V integrálním počtu, integrace redukčními vzorci je metoda, na kterou se spoléhá relace opakování . Používá se, když výraz obsahující celé číslo parametr , obvykle ve formě pravomocí elementárních funkcí, nebo produkty z transcendentální funkce a polynomy libovolné stupeň , nelze integrovat přímo. Ale s použitím jiného metody integrace redukční vzorec lze nastavit k získání integrálu stejného nebo podobného výrazu s nižším celočíselným parametrem, čímž se integrál postupně zjednodušuje, dokud jej nelze vyhodnotit. [1]
Jak najít redukční vzorec Redukční vzorec lze odvodit pomocí jakékoli běžné metody integrace, jako je integrace substitucí , integrace po částech , integrace trigonometrickou substitucí , integrace částečnými zlomky Hlavní myšlenkou je vyjádřit integrál zahrnující celočíselný parametr (např. výkon) funkce, představovaný In , pokud jde o integrál, který zahrnuje například nižší hodnotu parametru (nižší výkon) této funkce Já n -1Já n -2relace opakování . Jinými slovy, redukční vzorec vyjadřuje integrál
Já n = ∫ F ( X , n ) d X , {displaystyle I_ {n} = int f (x, n), {ext {d}} x,} ve smyslu
Já k = ∫ F ( X , k ) d X , {displaystyle I_ {k} = int f (x, k), {ext {d}} x,} kde
k < n . {displaystyle k Jak vypočítat integrál Pro výpočet integrálu jsme nastavili n na jeho hodnotu a použijte redukční vzorec k vyjádření ve smyslu (n - 1) nebo (n - 2) integrální. Integrál s nižším indexem lze použít k výpočtu těch s vyšším indexem; proces pokračuje opakovaně, dokud nedosáhneme bodu, kde lze vypočítat funkci, která má být integrována, obvykle když je její index 0 nebo 1. Poté dosazíme zpět předchozí výsledky, dokud nebudeme počítat Ján . [2]
Příklady Níže jsou uvedeny příklady postupu.
Kosinový integrál
Typicky se integrály líbí
∫ cos n X d X , {displaystyle int cos ^ {n} x, {ext {d}} x ,,!} lze vyhodnotit redukčním vzorcem.
∫ cos n ( X ) d X {displaystyle int cos ^ {n} (x), {ext {d}} x!} , pro
n = 1, 2 ... 30
Začněte nastavením:
Já n = ∫ cos n X d X . {displaystyle I_ {n} = int cos ^ {n} x, {ext {d}} x.,!} Nyní přepište jako:
Já n = ∫ cos n − 1 X cos X d X , {displaystyle I_ {n} = int cos ^ {n-1} xcos x, {ext {d}} x ,,!} Integrace touto substitucí:
cos X d X = d ( hřích X ) , {displaystyle cos x, {ext {d}} x = {ext {d}} (sin x) ,,!} Já n = ∫ cos n − 1 X d ( hřích X ) . {displaystyle I_ {n} = int cos ^ {n-1} x, {ext {d}} (sin x).!} Nyní integrace po částech:
