Conwayova mnohostěnová notace - Conway polyhedron notation

Tento příklad grafu ukazuje, jak lze z krychle pomocí 3 operací odvodit 11 nových formulářů. Nové mnohostěny jsou zobrazeny jako mapy na povrchu krychle, takže topologické změny jsou patrnější. Vrcholy jsou ve všech formách označeny kruhy.

V geometrii, Conwayova mnohostěnová notace, vynalezl John Horton Conway a propaguje George W. Hart, se používá k popisu mnohostěn na základě semenného mnohostěnu upraveného různými předponami operace.^[1]^[2]

Conway a Hart rozšířili myšlenku používání operátorů zkrácení jak je definováno Kepler, vybudovat související mnohostěn stejné symetrie. Například, tC představuje a zkrácená kostka, a taC, analyzováno jako ${displaystyle t (aC)}$ , je (topologicky ) a zkrácený cuboctahedron. Nejjednodušší operátor dvojí zaměňuje vrcholy a obličejové prvky; např. duální krychle je osmistěn: DC=Ó. Při použití v sérii umožňují tyto operátory generovat mnoho mnohostěnů vyššího řádu. Conway definoval operátory abdegjkmost, zatímco Hart dodal r a p.^[3] Pozdější implementace pojmenovaly další operátory, někdy označované jako „rozšířené“ operátory.^[4]^[5] Conwayovy základní operace jsou dostatečné k vygenerování Archimedean a Katalánština pevné látky z platonických pevných látek. Některé základní operace lze provádět jako kompozity jiných: například ambo aplikované dvakrát je operace rozbalení: aa = E, zatímco zkrácení po ambo produkuje úkos: ta = b.

Mnohostěn lze studovat topologicky, pokud jde o to, jak se jejich vrcholy, hrany a plochy spojují dohromady, nebo geometricky, pokud jde o umístění těchto prvků v prostoru. Různé implementace těchto operátorů mohou vytvářet mnohostěny, které jsou geometricky odlišné, ale topologicky ekvivalentní. Tyto topologicky ekvivalentní mnohostěny lze považovat za jeden z mnoha vložení a polyedrický graf na kouli. Pokud není uvedeno jinak, je v tomto článku (a v literatuře o operátorech Conway obecně) primárním zájmem topologie. Mnohostěn s rod 0 (tj. Topologicky ekvivalentní s koulí) se často vkládají do kanonická forma vyhnout se nejednoznačnosti.

Operátoři

V Conwayově zápisu jsou operace na mnohostěnech aplikovány jako funkce, zprava doleva. Například a cuboctahedron je ambo kostka,^[6] tj. ${displaystyle a (C) = aC}$ a zkrácený cuboctahedron je ${displaystyle t (a (C)) = t (aC) = taC}$ . Opakovanou aplikaci operátoru lze označit exponentem: j² = Ó. Provozovatelé Conway obecně nejsou komutativní.

Jednotlivé operátory lze vizualizovat z hlediska základní domény (nebo komory), jak je uvedeno níže. Každý pravý trojúhelník je a základní doména. Každá bílá komora je rotovanou verzí ostatních, stejně jako každá barevná komora. Pro achirál operátory, barevné komory jsou odrazem bílých komor a všechny jsou přechodné. Skupinově odpovídají achirálním operátorům dihedrální skupiny $D n$ kde n je počet stran obličeje, zatímco chirální operátoři odpovídají cyklické skupiny $C n$ chybí reflexní symetrie dihedrálních skupin. Achirál a chirální operátory se také nazývají lokální operace zachování symetrie (LSP) a místní operace, které zachovávají orientaci zachovávající symetrie (LOPSP).^[7]^[8]^[9]LSP je třeba chápat jako místní operace, které zachovávají symetrii, nikoli operace, které zachovávají místní symetrii. Opět se jedná o symetrie v topologickém smyslu, nikoli v geometrickém smyslu: přesné úhly a délky hran se mohou lišit.

Základní domény tváří s ${displaystyle n}$ strany
3 (trojúhelník)	4 (čtverec)	5 (Pentagon)	6 (šestihran)

Základní domény pro mnohostěnné skupiny. Skupiny jsou ${displaystyle D_ {3}, D_ {4}, D_ {5}, D_ {6}}$ pro achirální mnohostěn a ${displaystyle C_ {3}, C_ {4}, C_ {5}, C_ {6}}$ pro chirální mnohostěn.

