Triakis octahedron - Triakis octahedron

Triakis octahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Katalánština pevná
Coxeterův diagram
Conwayova notace	kO
Typ obličeje	V3.8.8 rovnoramenný trojúhelník
Tváře	24
Hrany	36
Vrcholy	14
Vrcholy podle typu	8{3}+6{8}
Skupina symetrie	Ó_h, B₃, [4,3], (*432)
Rotační skupina	O, [4,3]⁺, (432)
Dihedrální úhel	147°21′00″ arccos (-3 + 8√2/17)
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní
Zkrácená kostka (duální mnohostěn )	Síť

v geometrie, a triakis octahedron (nebo trigonální trisoctahedron^[1] nebo kisoctahedron^[2]) je Archimédův duální pevné nebo Katalánština pevná. Jeho duální je zkrácená kostka.

To může být viděno jako osmistěn s trojúhelníkové pyramidy přidáno ke každé tváři; to znamená, že je Kleetope osmistěnu. Někdy se mu také říká a trisoctahedronnebo přesněji trigonální trisoctahedron. Obě jména odrážejí skutečnost, že má tři trojúhelníkové tváře pro každou tvář osmistěnu. The tetragonální trisoctahedron je jiný název pro deltoidní icositetrahedron, jiný mnohostěn se třemi čtyřstrannými plochami pro každou tvář osmistěnu.

Tento konvexní mnohostěn je topologicky podobný konkávnímu hvězdný osmistěn. Mají stejné připojení tváře, ale vrcholy jsou v různých relativních vzdálenostech od středu.

Pokud jeho kratší hrany mají délku 1, jeho povrchová plocha a objem jsou:

{ displaystyle { begin {aligned} A & = 3 { sqrt {7 + 4 { sqrt {2}}}} V & = { frac {3 + 2 { sqrt {2}}} {2} } end {zarovnáno}}}

Kartézské souřadnice

Dát ${ displaystyle alpha = { sqrt {2}} - 1}$ , pak 14 bodů ${ displaystyle ( pm alfa, pm alfa, pm alfa)}$ a ${ displaystyle ( pm 1,0,0)}$ , ${ displaystyle (0, pm 1,0)}$ a ${ displaystyle (0,0, pm 1)}$ jsou vrcholy oktaedronu triakis se středem na počátku.

Délka dlouhých hran se rovná ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ , a to krátkých hran ${ displaystyle 2 { sqrt {2}} - 2}$ .

Tváře jsou rovnoramenné trojúhelníky s jedním tupým a dvěma ostrými úhly. Tupý úhel se rovná ${ displaystyle arccos ({ frac {1} {4}} - { frac {1} {2}} { sqrt {2}}) přibližně 117 200 , 570 , 380 , 16 ^ { cirkus}}$ a akutní jsou stejné ${ displaystyle arccos ({ frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} { sqrt {2}}) přibližně 31 399 , 714 , 809 , 92 ^ { cirkus}}$ .

Ortogonální projekce

The triakis octahedron má tři polohy symetrie, dvě umístěné na vrcholech a jednu střední hranu:

Ortogonální projekce
Projektivní symetrie	[2]	[4]	[6]
Triakis osmistěn
Zkráceno krychle

Kulturní odkazy

Triakis octahedron je zásadním prvkem ve spiknutí kultovního autora Hugh Cook román Wishstone and the Wonderworkers.

Související mnohostěn

Triakis octahedron je jedním z rodiny dualů k jednotnému mnohostěnu souvisejícímu s krychlí a pravidelným osmistěnem.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Triakis osmistěn je součástí posloupnosti mnohostěnů a obkladů, zasahujících do hyperbolické roviny. Tyto tvář-tranzitivní čísla mají (*n32) reflexní symetrie.

3D model oktaedru triakis

Animace triakis octahedron a dalších souvisejících mnohostěnů

Sférický triakis osmistěn

*n32 mutace symetrie zkrácených sklonů: t {n,3} [ proti t E ]
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
Symetrie *n32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Symbol	t {2,3}	t {3,3}	t {4,3}	t {5,3}	t {6,3}	t {7,3}	t {8,3}	t {∞, 3}	t {12i, 3}	t {9i, 3}	t {6i, 3}
Triakis čísla
Konfigurace	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Triakis octahedron je také součástí posloupnosti mnohostěnů a obkladů, zasahujících do hyperbolické roviny. Tyto tvář-tranzitivní čísla mají (*n42) reflexní symetrie.

*n42 mutace symetrie zkrácených naklonění: n.8.8 [ proti t E ]
Symetrie *n42 [n, 4]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact
Symetrie *n42 [n, 4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Zkráceno čísla
Konfigurace	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8	6.8.8	7.8.8	8.8.8	∞.8.8
n-kis čísla
Konfigurace	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

Reference

^ "Klipart označen: 'formuláře'". etc.usf.edu.
^ Conway, Symetrie věcí, str.284

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, PAN 0730208 (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duály, strana 17, Triakisoctahedron)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 284, Triakis octahedron)