Glosář počtu - Glossary of calculus

Většina termínů uvedených ve slovnících Wikipedie je již definována a vysvětlena v samotné Wikipedii. Glosáře, jako je tento, jsou však užitečné pro vyhledávání, porovnávání a revizi velkého počtu výrazů dohromady. Tuto stránku můžete vylepšit přidáním nových výrazů nebo napsáním definic pro stávající.

Tento glosář počtu je seznam definic o počet, jeho subdisciplíny a související obory.

A

Ábelova zkouška

Metoda testování pro konvergence z nekonečná řada.

Absolutní konvergence

An nekonečná řada čísel se říká absolutně konvergovat (nebo být absolutně konvergentní) pokud je součet absolutní hodnoty sčítání je konečné. Přesněji řečeno, skutečná nebo složitá série ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n}}$ říká se absolutně konvergovat -li ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} vlevo | a_ {n} vpravo | = L}$ pro nějaké skutečné číslo ${ displaystyle textstyle L}$. Podobně an nesprávný integrál a funkce, ${ displaystyle textstyle int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx}$, říká se, že konverguje absolutně, pokud je integrál absolutní hodnoty integrandu konečný - tedy pokud ${ displaystyle textstyle int _ {0} ^ { infty} vlevo | f (x) vpravo | dx = L.}$

Absolutní maximum

Nejvyšší hodnota, které funkce dosáhne.

Absolutní minimum

Nejnižší hodnota, které funkce dosáhne.

Absolutní hodnota

The absolutní hodnota nebo modul |X| a reálné číslo  X je nezáporné hodnotaX bez ohledu na jeho podepsat. A to, |X| = X pro pozitivní  X, |X| = −X pro negativní  X (v jakém případě −X je pozitivní) a |0| = 0. Například absolutní hodnota 3 je 3 a absolutní hodnota -3 je také 3. Absolutní hodnotu čísla lze považovat za jeho vzdálenost od nuly.

Střídavá řada

An nekonečná řada jejichž termíny se střídají mezi kladnými a zápornými.

Test střídavé řady

Je metoda použita k prokázání, že střídavé řady s podmínkami, které snižují absolutní hodnotu, je a konvergentní série. Test použil Gottfried Leibniz a je někdy známá jako Leibnizův test, Leibnizovo pravidlo, nebo Leibnizovo kritérium.

Mezikruží

Objekt ve tvaru prstence, oblast ohraničená dvěma soustředné kruhy.

Antiderivativní

An primitivní, primitivní funkce, primitivní integrál nebo neurčitý integrál^{[Poznámka 1]} a funkce F je diferencovatelná funkce F jehož derivát se rovná původní funkci F. To lze označit symbolicky jako ${ displaystyle F '= f}$.^[1][2] Proces řešení pro primitivní léky se nazývá antidiferenciace (nebo neurčitá integrace) a jeho opačná operace se nazývá diferenciace, což je proces hledání derivace.

Arcsin

Plocha pod křivkou

Asymptota

v analytická geometrie, an asymptota a křivka je přímka taková, že vzdálenost mezi křivkou a přímkou ​​se blíží k nule jako jedna nebo obě X nebo y souřadnice inklinuje k nekonečnu. Některé zdroje zahrnují požadavek, aby křivka nepřekračovala hranici nekonečně často, ale to je u moderních autorů neobvyklé.^[3] v projektivní geometrie a související kontexty, asymptota křivky je čára, která je tečna na křivku v a bod v nekonečnu.^[4][5]

Automatická diferenciace

v matematika a počítačová algebra, automatické rozlišení (INZERÁT), také zvaný algoritmická diferenciace nebo výpočetní diferenciace,^[6][7] je sada technik k numerickému vyhodnocení derivát funkce určené počítačovým programem. AD využívá skutečnosti, že každý počítačový program, bez ohledu na to, jak komplikovaný, provádí posloupnost základních aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení atd.) A základních funkcí (exp, log, sin, cos atd.). Použitím řetězové pravidlo opakovaně k těmto operacím lze deriváty libovolného řádu počítat automaticky, přesně na pracovní přesnost a s použitím maximálně malého konstantního faktoru více aritmetických operací než původní program.

Průměrná rychlost změny

B

Binomický koeficient

Kterýkoli z pozitivních celá čísla který se vyskytuje jako součinitel v binomická věta je binomický koeficient. Obvykle je binomický koeficient indexován dvojicí celých čísel n ≥ k ≥ 0 a je napsán ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}.}$ To je součinitel z X^k termín v polynomiální expanze z binomický Napájení (1 + X)ⁿ, a je to dáno vzorcem

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {n!} {k! (n-k)!}}.}$

C

Počet

(Z latinský počet, doslova „malý oblázek“, používaný pro počítání a výpočty, jako na počitadlo )^[8] je matematický studium neustálých změn, stejným způsobem geometrie je studium tvaru a algebra je studie zobecnění aritmetické operace.

Cavalieriho princip

Cavalieriho princip, moderní implementace metoda nedělitelných, pojmenoval podle Bonaventura Cavalieri, je následující:^[9]

• 2-rozměrný případ: Předpokládejme, že dvě oblasti v rovině jsou zahrnuty mezi dvěma rovnoběžnými čarami v této rovině. Pokud každá čára rovnoběžná s těmito dvěma čarami protíná obě oblasti v úsečkách stejné délky, pak mají obě oblasti stejné oblasti.
• 3-rozměrný případ: Předpokládejme, že dvě oblasti v tříprostoru (pevné látky) jsou zahrnuty mezi dvěma rovnoběžnými rovinami. Pokud každá rovina rovnoběžná s těmito dvěma rovinami protíná obě oblasti v průřezy stejné oblasti, pak mají oba regiony stejné objemy.