Hart představil operátor odrazu r, který dává zrcadlový obraz mnohostěnu.^[6] Toto není striktně LOPSP, protože nezachovává orientaci: obrací ji výměnou bílé a červené komory. r kromě orientace nemá žádný vliv na achirální mnohostěny a rr = S vrátí původní mnohostěn. Overline lze použít k označení druhé chirální formy operátoru: s = rsr.

Operace je neredukovatelná, pokud ji nelze vyjádřit jako složení operátorů d a r. Většina původních operátorů společnosti Conway je nesnížitelná: výjimky jsou E, b, Ó, a m.

Maticová reprezentace

X	${displaystyle {egin {bmatrix} a & b & c 0 & d & 0 a '& b' & c'end {bmatrix}} = mathbf {M} _ {x}}$
xD	${displaystyle {egin {bmatrix} c & b & a 0 & d & 0 c '& b' & a'end {bmatrix}} = mathbf {M} _ {x} mathbf {M} _ {d}}$
dx	${displaystyle {egin {bmatrix} a '& b' & c ' 0 & d & 0 a & b & cend {bmatrix}} = mathbf {M} _ {d} mathbf {M} _ {x}}$
dxd	${displaystyle {egin {bmatrix} c '& b' & a ' 0 & d & 0 c & b & aend {bmatrix}} = mathbf {M} _ {d} mathbf {M} _ {x} mathbf {M} _ {d}}$

Vztah mezi počtem vrcholů, hran a ploch osiva a mnohostěnů vytvořených operacemi uvedenými v tomto článku lze vyjádřit jako matici ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$ . Když X je provozovatel, ${displaystyle v, e, f}$ jsou vrcholy, hrany a plochy osiva (v uvedeném pořadí) a ${displaystyle v ', e', f '}$ jsou vrcholy, hrany a plochy výsledku

{displaystyle mathbf {M} _ {x} {egin {bmatrix} v e fend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} v ' e' f'end {bmatrix}}}

.

Matice pro složení dvou operátorů je pouze produktem matic pro dva operátory. Odlišní operátoři mohou mít stejnou matici, například p a l. Počet hran výsledku je násobkem celého čísla d toho semene: tomu se říká míra inflace nebo hraniční faktor.^[7]

Nejjednodušší operátoři, operátor identity S a duální operátor d, mít jednoduché maticové formuláře:

{displaystyle mathbf {M} _ {S} = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}} = mathbf {I} _ {3}}

,

{displaystyle mathbf {M} _ {d} = {egin {bmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0end {bmatrix}}}

Dva duální operátoři se ruší; dd = Sa čtverec ${displaystyle mathbf {M} _ {d}}$ je matice identity. Při použití na jiné operátory odpovídá duální operátor horizontálním a vertikálním odrazům matice. Operátory lze rozdělit do skupin po čtyřech (nebo méně, pokud jsou některé formy stejné), a to tak, že identifikujete operátory X, xD (provozovatel duální), dx (duální operátor) a dxd (konjugát operátora). V tomto článku pouze matice pro X je uveden, protože ostatní jsou jednoduché odrazy.

Počet operátorů

Počet LSP pro každou míru inflace je ${displaystyle 2,2,4,6,6,20,28,58,82, cdots}$ počínaje mírou inflace 1. Ne všechny LSP však nutně produkují mnohostěn, jehož hrany a vrcholy tvoří a 3 propojený graf, a v důsledku Steinitzova věta nemusí nutně vytvářet konvexní mnohostěn z konvexního semene. Počet 3 připojených LSP pro každou míru inflace je ${displaystyle 2,2,4,6,4,20,20,54,64, cdots}$ .^[8]

Originální operace

Přísně, osivo (S), jehla (n) a zip (z) nebyly zahrnuty společností Conway, ale souvisí s původními operacemi společnosti Conway podle duality, takže jsou zde zahrnuty.

Od této chvíle jsou operace vizualizovány na semenech krychle nakreslených na povrchu této krychle. Modré tváře protínají okraje semene a růžové tváře leží nad vrcholy semene. Přesné umístění vrcholů má určitou flexibilitu, zejména u chirálních operátorů.