∫ cos n X d X = cos n − 1 X hřích X − ∫ hřích X d ( cos n − 1 X ) = cos n − 1 X hřích X + ( n − 1 ) ∫ hřích X cos n − 2 X hřích X d X = cos n − 1 X hřích X + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 X hřích 2 X d X = cos n − 1 X hřích X + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 X ( 1 − cos 2 X ) d X = cos n − 1 X hřích X + ( n − 1 ) ∫ cos n − 2 X d X − ( n − 1 ) ∫ cos n X d X = cos n − 1 X hřích X + ( n − 1 ) Já n − 2 − ( n − 1 ) Já n , {displaystyle {egin {aligned} int cos ^ {n} x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x-int sin x, {ext {d}} (cos ^ {n-1 } x) & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int sin xcos ^ {n-2} xsin x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int cos ^ {n-2} xsin ^ {2} x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int cos ^ {n -2} x (1-cos ^ {2} x), {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) int cos ^ {n-2} x, { ext {d}} x- (n-1) int cos ^ {n} x, {ext {d}} x & = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) I_ {n-2} - (n-1) I_ {n}, konec {zarovnáno}},} řešení pro Ján :
Já n + ( n − 1 ) Já n = cos n − 1 X hřích X + ( n − 1 ) Já n − 2 , {displaystyle I_ {n} + (n-1) I_ {n} = cos ^ {n-1} xsin x + (n-1) I_ {n-2} ,,} n Já n = cos n − 1 ( X ) hřích X + ( n − 1 ) Já n − 2 , {displaystyle nI_ {n} = cos ^ {n-1} (x) sin x + (n-1) I_ {n-2} ,,} Já n = 1 n cos n − 1 X hřích X + n − 1 n Já n − 2 , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {n}} cos ^ {n-1} xsin x + {frac {n-1} {n}} I_ {n-2} ,,} takže redukční vzorec je:
∫ cos n X d X = 1 n cos n − 1 X hřích X + n − 1 n ∫ cos n − 2 X d X . {displaystyle int cos ^ {n} x, {ext {d}} x = {frac {1} {n}} cos ^ {n-1} xsin x + {frac {n-1} {n}} int cos ^ {n-2} x, {ext {d}} x.!} K doplnění příkladu lze výše uvedené použít k vyhodnocení integrálu pro (řekněme) n = 5;
Já 5 = ∫ cos 5 X d X . {displaystyle I_ {5} = int cos ^ {5} x, {ext {d}} x.,!} Výpočet nižších indexů:
n = 5 , Já 5 = 1 5 cos 4 X hřích X + 4 5 Já 3 , {displaystyle n = 5, quad I_ {5} = {frac {1} {5}} cos ^ {4} xsin x + {frac {4} {5}} I_ {3} ,,} n = 3 , Já 3 = 1 3 cos 2 X hřích X + 2 3 Já 1 , {displaystyle n = 3, quad I_ {3} = {frac {1} {3}} cos ^ {2} xsin x + {frac {2} {3}} I_ {1} ,,} zpětné nahrazení:
∵ Já 1 = ∫ cos X d X = hřích X + C 1 , {displaystyle ecause I_ {1} = int cos x, {ext {d}} x = sin x + C_ {1} ,,} ∴ Já 3 = 1 3 cos 2 X hřích X + 2 3 hřích X + C 2 , C 2 = 2 3 C 1 , {displaystyle here I_ {3} = {frac {1} {3}} cos ^ {2} xsin x + {frac {2} {3}} sin x + C_ {2}, quad C_ {2} = {frac { 2} {3}} C_ {1} ,,} Já 5 = 1 5 cos 4 X hřích X + 4 5 [ 1 3 cos 2 X hřích X + 2 3 hřích X ] + C , {displaystyle I_ {5} = {frac {1} {5}} cos ^ {4} xsin x + {frac {4} {5}} vlevo [{frac {1} {3}} cos ^ {2} xsin x + {frac {2} {3}} sin xight] + C ,,} kde C je konstanta.