Řetězové pravidlo

The řetězové pravidlo je vzorec pro výpočet derivát z složení ze dvou nebo více funkce. To je, pokud F a G jsou funkce, pak řetězové pravidlo vyjadřuje derivaci jejich složení F ∘ G (funkce, která mapuje X na F(G(X))), pokud jde o deriváty F a G a produkt funkcí jak následuje:

${ displaystyle (f circ g) '= (f' circ g) cdot g '.}$

To lze ekvivalentně vyjádřit pomocí proměnné. Nechat F = F ∘ Gnebo ekvivalentně F(X) = F(G(X)) pro všechny X. Pak lze také psát

${ displaystyle F '(x) = f' (g (x)) g '(x).}$

Pravidlo řetězu může být zapsáno Leibnizova notace následujícím způsobem. Pokud proměnná z záleží na proměnné y, což samo o sobě závisí na proměnné X, aby y a z jsou tedy závislé proměnné, pak zprostřednictvím prostřední proměnné y, záleží na X také. Pravidlo řetězu pak říká,

${ displaystyle { frac {dz} {dx}} = { frac {dz} {dy}} cdot { frac {dy} {dx}}.}$

Obě verze pravidla řetězu spolu souvisejí; -li ${ displaystyle z = f (y)}$ a ${ displaystyle y = g (x)}$, pak

${ displaystyle { frac {dz} {dx}} = { frac {dz} {dy}} cdot { frac {dy} {dx}} = f '(y) g' (x) = f ' (g (x)) g '(x).}$

v integrace, protějšek pravidla řetězu je substituční pravidlo.

Změna proměnných

Je základní technikou používanou ke zjednodušení problémů, ve kterých originál proměnné jsou nahrazeny funkce dalších proměnných. Záměrem je, aby při vyjádření v nových proměnných mohl být problém jednodušší nebo ekvivalentní lépe pochopenému problému.

Spolupráce

A funkce F je spolupráce funkce G -li F(A) = G(B) kdykoli A a B jsou doplňkové úhly.^[10] Tato definice se obvykle vztahuje na trigonometrické funkce.^[11][12] Předponu „co-“ najdete již v Edmund Gunter je Canon triangulorum (1620).^[13][14]

Konkávní funkce

Je negativní a konvexní funkce. Konkávní funkce je také synonymně volala konkávní směrem dolů, konkávní dolů, konvexní nahoru, konvexní víčko nebo horní konvexní.

Konstanta integrace

The neurčitý integrál dané funkce (tj soubor ze všech antiderivativa funkce) na a připojená doména je pouze definováno až do aditivní konstanta, konstanta integrace.^[15][16] Tato konstanta vyjadřuje nejednoznačnost vlastní konstrukci primitivů. Pokud je funkce ${ displaystyle f (x)}$ je definován na interval a ${ displaystyle F (x)}$ je primitivní funkcí ${ displaystyle f (x)}$, pak soubor Všechno antiderivativa z ${ displaystyle f (x)}$ je dána funkcemi ${ displaystyle F (x) + C}$, kde C je libovolná konstanta (to znamená žádný hodnota pro C dělá ${ displaystyle F (x) + C}$ platné antidotativní). Konstanta integrace je někdy vynechána seznamy integrálů pro jednoduchost.

Kontinuální funkce

Je funkce u nichž dostatečně malé změny na vstupu vedou k libovolně malým změnám na výstupu. Jinak se o funkci říká, že je diskontinuální funkce. Kontinuální funkce s kontinuální inverzní funkce se nazývá a homeomorfismus.

Neustále diferencovatelné

Funkce F se říká, že je průběžně diferencovatelné pokud je derivát F′(X) existuje a je sám o sobě spojitou funkcí.

Integrace kontury

V matematické oblasti komplexní analýza, integrace kontury je metoda hodnocení jistá integrály podél cest v komplexní rovině.^[17][18][19]

Konvergenční testy

Jsou metody testování pro konvergence, podmíněná konvergence, absolutní konvergence, interval konvergence nebo divergence nekonečná řada ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$.

Konvergentní série

v matematika, a série je součet podmínek nekonečná posloupnost čísel. Vzhledem k nekonečné posloupnosti ${ displaystyle left (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots right)}$, nth částečný součet ${ displaystyle S_ {n}}$ je součet prvního n z hlediska posloupnosti, tj.

${ displaystyle S_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Série je konvergentní pokud posloupnost jeho dílčích součtů ${ displaystyle left {S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, dots right }}$ inklinuje k omezit; to znamená, že částečné součty se přiblíží a přiblíží danému číslu, když se zvýší počet jejich členů. Přesněji řečeno, řada konverguje, pokud existuje číslo ${ displaystyle ell}$ takové, že pro libovolně malé kladné číslo ${ displaystyle varepsilon}$, existuje (dostatečně velký) celé číslo ${ displaystyle N}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n geq N}$,

${ displaystyle left | S_ {n} - ell right vert leq varepsilon.}$

Pokud je řada konvergentní, číslo ${ displaystyle ell}$ (nutně jedinečný) se nazývá součet sérieO jakékoli sérii, která není konvergentní, se říká, že je odlišný.

Konvexní funkce

v matematika, a funkce se skutečnou hodnotou definované na n-rozměrný interval je nazýván konvexní (nebo konvexní směrem dolů nebo konkávní nahoru) pokud úsečka mezi libovolnými dvěma body na graf funkce leží nad nebo na grafu, v a Euklidovský prostor (nebo obecněji vektorový prostor ) nejméně dvou rozměrů. Ekvivalentně je funkce konvexní, pokud je epigraf (množina bodů na grafu funkce nebo nad ní) je a konvexní sada. Pro dvakrát diferencovatelnou funkci jedné proměnné, pokud je druhá derivace vždy větší nebo rovna nule pro celou její doménu, je funkce konvexní.^[20] Známé příklady konvexních funkcí zahrnují kvadratická funkce ${ displaystyle x ^ {2}}$ a exponenciální funkce ${ displaystyle e ^ {x}}$.