Původní operátoři Conway
Edge factor	Matice ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$	X	xD	dx	dxd	Poznámky
1	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$	Semínko: S	Dvojí: d		Semínko: dd = S	Dual nahradí každou tvář vrcholem a každý vrchol obličejem.
2	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0end {bmatrix}}}$	Připojit se: j		Ambo: A		Spojit vytvoří čtyřúhelníkové tváře. Ambo vytváří vrcholy stupně 4 a také se nazývá náprava, nebo mediální graf v teorii grafů.^[10]
3	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$	Kis: k	Jehla: n	Zip: z	Zkrátit: t	Kis zvedne pyramidu na každé tváři a také se jí říká akizace, Kleetope, kumulace,^[11] narůstání nebo pyramidaaugmentace. Zkrátit odřízne mnohostěn na jeho vrcholech, ale ponechá část původních hran.^[12] Zip se také nazývá bitruncation.
4	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 4 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$	Ortho: Ó = jj		Rozšířit: E = aa
5	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 5 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$	Gyro: G	gd = rgr	sd = rsr	Snub: s	Chirální operátoři. Vidět Snub (geometrie). Oproti Hartovi^[3] gd není totéž jako G: je to jeho chirální pár.^[13]
6	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 6 & 0 0 & 4 & 0end {bmatrix}}}$	Meta: m = kj		Úkos: b = ta

Semena

Jakýkoli mnohostěn může sloužit jako semeno, pokud na něm lze provádět operace. Společným semenům byl přidělen dopis Platonické pevné látky jsou reprezentováni prvním písmenem svého jména (Tetrahedron, Óctahedron, Cube, Jásasahedron, Dodecahedron ); the prismy (P_n) pro n-gonal formy; Antiprizmy (A_n); Cupolae (U_n); anticupolae (PROTI_n); a pynájezdy (Y_n). Žádný Johnson solid lze označit jako J_n, pro n=1..92.

Všech pět pravidelných mnohostěnů lze generovat z prizmatických generátorů s nulovým až dvěma operátory:^[14]

Trojúhelníková pyramida: Y₃ (Čtyřstěn je speciální pyramida)
- T = Y₃
- Ó = na (ambo čtyřstěn)
- C = jT (připojit čtyřstěn)
- Já = Svatý (urážet čtyřstěn)
- D = gT (čtyřstěn gyroskopu)
Trojúhelníkový antiprism: A₃ (Octahedron je speciální antiprism)
- Ó = A₃
- C = dA₃
Čtvercový hranol: P₄ (Kostka je speciální hranol)
- C = P₄
Pětiúhelníkový antiprism: A₅
- Já = k₅A₅ (Speciální gyroelongated dipyramid )
- D = t₅dA₅ (Speciální zkrácený lichoběžník )

Pravidelné euklidovské obklady lze také použít jako semena:

Q = čtyřlístek = Čtvercové obklady
H = Hextille = Šestihranný obklad = dΔ
Δ = Deltille = Trojúhelníkový obklad = dH

Rozšířené operace

Jedná se o operace vytvořené po původní sadě Conway. Všimněte si, že existuje mnohem více operací, než bylo pojmenováno; Jen proto, že zde operace není, neznamená, že neexistuje (nebo není LSP nebo LOPSP). Pro zjednodušení jsou do tohoto seznamu zahrnuty pouze neredukovatelné operátory: další lze vytvořit složením operátorů dohromady.

Neredukovatelní operátoři
Edge factor	Matice ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$	X	xD	dx	dxd	Poznámky
4	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 4 & 0 0 & 1 & 1end {bmatrix}}}$	Zkosení: C	CD = du	DC = ud	Dále dělit: u	Zkosení je forma spojení l. Vidět Zkosení (geometrie).
5	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 5 & 0 0 & 2 & 1end {bmatrix}}}$	Vrtule: p	dp = pd		dpd = p	Chirální operátoři. Pohon vrtule vyvinul George Hart.^[15]
5	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 5 & 0 0 & 2 & 1end {bmatrix}}}$	Loft: l	ld	dl	dld
6	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 3 & 0 0 & 6 & 0 0 & 2 & 1end {bmatrix}}}$	Quinto: q	qd	dq	dqd
6	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 6 & 0 0 & 3 & 1end {bmatrix}}}$	Spojovací krajka: L₀	L₀d	dL₀	dL₀d	Vysvětlení zápisu spojení viz níže.
7	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 7 & 0 0 & 4 & 1end {bmatrix}}}$	Krajka: L	Ld	dL	dLd
7	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 7 & 0 0 & 4 & 0end {bmatrix}}}$	Kůl: K.	Kd	dK	dKd
7	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 4 & 0 0 & 7 & 0 0 & 2 & 1end {bmatrix}}}$	Vír: w	wd = dv	vd = dw	Závitnice: proti	Chirální operátoři.
8	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 8 & 0 0 & 5 & 0end {bmatrix}}}$	Připojte-kis-kis: ${displaystyle (kk) _ {0}}$	${displaystyle (kk) _ {0} d}$	${displaystyle d (kk) _ {0}}$	${displaystyle d (kk) _ {0} d}$	Někdy pojmenovaný J.^[4] Vysvětlení zápisu spojení viz níže. Non-join-form, kk, není neredukovatelný.
10	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 3 & 1 0 & 10 & 0 0 & 6 & 0end {bmatrix}}}$	Přejít: X	XD	dX	dXd

Indexované rozšířené operace

Řadu operátorů lze seskupit podle některých kritérií nebo si jejich chování upravit pomocí indexu.^[4] Tito jsou zapsáni jako operátor s dolním indexem: X_n.