Exponenciální integrál
Dalším typickým příkladem je:
∫ X n E A X d X . {displaystyle int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x.,!} Začněte nastavením:
Já n = ∫ X n E A X d X . {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x.,!} Integrace substitucí:
X n d X = d ( X n + 1 ) n + 1 , {displaystyle x ^ {n}, {ext {d}} x = {frac {{ext {d}} (x ^ {n + 1})} {n + 1}} ,,}} Já n = 1 n + 1 ∫ E A X d ( X n + 1 ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {n + 1}} int e ^ {ax}, {ext {d}} (x ^ {n + 1}) ,!} Nyní integrace po částech:
∫ E A X d ( X n + 1 ) = X n + 1 E A X − ∫ X n + 1 d ( E A X ) = X n + 1 E A X − A ∫ X n + 1 E A X d X , {displaystyle {egin {aligned} int e ^ {ax}, {ext {d}} (x ^ {n + 1}) & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -int x ^ {n + 1}, {ext {d}} (e ^ {ax}) & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -aint x ^ {n + 1} e ^ {ax}, {ext {d }} x, konec {zarovnáno}}!} ( n + 1 ) Já n = X n + 1 E A X − A Já n + 1 , {displaystyle (n + 1) I_ {n} = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -aI_ {n + 1} ,!} posunutí indexů zpět o 1 (tak n + 1 → n , n → n – 1):
n Já n − 1 = X n E A X − A Já n , {displaystyle nI_ {n-1} = x ^ {n} e ^ {ax} -aI_ {n} ,!} řešení pro Ján :
Já n = 1 A ( X n E A X − n Já n − 1 ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {a}} vlevo (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} ight) ,,!} redukční vzorec je tedy:
∫ X n E A X d X = 1 A ( X n E A X − n ∫ X n − 1 E A X d X ) . {displaystyle int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x = {frac {1} {a}} vlevo (x ^ {n} e ^ {ax} -nint x ^ {n- 1} e ^ {ax}, {ext {d}} xight).!} Alternativní způsob, jakým lze derivaci provést, začíná nahrazením E A X {displaystyle e ^ {ax}}
Integrace substitucí:
E A X d X = d ( E A X ) A , {displaystyle e ^ {ax}, {ext {d}} x = {frac {{ext {d}} (e ^ {ax})} {a}} ,,!}
Já n = 1 A ∫ X n d ( E A X ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {a}} int x ^ {n}, {ext {d}} (e ^ {ax}) ,!}
Nyní integrace po částech:
∫ X n d ( E A X ) = X n E A X − ∫ E A X d ( X n ) = X n E A X − n ∫ E A X X n − 1 d X , {displaystyle {egin {aligned} int x ^ {n}, {ext {d}} (e ^ {ax}) & = x ^ {n} e ^ {ax} -int e ^ {ax}, {ext { d}} (x ^ {n}) & = x ^ {n} e ^ {ax} -nint e ^ {ax} x ^ {n-1}, {ext {d}} x, konec {zarovnáno} }!}
který dává redukční vzorec při nahrazování zpět:
Já n = 1 A ( X n E A X − n Já n − 1 ) , {displaystyle I_ {n} = {frac {1} {a}} vlevo (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} ight) ,,!}
což odpovídá:
∫ X n E A X d X = 1 A ( X n E A X − n ∫ X n − 1 E A X d X ) . {displaystyle int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x = {frac {1} {a}} vlevo (x ^ {n} e ^ {ax} -nint x ^ {n- 1} e ^ {ax}, {ext {d}} xight).!} Tabulky integrálních redukčních vzorců Racionální funkce Následující integrály[3]
Faktory lineární radikální A X + b {displaystyle {sqrt {ax + b}} ,!} Lineární faktory p X + q {displaystyle {px + q} ,!} A X + b {displaystyle {sqrt {ax + b}} ,!} Kvadratický faktory X 2 + A 2 {displaystyle x ^ {2} + a ^ {2} ,!} Kvadratické faktory X 2 − A 2 {displaystyle x ^ {2} -a ^ {2} ,!} X > A {displaystyle x> a ,!} Kvadratické faktory A 2 − X 2 {displaystyle a ^ {2} -x ^ {2} ,!} X < A {displaystyle x (Neredukovatelné ) kvadratické faktory A X 2 + b X + C {displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,!} Radikály neredukovatelných kvadratických faktorů A X 2 + b X + C {displaystyle {sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} ,!} Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ X n A X + b d X {displaystyle I_ {n} = int {frac {x ^ {n}} {sqrt {ax + b}}}, {ext {d}} x ,!} Já n = 2 X n A X + b A ( 2 n + 1 ) − 2 n b A ( 2 n + 1 ) Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {2x ^ {n} {sqrt {ax + b}}} {a (2n + 1)}} - {frac {2nb} {a (2n + 1)}} I_ { n-1} ,!} Já n = ∫ d X X n A X + b {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {n} {sqrt {ax + b}}}} ,!} Já n = − A X + b ( n − 1 ) b X n − 1 − A ( 2 n − 3 ) 2 b ( n − 1 ) Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = - {frac {sqrt {ax + b}} {(n-1) bx ^ {n-1}}} - {frac {a (2n-3)} {2b (n-1 )}}V 1},!} Já n = ∫ X n A X + b d X {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} {sqrt {ax + b}}, {ext {d}} x ,!} Já n = 2 X n ( A X + b ) 3 A ( 2 n + 3 ) − 2 n b A ( 2 n + 3 ) Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {2x ^ {n} {sqrt {(ax + b) ^ {3}}}} {a (2n + 3)}} - {frac {2nb} {a (2n + 3)}} I_ {n-1} ,!} Já m , n = ∫ d X ( A X + b ) m ( p X + q ) n {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {{ext {d}} x} {(ax + b) ^ {m} (px + q) ^ {n}}} ,!} Já m , n = { − 1 ( n − 1 ) ( b p − A q ) [ 1 ( A X + b ) m − 1 ( p X + q ) n − 1 + A ( m + n − 2 ) Já m , n − 1 ] 1 ( m − 1 ) ( b p − A q ) [ 1 ( A X + b ) m − 1 ( p X + q ) n − 1 + p ( m + n − 2 ) Já m − 1 , n ] {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} left [{frac {1} {(ax + b) ^ {m- 1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n-1} přímo] {frac {1} {(m-1) (bp-aq )}} vlevo [{frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} ight] end {cases}} ,!} Já m , n = ∫ ( A X + b ) m ( p X + q ) n d X {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} Já m , n = { − 1 ( n − 1 ) ( b p − A q ) [ ( A X + b ) m + 1 ( p X + q ) n − 1 + A ( n − m − 2 ) Já m , n − 1 ] − 1 ( n − m − 1 ) p [ ( A X + b ) m ( p X + q ) n − 1 + m ( b p − A q ) Já m − 1 , n ] − 1 ( n − 1 ) p [ ( A X + b ) m ( p X + q ) n − 1 − A m Já m − 1 , n − 1 ] {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} left [{frac {(ax + b) ^ {m + 1}} {(px + q) ^ {n-1}}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} ight] - {frac {1} {(nm-1) p}} vlevo [{ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n} ight] - {frac {1} {(n-1) p}} vlevo [{frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} - amI_ {m-1, n-1} vpravo ] konec {případů}} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ d X ( X 2 + A 2 ) n {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} Já n = X 2 A 2 ( n − 1 ) ( X 2 + A 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 A 2 ( n − 1 ) Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n-1}}} + {frac {2n- 3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} ,!} Já n , m = ∫ d X X m ( X 2 + A 2 ) n {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} A 2 Já n , m = Já m , n − 1 − Já m − 2 , n {displaystyle a ^ {2} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} -I_ {m-2, n} ,!} Já n , m = ∫ X m ( X 2 + A 2 ) n d X {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} Já n , m = Já m − 2 , n − 1 − A 2 Já m − 2 , n {displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} -a ^ {2} I_ {m-2, n} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ d X ( X 2 − A 2 ) n {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} Já n = − X 2 A 2 ( n − 1 ) ( X 2 − A 2 ) n − 1 − 2 n − 3 2 A 2 ( n − 1 ) Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = - {frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n-1}}} - {frac {2n -3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} ,!