Curl (matematika) - Curl (mathematics) - Wikipedia

Znázornění dvourozměrného vektorového pole s rovnoměrným zvlněním.

v vektorový počet, kučera je vektorový operátor který popisuje infinitezimální oběh a vektorové pole v trojrozměrném Euklidovský prostor. Zvlnění v bodě v poli je reprezentováno a vektor jejichž délka a směr označují velikost a osa maximálního oběhu.^[1] Zvlnění pole je formálně definováno jako hustota oběhu v každém bodě pole.

Volá se vektorové pole, jehož zvlnění je nula irrotační. Zvlnění je formou diferenciace pro vektorová pole. Odpovídající forma základní věta o počtu je Stokesova věta, který se týká povrchový integrál zvlnění vektorového pole na linka integrální vektorového pole kolem hraniční křivky.

Alternativní terminologie otáčení nebo rotační a alternativní notace hniloba F nebo křížový produkt s del (nabla) operátor ∇×F se někdy používají pro kučera F.

Na rozdíl od spád a divergence, zvlnění nezobecňuje tak jednoduše na jiné dimenze; nějaký zobecnění jsou možné, ale pouze ve třech rozměrech je geometricky definované zvlnění vektorového pole opět vektorovým polem. Jedná se o jev podobný trojrozměrnému křížový produkt a spojení se odráží v zápisu ∇× pro zvlnění.

Název „zvlnění“ nejprve navrhl James Clerk Maxwell v roce 1871^[2] ale koncept byl zjevně poprvé použit při konstrukci teorie optického pole od James MacCullagh v roce 1839.^[3][4]

Definice

Součásti F v poloze r, normální a tečná k uzavřené křivce C v rovině, obklopující rovinu vektorová oblast ${ displaystyle mathbf {A} = A mathbf { hat {n}}}$.

Pravidlo pravé ruky

Konvence pro vektorovou orientaci integrálu přímky

Palec ukazuje ve směru ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ a prsty se zkroutí podél orientace C

Zvlnění vektorového pole F, označeno kučera Fnebo ∇ × Fnebo trouchnivění F, v bodě je definován z hlediska jeho projekce na různé čáry procházející bodem. Li ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ je libovolný jednotkový vektor, projekce zvlnění F na ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ je definována jako mezní hodnota uzavřené linka integrální v rovině kolmé na ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ děleno uzavřenou oblastí, protože cesta integrace je smrštěna kolem bodu.

Operátor zvlnění mapuje nepřetržitě diferencovatelné funkce F : ℝ³ → ℝ³ na spojité funkce G : ℝ³ → ℝ³a zejména mapuje C^k funkce v ℝ³ na C^k−1 funkce v ℝ³.

Implicitně je zvlnění definováno v bodě str tak jako^[5][6]

${ displaystyle ( nabla times mathbf {F}) (p) cdot mathbf { hat {n}} { overet { underset { mathrm {def}} {}} {=}} lim _ {A to 0} { frac {1} {| A |}} masti _ {C} mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r}}$

Kde linka integrální se počítá podél hranice C z plocha A v otázce, |A| je velikost oblasti. Tato rovnice definuje projekci zvlnění F na ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$. Nekonečně malé plochy ohraničené C mít ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ jako jejich normální. C je orientován přes pravidlo pravé ruky.

Výše uvedený vzorec znamená, že zvlnění vektorového pole je definováno jako nekonečně malé hustota plochy z oběh toho pole. K této definici se přirozeně hodí

• the Kelvin – Stokesova věta, jako globální vzorec odpovídající definici a
• následující „snadno zapamatovatelná“ definice zvlnění v křivce ortogonální souřadnice, např. v Kartézské souřadnice, sférický, válcovitý, nebo dokonce eliptický nebo parabolické souřadnice:

${ displaystyle { begin {aligned} & ( operatorname {curl} mathbf {F}) _ {1} = { frac {1} {h_ {2} h_ {3}}} left ({ frac { částečné (h_ {3} F_ {3})} { částečné u_ {2}}} - { frac { částečné (h_ {2} F_ {2})} { částečné u_ {3}}} right), [5pt] & ( operatorname {curl} mathbf {F}) _ {2} = { frac {1} {h_ {3} h_ {1}}} left ({ frac { částečné (h_ {1} F_ {1})} { částečné u_ {3}}} - { frac { částečné (h_ {3} F_ {3})} { částečné u_ {1}}} right), [5pt] & ( operatorname {curl} mathbf {F}) _ {3} = { frac {1} {h_ {1} h_ {2}}} left ({ frac { částečné (h_ {2} F_ {2})} { částečné u_ {1}}} - { frac { částečné (h_ {1} F_ {1})} { částečné u_ {2}}} right). end {zarovnáno}}}$

Rovnice pro každou složku (kučera F)_k lze získat výměnou každého výskytu dolního indexu 1, 2, 3 v cyklické permutaci: 1 → 2, 2 → 3 a 3 → 1 (kde dolní indexy představují příslušné indexy).

