Identita zubního kamene
v matematika, inverzní a funkce
je funkce, která nějakým způsobem "zruší" účinek
(vidět inverzní funkce formální a podrobná definice). Inverzní z
je označen jako
, kde
kdyby a jen kdyby
.
Jejich dva deriváty, za předpokladu, že existují, jsou reciproční jako Leibnizova notace navrhuje; to je:

Tento vztah se získá diferenciací rovnice
ve smyslu X a použití řetězové pravidlo, čímž se získá:

vzhledem k tomu, že derivát X s ohledem na X je 1.
Psaní výslovně závislosti y na X, a v bodě, ve kterém k diferenciaci dochází, se vzorec pro derivaci inverze stane (v Lagrangeově notaci):
.
Tento vzorec platí obecně kdykoli
je kontinuální a injekční v intervalu Já, s
být diferencovatelný v
(
) a kde
.[1] Stejný vzorec je také ekvivalentní výrazu
![{ displaystyle { mathcal {D}} left [f ^ {- 1} right] = { frac {1} {({ mathcal {D}} f) circ left (f ^ {- 1 }že jo)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b71cf74aa5480ff9d43a9823ceb5580914f923a5)
kde
označuje unární derivační operátor (v prostoru funkcí) a
označuje složení funkce.
Geometricky mají funkci a inverzní funkci grafy to jsou odrazy, v řádku
. Tato operace odrazu otočí spád libovolného řádku do jeho reciproční.[2]
Za předpokladu, že
má inverzní v a sousedství z
a že jeho derivát v tomto bodě je nenulový, je zaručeno, že jeho inverzní funkce bude diferencovatelná v
a mají derivát daný výše uvedeným vzorcem.
Příklady
(pro pozitivní X) má inverzní
.


Na
, existuje však problém: graf funkce druhé odmocniny se stane svislým, což odpovídá vodorovnému tangensu druhé funkce.
(opravdu X) má inverzní funkci
(pro pozitivní
)


Další vlastnosti

- To je užitečné pouze v případě, že integrál existuje. Zejména potřebujeme
být nenulový v celém rozsahu integrace.
- Z toho vyplývá, že funkce, která má a kontinuální derivace má inverzní v a sousedství každého bodu, kde je derivace nenulová. To nemusí být pravda, pokud derivace není spojitá.
- Další velmi zajímavá a užitečná vlastnost je následující:

- Kde
označuje inverzní funkci
.
Vyšší deriváty
The řetězové pravidlo výše uvedené se získá diferenciací identity
s ohledem na X. Jeden může pokračovat ve stejném procesu pro vyšší deriváty. Diferenciace identity dvakrát s ohledem na X, jeden získá

to je dále zjednodušeno řetězovým pravidlem jako

Nahrazením první derivace pomocí dříve získané identity získáme

Podobně pro třetí derivát:

nebo pomocí vzorce pro druhý derivát,

Tyto vzorce jsou zobecněny pomocí Vzorec Faà di Bruno.
Tyto vzorce lze také psát pomocí Lagrangeovy notace. Li F a G jsou tedy inverzní
![g '' (x) = { frac {-f '' (g (x))} {[f '(g (x))] ^ {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c374bf89ec0cde43e6ec3e86cbf86490e55f35d)
Příklad
má inverzní
. Pomocí vzorce pro druhou derivaci inverzní funkce

aby
,
což souhlasí s přímým výpočtem.
Viz také
Matematický portál
Reference