Cramerovo pravidlo

v lineární algebra, Cramerovo pravidlo je explicitní vzorec pro řešení a soustava lineárních rovnic s tolika rovnicemi, kolik neznámých, platí vždy, když má systém jedinečné řešení. Vyjadřuje řešení z hlediska determinanty (čtvercového) koeficientu matice a matic získaných z něj nahrazením jednoho sloupce vektorem sloupce na pravé straně rovnic. Je pojmenován po Gabriel Cramer (1704–1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých,^[21][22] Ačkoli Colin Maclaurin také zveřejnil zvláštní případy pravidla v roce 1748^[23] (a možná o tom věděl již v roce 1729).^[24][25][26]

Kritický bod

A kritický bod nebo stacionární bod a diferencovatelná funkce a nemovitý nebo komplexní proměnná je libovolná jeho hodnota doména kde je derivát je 0.^[27][28]

Křivka

A křivka (také nazývaný a zakřivená čára ve starších textech) je obecně řečeno objekt podobný a čára ale to nemusí být rovný.

Kreslení křivek

v geometrie, skicování křivky (nebo sledování křivky) zahrnuje techniky, které lze použít k vytvoření přibližné představy o celkovém tvaru a rovinná křivka vzhledem k jeho rovnici bez výpočtu velkého počtu bodů potřebných pro detailní graf. Jedná se o aplikaci teorie křivek k nalezení jejich hlavních rysů. Zde je vstup rovnice. v digitální geometrie je to metoda kreslení křivky pixel po pixelu. Zde je vstup pole (digitální obrázek).

D

Tlumená sinusová vlna

Je sinusová funkce jehož amplituda se s přibývajícím časem blíží nule.^[29]

Stupeň polynomu

Je jeho nejvyšší stupeň monomials (jednotlivé termíny) s nenulovými koeficienty. The stupeň semestru je součet exponentů proměnné které se v něm objevují, a tedy je nezáporné celé číslo.

Derivát

The derivát a funkce reálné proměnné měří citlivost na změnu hodnoty funkce (výstupní hodnota) s ohledem na změnu jejího argumentu (vstupní hodnota). Deriváty jsou základním nástrojem počet. Například derivace polohy pohybujícího se objektu vzhledem k čas je objekt rychlost: měří, jak rychle se mění poloha objektu, jak čas postupuje.

Derivační test

A derivační test používá deriváty funkce k vyhledání kritické body funkce a určit, zda je každý bod a místní maximum, a místní minimum nebo sedlový bod. Derivační testy mohou také poskytnout informace o konkávnost funkce.

Diferencovatelná funkce

A diferencovatelná funkce jednoho nemovitý proměnná je funkce, jejíž derivát existuje v každém bodě doména. V důsledku toho graf rozlišitelné funkce musí mít (non-vertikální ) tečna v každém bodě své domény musí být relativně hladký a nesmí obsahovat žádné zlomy, ohyby nebo vrcholy.

Diferenciální (nekonečně malý)

Termín rozdíl se používá v počet odkazovat se na infinitezimální (nekonečně malá) změna u některých různé množství. Například pokud X je proměnná, pak změna hodnoty X se často označuje ΔX (výrazný delta X). Diferenciál dx představuje nekonečně malou změnu proměnné X. Myšlenka nekonečně malé nebo nekonečně pomalé změny je nesmírně užitečná intuitivně a existuje celá řada způsobů, jak tuto představu matematicky zpřesnit. deriváty. Li y je funkce X, pak diferenciál dy z y je spojen s dx podle vzorce

${ displaystyle dy = { frac {dy} {dx}} , dx,}$

kde dy/dx označuje derivát z y s ohledem na X. Tento vzorec shrnuje intuitivní myšlenku, ze které je odvozen y s ohledem na X je limit poměru rozdílů Δy/ ΔX jako ΔX se stává nekonečně malým.

Diferenciální počet

Je podpole počtu^[30] zabývající se studiem sazeb, při kterých se mění množství. Je to jedna ze dvou tradičních rozdělení počtu, druhá bytost integrální počet, studium oblasti pod křivkou.^[31]

Diferenciální rovnice

Je matematický rovnice to souvisí s některými funkce s jeho deriváty. V aplikacích funkce obvykle představují fyzikální veličiny, derivace představují jejich rychlost změny a rovnice definuje vztah mezi nimi.

Diferenciální operátor

.

Diferenciál funkce

v počet, rozdíl představuje hlavní část změny funkce y = F(X) s ohledem na změny nezávislé proměnné. Diferenciál dy je definováno

${ displaystyle dy = f '(x) , dx,}$

kde ${ displaystyle f '(x)}$ je derivát z F s ohledem na X, a dx je další skutečný proměnná (aby dy je funkce X a dx). Zápis je takový, že rovnice

${ displaystyle dy = { frac {dy} {dx}} , dx}$

drží, kde je derivát zastoupen v Leibnizova notace dy/dx, a to je v souladu s považováním derivátu za kvocient diferenciálu. Jeden také píše

${ displaystyle df (x) = f '(x) , dx.}$

Přesný význam proměnných dy a dx závisí na kontextu aplikace a požadované úrovni matematické přísnosti. Doména těchto proměnných může nabývat zvláštního geometrického významu, pokud je rozdíl považován za konkrétní diferenciální forma, nebo analytický význam, pokud je rozdíl považován za a lineární aproximace k přírůstku funkce. Tradičně proměnné dx a dy jsou považovány za velmi malé (infinitezimální ) a tato interpretace je v dokumentu provedena důsledně nestandardní analýza.

Pravidla diferenciace

.

Test přímého srovnání

Test konvergence, ve kterém je nekonečná řada nebo nesprávný integrál srovnáván s testem se známými vlastnostmi konvergence.