Li (X₁, X₂, X₃) jsou Kartézské souřadnice a (u₁, u₂, u₃) jsou tedy ortogonální souřadnice

${ displaystyle h_ {i} = { sqrt { vlevo ({ frac { částečné x_ {1}} { částečné u_ {i}}} vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac { částečné x_ {2}} { částečné u_ {i}}} pravé) ^ {2} + levé ({ frac { částečné x_ {3}} { částečné u_ {i}}} pravé) ^ {2}}}}$

je délka vektoru souřadnic odpovídající u_i. Zbývající dvě složky zvlnění jsou výsledkem cyklická permutace z indexy: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

Intuitivní výklad

Předpokládejme, že vektorové pole popisuje rychlostní pole a proudění tekutin (jako je velká nádrž kapalný nebo plyn ) a malá koule je umístěna uvnitř tekutiny nebo plynu (střed koule je upevněn v určitém bodě). Pokud má míč drsný povrch, kapalina, která kolem něj proudí, způsobí jeho rotaci. Osa otáčení (orientovaná podle pravidla pravé ruky) směřuje ve směru zvlnění pole ve středu koule a úhlová rychlost otáčení je v tomto bodě poloviční velikosti zvlnění.^[7]

Zvlnění vektoru v kterémkoli bodě je dáno rotací nekonečně malé oblasti v xy- letadlo (pro z-osá složka zvlnění), zx- letadlo (pro y-osá složka zvlnění) a yz- letadlo (pro Xsložka osy vektoru zvlnění). To je jasně vidět na příkladech níže.

Používání

V praxi se výše uvedená definice používá jen zřídka, protože prakticky ve všech případech je zvlnění operátor lze použít pomocí některé sady křivočaré souřadnice, pro které byly odvozeny jednodušší reprezentace.

Zápis ∇ × F má svůj původ v podobnosti s trojrozměrným křížový produkt a je užitečné jako mnemotechnická pomůcka v Kartézské souřadnice -li ∇ je bráno jako vektor operátor diferenciálu del. Taková notace zahrnuje operátory je běžné v fyzika a algebra.

Rozšířeno v 3-dimenzionálním Kartézské souřadnice (vidět Del ve válcových a sférických souřadnicích pro sférický a válcovitý reprezentace souřadnic),∇ × F je pro F složen z [F_X, F_y, F_z] (kde dolní indexy označují složky vektoru, nikoli částečné deriváty):

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = { begin {vmatrix} { boldsymbol { hat { imath}}} & { boldsymbol { hat { jmath}}} & { boldsymbol { klobouk {k}}} [5pt] { dfrac { částečný} { částečný x}} & { dfrac { částečný} { částečný y}} & { dfrac { částečný} { částečný z }} [10 bodů] F_ {x} & F_ {y} & F_ {z} end {vmatrix}}}$

kde i, j, a k jsou jednotkové vektory pro X-, y-, a z-axes, resp. Toto se rozšiřuje následovně:^[8]:43

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = left ({ frac { částečné F_ {z}} { částečné y}} - { frac { částečné F_ {y}} { částečné z} } right) { boldsymbol { hat { imath}}} + left ({ frac { částečné F_ {x}} { částečné z}} - { frac { částečné F_ {z}} { částečné x}} pravé) { boldsymbol { hat { jmath}}} + levé ({ frac { částečné F_ {y}} { částečné x}} - { frac { částečné F_ { x}} { částečné y}} pravé) { boldsymbol { hat {k}}} = { začátek {bmatrix} { frac { částečné F_ {z}} { částečné y}} - { frac { částečné F_ {y}} { částečné z}} { frac { částečné F_ {x}} { částečné z}} - { frac { částečné F_ {z}} { částečné x }} { frac { částečné F_ {y}} { částečné x}} - { frac { částečné F_ {x}} { částečné y}} konec {bmatrix}}}$

I když je vyjádřen v souřadnicích, výsledek je neměnný při správném otáčení souřadnicových os, ale výsledek se při odrazu převrací.

