Inverzní geometrie - Inversive geometry

v geometrie, inverzní geometrie je studium inverze, transformace Euklidovské letadlo že mapy kruhy nebo řádky do jiných kruhů nebo čar a tím se zachovají úhly mezi křižovatkami. Mnoho obtížných problémů v geometrii se stává mnohem přijatelnější, když se použije inverze.

Koncept inverze může být generalizované do prostorů vyšších dimenzí.

Inverze v kruhu

Inverzní funkce bodu

P' je inverzní k P s ohledem na kruh.

Invertovat číslo v aritmetice obvykle znamená vzít jeho reciproční. Úzce související myšlenkou v geometrii je myšlenka „převrácení“ bodu. V letadlo, inverzní bodu P s ohledem na a referenční kruh (Ø) se středem Ó a poloměr r je bod P', ležící na paprsku z Ó přes P takhle

${ displaystyle OP cdot OP ^ { prime} = r ^ {2}.}$

Tomu se říká kruhová inverze nebo rovina inverze. Inverze bere jakýkoli bod P (jiný než Ó) k jeho obrazu P' také bere P' zpět k P, takže výsledkem dvojnásobné aplikace stejné inverze je transformace identity ve všech jiných bodech roviny než Ó (vlastní inverze ).^[1][2] Aby inverze byla involuce je nutné zavést a bod v nekonečnu, jediný bod umístěný na všechny čáry, a podle definice rozšiřuje inverzi, aby zaměnil střed Ó a tento bod v nekonečnu.

Z definice vyplývá, že inverze jakéhokoli bodu uvnitř referenční kružnice musí ležet mimo ni a naopak se středem a bod v nekonečnu měnící se polohy, zatímco žádný bod v kruhu není ovlivněn (je neměnný pod inverzí). Stručně řečeno, čím blíže je bod ke středu, tím dále od jeho transformace, a naopak.

Konstrukce kompasu a pravítka

Namiřte mimo kruh

Sestavit inverzní P' bodu P mimo kruh Ó: Nechte r být poloměr Ó. Pravé trojúhelníky OPN a ONP' jsou podobní. OP je r tak jako r je OP'.

Na postavit inverzní P' bodu P mimo kruh Ó:

• Nakreslete segment z Ó (střed kruhu Ó) až P.
• Nechat M být středem OP.
• Nakreslete kruh C se středem M procházejí P.
• Nechat N a N' být body, kde Ó a C protínají.
• Nakreslete segment NN'.
• P' je kde OP a NN' protínají.

Bod uvnitř kruhu

Sestavit inverzní P bodu P' uvnitř kruhu Ó:

• Nakreslete paprsek r z Ó (střed kruhu Ó) přes P'.
• Nakreslete čáru s přes P' kolmo na r.
• Nechat N být jedním z bodů, kde Ó a s protínají.
• Nakreslete segment NA.
• Nakreslete čáru t přes N kolmo na NA.
• P tam je paprsek r a řádek t protínají.

Duttina konstrukce

Existuje konstrukce inverzního bodu k A s ohledem na kruh P to je nezávislý zda A je uvnitř nebo venku P.^[3]

Zvažte kruh P se středem Ó a bod A které mohou ležet uvnitř nebo vně kruhu P.

• Vezměte průsečík C paprsku OA s kruhem P.
• Připojte bod C s libovolným bodem B na kruhu P (odlišný od C)
• Odražte paprsek BA v řadě před naším letopočtem a nechte h být odrazem, který rozřízne paprsek OC v bodě A’. A„Je inverzní bod A s ohledem na kruh P.^{[3]:§ 3.2}

Vlastnosti

• 

  Inverzní, vzhledem k červenému kruhu, kruhu procházejícího Ó (modrá) je čára, která neprochází Ó (zelená) a naopak.

• 

  Inverzní, vzhledem k červenému kruhu, kruhu ne procházejí Ó (modrý) je kruh, který neprochází Ó (zelená) a naopak.

• 

  Inverze vzhledem ke kruhu nemapuje střed kruhu ke středu jeho obrazu

Inverze množiny bodů v rovině vzhledem ke kružnici je množina inverzí těchto bodů. Následující vlastnosti činí inverzi kruhu užitečnou.