} Já n , m = ∫ d X X m ( X 2 − A 2 ) n {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} ,!} A 2 Já n , m = Já m − 2 , n − Já m , n − 1 {displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m-2, n} -I_ {m, n-1} ,!} Já n , m = ∫ X m ( X 2 − A 2 ) n d X {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} Já n , m = Já m − 2 , n − 1 + A 2 Já m − 2 , n {displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} + a ^ {2} I_ {m-2, n} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ d X ( A 2 − X 2 ) n {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} ,!} Já n = X 2 A 2 ( n − 1 ) ( A 2 − X 2 ) n − 1 + 2 n − 3 2 A 2 ( n − 1 ) Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n-1}}} + {frac {2n- 3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} ,!} Já n , m = ∫ d X X m ( A 2 − X 2 ) n {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} ,!} A 2 Já n , m = Já m , n − 1 + Já m − 2 , n {displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} + I_ {m-2, n} ,!} Já n , m = ∫ X m ( A 2 − X 2 ) n d X {displaystyle I_ {n, m} = int {frac {x ^ {m}} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} Já n , m = A 2 Já m − 2 , n − Já m − 2 , n − 1 {displaystyle I_ {n, m} = a ^ {2} I_ {m-2, n} -I_ {m-2, n-1} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ d X X n ( A X 2 + b X + C ) {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {{x ^ {n}} (ax ^ {2} + bx + c)}} ,!} − C Já n = 1 X n − 1 ( n − 1 ) + b Já n − 1 + A Já n − 2 {displaystyle -cI_ {n} = {frac {1} {x ^ {n-1} (n-1)}} + bI_ {n-1} + aI_ {n-2} ,!} Já m , n = ∫ X m d X ( A X 2 + b X + C ) n {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {x ^ {m}, {ext {d}} x} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} ,!} Já m , n = − X m − 1 A ( 2 n − m − 1 ) ( A X 2 + b X + C ) n − 1 − b ( n − m ) A ( 2 n − m − 1 ) Já m − 1 , n + C ( m − 1 ) A ( 2 n − m − 1 ) Já m − 2 , n {displaystyle I_ {m, n} = - {frac {x ^ {m-1}} {a (2n-m-1) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} - {frac {b (nm)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-1, n} + {frac {c (m-1)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-2, n} ,!} Já m , n = ∫ d X X m ( A X 2 + b X + C ) n {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {{ext {d}} x} {x ^ {m} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} ,!} − C ( m − 1 ) Já m , n = 1 X m − 1 ( A X 2 + b X + C ) n − 1 + A ( m + 2 n − 3 ) Já m − 2 , n + b ( m + n − 2 ) Já m − 1 , n {displaystyle -c (m-1) I_ {m, n} = {frac {1} {x ^ {m-1} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} + { a (m + 2n-3)} I_ {m-2, n} + {b (m + n-2)} I_ {m-1, n} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ ( A X 2 + b X + C ) n d X {displaystyle I_ {n} = int (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}, {ext {d}} x ,!} 8 A ( n + 1 ) Já n + 1 2 = 2 ( 2 A X + b ) ( A X 2 + b X + C ) n + 1 2 + ( 2 n + 1 ) ( 4 A C − b 2 ) Já n − 1 2 {displaystyle 8a (n + 1) I_ {n + {frac {1} {2}}} = 2 (2ax + b) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n + {frac {1} {2} }} + (2n + 1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n- {frac {1} {2}}} ,!} Já n = ∫ 1 ( A X 2 + b X + C ) n d X {displaystyle I_ {n} = int {frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} ( 2 n − 1 ) ( 4 A C − b 2 ) Já n + 1 2 = 2 ( 2 A X + b ) ( A X 2 + b X + C ) n − 1 2 + 8 A ( n − 1 ) Já n − 1 2 {displaystyle (2n-1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n + {frac {1} {2}}} = {frac {2 (2ax + b)} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n- {frac {1} {2}}}}} + {8a (n-1)} I_ {n- {frac {1} {2}}} ,!}