Dirichletův test

Je metoda testování pro konvergence a série. Je pojmenována po svém autorovi Peter Gustav Lejeune Dirichlet, a byl posmrtně publikován v Journal de Mathématiques Pures et Appliquées v roce 1862.^[32] Test uvádí, že pokud ${ displaystyle {a_ {n} }}$ je sekvence z reálná čísla a ${ displaystyle {b_ {n} }}$ posloupnost komplexní čísla uspokojující

• ${ displaystyle a_ {n + 1} leq a_ {n}}$

• ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0}$

• ${ displaystyle left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} vpravo | leq M}$ pro každé kladné celé číslo N

kde M je nějaká konstanta, pak řada

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} b_ {n}}$

konverguje.

Integrace disku

Také známý v integrální počet jako disková metoda, je prostředek pro výpočet hlasitost a revoluční těleso materiálu v pevné fázi, když integrace podél osy "rovnoběžné" s osa revoluce.

Divergentní série

Je nekonečná řada to není konvergentní, což znamená, že nekonečný sekvence z částečné částky série nemá konečnou hodnotu omezit.

Diskontinuita

Kontinuální funkce jsou nanejvýš důležité v matematika, funkce a aplikace. Ne však všechny funkce jsou spojité. Pokud funkce není spojitá v určitém bodě doména, jeden říká, že má diskontinuita tam. Soubor všech bodů diskontinuity funkce může být a diskrétní sada, a hustá sada, nebo dokonce celá doména funkce.

Tečkovaný produkt

v matematika, Tečkovaný produkt nebo skalární součin^{[poznámka 1]} je algebraická operace který bere dvě sekvence čísel stejné délky (obvykle vektory souřadnic ) a vrátí jedno číslo. v Euklidovská geometrie, tečkovaný produkt Kartézské souřadnice ze dvou vektory je široce používán a často se nazývá „the“ vnitřní produkt (nebo zřídka projekční produkt) euklidovského prostoru, i když to není jediný vnitřní produkt, který lze v euklidovském prostoru definovat; viz také vnitřní produktový prostor.

Dvojitý integrál

The vícenásobný integrál je určitý integrál a funkce více než jednoho skutečného proměnná, například, F(X, y) nebo F(X, y, z). Integrály funkce dvou proměnných přes oblast v R² se nazývají dvojité integrály, a integrály funkce tří proměnných v oblasti R³ se nazývají trojité integrály.^[33]

E

e (matematická konstanta)

Číslo E je matematická konstanta to je základna přirozený logaritmus: jedinečné číslo, jehož přirozený logaritmus se rovná jedné. Je to přibližně rovno 2.71828,^[34] a je omezit z (1 + 1/n)ⁿ tak jako n přístupy nekonečno, výraz, který vzniká při studiu složený úrok. Lze jej také vypočítat jako součet nekonečna série^[35]

${ displaystyle e = displaystyle sum limity _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {1} {n!}} = { frac {1} {1}} + { frac {1 } {1}} + { frac {1} {1 cdot 2}} + { frac {1} {1 cdot 2 cdot 3}} + cdots}$

Pro základní diskontinuitu nemusí existovat nebo být nekonečné pouze jedno ze dvou jednostranných limitů.

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} sin { frac {5} {x-1}} & { mbox {for}} x <1 0 & { mbox {for}} x = 1 { frac {1} {x-1}} & { mbox {for}} x> 1 end {cases}}}$

Pak, bod ${ displaystyle scriptstyle x_ {0} ; = ; 1}$ je zásadní diskontinuita. V tomto případě, ${ displaystyle scriptstyle L ^ {-}}$ neexistuje a ${ displaystyle scriptstyle L ^ {+}}$ je nekonečný - tedy splňuje dvojnásobek podmínek základní diskontinuity. Tak X₀ je zásadní diskontinuita, nekonečná diskontinuitanebo diskontinuita druhého druhu. (Toto je odlišné od termínu zásadní singularita který se často používá při studiu funkce komplexních proměnných.

v matematika, an exponenciální funkce je funkce formuláře

${ displaystyle f (x) = ab ^ {x},}$

kde b je kladné reálné číslo, ve kterém je argument X se vyskytuje jako exponent. Pro reálná čísla C a d, funkce formuláře ${ displaystyle f (x) = ab ^ {cx + d}}$ je také exponenciální funkce, protože ji lze přepsat jako

${ displaystyle ab ^ {cx + d} = left (ab ^ {d} right) left (b ^ {c} right) ^ {x}.}$

F

Vzorec Faà di Bruno

Je identita v matematika zobecňující řetězové pravidlo na vyšší deriváty, pojmenované po Francesco Faà di Bruno  (1855, 1857 ), ačkoli nebyl první, kdo formuloval nebo prokázal. V roce 1800, více než 50 let před Faà di Bruno, francouzským matematikem Louis François Antoine Arbogast uvedl vzorec v učebnici počtu,^[40] považován za první zveřejněný odkaz na toto téma.^[41]Říká to snad nejznámější forma vzorce Faà di Bruno

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet { frac {n!} {m_ {1}! , 1! ^ {m_ {1} } , m_ {2}! , 2! ^ {m_ {2}} , cdots , m_ {n}! , n! ^ {m_ {n}}}} cdot f ^ {(m_ {1} + cdots + m_ {n})} (g (x)) cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left (g ^ {(j)} (x) right) ^ {m_ {j}},}$

kde je součet nade vše n-n-tice nezáporných celých čísel (m₁, …, m_n) splňující omezení

${ displaystyle 1 cdot m_ {1} +2 cdot m_ {2} +3 cdot m_ {3} + cdots + n cdot m_ {n} = n.}$

Někdy, abychom získali nezapomenutelný vzor, ​​je napsán takovým způsobem, že koeficienty, které mají níže popsanou kombinatorickou interpretaci, jsou méně explicitní:

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet { frac {n!} {m_ {1}! , m_ {2}! , cdots , m_ {n}!}} cdot f ^ {(m_ {1} + cdots + m_ {n})} (g (x)) cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac {g ^ {(j)} (x)} {j!}} right) ^ {m_ {j}}.}$

Kombinace výrazů se stejnou hodnotou m₁ + m₂ + ... + m_n = k a všiml si toho m _j musí být nula pro j > n − k + 1 vede k poněkud jednoduššímu vzorci vyjádřenému jako Polynomy zvonu B_n,k(X₁,...,X_n−k+1):

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) cdot B_ {n, k} left (g '(x), g' '(x), dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) right).}$

G

Obecné Leibnizovo pravidlo

The obecné Leibnizovo pravidlo,^[45] pojmenoval podle Gottfried Wilhelm Leibniz, zobecňuje produktové pravidlo (který je také známý jako „Leibnizovo pravidlo“). Uvádí se v něm, že pokud ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou ${ displaystyle n}$-krát diferencovatelné funkce, pak produkt ${ displaystyle fg}$ je také ${ displaystyle n}$- časově rozlišitelné a jeho ${ displaystyle n}$Tato derivace je dána vztahem

${ displaystyle (fg) ^ {(n)} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} f ^ {(n-k)} g ^ {(k)},}$

kde ${ displaystyle {n zvolte k} = {n! přes k! (n-k)!}}$ je binomický koeficient a ${ displaystyle f ^ {(0)} ekv. f.}$To lze prokázat pomocí pravidla produktu a matematická indukce.

Globální maximum

v matematická analýza, maxima a minima (příslušné množné číslo maximum a minimální) a funkce kolektivně známé jako extrémy (množné číslo extrémní), jsou největší a nejmenší hodnota funkce, buď v daném rozsahu ( místní nebo relativní extrémy) nebo celkově doména funkce (dále jen globální nebo absolutní extrémy).^[46][47][48] Pierre de Fermat byl jedním z prvních matematiků, kteří navrhli obecnou techniku, přiměřenost, pro hledání maxim a minim funkcí. Jak je definováno v teorie množin, maximální a minimální a soubor jsou největší a nejméně prvků v sadě, resp. Neomezené nekonečné množiny, například množina reálná čísla, nemají žádné minimum ani maximum.

Globální minimum

v matematická analýza, maxima a minima (příslušné množné číslo maximum a minimální) a funkce kolektivně známé jako extrémy (množné číslo extrémní), jsou největší a nejmenší hodnota funkce, buď v daném rozsahu ( místní nebo relativní extrémy) nebo celkově doména funkce (dále jen globální nebo absolutní extrémy).^[49][50][51] Pierre de Fermat byl jedním z prvních matematiků, kteří navrhli obecnou techniku, přiměřenost, pro hledání maxim a minim funkcí. Jak je definováno v teorie množin, maximální a minimální a soubor jsou největší a nejméně prvků v sadě, resp. Neomezené nekonečné množiny, například množina reálná čísla, nemají žádné minimum ani maximum.

Zlatá spirála

v geometrie, a zlatá spirála je logaritmická spirála jehož růstový faktor je φ, Zlatý řez.^[52] To znamená, že zlatá spirála se zvětší (nebo dále od svého původu) faktorem φ za každé čtvrté otočení.

Spád

Je multi-proměnné zobecnění derivát. Zatímco derivaci lze definovat na funkcích jedné proměnné, pro funkce několika proměnných, místo něj přechází gradient. Gradient je a funkce s vektorovou hodnotou, na rozdíl od derivátu, který je skalární.

H

Harmonický postup

v matematika, a harmonický postup (nebo harmonická posloupnost) je postup vytvořený převzetím převrácených hodnot z aritmetický postup. Je to sekvence formuláře

${ displaystyle { frac {1} {a}}, { frac {1} {a + d}} , { frac {1} {a + 2d}} , { frac {1} { a + 3d}} , cdots, { frac {1} {a + kd}},}$

kde −a /d není přirozené číslo a k je přirozené číslo. Postupně je posloupnost harmonickým postupem, když každý člen je harmonický průměr Není možné harmonický postup (jiný než triviální případ, kdy A = 1 a k = 0) k součtu k celé číslo. Důvodem je, že alespoň jeden jmenovatel postupu bude nutně dělitelný a prvočíslo to nerozděluje žádného jiného jmenovatele.^[53]

Vyšší derivace

Nechat F být diferencovatelnou funkcí a nechť F ′ být jeho derivát. Derivát F ′ (pokud má) je napsáno F ′′ a nazývá se druhá derivace z F. Podobně je zapsána derivace druhé derivace, pokud existuje F ′′′ a nazývá se třetí derivát z F. Pokračováním v tomto procesu lze definovat, pokud existuje, nth derivát jako derivát (n-1)th derivát. Tyto opakované deriváty se nazývají deriváty vyššího řádu. The nth derivát se také nazývá derivace řádu n.

Homogenní lineární diferenciální rovnice

A diferenciální rovnice může být homogenní v jednom ze dvou aspektů diferenciální rovnice prvního řádu se říká, že je homogenní, pokud se dá psát

${ displaystyle f (x, y) dy = g (x, y) dx,}$

kde F a G jsou homogenní funkce stejného stupně X a y. V tomto případě změna proměnné y = ux vede k rovnici tvaru

${ displaystyle { frac {dx} {x}} = h (u) du,}$

což je snadné vyřešit integrace Jinak je diferenciální rovnice homogenní, pokud se jedná o homogenní funkci neznámé funkce a jejích derivátů. V případě lineární diferenciální rovnice, to znamená, že neexistují žádné stálé výrazy. Řešení jakékoli lineární obyčejná diferenciální rovnice libovolného řádu lze odvodit integrací z řešení homogenní rovnice získané odstraněním konstantního členu.

Hyperbolická funkce

Hyperbolické funkce jsou analogické běžné trigonometrický nebo oběžník, funkce.