• Kruh, který prochází středem Ó referenční kružnice se převrátí na čáru, která neprochází Ó, ale rovnoběžně s tečnou k původní kružnici v Óa naopak; zatímco linka procházející Ó je obrácen do sebe (ale ne bodově neměnný).^[4]
• Kruh neprochází Ó převrátí na kruh, který neprochází Ó. Pokud kružnice splňuje referenční kružnici, jsou tyto invariantní průsečíky také na inverzní kružnici. Kruh (nebo čára) se nezmění inverzí tehdy a jen tehdy, pokud je ortogonální k referenční kružnici v průsečících.^[5]

Mezi další vlastnosti patří:

• Pokud kruh q prochází dvěma odlišnými body A a A ', které jsou inverzní vzhledem ke kruhu k, pak kruhy k a q jsou kolmé.
• Pokud kruhy k a q jsou kolmé, pak přímka procházející středem O k a protínající se q, činí tak v inverzních bodech s ohledem na k.
• Vzhledem k trojúhelníku OAB, ve kterém O je střed kruhu k, a body A 'a B' inverze A a B vzhledem k k, pak

${ displaystyle angle OAB = úhel OB'A ' { text {a}} úhel OBA = úhel OA'B'.}$

• Průsečíky dvou kruhů p a q kolmo na kruh k, jsou inverzní s ohledem na k.
• Pokud jsou M a M 'inverzní body vzhledem ke kružnici k na dvou křivkách m a m ', také inverzní vzhledem k k, potom tečny k m a m 'v bodech M a M' jsou buď kolmé na přímku MM ', nebo tvoří s touto přímkou ​​rovnoramenný trojúhelník se základnou MM'.
• Inverze ponechá míru úhlů nezměněnou, ale obrátí orientaci orientovaných úhlů.^[6]

Příklady ve dvou rozměrech

Příklady inverze kruhů A až J vzhledem k červenému kruhu v O. Kruhy A až F, které procházejí O mapou k přímkám. Kruhy G až J, které se nemapují na jiné kruhy. Referenční kružnice a přímka L se k sobě mapují. Kruhy protínají své inverze, pokud existují, na referenční kružnici. v soubor SVG, kliknutím nebo umístěním kurzoru na kruh jej zvýrazněte.

• Inverze přímky je kruh obsahující střed inverze; nebo je to samotná čára, pokud obsahuje střed
• Inverze kruhu je další kruh; nebo je to čára, pokud původní kruh obsahuje střed
• Inverze paraboly je a kardioidní
• Inverze hyperboly je a lemniscate z Bernoulli

aplikace

Pro kruh, který neprochází středem inverze, je střed kruhu obráceného a střed jeho obrazu pod inverzí kolineární se středem referenčního kruhu. Tuto skutečnost lze použít k prokázání, že Eulerova linie z intouch trojúhelník trojúhelníku se shoduje s jeho OI linkou. Důkaz zhruba jde níže:

Obrátit s ohledem na incircle trojúhelníku ABC. The mediální trojúhelník intouchového trojúhelníku je převrácen na trojúhelník ABC, což znamená circumcenter mediálního trojúhelníku, tj. devítibodový střed intouchovaného trojúhelníku, incenter a circumcenter trojúhelníku ABC jsou kolineární.

Jakékoli dva neprotínající se kruhy mohou být obráceny do koncentrický kruhy. Pak inverzní vzdálenost (obvykle označovaný δ) je definován jako přirozený logaritmus poměru poloměrů dvou soustředných kruhů.

Kromě toho mohou být obráceny jakékoli dva neprotínající se kruhy shodný kruhy, pomocí kruhu inverze se středem v bodě na kruh antisimility.

The Peaucellier – Lipkinova vazba je mechanická implementace inverze v kruhu. Poskytuje přesné řešení důležitého problému převodu mezi lineárním a kruhovým pohybem.

Polární a polární

Polární čára q do bodu Q vzhledem k kruhu o poloměru r na střed Ó. Bod P je inverzní bod z Q; polární je přímka P který je kolmý na řádek obsahující Ó, P a Q.

Pokud bod R je inverzní k bodu P pak řádky kolmý na řádek PR prostřednictvím jednoho z bodů je polární druhého bodu ( pól ).

Poláci a póly mají několik užitečných vlastností:

• Pokud bod P leží na řádku l, pak tyč L linky l leží na poláru p bodu P.
• Pokud bod P pohybuje se po čáře l, jeho polární p otáčí se kolem tyče L linky l.
• Pokud lze nakreslit dvě tečné čáry od pólu ke kružnici, pak její polární prochází oběma tečnými body.
• Pokud bod leží na kružnici, je jeho polární tečna skrz tento bod.
• Pokud bod P leží tedy na jeho vlastní polární linii P je na kruhu.
• Každá linka má přesně jeden pól.