V obecném souřadném systému je zvlnění dáno vztahem^[1]

${ displaystyle ( nabla times mathbf {F}) ^ {k} = { frac {1} { sqrt {g}}} varepsilon ^ {k ell m} nabla _ { ell} F_ {m}}$

kde ε označuje Tenzor Levi-Civita, ∇ the kovarianční derivace, ${ displaystyle { sqrt {g}}}$ je jakobián a Konvence Einsteinova součtu znamená, že opakované indexy jsou shrnuty. Kvůli symetrii symbolů Christoffel účastnících se kovariantní derivace se tento výraz redukuje na parciální derivaci:

${ displaystyle ( nabla times mathbf {F}) = { frac {1} { sqrt {g}}} mathbf {R} _ {k} varepsilon ^ {k ell m} částečný _ {l} F_ {m}}$

kde R_k jsou lokální vektory. Ekvivalentně pomocí vnější derivace, zvlnění lze vyjádřit jako:

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = left ( star { big (} { mathrm {d}} mathbf {F} ^ { flat} { big)} right) ^ { ostrý}}$

Tady ♭ a ♯ jsou hudební izomorfismy, a ★ je Operátor hvězd Hodge. Tento vzorec ukazuje, jak vypočítat zvlnění F v jakémkoli souřadném systému a jak rozšířit zvlnění na jakýkoli orientované trojrozměrný Riemannian potrubí. Protože to záleží na volbě orientace, zvlnění je a chirální úkon. Jinými slovy, je-li orientace obrácená, obrátí se také směr zvlnění.

Příklady

Vektorové pole F(x, y) = [y, -x] (vlevo) a jeho zvlnění (vpravo).

Příklad 1

The vektorové pole

${ displaystyle mathbf {F} (x, y, z) = y { boldsymbol { hat { imath}}} - x { boldsymbol { hat { jmath}}}}$

lze rozložit jako

${ displaystyle mathbf {F} _ {x} = y, mathbf {F} _ {y} = - x, mathbf {F} _ {z} = 0.}$

Po vizuální kontrole lze pole popsat jako „rotující“. Pokud by vektory pole měly představovat lineární platnost působením na objekty přítomné v tomto bodě a objekt, který měl být umístěn uvnitř pole, by se objekt začal otáčet ve směru hodinových ručiček kolem sebe. To platí bez ohledu na to, kde je objekt umístěn.

Výpočet zvlnění:

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = 0 { boldsymbol { hat { imath}}} + 0 { boldsymbol { hat { jmath}}} + doleva ({ frac { částečné } { částečné x}} (- x) - { frac { částečné} { částečné y}} y pravé) { boldsymbol { hat {k}}} = - 2 { boldsymbol { hat { k}}}}$

Výsledné vektorové pole popisující zvlnění bude rovnoměrně záporné z směr. Výsledky této rovnice odpovídají tomu, co bylo možné předpovědět pomocí pravidlo pravé ruky používat pravostranný souřadnicový systém. Jelikož se jedná o jednotné vektorové pole, měl by dříve popsaný objekt stejnou rotační intenzitu bez ohledu na to, kde byl umístěn.

Vektorové pole F(x, y) = [0, -x²] (vlevo) a jeho zvlnění (vpravo).

Příklad 2

Pro vektorové pole

${ displaystyle mathbf {F} (x, y, z) = - x ^ {2} { boldsymbol { hat { jmath}}}}$

zvlnění není z grafu tak zřejmé. Vezmeme-li však objekt v předchozím příkladu a umístíme jej kdekoli na řádku X = 3, síla vyvíjená na pravou stranu by byla o něco větší než síla vyvíjená na levou stranu, což by způsobilo její otáčení ve směru hodinových ručiček. Pomocí pravidla pravé ruky lze předvídat, že výsledný zvlnění by bylo záporné z směr. Naopak, pokud je umístěn X = −3, objekt by se otáčel proti směru hodinových ručiček a pravidlo pravé ruky by mělo za následek kladnou hodnotu z směr.

Výpočet zvlnění:

${ displaystyle { nabla} times mathbf {F} = 0 { boldsymbol { hat { imath}}} + 0 { boldsymbol { hat { jmath}}} + { frac { částečný} { částečné x}} (- x ^ {2}) { boldsymbol { hat {k}}} = - 2x { boldsymbol { hat {k}}}.}$

Zvlnění ukazuje záporně z směr, když X je pozitivní a naopak. V tomto poli by intenzita otáčení byla větší, když by se objekt vzdaloval od roviny X = 0.