Augmentace

Augmentace operace zachovají původní hrany. Mohou být použity na jakoukoli nezávislou podmnožinu tváří nebo mohou být převedeny na připojit se-forma odstraněním původních hran. Notace Conway podporuje volitelný index pro tyto operátory: 0 pro formulář pro spojení, nebo 3 nebo vyšší pro kolik stran mají postižené tváře. Například, k₄Y₄= O: Vezmeme-li čtvercovou pyramidu a přilepíme další pyramidu ke čtvercové základně, dostaneme osmistěn.

Operátor	k	l	L	K.	(kk)
X
X₀	k₀ = j	l₀ = C	L₀	K.₀ = jk	${displaystyle (kk) _ {0}}$
Augmentace	Pyramida	Hranol	Antiprism

Zkrácený operátor t má také indexovou formu t_n, což znamená, že jsou zkráceny pouze vrcholy určitého stupně. Je to ekvivalent k dk_nd.

Některé z rozšířených operátorů lze vytvořit ve zvláštních případech pomocí k_n a t_n operátory. Například a zkosená kostka, cC, lze zkonstruovat jako t₄daC, jako kosočtverečný dvanáctistěn, daC nebo jC, s jeho vrcholy stupně 4 zkráceny. Lofted kostka, lC je stejné jako t₄kC. Quinto-dodecahedron, qD lze zkonstruovat jako t₅daaD nebo t₅deD nebo t₅oD, a deltoidní hexekontahedron, deD nebo oD, s jeho vrcholy stupně 5 zkráceny.

Meta / zkosení

Meta přidává vrcholy do středu a podél okrajů, zatímco zkosení přidává plochy do středu, osevní vrcholy a podél okrajů. Index je počet vrcholů nebo ploch přidaných podél okrajů. Meta (ve své neindexované formě) se také nazývá cantitruncation nebo omnitruncation. Všimněte si, že 0 zde neznamená to samé jako u operací augmentace: znamená to, že podél okrajů jsou přidány nulové vrcholy (nebo plochy).^[4]

Operátoři meta / zkosení
n	Edge factor	Matice ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$	X	xD	dx	dxd
0	3	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$	k = m₀	n	z = b₀	t
1	6	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 6 & 0 0 & 4 & 0end {bmatrix}}}$	m = m₁ = kj		b = b₁ = ta
2	9	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 9 & 0 0 & 6 & 0end {bmatrix}}}$	m₂	m₂d	b₂	b₂d
3	12	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 3 & 1 0 & 12 & 0 0 & 8 & 0end {bmatrix}}}$	m₃	m₃d	b₃	b₃d
n	3n+3	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & n & 1 0 & 3n + 3 & 0 0 & 2n + 2 & 0end {bmatrix}}}$	m_n	m_nd	b_n	b_nd

Mediální

Medial je jako meta, až na to, že nepřidává hrany od středu ke každému vrcholu semene. Formulář indexu 1 je totožný s operátory orto a expand Conway: expand se také nazývá cantellation a expanze. Všimněte si, že Ó a E mají své vlastní indexované formy, popsané níže. Všimněte si také, že některé implementace začínají indexovat na 0 místo na 1.^[4]

Mediální operátoři
n	Okraj faktor	Matice ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$	X	xD	dx	dxd
1	4	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 4 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$	M₁ = Ó = jj		E = aa
2	7	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 7 & 0 0 & 4 & 0end {bmatrix}}}$	Mediální: M = M₂	Md	dM	dMd
n	3n+1	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & n & 1 0 & 3n + 1 & 0 0 & 2n & 0end {bmatrix}}}$	M_n	M_nd	dM_n	dM_nd

Goldberg-Coxeter

Provozovatelé Goldberg-Coxeter (GC) Conway jsou dvě nekonečné rodiny operátorů, které jsou rozšířením Konstrukce Goldberg-Coxeter.^[16]^[17] Konstrukci GC lze považovat za převzetí trojúhelníkové části trojúhelníkové mřížky nebo čtvercové části čtvercové mřížky a položení na každou stranu mnohostěnu. Tuto konstrukci lze rozšířit na jakoukoli plochu identifikací komor trojúhelníku nebo čtverce („hlavní polygon“).^[7] Operátory v trojúhelníkové rodině lze použít k výrobě Goldbergova mnohostěna a geodetické mnohostěny: viz Seznam geodetických mnohostěnů a Goldbergových mnohostěnů pro vzorce.