Ve třech rozměrech

Inverze koule na červenou kouli

Inverze sféroidu (v červené kouli)

Inverze hyperboloidu jednoho listu

Inverzi kruhu lze zobecnit na koule inverze ve třech rozměrech. Inverze bodu P ve 3D vzhledem k referenční kouli se středem v bodě Ó s poloměrem R je bod P „takové ${ displaystyle OP krát OP ^ { prime} = R ^ {2}}$ a body P a P „jsou na stejném paprsku počínaje od Ó. Stejně jako u 2D verze se koule převrací na kouli, kromě toho, pokud koule prochází středem Ó referenční koule, pak se převrátí do roviny. Jakékoli letadlo, které neprochází Ó, se obrátí na kouli dotýkající se Ó. Kruh, tj. Průsečík koule se sečenou rovinou, se převrátí do kruhu, kromě toho, že pokud kruh prochází Ó převrátí se do řádku. To se redukuje na 2D případ, když prochází sečnická rovina Ó, ale je skutečným 3D úkazem, pokud sečnická rovina neprochází Ó.

Příklady ve třech rozměrech

Koule

Nejjednodušší povrch (kromě roviny) je koule. První obrázek ukazuje netriviální inverzi (střed koule není středem inverze) koule spolu se dvěma kolmými protínajícími se tužkami kruhů.

Válec, kužel, torus

Inverze válce, kužele nebo torusu má za následek a Dupin cyklid.

Sféroid

Sféroid je rotační plocha a obsahuje tužku kruhů, která je mapována na tužku kruhů (viz obrázek). Inverzní obraz sféroidu je povrch stupně 4.

Hyperboloid jednoho listu

Hyperboloid jednoho listu, který je rotační plochou, obsahuje tužku kruhů, která je mapována na tužku kruhů. Hyperboloid jednoho listu obsahuje další dvě tužky čar, které jsou mapovány na tužky kruhů. Na obrázku je jedna taková čára (modrá) a její inverze.

Stereografická projekce jako inverze koule

Stereografická projekce jako inverze koule

A stereografická projekce obvykle promítá kouli z bodu ${ displaystyle N}$ (severní pól) koule na tečnou rovinu v opačném bodě ${ displaystyle S}$ (Jižní pól). Toto mapování lze provést inverzí koule do její tečné roviny. Pokud má koule (která se má promítnout) rovnici ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = - z}$ (střídavě psáno ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + (z + { tfrac {1} {2}}) ^ {2} = { tfrac {1} {4}}}$; centrum ${ displaystyle (0,0, -0,5)}$, poloměr ${ displaystyle 0,5}$, zelená na obrázku), pak bude mapována inverzí na jednotkové kouli (červená) na tečnou rovinu v bodě ${ displaystyle S = (0,0, -1)}$. Čáry procházející středem inverze (bod ${ displaystyle N}$) jsou mapovány na sebe. Jsou to projekční čáry stereografické projekce.

Souřadnice 6 koulí

The Souřadnice 6 koulí jsou souřadnicový systém pro trojrozměrný prostor získaný převrácením Kartézské souřadnice.

Axiomatika a zobecnění

Jeden z prvních, kdo začal uvažovat o základech inverzní geometrie, byl Mario Pieri v letech 1911 a 1912.^[7] Edward Kasner napsal svou práci na téma „Invariantní teorie inverzní skupiny“.^[8]

Více nedávno matematická struktura inverzní geometrie byla interpretována jako struktura výskytu kde se zobecněné kruhy nazývají "bloky": v geometrie dopadu, jakýkoli afinní letadlo společně s jediným bod v nekonečnu tvoří a Möbiovy letadlo, také známý jako inverzní rovina. Bod v nekonečnu se přidá ke všem řádkům. Tyto Möbiovy roviny lze popsat axiomaticky a existují v konečné i nekonečné verzi.

A Modelka pro Möbiovu rovinu, která pochází z euklidovské roviny, je Riemannova koule.

