Pentakis dodecahedron - Pentakis dodecahedron

Pentakis dodecahedron
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Katalánština pevná
Coxeterův diagram
Conwayova notace	kD
Typ obličeje	V5.6.6 rovnoramenný trojúhelník
Tváře	60
Hrany	90
Vrcholy	32
Vrcholy podle typu	20{6}+12{5}
Skupina symetrie	Já_h, H₃, [5,3], (*532)
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532)
Dihedrální úhel	156°43′07″ arccos (-80 + 9√5/109)
Vlastnosti	konvexní, tvář-tranzitivní
Zkrácený dvacetistěn (duální mnohostěn )	Síť

3D model pentakis dodecahedron

v geometrie, a pentakis dodecahedron nebo kisdodecahedron je mnohostěn vytvořený připojením a pětiboká pyramida na každou tvář a pravidelný dvanáctistěn; to znamená, že je Kleetope dodecahedron. Tato interpretace je vyjádřena v jejím názvu.^[1] Ve skutečnosti existuje několik topologicky ekvivalentních, ale geometricky odlišných druhů pentakis dodecahedron, v závislosti na výšce pětiúhelníkových pyramid. Tyto zahrnují:

Obvyklý katalánský pentakis dodecahedron, konvexní hexecontahedron se šedesáti rovnoramennými trojúhelníkovými plochami znázorněnými na obrázku postranního panelu. Je to Katalánština pevná, duální do zkrácený dvacetistěn, an Archimédův pevný. Kritická výška každé z pyramid nad tvářemi původního dvanáctistěnu je

{ displaystyle h = { frac { sqrt {65 + 22 { sqrt {5}}}} {19 { sqrt {5}}}} přibližně 0,2515}

Při této velikosti je úhel vzepětí mezi všemi sousedními trojúhelníkovými plochami roven hodnotě v tabulce výše. Plochější pyramidy mají vyšší vnitřní pyramidové dihedrálky a vyšší pyramidy mají vyšší mezipyramidové dihedrálky.

Jak se výšky pětiúhelníkových pyramid zvyšují, v určitém bodě se sousední páry trojúhelníkových ploch slučují do kosočtverců a tvar se stává kosočtverečný triacontahedron.

Jak se výška dále zvyšuje, tvar se stává nekonvexním. Zejména rovnostranný nebo deltahedron verze pentakis dodecahedron, která má šedesát rovnostranných trojúhelníkových ploch, jak je znázorněno na sousedním obrázku, je mírně nekonvexní kvůli svým vyšším pyramidám (všimněte si například záporného úhlu vzepětí vlevo nahoře na obrázku).

Mezi další nekonvexní geometrické varianty patří:

The malý hvězdný dvanáctistěn (s velmi vysokými pyramidami).
Velký pentakis dodecahedron (s extrémně vysokými pyramidami)
Wenninger třetí stellace dvacetistěnu (s obrácenými pyramidami).

Pokud někdo připojí pentagramové pyramidy do vyhloubený dvanáctistěn jeden získá velký dvacetistěn.

Pokud člověk drží střed dvanáctistěn, jeden dostane síť a Dodecahedral pyramid.

Kartézské souřadnice

Nechat ${ displaystyle phi}$ být Zlatý řez. 12 bodů daných ${ displaystyle (0, pm 1, pm phi)}$ a cyklické permutace těchto souřadnic jsou vrcholy a pravidelný dvacetistěn. Je to dvojí pravidelný dvanáctistěn, jehož hrany protínají hrany dvacetistěnu v pravých úhlech, má jako vrcholy body ${ displaystyle ( pm 1, pm 1, pm 1)}$ společně s body ${ displaystyle ( pm phi, pm 1 / phi, 0)}$ a cyklické permutace těchto souřadnic. Vynásobením všech souřadnic icosacahedronu o faktor ${ Displaystyle (3 phi +12) / 19 přibližně 0,887 , 057 , 998 , 22}$ dává o něco menší dvacetistěn. 12 vrcholů tohoto icosahedronu, spolu s vrcholy dodekaedru, jsou vrcholy dodekededu pentakis se středem v počátku. Délka jeho dlouhých hran se rovná ${ displaystyle 2 / phi}$ . Jeho tváře jsou ostré rovnoramenné trojúhelníky s jedním úhlem ${ Displaystyle arccos ((- 8 + 9 phi) / 18) přibližně 68,618 , 720 , 931 , 19 ^ { circ}}$ a dva z ${ displaystyle arccos ((5- phi) / 6) přibližně 55,690 , 639 , 534 , 41 ^ { circ}}$ . Poměr délky mezi dlouhým a krátkým okrajem těchto trojúhelníků se rovná ${ Displaystyle (5- phi) / 3 přibližně 1,127 , 322 , 003 , 75}$ .