Tyto dvě rodiny jsou trojúhelníková rodina GC, C_{a, b} a u_{a, b}a čtyřúhelníková rodina GC, E_{a, b} a Ó_{a, b}. Obě rodiny GC jsou indexovány dvěma celými čísly ${displaystyle ageq 1}$ a ${displaystyle bgeq 0}$ . Mají mnoho pěkných vlastností:

Indexy rodin mají vztah k určitým Euklidovské domény přes komplexní čísla: Eisensteinova celá čísla pro trojúhelníkovou rodinu GC a Gaussova celá čísla pro čtyřstrannou rodinu GC.
Provozovatelé v X a dxd sloupce ve stejné rodině dojíždějí navzájem.

Operátory jsou rozděleny do tří tříd (příklady jsou psány v termínech C ale platí pro všechny 4 operátory):

Třída I: ${displaystyle b = 0}$ . Achiral, zachovává původní hrany. Lze psát s potlačeným nulovým indexem, např. C_A,0 = C_A.
Třída II: ${displaystyle a = b}$ . Také achirál. Lze rozložit jako C_{a, a} = C_AC_1,1
Třída III: Všichni ostatní operátoři. Jedná se o chirální a C_{a, b} a C_{b, a} jsou chirální páry navzájem.

Z původních operací Conway jsou jediné, které nespadají do rodiny GC G a s (gyroskop a snub). Meta a zkosení (m a b) lze vyjádřit pomocí jednoho operátoru z trojúhelníkové rodiny a jednoho z čtyřúhelníkové rodiny.

Trojúhelníkový

Trojúhelníkový operátor Goldberg-Coxeter
A	b	Třída	Edge factor T = a² + ab + b²	Matice ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$	Hlavní trojúhelník	X	xD	dx	dxd
1	0	Já	1	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$		u₁ = S	d		C₁ = S
2	0	Já	4	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 4 & 0 0 & 2 & 1end {bmatrix}}}$		u₂ = u	DC	du	C₂ = C
3	0	Já	9	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 9 & 0 0 & 6 & 0end {bmatrix}}}$		u₃ = nn	nk	zt	C₃ = zz
4	0	Já	16	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 5 & 0 0 & 16 & 0 0 & 10 & 1end {bmatrix}}}$		u₄ = U u	uud = dcc	duu = ccd	C₄ = cc
5	0	Já	25	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 8 & 0 0 & 25 & 0 0 & 16 & 1end {bmatrix}}}$		u₅	u₅d = DC₅	du₅ = C₅d	C₅
6	0	Já	36	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 11 & 1 0 & 36 & 0 0 & 24 & 0end {bmatrix}}}$		u₆ = unn	unk	czt	u₆ = czz
7	0	Já	49	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 16 & 0 0 & 49 & 0 0 & 32 & 1end {bmatrix}}}$		u₇ = u_2,1u_1,2 = vrv	vrvd = dwrw	dvrv = wrdd	C₇ = C_2,1C_1,2 = wrw
8	0	Já	64	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 21 & 0 0 & 64 & 0 0 & 42 & 1end {bmatrix}}}$		u₈ = u³	u³d = DC³	du³ = C³d	C₈ = C³
9	0	Já	81	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 26 & 1 0 & 81 & 0 0 & 54 & 0end {bmatrix}}}$		u₉ = n⁴	n³k = kz³	tn³ = z³t	C₉ = z⁴
1	1	II	3	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 3 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$		u_1,1 = n	k	t	C_1,1 = z
2	1	III	7	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 7 & 0 0 & 4 & 1end {bmatrix}}}$		proti = u_2,1	vd = dw	dv = wd	w = C_2,1
3	1	III	13	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 4 & 0 0 & 13 & 0 0 & 8 & 1end {bmatrix}}}$		u_3,1	u_3,1d = DC_3,1	du_3,1 = C_3,1d	C_3,1
3	2	III	19	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 6 & 0 0 & 19 & 0 0 & 12 & 1end {bmatrix}}}$		u_3,2	u_3,2d = DC_3,2	du_3,2 = C_3,2d	C_3,2
4	3	III	37	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 12 & 0 0 & 37 & 0 0 & 24 & 1end {bmatrix}}}$		u_4,3	u_4,3d = DC_4,3	du_4,3 = C_4,3d	C_4,3
5	4	III	61	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 20 & 0 0 & 61 & 0 0 & 40 & 1end {bmatrix}}}$		u_5,4	u_5,4d = DC_5,4	du_5,4 = C_5,4d	C_5,4
6	5	III	91	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 30 & 0 0 & 91 & 0 0 & 60 & 1end {bmatrix}}}$		u_6,5 = u_1,2u_1,3	u_6,5d = DC_6,5	du_6,5 = C_6,5d	C_6,5=C_1,2C_1,3
7	6	III	127	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 42 & 0 0 & 127 & 0 0 & 84 & 1end {bmatrix}}}$		u_7,6	u_7,6d = DC_7,6	du_7,6 = C_7,6d	C_7,6
8	7	III	169	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 56 & 0 0 & 169 & 0 0 & 112 & 1end {bmatrix}}}$		u_8,7 = u_3,1²	u_8,7d = DC_8,7	du_8,7 = C_8,7d	C_8,7 = C_3,1²
9	8	III	217	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 72 & 0 0 & 217 & 0 0 & 144 & 1end {bmatrix}}}$		u_9,8 = u_2,1u_5,1	u_9,8d = DC_9,8	du_9,8 = C_9,8d	C_9,8 = C_2,1C_5,1
${displaystyle aequiv b}$ ${displaystyle (mathrm {mod} 3)}$		I, II nebo III	${displaystyle Tequiv 0}$ ${displaystyle (mathrm {mod} 3)}$	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & {frac {T} {3}} - 1 & 1 0 & T & 0 0 & {frac {2} {3}} T & 0end {bmatrix}}}$	...	u_{a, b}	u_{a, b}d = DC_{a, b}	du_{a, b} = C_{a, b}d	C_{a, b}
${displaystyle aot equiv b}$ ${displaystyle (mathrm {mod} 3)}$		I nebo III	${displaystyle Tequiv 1}$ ${displaystyle (mathrm {mod} 3)}$	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & {frac {T-1} {3}} & 0 0 & T & 0 0 & 2 {frac {T-1} {3}} & 1end {bmatrix}}}$	...	u_{a, b}	u_{a, b}d = DC_{a, b}	du_{a, b} = C_{a, b}d	C_{a, b}