Invariantní

The křížový poměr mezi 4 body ${ displaystyle x, y, z, w}$ je invariantní pod inverzí. Zejména pokud O je střed inverze a ${ displaystyle r_ {1}}$ a ${ displaystyle r_ {2}}$ jsou vzdálenosti ke koncům přímky L, pak délka přímky ${ displaystyle d}$ bude ${ displaystyle d / (r_ {1} r_ {2})}$ pod inverzí se středem O. Invariant je:

${ displaystyle I = { frac {| x-y || w-z |} {| x-w || y-z |}}}$

Vztah k programu Erlangen

Podle Coxetera^[9] transformaci inverzí v kruhu vynalezl L. I. Magnus v roce 1831. Od té doby se toto mapování stalo cestou k vyšší matematice. Prostřednictvím několika kroků aplikace mapy inverze kruhu, student transformační geometrie brzy ocení význam Felix Klein Je Program Erlangen, následek určitých modelů hyperbolická geometrie

Dilatace

Kombinace dvou inverzí v soustředných kruzích má za následek a podobnost, homotetická transformace nebo dilatace charakterizovaná poměrem poloměrů kružnice.

${ displaystyle x mapsto R ^ {2} { frac {x} {| x | ^ {2}}} = y mapsto T ^ {2} { frac {y} {| y | ^ {2} }} = left ({ frac {T} {R}} right) ^ {2} x.}$

Oplata

Když je bod v rovině interpretován jako a komplexní číslo ${ displaystyle z = x + iy,}$ s komplexní konjugát ${ displaystyle { bar {z}} = x-iy,}$ pak reciproční z z je

${ displaystyle { frac {1} {z}} = { frac { bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}$

V důsledku toho je algebraická forma inverze v jednotkové kružnici dána vztahem ${ displaystyle z mapsto w}$ kde:

${ displaystyle w = { frac {1} { bar {z}}} = { overline { left ({ frac {1} {z}} right)}}}$.

Reciprocita je klíčem v teorii transformace jako a generátor z Skupina Möbius. Ostatní generátory jsou translace a rotace, které jsou známé pomocí fyzických manipulací v okolním 3 prostoru. Zavedení oplácení (v závislosti na inverzi kruhu) je to, co vytváří zvláštní povahu Möbiovy geometrie, která je někdy identifikována s inverzní geometrií (euklidovské roviny). Inverzivní geometrie je však větší studií, protože zahrnuje surovou inverzi v kruhu (dosud neprovedenou, s konjugací, do oplácení). Inverzivní geometrie zahrnuje také časování mapování. Ani konjugace, ani inverze v kruhu nejsou ve skupině Möbius, protože jsou nekonformní (viz níže). Prvky skupiny Möbius jsou analytické funkce celé roviny a tak jsou nutně konformní.

Transformace kruhů na kruhy

Zvažte ve složité rovině kruh poloměru ${ displaystyle r}$ kolem bodu ${ displaystyle a}$

${ displaystyle (z-a) (z-a) ^ {*} = r ^ {2}}$

kde bez ztráty obecnosti ${ displaystyle a in mathbb {R}.}$ Použití definice inverze

${ displaystyle w = { frac {1} {z ^ {*}}}}$

je to jednoduché ukázat ${ displaystyle w}$ poslouchá rovnici

${ displaystyle ww ^ {*} - { frac {a} {(a ^ {2} -r ^ {2})}} (w + w ^ {*}) + { frac {a ^ {2} } {(a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2}}} = { frac {r ^ {2}} {(a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} }}}$

a proto to ${ displaystyle w}$ popisuje kruh středu ${ textstyle { frac {a} {a ^ {2} -r ^ {2}}}}$ a poloměr ${ textstyle { frac {r} {| a ^ {2} -r ^ {2} |}}.}$

Když ${ displaystyle a to r,}$ kruh se transformuje do linie rovnoběžné s imaginární osou ${ displaystyle w + w ^ {*} = { tfrac {1} {a}}.}$

Pro ${ displaystyle a not in mathbb {R}}$ a ${ displaystyle aa ^ {*} neq r ^ {2}}$ výsledek pro ${ displaystyle w}$ je

${ displaystyle { begin {aligned} & ww ^ {*} - { frac {aw + a ^ {*} w ^ {*}} {(a ^ {*} ar ^ {2})}} + { frac {aa ^ {*}} {(aa ^ {*} - r ^ {2}) ^ {2}}} = { frac {r ^ {2}} {(aa ^ {*} - r ^ { 2}) ^ {2}}} [4pt] Longleftrightarrow {} & left (w - { frac {a ^ {*}} {aa ^ {*} - r ^ {2}}} right ) left (w ^ {*} - { frac {a} {a ^ {*} ar ^ {2}}} right) = left ({ frac {r} { left | aa ^ {* } -r ^ {2} doprava |}} doprava) ^ {2} end {zarovnáno}}}$

ukazuje, že ${ displaystyle w}$ popisuje kruh středu ${ textstyle { frac {a ^ {*}} {(aa ^ {*} - r ^ {2})}}}$ a poloměr ${ textstyle { frac {r} { vlevo | a ^ {*} a-r ^ {2} vpravo |}}}$.