Všimněte si, že podle zákony indexů :
Já n + 1 2 = Já 2 n + 1 2 = ∫ 1 ( A X 2 + b X + C ) 2 n + 1 2 d X = ∫ 1 ( A X 2 + b X + C ) 2 n + 1 d X {displaystyle I_ {n + {frac {1} {2}}} = I_ {frac {2n + 1} {2}} = int {frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {frac {2n + 1} {2}}}}, {ext {d}} x = int {frac {1} {sqrt {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {2n + 1}}}}, {ext {d}} x ,!} Transcendentální funkce Následující integrály[4]
Faktory sinu Faktory kosinu Faktory sinusových a kosinových produktů a kvocienty Produkty / kvocienty exponenciálních faktorů a mocnin X Produkty exponenciálních a sinusových / kosinových faktorů Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ X n hřích A X d X {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} sin {ax}, {ext {d}} x ,!} A 2 Já n = − A X n cos A X + n X n − 1 hřích A X − n ( n − 1 ) Já n − 2 {displaystyle a ^ {2} I_ {n} = - ax ^ {n} cos {ax} + nx ^ {n-1} sin {ax} -n (n-1) I_ {n-2} ,!} J n = ∫ X n cos A X d X {displaystyle J_ {n} = int x ^ {n} cos {ax}, {ext {d}} x ,!} A 2 J n = A X n hřích A X + n X n − 1 cos A X − n ( n − 1 ) J n − 2 {displaystyle a ^ {2} J_ {n} = ax ^ {n} sin {ax} + nx ^ {n-1} cos {ax} -n (n-1) J_ {n-2} ,!} Já n = ∫ hřích A X X n d X {displaystyle I_ {n} = int {frac {sin {ax}} {x ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!} J n = ∫ cos A X X n d X {displaystyle J_ {n} = int {frac {cos {ax}} {x ^ {n}}}, {ext {d}} x ,!}
Já n = − hřích A X ( n − 1 ) X n − 1 + A n − 1 J n − 1 {displaystyle I_ {n} = - {frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {frac {a} {n-1}} J_ {n-1}, !} J n = − cos A X ( n − 1 ) X n − 1 − A n − 1 Já n − 1 {displaystyle J_ {n} = - {frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {n-1}} I_ {n-1}, !}
vzorce lze kombinovat a získat samostatné rovnice v Ján :
J n − 1 = − cos A X ( n − 2 ) X n − 2 − A n − 2 Já n − 2 {displaystyle J_ {n-1} = - {frac {cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} - {frac {a} {n-2}} I_ {n-2 } ,!}
Já n = − hřích A X ( n − 1 ) X n − 1 − A n − 1 [ cos A X ( n − 2 ) X n − 2 + A n − 2 Já n − 2 ] {displaystyle I_ {n} = - {frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {n-1}} vlevo [{frac {cos { ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {frac {a} {n-2}} I_ {n-2} ight] ,!}
∴ Já n = − hřích A X ( n − 1 ) X n − 1 − A ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( cos A X X n − 2 + A Já n − 2 ) {displaystyle here I_ {n} = - {frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {(n-1) (n-2)} } vlevo ({frac {cos {ax}} {x ^ {n-2}}} + aI_ {n-2} ight) ,!}
a Jn :
Já n − 1 = − hřích A X ( n − 2 ) X n − 2 + A n − 2 J n − 2 {displaystyle I_ {n-1} = - {frac {sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {frac {a} {n-2}} J_ {n-2 } ,!}
J n = − cos A X ( n − 1 ) X n − 1 − A n − 1 [ − hřích A X ( n − 2 ) X n − 2 + A n − 2 J n − 2 ] {displaystyle J_ {n} = - {frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {n-1}} vlevo [- {frac {sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {frac {a} {n-2}} J_ {n-2} ight] ,!}
∴ J n = − cos A X ( n − 1 ) X n − 1 − A ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( − hřích A X X n − 2 + A J n − 2 ) {displaystyle here J_ {n} = - {frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {frac {a} {(n-1) (n-2)} } vlevo (- {frac {sin {ax}} {x ^ {n-2}}} + aJ_ {n-2} ight) ,!}