Popisné příklady

• Ve vektorovém poli popisujícím lineární rychlosti každé části rotujícího disku má zvlnění ve všech bodech stejnou hodnotu.
• Ze čtyř Maxwellovy rovnice, dva—Faradayův zákon a Ampereův zákon —Může být kompaktně vyjádřeno pomocí zvlnění. Faradayův zákon říká, že zvlnění elektrického pole se rovná opaku časové rychlosti změny magnetického pole, zatímco Ampereův zákon vztahuje zvlnění magnetického pole k proudu a rychlosti změny elektrického pole.

Totožnosti

Obecně křivočaré souřadnice (nejen v kartézských souřadnicích), zvlnění křížového součinu vektorových polí proti a F lze ukázat jako

${ displaystyle nabla times left ( mathbf {v times F} right) = { Big (} left ( mathbf { nabla cdot F} right) + mathbf {F cdot nabla} { Big)} mathbf {v} - { Big (} left ( mathbf { nabla cdot v} right) + mathbf {v cdot nabla} { Big)} mathbf {F} .}$

Výměna vektorového pole proti a ∇ operátor, dostaneme se na součin vektorového pole se zvlněním vektorového pole:

${ displaystyle mathbf {v times} left ( mathbf { nabla times F} right) = nabla _ { mathbf {F}} left ( mathbf {v cdot F} right ) - left ( mathbf {v cdot nabla} right) mathbf {F} ,}$

kde ∇_F je Feynmanova dolní indexová notace, která bere v úvahu pouze variaci způsobenou vektorovým polem F (tj. v tomto případě proti je považováno za konstantní ve vesmíru).

Dalším příkladem je zvlnění zvlnění vektorového pole. Je možné ukázat, že v obecných souřadnicích

${ displaystyle nabla times left ( mathbf { nabla times F} right) = mathbf { nabla} ( mathbf { nabla cdot F}) - nabla ^ {2} mathbf { F} ,}$

a tato identita definuje vektor Laplacian z F, symbolizované jako ∇²F.

Zvlnění spád z žádný skalární pole φ je vždy nulový vektor pole

${ displaystyle nabla times ( nabla varphi) = { boldsymbol {0}}}$

který vyplývá z antisymetrie v definici zvlnění a symetrie druhých derivací.

Li φ je funkce skalární hodnoty a F je tedy vektorové pole

${ displaystyle nabla times ( varphi mathbf {F}) = nabla varphi times mathbf {F} + varphi nabla times mathbf {F}}$

Zobecnění

Operace vektorového počtu z grad, zvlnění a div jsou nejjednodušší zobecnitelné v kontextu různých forem, což zahrnuje řadu kroků. Stručně řečeno, odpovídají derivátům 0-forem, 1-forem a 2-forem. Geometrická interpretace zvlnění jako rotace odpovídá identifikaci bivektory (2-vektory) ve 3 rozměrech s speciální ortogonální Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {so}}}$(3) nekonečně malých rotací (v souřadnicích, zkosené symetrické matice 3 × 3), zatímco reprezentace rotací pomocí vektorů odpovídá identifikaci 1-vektorů (ekvivalentně 2-vektory) a ${ displaystyle { mathfrak {so}}}$(3), to vše jsou trojrozměrné prostory.

Diferenciální formy

Ve 3 dimenzích je diferenciální 0-forma jednoduše funkcí F(X, y, z); diferenciální 1 forma je následující výraz:

${ displaystyle a_ {1} , dx + a_ {2} , dy + a_ {3} , dz;}$

diferenciální 2-forma je formální součet:

${ displaystyle a_ {12} , dx klín dy + a_ {13} , dx klín dz + a_ {23} , dy klín dz;}$

a diferenciální 3-forma je definována jediným termínem:

${ displaystyle a_ {123} , dx klín dy klín dz.}$

(Tady A-coefficients jsou skutečné funkce; „klínové výrobky“, např. dx ∧ dy, lze interpretovat jako nějaký druh prvků orientované oblasti, dx ∧ dy = −dy ∧ dx, atd.)

The vnější derivace a k-formovat se ℝ³ je definován jako (k + 1)-forma shora - a dovnitř ℝⁿ pokud, např.

