctistěn (U₂₉), velký útlum icosidodecahedron (U₅₇), skvělý invertovaný tupý icosidodecahedron (U₆₉), a velký retrosnub icosidodecahedron (U₇₄).

Největší je dodecahedron sférickost všech archimédských pevných látek. Pokud je sférickost definována jako poměr objemu na druhou na povrchu krychlové plochy, vynásobený konstantou 36krát pi (kde tato konstanta činí sférickost koule rovnou 1), sférickost tupého dodekaedru je asi 0,947.^[1]

Ortogonální projekce

Ten dodecahedron nemá bodová symetrie, takže vrchol vpředu neodpovídá opačnému vrcholu vzadu.

The urážet dvanáctistěn má dvě obzvláště symetrické ortogonální projekce jak je znázorněno níže, se středem na dva typy ploch: trojúhelníky a pětiúhelníky, odpovídající A.₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce
Na střed	Tvář Trojúhelník	Tvář Pentagon	Okraj
Pevný
Drátový model
Projektivní symetrie	[3]	[5]⁺	[2]
Dvojí

Geometrické vztahy

Dodecahedron, rhombicosidodecahedron a urážet dodecahedron (animovaný expanze a kroucení )

The urážet dvanáctistěn lze vygenerovat převzetím dvanácti pětiúhelníkový tváře dvanáctistěn a vytáhl je ven takže se už nedotýkají. Ve správné vzdálenosti to může vytvořit rhombicosidodecahedron vyplněním čtvercových ploch mezi rozdělenými hranami a trojúhelníkových ploch mezi rozdělenými vrcholy. Ale pro formu útlumu vytáhněte pětiúhelníkové plochy o něco méně, přidejte pouze trojúhelníkové plochy a ostatní mezery nechejte prázdné (ostatní mezery jsou v tomto bodě obdélníky). Poté použijte stejnou rotaci na středy pětiúhelníků a trojúhelníků a pokračujte v rotaci, dokud mezery nebude možné vyplnit dvěma rovnostrannými trojúhelníky. (Skutečnost, že správné množství pro vytažení tváří je menší v případě tupého dodekaedru, lze vidět dvěma způsoby: circumradius dodecahedron je menší než u icosidodecahedron; nebo se délka hrany rovnostranných trojúhelníků tvořených dělenými vrcholy zvětší, když se otočí pětiúhelníkové plochy.)

Jednotné střídání zkráceného icosidodecahedronu

Tlumič dodecahedron lze také odvodit z zkrácený icosidodecahedron procesem střídání. Šedesát vrcholů zkráceného icosidodecahedronu tvoří mnohostěn topologicky ekvivalentní jednomu tupému dodecahedronu; zbývajících šedesát tvoří svůj zrcadlový obraz. Výsledný mnohostěn je vrchol-tranzitivní ale ne uniformní.

Související mnohostěny a obklady

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Tento semiregulární mnohostěn je členem posloupnosti uražen mnohostěn a obklady s vrcholem (3.3.3.3.n) a Coxeter – Dynkinův diagram . Tyto údaje a jejich duály mají (n32) rotační symetrie, být v euklidovské rovině pro n = 6 a hyperbolická rovina pro jakoukoli vyšší n. Série může být považována za začínající n = 2, přičemž jedna sada tváří zdegenerovala digony.

n32 mutací symetrie útlumů: 3.3.3.3.n
Symetrie n32	Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperbolický		Paracomp.
Symetrie n32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub čísla
Konfigurace	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Utlumit dodekaedrický graf

V matematický pole teorie grafů, a urážka dodekahedrální graf je graf vrcholů a hran tupého dodecahedronu, jednoho z Archimédovy pevné látky. Má 60 vrcholy a 150 hran a je to Archimédův graf.^[2]

Viz také

Planární transformace mnohoúhelník na mnohostěn animace
ccw a cw rotující útlum dodecahedron

Reference

^ Jak sférické jsou archimédské pevné látky a jejich duální? K. Aravind, The College Mathematics Journal, sv. 42, č. 2 (březen 2011), s. 98-107
^ Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998), Atlas grafů, Oxford University Press, str. 269

Jayatilake, Udaya (březen 2005). "Výpočty na pravidelné a mnohostěnné ploše mnohostěnů". Matematický věstník. 89 (514): 76–81.
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Cromwell, P. (1997). Mnohostěn. Spojené království: Cambridge. str. 79–86 Archimédovy pevné látky. ISBN 0-521-55432-2.