Základní teorií čísel, pro jakékoli hodnoty A a b, ${displaystyle Tot equiv 2 (mathrm {mod} 3)}$ .

Čtyřúhelník

Operátoři čtyřúhelníku Goldberg-Coxeter
A	b	Třída	Edge factor T = a² + b²	Matice ${displaystyle mathbf {M} _ {x}}$	Mistr náměstí	X	xD	dx	dxd
1	0	Já	1	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$		Ó₁ = S	E₁ = d		Ó₁ = dd = S
2	0	Já	4	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 4 & 0 0 & 2 & 0end {bmatrix}}}$		Ó₂ = Ó = j²		E₂ = E = A²
3	0	Já	9	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 4 & 0 0 & 9 & 0 0 & 4 & 1end {bmatrix}}}$		Ó₃	E₃		Ó₃
4	0	Já	16	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 7 & 1 0 & 16 & 0 0 & 8 & 0end {bmatrix}}}$		Ó₄ = oo = j⁴		E₄ = ee = A⁴
5	0	Já	25	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 12 & 0 0 & 25 & 0 0 & 12 & 1end {bmatrix}}}$		Ó₅ = Ó_2,1Ó_1,2 = prp	E₅ = E_2,1E_1,2		Ó₅= dprpd
6	0	Já	36	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 17 & 1 0 & 36 & 0 0 & 18 & 0end {bmatrix}}}$		Ó₆ = Ó₂Ó₃		E₆ = E₂E₃
7	0	Já	49	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 24 & 0 0 & 49 & 0 0 & 24 & 1end {bmatrix}}}$		Ó₇	E₇		Ó₇
8	0	Já	64	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 31 & 1 0 & 64 & 0 0 & 32 & 0end {bmatrix}}}$		Ó₈ = Ó³ = j⁶		E₈ = E³ = A⁶
9	0	Já	81	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 40 & 0 0 & 81 & 0 0 & 40 & 1end {bmatrix}}}$		Ó₉ = Ó₃²	E₉ = E₃²		Ó₉
10	0	Já	100	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 49 & 1 0 & 100 & 0 0 & 50 & 0end {bmatrix}}}$		Ó₁₀ = oo_2,1Ó_1,2		E₁₀ = ee_2,1E_1,2
1	1	II	2	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0end {bmatrix}}}$		Ó_1,1 = j		E_1,1 = A
2	2	II	8	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 3 & 1 0 & 8 & 0 0 & 4 & 0end {bmatrix}}}$		Ó_2,2 = j³		E_2,2 = A³
1	2	III	5	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 & 0 0 & 5 & 0 0 & 2 & 1end {bmatrix}}}$		Ó_1,2 = p	E_1,2 = dp = pd		p
${displaystyle aequiv b}$ ${displaystyle (mathrm {mod} 2)}$		I, II nebo III	T dokonce	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & {frac {T} {2}} - 1 & 1 0 & T & 0 0 & {frac {T} {2}} & 0end {bmatrix}}}$	...	Ó_{a, b}		E_{a, b}
${displaystyle aot equiv b}$ ${displaystyle (mathrm {mod} 2)}$		I nebo III	T zvláštní	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & {frac {T-1} {2}} & 0 0 & T & 0 0 & {frac {T-1} {2}} & 1end {bmatrix}}}$	...	Ó_{a, b}	E_{a, b}		Ó_{a, b}