${ displaystyle omega ^ {(k)} = součet _ { scriptstyle {i_ {1}$

pak vnější derivace d vede k

${ displaystyle d omega ^ {(k)} = součet _ { scriptstyle {j = 1} na vrcholu scriptstyle {i_ {1} < cdots$

Vnější derivát 1-formy je proto 2-forma a derivace 2-formy je 3-forma. Na druhou stranu, kvůli zaměnitelnosti smíšených derivátů, např. kvůli

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2}} { částečné x , částečné y}} = { frac { částečné ^ {2}} { částečné y , částečné x}},}$

dvojí aplikace vnější derivace vede k 0.

Tedy, označující prostor k-formuje podle Ω^k(ℝ³) a vnější derivace od d jeden dostane sekvenci:

${ displaystyle 0 , { overset {d} { longrightarrow}} , Omega ^ {0} ( mathbf {R} ^ {3}) , { overset {d} { longrightarrow}} , Omega ^ {1} ( mathbf {R} ^ {3}) , { overset {d} { longrightarrow}} , Omega ^ {2} ( mathbf {R} ^ {3}) , { overset {d} { longrightarrow}} , Omega ^ {3} ( mathbf {R} ^ {3}) , { overset {d} { longrightarrow}} , 0.}$

Tady Ω^k(ℝⁿ) je prostor sekcí vnější algebra Λ^k(ℝⁿ) vektorový svazek přes ℝⁿ, jehož rozměr je binomický koeficient (ⁿ
_k); Všimněte si, že Ω^k(ℝ³) = 0 pro k > 3 nebo k < 0. Při psaní pouze dimenzí získá člověk řadu Pascalův trojúhelník:

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

jednorozměrná vlákna odpovídají skalárním polím a trojrozměrná vlákna vektorovým polím, jak je popsáno níže. Modulo vhodné identifikace, tři netriviální výskyty vnější derivace odpovídají grad, curl a div.

Diferenciální formy a diferenciál lze definovat na jakémkoli euklidovském prostoru, nebo dokonce na jakémkoli potrubí, bez jakékoli představy o Riemannově metrice. Na Riemannovo potrubí nebo obecněji pseudo-Riemannovo potrubí, k-formy lze identifikovat pomocí k-vektor pole (k-formy jsou k-objektová pole a pseudo-Riemannova metrika dává izomorfismus mezi vektory a vektory) a na orientované vektorový prostor s a nedgenerovaná forma (izomorfismus mezi vektory a vektory), existuje izomorfismus mezi k-vektory a (n − k)-vektory; zejména na (tangenciálním prostoru) orientovaného pseudo-Riemannova potrubí. Na orientovaném pseudo-Riemannově varietě lze tedy zaměňovat k-formuláře, k-vektorová pole, (n − k)-formy a (n − k)-vektorová pole; toto je známé jako Hodgeova dualita. Konkrétně, na ℝ³ to je dáno:

• 1-formuláře a 1-vektorová pole: 1-formulář A_X dx + A_y dy + A_z dz odpovídá vektorovému poli (A_X, A_y, A_z).
• 1-formy a 2-formy: jedna nahrazuje dx dvojím množstvím dy ∧ dz (tj. vynechat dx) a také péče o orientaci: dy odpovídá dz ∧ dx = −dx ∧ dz, a dz odpovídá dx ∧ dy. Tedy forma A_X dx + A_y dy + A_z dz odpovídá „dvojí formě“ A_z dx ∧ dy + A_y dz ∧ dx + A_X dy ∧ dz.

Identifikace 0-forem a 3-forem se skalárními poli a 1-forem a 2-forem s vektorovými poli:

• grad převezme skalární pole (0-forma) do vektorového pole (1-forma);
• curl převezme vektorové pole (1-forma) do pole pseudovektoru (2-forma);
• div vezme pole pseudovektoru (2-forma) do pole pseudoscalar (3-forma)

Na druhou stranu skutečnost, že d² = 0 odpovídá identitám

${ displaystyle nabla times ( nabla f) = 0}$

pro jakékoli skalární pole F, a

${ displaystyle nabla cdot ( nabla times mathbf {v}) = 0}$

pro jakékoli vektorové pole proti.

Grad a div generalizují na všechny orientované pseudoriemanovské variety se stejnou geometrickou interpretací, protože prostory 0-forem a n-forms je vždy (po vláknech) 1-dimenzionální a lze jej identifikovat pomocí skalárních polí, zatímco mezery 1-forem a (n − 1)-formy jsou vždy po vláknech n-dimenzionální a lze jej identifikovat pomocí vektorových polí.