Já

Funkce identity

Také se nazývá vztah identity nebo mapa identity nebo transformace identity, je funkce který vždy vrátí stejnou hodnotu, která byla použita jako jeho argument. v rovnice, funkce je dána F(X) = X.

Imaginární číslo

Je komplexní číslo to lze psát jako reálné číslo vynásobeno imaginární jednotka i,^{[poznámka 2]} který je definován jeho vlastností i² = −1.^[54] The náměstí imaginárního čísla bi je −b². Například, 5i je imaginární číslo a jeho čtverec je −25. Nula je považována za skutečnou i imaginární.^[55]

Implicitní funkce

v matematika, implicitní rovnice je a vztah formuláře ${ displaystyle R (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$, kde ${ displaystyle R}$ je funkce několika proměnných (často a polynomiální ). Například implicitní rovnice jednotkový kruh je ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$.An implicitní funkce je funkce který je definován implicitně implicitní rovnicí přidružením jedné z proměnných ( hodnota ) s ostatními (dále jen argumenty ).^{[56]:204–206} Implicitní funkce tedy pro ${ displaystyle y}$ v kontextu jednotkový kruh je definována implicitně pomocí ${ displaystyle x ^ {2} + f (x) ^ {2} -1 = 0}$. Tato implicitní rovnice definuje ${ displaystyle f}$ jako funkce ${ displaystyle x}$ jen když ${ displaystyle -1 leq x leq 1}$ a jeden bere v úvahu pouze nezáporné (nebo nepozitivní) hodnoty pro hodnoty funkce věta o implicitní funkci poskytuje podmínky, za kterých některé druhy vztahů definují implicitní funkci, konkrétně vztahy definované jako funkce indikátoru z nulová sada některých průběžně diferencovatelné vícerozměrný funkce.

Nepravý zlomek

Běžné zlomky lze klasifikovat jako správné nebo nevhodné. Pokud jsou čitatel i jmenovatel kladné, zlomek se nazývá správný, pokud je čitatel menší než jmenovatel, jinak je nesprávný.^[57][58] Obecně se o běžné frakci říká, že je to správná frakce, pokud absolutní hodnota zlomku je přísně méně než jedna - to znamená, pokud je zlomek větší než -1 a menší než 1.^[59][60]Říká se, že je to nevhodná frakce nebo někdy těžká frakce,^[61] pokud je absolutní hodnota zlomku větší nebo rovna 1. Příklady správných zlomků jsou 2/3, –3/4 a 4/9; příklady nesprávných zlomků jsou 9/4, –4/3 a 3/3.

Nesprávný integrál

v matematická analýza, nesprávný integrál je omezit a určitý integrál jako koncový bod intervalu (ů) integrace se blíží k zadané hodnotě reálné číslo, ${ displaystyle infty}$, ${ displaystyle - infty}$, nebo v některých případech se oba koncové body blíží limitům. Takový integrál je často psán symbolicky stejně jako standardní určitý integrál, v některých případech s nekonečno jako limit integrace. Konkrétně je nesprávný integrál limitem formy:

${ displaystyle lim _ {b to infty} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx, qquad lim _ {a to - infty} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx,}$

nebo

${ displaystyle lim _ {c to b ^ {-}} int _ {a} ^ {c} f (x) , dx, quad lim _ {c to a ^ {+}} int _ {c} ^ {b} f (x) , dx,}$

ve kterém jeden vezme limit v jednom nebo druhém (nebo někdy obou) koncových bodech (Apostol 1967, §10.23) chyba harv: žádný cíl: CITEREFApostol1967 (Pomoc).

Inflexní bod

v diferenciální počet, an inflexní bod, inflexní bod, flexnebo skloňování (Britská angličtina: skloňování) je bod na a kontinuální rovinná křivka při které se křivka mění z bytí konkávní (konkávní dolů) do konvexní (konkávní nahoru) nebo naopak.

Okamžitá rychlost změny

Derivát funkce jedné proměnné při vybrané vstupní hodnotě, pokud existuje, je sklon z tečna do graf funkce v tom bodě. Tečna je nejlepší lineární aproximace funkce blízko této vstupní hodnoty. Z tohoto důvodu je derivace často popisována jako „okamžitá rychlost změny“, poměr okamžité změny v závislé proměnné k poměru nezávislé proměnné. .

Okamžitá rychlost

Pokud vezmeme v úvahu proti jako rychlost a X jako vektor posunutí (změna polohy), pak můžeme vyjádřit (okamžitou) rychlost částice nebo objektu v kterémkoli konkrétním čase tjako derivát pozice s ohledem na čas:

${ displaystyle { boldsymbol {v}} = lim _ {{ Delta t} až 0} { frac { Delta { boldsymbol {x}}} { Delta t}} = { frac {d { boldsymbol {x}}} {d { mathit {t}}}}.}$

Z této derivační rovnice je v jednorozměrném případě patrné, že oblast pod rychlostí vs. čas (proti vs. t graf) je posunutí, X. Z hlediska počtu je integrální funkce rychlosti proti(t) je funkce posunutí X(t). Na obrázku to odpovídá žluté oblasti pod označenou křivkou s (s alternativní notace pro posunutí).

${ displaystyle { boldsymbol {x}} = int { boldsymbol {v}} d { mathit {t}}.}$

Protože derivace polohy vzhledem k času dává změnu polohy (v metrů ) děleno změnou času (v sekundy ), rychlost se měří v metrů za sekundu (slečna). I když by se koncept okamžité rychlosti mohl na první pohled zdát neintuitivní, lze jej považovat za rychlost, po které by objekt pokračoval v cestování, kdyby v tu chvíli přestal zrychlovat. .

Integrální

Integrál přiřadí čísla funkcím způsobem, který dokáže popsat posunutí, plochu, objem a další koncepty, které vzniknou kombinací infinitezimální data. Integrace je jednou ze dvou hlavních operací počtu s inverzní operací, diferenciace být druhým. .