Já n = ∫ hřích n A X d X {displaystyle I_ {n} = int sin ^ {n} {ax}, {ext {d}} x ,!} A n Já n = − hřích n − 1 A X cos A X + A ( n − 1 ) Já n − 2 {displaystyle anI_ {n} = - sin ^ {n-1} {ax} cos {ax} + a (n-1) I_ {n-2} ,!} J n = ∫ cos n A X d X {displaystyle J_ {n} = int cos ^ {n} {ax}, {ext {d}} x ,!} A n J n = hřích A X cos n − 1 A X + A ( n − 1 ) J n − 2 {displaystyle anJ_ {n} = sin {ax} cos ^ {n-1} {ax} + a (n-1) J_ {n-2} ,!} Já n = ∫ d X hřích n A X {displaystyle I_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {sin ^ {n} {ax}}} ,!} ( n − 1 ) Já n = − cos A X A hřích n − 1 A X + ( n − 2 ) Já n − 2 {displaystyle (n-1) I_ {n} = - {frac {cos {ax}} {asin ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) I_ {n-2} ,!} J n = ∫ d X cos n A X {displaystyle J_ {n} = int {frac {{ext {d}} x} {cos ^ {n} {ax}}} ,!} ( n − 1 ) J n = hřích A X A cos n − 1 A X + ( n − 2 ) J n − 2 {displaystyle (n-1) J_ {n} = {frac {sin {ax}} {acos ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) J_ {n-2} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já m , n = ∫ hřích m A X cos n A X d X {displaystyle I_ {m, n} = int sin ^ {m} {ax} cos ^ {n} {ax}, {ext {d}} x ,!} Já m , n = { − hřích m − 1 A X cos n + 1 A X A ( m + n ) + m − 1 m + n Já m − 2 , n hřích m + 1 A X cos n − 1 A X A ( m + n ) + n − 1 m + n Já m , n − 2 {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {sin ^ {m-1} {ax} cos ^ {n + 1} {ax}} {a (m + n)}} + { frac {m-1} {m + n}} I_ {m-2, n} {frac {sin ^ {m + 1} {ax} cos ^ {n-1} {ax}} {a (m + n)}} + {frac {n-1} {m + n}} I_ {m, n-2} end {cases}} ,!} Já m , n = ∫ d X hřích m A X cos n A X {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {{ext {d}} x} {sin ^ {m} {ax} cos ^ {n} {ax}}} ,!} Já m , n = { 1 A ( n − 1 ) hřích m − 1 A X cos n − 1 A X + m + n − 2 n − 1 Já m , n − 2 − 1 A ( m − 1 ) hřích m − 1 A X cos n − 1 A X + m + n − 2 m − 1 Já m − 2 , n {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} {frac {1} {a (n-1) sin ^ {m-1} {ax} cos ^ {n-1} {ax}}} + { frac {m + n-2} {n-1}} I_ {m, n-2} - {frac {1} {a (m-1) sin ^ {m-1} {ax} cos ^ {n -1} {ax}}} + {frac {m + n-2} {m-1}} I_ {m-2, n} end {cases}} ,!} Já m , n = ∫ hřích m A X cos n A X d X {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {sin ^ {m} {ax}} {cos ^ {n} {ax}}}, {ext {d}} x ,!} Já m , n = { hřích m − 1 A X A ( n − 1 ) cos n − 1 A X − m − 1 n − 1 Já m − 2 , n − 2 hřích m + 1 A X A ( n − 1 ) cos n − 1 A X − m − n + 2 n − 1 Já m , n − 2 − hřích m − 1 A X A ( m − n ) cos n − 1 A X + m − 1 m − n Já m − 2 , n {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} {frac {sin ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) cos ^ {n-1} {ax}}} - {frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} {frac {sin ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) cos ^ {n-1} {ax}}} - {frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} - {frac {sin ^ {m-1} {ax}} {a (mn) cos ^ {n-1} {ax}}} + {frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} end {cases}} ,!} Já m , n = ∫ cos m A X hřích n A X d X {displaystyle I_ {m, n} = int {frac {cos ^ {m} {ax}} {sin ^ {n} {ax}}}, {ext {d}} x ,!} Já m , n = { − cos m − 1 A X A ( n − 1 ) hřích n − 1 A X − m − 1 n − 1 Já m − 2 , n − 2 − cos m + 1 A X A ( n − 1 ) hřích n − 1 A X − m − n + 2 n − 1 Já m , n − 2 cos m − 1 A X A ( m − n ) hřích n − 1 A X + m − 1 m − n Já m − 2 , n {displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {cos ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) sin ^ {n-1} {ax}}} - { frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} - {frac {cos ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) sin ^ {n- 1} {ax}}} - {frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} {frac {cos ^ {m-1} {ax}} {a (mn ) sin ^ {n-1} {ax}}} + {frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} end {cases}} ,!}