Chemie

The pentakis dodecahedron v modelu buckminsterfullerene: každý segment povrchu představuje a uhlík atom. Ekvivalentně je zkrácený dvacetistěn modelem buckminsterfullerenu, přičemž každý vrchol představuje atom uhlíku.

Biologie

The pentakis dodecahedron je také modelem některých ikosahedrálně symetrických virů, jako je Virus spojený s adeno. Ty mají 60 kapsidových proteinů souvisejících se symetrií, které dohromady tvoří 60 symetrických ploch a pentakis dodecahedron.

Ortogonální projekce

Pentakis dodecahedron má tři polohy symetrie, dvě na vrcholech a jednu na středě:

Ortogonální projekce
Projektivní symetrie	[2]	[6]	[10]
obraz
Dvojí obraz

Související mnohostěn

Sférický pentakis dodecahedron

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

*n32 mutace symetrie zkrácených naklonění: n.6.6 [ proti t E ]
Sym. *n42 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní		Parac.	Nekompaktní hyperbolický
Sym. *n42 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Konfigurace	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis čísla
Konfigurace	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Kulturní odkazy

The Kosmická loď Země struktura v Svět Walta Disneyho je Epcot je derivát pentakis dodecahedron.
Model pro uměleckou dílnu kampusu, který navrhl Jeffrey Lindsay, byl ve skutečnosti polokulový pentakis dodecahedron https://books.google.com/books?id=JD8EAAAAMBAJ&pg=PA92&dq=jeffrey+lindsay&hl=cs&ei=oF88Tv25F7OisQLGwbwt&sa=X&oi=book_result&ct=result&redir_esc=y#v=onepage&q=jeffrey%=
Tvar „Crystal Dome“ použitý v populární televizní herní show Křišťálové bludiště byl založen na pentakis dodecahedron.
v Doktor Atomic, tvar první atomové bomby odpálil dovnitř Nové Mexiko byl pentakis dodecahedron.[1]
v De Blob 2 ve vězeňské zoo jsou kopule tvořeny částmi Pentakis Dodecahedron. Tyto kupole se také objevují, kdykoli se hráč transformuje na kupoli v úrovni Hypno Ray.
Některé geodomy, ve kterých lidé hrají, jsou Pentakis Dodecahedra.

Reference

^ Conway, Symetrie věcí, str.284

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Sellars, Peter (2005). "Doctor Atomic Libretto". Boosey & Hawkes. Plutoniové jádro obklopujeme ze třiceti dvou bodů rozmístěných rovnoměrně po jeho povrchu, třicet dva bodů jsou středy dvaceti trojúhelníkových ploch ikosahedru protkaných dvanácti pětiúhelníkovými plochami dodekahedronu.
Wenninger, Magnus (1983). Duální modely. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54325-5. PAN 0730208. (Třináct semiregulárních konvexních mnohostěnů a jejich duály, strana 18, Pentakisdodecahedron)
Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, strana 284, Pentakis dodecahedron)

externí odkazy

Eric W. Weisstein, Pentakis dodecahedron (Katalánština pevná ) na MathWorld.
Pentakis Dodecahedron - Interaktivní model mnohostěnu

[1] Conway, Symetrie věcí, str.284

[1]