Příklady

Viz také Seznam geodetických mnohostěnů a Goldbergových mnohostěnů.

Archimédské a katalánské pevné látky

Conwayova původní sada operátorů může vytvořit všechny Archimédovy pevné látky a Katalánština pevné látky, za použití Platonické pevné látky jako semena. (Všimněte si, že r operátor není nutný k vytvoření obou chirálních forem.)

Archimedean
Zkrácený čtyřstěn
tT
Cuboctahedron
aC = aaT
Zkrácená kostka
tC
Zkrácený osmistěn
tO = bT
Rhombicuboctahedron
eC = a³T
zkrácený cuboctahedron
před naším letopočtem
urážka kostka
SC
icosidodecahedron
inzerát
zkrácený dvanáctistěn
tD
zkrácený dvacetistěn
tI
rhombicosidodecahedron
eD
zkrácený icosidodecahedron
bD
urážet dvanáctistěn
sD & sI

Složené operátory

The zkrácený dvacetistěn, ti = zD, lze použít jako semínko k vytvoření více vizuálně příjemnějších mnohostěnů, i když nejsou ani jedno, ani druhé vrchol ani tvář-tranzitivní.

ti = zD
atI
ttI
ztI
etI
btI
STI

Duální
nI = kD
jtI
ntI
ktI
otI
mtI
gtI

Ostatní povrchy

V letadle

Každý z konvexní rovnoměrné obklady lze vytvořit použitím operátorů Conway na pravidelné obklady Q, H a Δ.

Obklady trojúhelníků
Δ = dH
Obklady kosočtverce
jΔ = jH
Triakis trojúhelníkové obklady
kΔ
Deltoidní trihexagonální obklady
oΔ = oH
Kisrhombille obklady
mA = mH
Floretové pětiúhelníkové obklady
gΔ = gH

Na torusu

Lze také použít operátory Conway toroidní mnohostěn a mnohostěn s více otvory.

Pravidelný čtvercový torus 1 × 1, {4,4}_1,0
Pravidelný čtverec 4 x 4, {4,4}_4,0
tQ24 × 12 promítnutý na torus
taQ24 × 12 promítnutý na torus
actQ24 × 8 promítnuto na torus
tH24 × 12 promítnutý na torus
taH24 × 8 promítnutý na torus
kH24 × 12 promítnutý na torus