Integrovaný symbol

Integrovaný symbol:

∫ (Unicode ), ${ displaystyle displaystyle int}$ (Latex )

se používá k označení integrály a antiderivativa v matematika. .

Integrand

Funkce, která má být integrována do integrálu.

Integrace po částech

V počtu a obecněji v matematická analýza, integrace po částech nebo částečná integrace je proces, který najde integrální a produkt funkcí z hlediska integrálu jejich derivace a primitivní funkce. Často se používá k transformaci primitivní funkce produktu funkcí na primitivní funkci, pro kterou lze snadněji najít řešení. Pravidlo lze snadno odvodit integrací produktové pravidlo z diferenciace.Li u = u(X) a du = u′(X) dx, zatímco proti = proti(X) a dv = proti′(X) dx, pak integrace po částech uvádí, že:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) , dx & = { Big [} u (x) v (x) { Big]} _ {a} ^ {b} - int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) , dx & = u (b) v (b) -u (a) v ( a) - int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) , dx end {zarovnáno}}}$

nebo kompaktněji:

${ displaystyle int u , dv = uv- int v , du.}$

Matematik Brook Taylor objevil integraci po částech, nejprve publikoval nápad v 1715.^[62][63] Obecnější formulace integrace po částech existují pro Riemann – Stieltjes a Lebesgue – Stieltjesovy integrály. Volá se diskrétní analog pro sekvence součet podle částí. .

Integrace substitucí

Také známý jako u-substituce, je metoda řešení integrály. Za použití základní věta o počtu často vyžaduje nalezení primitivní. Z tohoto a dalších důvodů je integrace substitucí důležitým nástrojem v matematice. Je to protějšek k řetězové pravidlo pro diferenciace. .

Věta o střední hodnotě

v matematická analýza, věta o střední hodnotě uvádí, že pokud a spojitá funkce, F, s interval, [A, b], jako jeho doména, bere hodnoty F(A) a F(b) na každém konci intervalu, pak to také vezme jakoukoli hodnotu mezi F(A) a F(b) v určitém okamžiku intervalu. To má dvě důležité důsledky:

1. Pokud má spojitá funkce hodnoty opačného znaménka uvnitř intervalu, má kořen v tomto intervalu (Bolzanova věta).^[64]
2. The obraz spojité funkce v intervalu je sám o sobě interval. .

Inverzní trigonometrické funkce

(Také se nazývá funkce arcus,^{[65][66][67][68][69]} antitrigonometrické funkce^[70] nebo cyklometrické funkce^[71][72][73]) jsou inverzní funkce z trigonometrické funkce (s vhodně omezeným domén ). Konkrétně se jedná o inverze z sinus, kosinus, tečna, kotangens, sekán, a kosekans funkce a slouží k získání úhlu z libovolného trigonometrického poměru úhlu.

J

Přejít na diskontinuitu

Zvažte funkci

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} x ^ {2} & { mbox {for}} x <1 0 & { mbox {for}} x = 1 2- (x- 1) ^ {2} & { mbox {for}} x> 1 end {cases}}}$

Pak, bod X₀ = 1 je a skoková diskontinuitaV tomto případě jediný limit neexistuje, protože jednostranný limit, L⁻ a L⁺, existují a jsou konečné, ale nejsou si rovny: od, L⁻ ≠ L⁺, omezení L neexistuje. Pak, X₀ se nazývá a skoková diskontinuita, kroková diskontinuitanebo diskontinuita prvního druhu. U tohoto typu diskontinuity funkce F může mít jakoukoli hodnotu na X₀.

K.

L

Lebesgueova integrace

V matematice je integrální nezáporného funkce jedné proměnné lze v nejjednodušším případě považovat za plocha mezi graf této funkce a X-osa. The Lebesgueův integrál rozšiřuje integrál na větší třídu funkcí. Rovněž rozšiřuje domén na kterých lze tyto funkce definovat.

Pravidlo L'Hôpital

Pravidlo L'Hôpital nebo Pravidlo společnosti L'Hospital používá deriváty pomoci vyhodnotit limity zahrnující neurčité formy. Aplikace (nebo opakovaná aplikace) pravidla často převádí neurčitou formu na výraz, který lze vyhodnotit substitucí, což umožňuje jednodušší vyhodnocení limitu. Pravidlo je pojmenováno po 17. století francouzština matematik Guillaume de l'Hôpital. Ačkoli přínos pravidla je často přičítán L'Hôpital, věta byla poprvé představena L'Hôpital v roce 1694 švýcarským matematikem Johann Bernoulli Pravidlo L'Hôpital říká, že pro funkce F a G což jsou rozlišitelný na otevřeném místě interval Já snad s výjimkou bodu C obsaženo v Já, pokud${ displaystyle lim _ {x to c} f (x) = lim _ {x to c} g (x) = 0 { text {nebo}} pm infty,}$ ${ displaystyle g '(x) neq 0}$ pro všechny X v Já s X ≠ C, a ${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ tedy existuje

${ displaystyle lim _ {x to c} { frac {f (x)} {g (x)}} = lim _ {x to c} { frac {f '(x)} {g '(X)}}.}$

Diferenciace čitatele a jmenovatele často kvocient zjednodušuje nebo převádí na limit, který lze přímo vyhodnotit.

Mezní srovnávací test

Limitní srovnávací test umožňuje určit konvergenci jedné řady na základě konvergence jiné.

Limit funkce

.

Meze integrace

.

Lineární kombinace

v matematika, lineární kombinace je výraz vyrobeno z a soubor výrazů vynásobením každého členu konstantou a sečtením výsledků (např. lineární kombinace X a y by byl jakýkoli výraz formy sekera + podle, kde A a b jsou konstanty).^[74][75][76] Koncept lineárních kombinací je pro lineární algebra a příbuzné obory matematiky.