Curl tímto způsobem nezobecňuje na 4 nebo více dimenzí (nebo na 2 nebo méně dimenzí); ve 4 rozměrech jsou rozměry

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

zvlnění 1-vektorového pole (vláknového 4-dimenzionálního) je a 2-vektorové pole, který je vláknový 6-dimenzionální, jeden má

${ displaystyle omega ^ {(2)} = součet _ {i$

který poskytuje součet šesti nezávislých členů a nelze jej identifikovat 1-vektorovým polem. Ani nelze smysluplně přejít z 1-vektorového pole do 2-vektorového pole do 3-vektorového pole (4 → 6 → 4), protože při použití rozdílu dvakrát se získá nula (d² = 0). Takto neexistuje žádná zvlněná funkce z vektorových polí do vektorových polí v jiných dimenzích vznikajících tímto způsobem.

Lze však definovat zvlnění vektorového pole jako a 2-vektorové pole obecně, jak je popsáno níže.

Curl geometricky

2-vektory odpovídají vnější energii Λ²PROTI; v přítomnosti vnitřního produktu, v souřadnicích se jedná o symetrické matice zešikmení, které jsou geometricky považovány za speciální ortogonální Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {so}}}$(PROTI) nekonečně malých rotací. To má (ⁿ
₂) = 1/2n(n − 1) dimenzí a umožňuje interpretovat diferenciál 1-vektorového pole jako jeho nekonečně malé rotace. Pouze ve 3 rozměrech (nebo triviálně v 0 rozměrech) ano n = 1/2n(n − 1), což je nejelegantnější a nejběžnější případ. Ve 2 rozměrech není zvlnění vektorového pole vektorovým polem, ale funkcí, protože dvourozměrné rotace jsou dány úhlem (skalární - je nutná orientace, aby bylo možné zvolit, zda se počítají otáčky ve směru hodinových ručiček nebo proti směru hodinových ručiček jako kladné); toto není div, ale je na něj spíše kolmé. Ve 3 rozměrech je zvlnění vektorového pole vektorovým polem, jak je známo (v 1 a 0 rozměrech je zvlnění vektorového pole 0, protože neexistují žádné netriviální 2 vektory), zatímco ve 4 rozměrech je zvlnění vektorové pole je v každém bodě geometricky prvkem 6rozměrné Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {so}}}$(4).

Zvlnění trojrozměrného vektorového pole, které závisí pouze na 2 souřadnicích (řekněme X a y) je jednoduše vertikální vektorové pole (v z směr), jehož velikost je zvlnění dvourozměrného vektorového pole, jako v příkladech na této stránce.

Uvažování zvlnění jako 2-vektorového pole (antisymetrický 2-tenzor) bylo použito k zobecnění vektorového počtu a související fyziky na vyšší dimenze.^[9]

Inverzní

V případě, že divergence vektorového pole PROTI je nula, vektorové pole Ž existuje takový, že PROTI= zvlnění (Ž).^{[Citace je zapotřebí ]} To je důvod, proč magnetické pole, charakterizovaný nulovou divergencí, lze vyjádřit jako zvlnění a potenciál magnetického vektoru.

Li Ž je vektorové pole s kučera(Ž) = PROTI, poté přidejte libovolné pole vektoru přechodu grad (f) na Ž bude mít za následek další vektorové pole Ž + grad (f) takhle kučera(Ž + grad (f)) = PROTI také. To lze shrnout tím, že říkáme, že inverzní zvlnění trojrozměrného vektorového pole lze získat až do neznáma irrotační pole s Biot – Savartův zákon.

Viz také

• Helmholtzův rozklad
• Del ve válcových a sférických souřadnicích
• Vorticita

Reference

Další čtení

• Korn, Granino Arthur a Theresa M. Korn (leden 2000). Matematická příručka pro vědce a inženýry: Definice, věty a vzorce pro referenci a recenzi. New York: Dover Publications. str. 157–160. ISBN  0-486-41147-8.
• Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl a vše, co: Neformální text na vektorovém počtu. New York: Norton. ISBN  0-393-96997-5.

externí odkazy

• "Kučera", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• „Vector Calculus: Understanding Circulation and Curl - BetterExplained“. betterexplained.com. Citováno 2020-11-09.
• „Divergence a zvlnění: jazyk Maxwellových rovnic, proudění tekutin a další“. 21. června 2018 - prostřednictvím Youtube.