Viz také

Reference

^ John Horton Conway; Heidi Burgiel; Chaim Goodman-Strass (2008). „Kapitola 21: Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů“. Symetrie věcí. ISBN 978-1-56881-220-5.
^ Weisstein, Eric W. „Conway Polyhedron Notation“. MathWorld.
^ ^A ^b George W. Hart (1998). „Conwayova notace pro mnohostěn“. Virtuální mnohostěn.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Adrian Rossiter. "conway - transformace notace Conway". Antiprism Polyhedron Modeling Software.
^ Anselm Levskaya. „polyHédronisme“.
^ ^A ^b Hart, George (1998). „Conwayova notace pro mnohostěn“. Virtuální mnohostěn. (Viz čtvrtý řádek v tabulce „a = ambo“.)
^ ^A ^b ^C Brinkmann, G .; Goetschalckx, P .; Schein, S. (2017). „Goldberg, Fuller, Caspar, Klug a Coxeter a obecný přístup k místním operacím zachovávajícím symetrii“. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 473 (2206): 20170267. arXiv:1705.02848. Bibcode:2017RSPSA.47370267B. doi:10.1098 / rspa.2017.0267. S2CID 119171258.
^ ^A ^b Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (12.04.2020). "Generování místních operací zachování symetrie". arXiv:1908.11622 [math.CO ].
^ Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (11.04.2020). „Operace na mnohostěn zachování symetrie zachování místní orientace“. arXiv:2004.05501 [math.CO ].
^ Weisstein, Eric W. „Oprava“. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Kumulace“. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Zkrácení“. MathWorld.
^ „Antiprism - Chirality issue in conway“.
^ Livio Zefiro (2008). „Generace dvacetistěnu průnikem pěti čtyřstěnů: geometrické a krystalografické rysy mezilehlé mnohostěny“. Vismath.
^ George W. Hart (srpen 2000). Sochařství založené na Propellarized Polyhedra. Sborník MOSAIC 2000. Seattle, WA. 61–70.
^ Deza, M.; Dutour, M (2004). „Konstrukce Goldberg – Coxeter pro 3 a 4 valentní rovinné grafy“. Electronic Journal of Combinatorics. 11: # R20. doi:10.37236/1773.
^ Deza, M.-M .; Sikirić, M. D .; Shtogrin, M. I. (2015). „Konstrukce a parametrizace Goldberg – Coxeteru“. Geometrická struktura grafů relevantních z chemického hlediska: cikcaky a centrální obvody. Springer. str. 131–148. ISBN 9788132224495.

externí odkazy

polyHédronisme: generuje mnohostěn na plátně HTML5, přičemž jako vstup používá notaci Conway

[SoT-1] John Horton Conway; Heidi Burgiel; Chaim Goodman-Strass (2008). „Kapitola 21: Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů“. Symetrie věcí. ISBN 978-1-56881-220-5.

[2] Weisstein, Eric W. „Conway Polyhedron Notation“. MathWorld.

[Hart-3] A ^b George W. Hart (1998). „Conwayova notace pro mnohostěn“. Virtuální mnohostěn.

[Antiprism-4] A ^b ^C ^d ^E Adrian Rossiter. "conway - transformace notace Conway". Antiprism Polyhedron Modeling Software.

[Levskaya-5] Anselm Levskaya. „polyHédronisme“.

[hart-6] A ^b Hart, George (1998). „Conwayova notace pro mnohostěn“. Virtuální mnohostěn. (Viz čtvrtý řádek v tabulce „a = ambo“.)

[Brinkmann-7] A ^b ^C Brinkmann, G .; Goetschalckx, P .; Schein, S. (2017). „Goldberg, Fuller, Caspar, Klug a Coxeter a obecný přístup k místním operacím zachovávajícím symetrii“. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 473 (2206): 20170267. arXiv:1705.02848. Bibcode:2017RSPSA.47370267B. doi:10.1098 / rspa.2017.0267. S2CID 119171258.

[lsp-8] A ^b Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (12.04.2020). "Generování místních operací zachování symetrie". arXiv:1908.11622 [math.CO ].

[lopsp-9] Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (11.04.2020). „Operace na mnohostěn zachování symetrie zachování místní orientace“. arXiv:2004.05501 [math.CO ].

[10] Weisstein, Eric W. „Oprava“. MathWorld.

[11] Weisstein, Eric W. „Kumulace“. MathWorld.

[12] Weisstein, Eric W. „Zkrácení“. MathWorld.

[13] „Antiprism - Chirality issue in conway“.

[14] Livio Zefiro (2008). „Generace dvacetistěnu průnikem pěti čtyřstěnů: geometrické a krystalografické rysy mezilehlé mnohostěny“. Vismath.

[Hart2000-15] George W. Hart (srpen 2000). Sochařství založené na Propellarized Polyhedra. Sborník MOSAIC 2000. Seattle, WA. 61–70.

[Deza2004-16] Deza, M.; Dutour, M (2004). „Konstrukce Goldberg – Coxeter pro 3 a 4 valentní rovinné grafy“. Electronic Journal of Combinatorics. 11: # R20. doi:10.37236/1773.

[Deza2015-17] Deza, M.-M .; Sikirić, M. D .; Shtogrin, M. I. (2015). „Konstrukce a parametrizace Goldberg – Coxeteru“. Geometrická struktura grafů relevantních z chemického hlediska: cikcaky a centrální obvody. Springer. str. 131–148. ISBN 9788132224495.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]