Když ${ displaystyle a ^ {*} a to r ^ {2},}$ rovnice pro ${ displaystyle w}$ se stává

${ displaystyle { begin {aligned} & aw + a ^ {*} w ^ {*} = 1 Longleftrightarrow 2 operatorname {Re} {aw } = 1 Longleftrightarrow operatorname {Re} {a } operatorname {Re} {w } - operatorname {Im} {a } operatorname {Im} {w } = { frac {1} {2}} [4pt] Longleftrightarrow { } & operatorname {Im} {w } = { frac { operatorname {Re} {a }} { operatorname {Im} {a }}} cdot operatorname {Re} { w } - { frac {1} {2 cdot operatorname {Im} {a }}}. end {zarovnáno}}}$

Vyšší geometrie

Jak bylo uvedeno výše, počátek nula vyžaduje zvláštní pozornost při mapování inverze kruhu. Přistupujeme k připojení bodu v nekonečnu označeného jako ∞ nebo 1/0. V přístupu založeném na komplexním počtu, kde je reciprocita zjevnou operací, vede tento postup k komplexní projektivní linie, často nazývaný Riemannova koule. Byly to podprostory a podskupiny tohoto prostoru a skupina mapování, které byly použity k vytvoření časných modelů hyperbolické geometrie Beltrami, Cayley, a Klein. Inverzní geometrie tedy zahrnuje myšlenky, které vytvořil Lobachevsky a Bolyai v jejich rovinné geometrii. Dále Felix Klein byl tímto zařízením mapování tak překonán, aby identifikoval geometrické jevy, že vydal manifest, Program Erlangen, v roce 1872. Od té doby si mnoho matematiků tento termín vyhrazuje geometrie pro prostor společně s a skupina mapování tohoto prostoru. Významné vlastnosti obrazců v geometrii jsou ty, které jsou v této skupině neměnné.

Například Smogorzhevsky^[10] před zahájením Lobachevské geometrie vyvíjí několik vět o inverzní geometrii.

Ve vyšších dimenzích

v n-dimenzionální prostor, kde je koule o poloměru r, inverze v kouli darováno

${ displaystyle x_ {i} mapsto { frac {r ^ {2} x_ {i}} { součet _ {j} x_ {j} ^ {2}}}}$

Transformace inverzí v hyperplanes nebo hypersféry v E.ⁿ lze použít ke generování dilatací, překladů nebo rotací. Ve skutečnosti dvě soustředné hypersféry, které se používají k vytváření postupných inverzí, vedou k a dilatace nebo kontrakce ve středu hypersféry. Takové mapování se nazývá a podobnost.

Jsou-li k vytvoření postupných odrazů použity dvě paralelní hyperplany, je výsledek a překlad. Když se dvě hyperplány protínají v (n–2)-byt, postupné odrazy vytvářejí a otáčení kde každý bod (n–2) -flat je a pevný bod každé reflexe a tedy i kompozice.

Všechny tyto jsou konformní mapy a ve skutečnosti tam, kde má prostor tři nebo více dimenzí, jsou mapování generovaná inverzí jedinými konformními mapováními. Liouvilleova věta je klasická věta o konformní geometrie.

Přidání a bod v nekonečnu do vesmíru odstraňuje rozdíl mezi hyperplánem a hypersférou; vyšší dimenzionální inverzní geometrie se často studuje v předpokládaném kontextu an n-koule jako základní prostor. Transformace inverzní geometrie jsou často označovány jako Möbiovy transformace. Inverzivní geometrie byla použita ke studiu barvení nebo rozdělování n-koule.^[11]

Vlastnost protikonformního mapování

Mapa inverze kruhu je protikonformní, což znamená, že v každém bodě zachovává úhly a obrací orientaci (mapa se nazývá konformní pokud to zachovává orientované úhly). Algebraicky je mapa protikonformní, pokud v každém bodě Jacobian je skalární časy a ortogonální matice se záporným determinantem: ve dvou dimenzích musí být jakobiánka skalárním časem odrazem v každém bodě. To znamená, že pokud J je tedy jakobián ${ displaystyle J cdot J ^ {T} = kI}$ a ${ displaystyle det (J) = - { sqrt {k}}.}$ Výpočet Jacobian v případě z_i = X_i/||X||², kde ||X||² = X₁² + ... + X_n² dává JJ^T = kI, s k = 1/||X||⁴, a navíc det (J) je negativní; proto je inverzní mapa protikonformní.