Lineární rovnice

Lineární rovnice je rovnice vztahující se k sobě dvěma nebo více proměnnými ve formě ${ displaystyle a_ {1} x_ {1} + cdots + a_ {n} x_ {n} + b = 0,}$ přičemž nejvyšší výkon každé proměnné je 1.

Lineární systém

.

Seznam integrálů

.

Logaritmus

.

Logaritmická diferenciace

.

Dolní mez

.

M

Věta o střední hodnotě

.

Monotónní funkce

.

Vícenásobný integrál

.

Multiplikativní kalkul

.

Počet proměnných

.

N

Přirozený logaritmus

The přirozený logaritmus čísla je jeho logaritmus do základna z matematická konstanta E, kde E je iracionální a transcendentální číslo přibližně stejné jako 2.718281828459. Přirozený logaritmus X je obecně psán jako ln X, log_E X, nebo někdy, pokud je základna E je implicitní, jednoduše log X.^[77] Závorky jsou někdy přidány kvůli jasnosti, což dává ln (X), log_E(X) nebo log (X). To se provádí zejména v případě, že argument logaritmu není jediný symbol, aby se zabránilo nejednoznačnosti.

Nenewtonský počet

.

Nestandardní počet

.

Zápis pro rozlišení

.

Numerická integrace

.

Ó

Jednostranný limit

.

Obyčejná diferenciální rovnice

.

P

Pappusova centroidní věta

(Také známý jako Guldinova věta, Pappus – Guldinova věta nebo Pappusova věta) je jeden ze dvou souvisejících věty jednání s povrchové plochy a objemy z povrchy a pevné látky revoluce.

Parabola

Je rovinná křivka to je zrcadlově symetrické a je přibližně U-tvarovaný. Hodí se k několika povrchně odlišným matematický popisy, které dokážou definovat přesně stejné křivky.

Paraboloid

.

Parciální derivace

.

Parciální diferenciální rovnice

.

Rozklad částečné frakce

.

Zvláštní řešení

.

Funkce definovaná po částech

Funkce definovaná několika dílčími funkcemi, které se vztahují na určité intervaly domény funkce.

Vektor pozice

.

Pravidlo moci

.

Integrální produkt

.

Pravidlo produktu

.

Správný zlomek

.

Správná racionální funkce

.

Pythagorova věta

.

Pytagorova trigonometrická identita

.

Q

Kvadratická funkce

v algebra, a kvadratická funkce, a kvadratický polynom, a polynom stupně 2, nebo jednoduše a kvadratický, je polynomiální funkce s jednou nebo více proměnnými, ve kterých je nejvyšší stupeň pojmu druhého stupně. Například kvadratická funkce ve třech proměnných X, y, a z obsahuje výhradně termíny X², y², z², xy, xz, yz, X, y, za konstanta:

${ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + od ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j,}$

s alespoň jedním z koeficienty a, b, c, d, e, nebo F z hlediska druhého stupně jsou nenulové univariate kvadratická funkce (jedna proměnná) má tvar^[78]

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,quad a eq 0}$

in the single variable X. The graf of a univariate quadratic function is a parabola whose axis of symmetry is parallel to the y-axis, as shown at right.If the quadratic function is set equal to zero, then the result is a kvadratická rovnice. The solutions to the univariate equation are called the kořeny of the univariate function.The bivariate case in terms of variables X a y má formu

${displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,!}$

with at least one of a, b, c not equal to zero, and an equation setting this function equal to zero gives rise to a kuželovitý řez (A kruh nebo jiný elipsa, a parabola nebo hyperbola ).In general there can be an arbitrarily large number of variables, in which case the resulting povrch se nazývá a kvadrický, but the highest degree term must be of degree 2, such as X², xy, yz, atd.

Kvadratický polynom

.

Pravidlo kvocientu

A formula for finding the derivative of a function that is the ratio of two functions.

R

Radian

Is the Jednotka SI pro měření úhly, and is the standard unit of angular measure used in many areas of matematika. The length of an arc of a jednotkový kruh is numerically equal to the measurement in radians of the úhel that it subtends; one radian is just under 57.3 stupňů (expansion at OEIS: A072097). The unit was formerly an SI supplementary unit, but this category was abolished in 1995 and the radian is now considered an Jednotka odvozená od SI.^[79] Separately, the SI unit of plný úhel measurement is the steradský .

Poměrový test

.

Reciprocal function

.

Reciproční pravidlo

.

Riemannův integrál

.

Související sazby

.

Removable discontinuity

.

Rolleova věta

.

Kořenový test

.

S

Skalární

.

Sečená čára

.

Second-degree polynomial

.

Druhá derivace

.

Second derivative test

.

Second-order differential equation

.

Série

.

Integrace prostředí

.

Simpsonovo pravidlo

.

Sinus

.

Sinusoida

.

Sklon pole

.

Zmáčkněte větu

.

Pravidlo součtu v diferenciaci

.

Sum rule in integration

.

Shrnutí

.

Doplňkový úhel

.

Plocha povrchu

.

Systém lineárních rovnic

.

T

Tabulka integrálů

.

Taylor série

.

Taylorova věta

.

Tečna

.

Third-degree polynomial

.

Third derivative

.

Toroid

.

Celkový rozdíl

.

Trigonometrické funkce

.

Trigonometrické identity

.

Trigonometric integral

.

Trigonometrická substituce

.

Trigonometrie

.

Trojitý integrál

.

U

Horní hranice

.

PROTI

Variabilní

.

Vektor

.

Vektorový počet

.

Ž

Podložka

.

Metoda podložky

.

X

Y

Z

Nulový vektor

.

Viz také

• Počet
• Outline of calculus
• Glosář oblastí matematiky
• Slovníček astronomie
• Glosář biologie
• Slovníček botaniky
• Glosář chemie
• Glosář ekologie
• Glosář inženýrství
• Slovníček fyziky
• Glosář pravděpodobnosti a statistiky

Reference

Poznámky