Integrální Redukční vzorec Já n = ∫ X n E A X d X {displaystyle I_ {n} = int x ^ {n} e ^ {ax}, {ext {d}} x ,!} n > 0 {displaystyle n> 0 ,!}
Já n = X n E A X A − n A Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} - {frac {n} {a}} I_ {n-1} ,!} Já n = ∫ X − n E A X d X {displaystyle I_ {n} = int x ^ {- n} e ^ {ax}, {ext {d}} x ,!} n > 0 {displaystyle n> 0 ,!}
n ≠ 1 {displaystyle neq 1 ,!}
Já n = − E A X ( n − 1 ) X n − 1 + A n − 1 Já n − 1 {displaystyle I_ {n} = {frac {-e ^ {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {frac {a} {n-1}} I_ {n-1} ,!} Já n = ∫ E A X hřích n b X d X {displaystyle I_ {n} = int e ^ {ax} sin ^ {n} {bx}, {ext {d}} x ,!} Já n = E A X hřích n − 1 b X A 2 + ( b n ) 2 ( A hřích b X − b n cos b X ) + n ( n − 1 ) b 2 A 2 + ( b n ) 2 Já n − 2 {displaystyle I_ {n} = {frac {e ^ {ax} sin ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} vlevo (jako v bx-bncos bxight) + {frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n-2} ,!} Já n = ∫ E A X cos n b X d X {displaystyle I_ {n} = int e ^ {ax} cos ^ {n} {bx}, {ext {d}} x ,!} Já n = E A X cos n − 1 b X A 2 + ( b n ) 2 ( A cos b X + b n hřích b X ) + n ( n − 1 ) b 2 A 2 + ( b n ) 2 Já n − 2 {displaystyle I_ {n} = {frac {e ^ {ax} cos ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} vlevo (acos bx + bnsin bxight) + {frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n-2} ,!}
Reference ^ Matematické metody pro fyziku a inženýrství, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 ^ Další elementární analýza, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5 ^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Seznam neurčitých integrálů^ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Seznam neurčitých integrálůBibliografie Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7. vydání. 
![I_5 = frac {1} {5} cos ^ 4 x sin x + frac {4} {5} vlevo [frac {1} {3} cos ^ 2 x sin x + frac {2} {3} sin xight] + C,,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7803bf2d86071f40537d4590e76ab498354b7c7f)
![{displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} left [{frac {1} {(ax + b) ^ {m- 1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n-1} ight] {frac {1} {(m-1) (bp-aq )}} vlevo [{frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} ight] end {cases}} ,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e62922721540ee6636beadc5183d305fa0a98b)
![{displaystyle I_ {m, n} = {egin {cases} - {frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} left [{frac {(ax + b) ^ {m + 1}} {(px + q) ^ {n-1}}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} ight] - {frac {1} {(nm-1) p}} vlevo [{ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n} ight] - {frac {1} {(n-1) p}} vlevo [{frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} - amI_ {m-1, n-1} vpravo ] konec {případů}} ,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf63aea753eb3517e589623b4728e1545c012b)
![I_n = -frac {sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}} - frac {a} {n-1} vlevo [frac {cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}} + frac {a} {n-2} I_ {n-2} ight],!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59ab79c10f4eed2620c496fac8b476174a84477)
![J_n = -frac {cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}} - frac {a} {n-1} vlevo [-frac {sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}} + frac {a} {n-2} J_ {n-2} ight] ,!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2ed60b99d5d7b4dfa736c3627c68021c847b44)