V komplexní rovině je nejviditelnější mapa inverze kruhu (tj. Pomocí jednotkové kružnice se středem v počátku) komplexní komplex konjugátu komplexní inverzní mapy z do 1 /z. Složitá analytická inverzní mapa je konformní a její konjugát, kruhová inverze, je protikonformní. V tomto případě homografie je konformní, zatímco anti-homografie je protikonformní.

Inverzivní geometrie a hyperbolická geometrie

The (n - 1) - koule s rovnicí

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} + 2a_ {1} x_ {1} + cdots + 2a_ {n} x_ {n} + c = 0}$

bude mít kladný poloměr, pokud A₁² + ... + A_n² je větší než Ca při inverzi dává kouli

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} +2 { frac {a_ {1}} {c}} x_ {1} + cdots +2 { frac {a_ {n}} {c}} x_ {n} + { frac {1} {c}} = 0.}$

Proto bude invariantní pod inverzí tehdy a jen tehdy C = 1. Ale toto je podmínka být kolmý k jednotkové kouli. Proto jsme vedeni k tomu, abychom zvážili (n - 1) koule s rovnicí

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} + 2a_ {1} x_ {1} + cdots + 2a_ {n} x_ {n} + 1 = 0,}$

které jsou invariantní pod inverzí, kolmé k jednotkové kouli a mají středy mimo kouli. Ty spolu s podprostorovými hyperplany oddělujícími hemisféry jsou hyperplochy Model disku Poincaré hyperbolické geometrie.

Protože inverze v jednotkové kouli ponechává koule kolmé k ní neměnné, inverze mapuje body uvnitř jednotkové koule na vnější stranu a naopak. To tedy platí obecně o ortogonálních sférách, a zejména inverze v jedné z koulí ortogonálních na jednotkovou sféru mapuje jednotkovou sféru na sebe. Mapuje také vnitřek sféry jednotky k sobě, přičemž body mimo ortogonální sféru mapují uvnitř a naopak; to definuje odrazy modelu disku Poincaré, pokud k nim zahrneme také odrazy přes průměry oddělující hemisféry jednotkové koule. Tyto odrazy generují skupinu izometrií modelu, která nám říká, že izometrie jsou konformní. Úhel mezi dvěma křivkami v modelu je tedy stejný jako úhel mezi dvěma křivkami v hyperbolickém prostoru.

Viz také

• Kruh antisimility
• Dualita (projektivní geometrie)
• Inverzní křivka
• Mezní bod (geometrie)
• Möbiova transformace
• Projektivní geometrie
• Soddyho hexlet
• Inverze křivek a ploch (německy)

Poznámky

Reference

• Altshiller-Court, Nathan (1952), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. vyd.), New York: Barnes & Noble, LCCN  52-13504
• Blair, David E. (2000), Teorie inverze a konformní mapováníAmerická matematická společnost, ISBN  0-8218-2636-0
• Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1998), „Kapitola 5: Inverzivní geometrie“, Geometrie, Cambridge: Cambridge University Press, s. 199–260, ISBN  0-521-59787-0
• Coxeter, H.S.M. (1969) [1961], Úvod do geometrie (2. vyd.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-18283-4
• Hartshorne, Robine (2000), „Kapitola 7: Neeuklidovská geometrie, část 37: Kruhová inverze“, Geometry: Euclid and BeyondSpringer, ISBN  0-387-98650-2
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart a Winston, LCCN  69-12075

externí odkazy

• Inverze: Odraz v kruhu na cut-the-uzel
• Stránka inverzní geometrie Wilsona Stothera
• Výukové materiály kompendia IMO procvičte si problémy s využitím inverze pro úlohy z matematické olympiády
• Weisstein, Eric W. "Inverze". MathWorld.
• Vizuální slovník speciálních rovinných křivek Xah Lee