Stokesova věta - Stokes theorem - Wikipedia

v vektorový počet a diferenciální geometrie, Stokesova věta (někdy hláskováno Stokesova věta), také nazývaný zobecněná Stokesova věta nebo Stokes – Cartanova věta,^[1] je prohlášení o integrace z diferenciální formy na rozdělovače, což několik zjednodušuje a zobecňuje věty z vektorový počet. Stokesova věta říká, že integrál diferenciální formy ω přes hranice některých orientovatelný potrubí Ω se rovná jeho integrálu vnější derivace dω přes celou Ω, tj.,

${ displaystyle int _ { částečné Omega} omega = int _ { Omega} d omega ,.}$

Stokesova věta byla formulována v moderní podobě autorem Élie Cartan v roce 1945,^[2] následující dřívější práce na zobecnění vět o vektorovém počtu pomocí Vito Volterra, Édouard Goursat, a Henri Poincaré.^[3][4]

Tato moderní forma Stokesovy věty je obrovským zobecněním a klasický výsledek že Lord Kelvin sdělil George Stokes v dopise ze dne 2. července 1850.^[5][6][7] Stokes nastavil teorém jako otázku na 1854 Smithova cena zkouška, která vedla k výsledku nesoucímu jeho jméno. Poprvé to vydalo Hermann Hankel v roce 1861.^[7][8] Tento klasický Kelvin – Stokesova věta se týká povrchový integrál z kučera a vektorové pole F na povrchu (tj tok z kučera F) v euklidovském tříprostoru k linka integrální vektorového pole přes jeho hranici (také známé jako integrál smyčky).

Jednoduchý příklad klasické vektorové analýzy

Nechat y: [A, b] → R² být po částech hladký Jordan rovina křivka. The Jordanova věta o křivce to naznačuje y rozděluje R² do dvou složek, a kompaktní jeden a druhý, který je nekompaktní. Nechat D označit kompaktní část, která je ohraničena y a předpokládejme ψ: D → R³ je hladký, s S := ψ(D). Li Γ je prostorová křivka definován Γ (t) = ψ(y(t))^{[poznámka 1]} a F je hladké vektorové pole R³, pak:^[9][10][11]

${ displaystyle mast _ { Gamma} mathbf {F} , cdot , d { mathbf { Gamma}} = iint _ {S} nabla times mathbf {F} , cdot , d mathbf {S}}$

Toto klasické tvrzení je zvláštním případem obecné formulace uvedené výše po provedení identifikace vektorového pole s 1 formou a jeho zvlnění pomocí dvou forem prostřednictvím

${ displaystyle { begin {pmatrix} F_ {x} F_ {y} F_ {z} konec {pmatrix}} cdot d Gamma do F_ {x} dx + F_ {y} dy + F_ {z} dz}$

${ displaystyle nabla times { begin {pmatrix} F_ {x} F_ {y} F_ {z} end {pmatrix}} cdot d mathbf {S} = { begin {pmatrix} částečné _ {y} F_ {z} - částečné _ {z} F_ {y} částečné _ {z} F_ {x} - částečné _ {x} F_ {z} částečné _ { x} F_ {y} - částečné _ {y} F_ {x} konec {pmatrix}} cdot d mathbf {S} to}$

${ displaystyle d (F_ {x} dx + F_ {y} dy + F_ {z} dz) = ( částečné _ {y} F_ {z} - částečné _ {z} F_ {y}) dy klín dz + ( částečný _ {z} F_ {x} - částečný _ {x} F_ {z}) dz klín dx + ( částečný _ {x} F_ {y} - částečný _ {y} F_ {x} ) dx klín dy}$.

Další klasické zobecnění základní věta o počtu jako věta o divergenci, a Greenova věta jsou speciální případy obecné formulace uvedené výše po provedení standardní identifikace vektorových polí s diferenciálními formami (různé pro každou z klasických vět).

Úvod

The základní věta o počtu uvádí, že integrální funkce F přes interval [A, b] lze vypočítat vyhledáním primitivní F zF:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = F (b) -F (a) ,.}$

Stokesova věta je obrovským zobecněním této věty v následujícím smyslu.

• Podle volby F, dF/dx = F(X). V řeči diferenciální formy, to říká F(X) dx je vnější derivace formy 0, tj. funkce, F: jinými slovy, to dF = F dx. Obecná Stokesova věta platí pro vyšší diferenciální formy ω místo pouze 0 forem, jako je F.
• Uzavřený interval [A, b] je jednoduchý příklad jednorozměrného potrubí s hranicí. Jeho hranicí je množina skládající se ze dvou bodů A a b. Integrace F v průběhu intervalu lze zobecnit na integraci forem do mnohorozměrného potrubí. Jsou zapotřebí dvě technické podmínky: rozdělovač musí být orientovatelný a forma musí být kompaktně podporováno za účelem získání dobře definovaného integrálu.
• Tyto dva body A a b tvoří hranici uzavřeného intervalu. Obecněji platí, že Stokesova věta platí pro orientované potrubí M s hranicí. Hranice ∂M z M je sama o sobě rozmanitá a zdědí přirozenou orientaci od té M. Například přirozená orientace intervalu poskytuje orientaci dvou hraničních bodů. Intuitivně, A zdědí opačnou orientaci jako b, protože jsou na opačných koncích intervalu. Takže „integrace“ F přes dva hraniční body A, b bere rozdíl F(b) − F(A).

Ještě jednodušeji lze body považovat za hranice křivek, tedy za 0rozměrné hranice 1rozměrných variet. Stejně jako lze najít hodnotu integrálu (F dx = dF) přes jednorozměrné potrubí ([A, b]) zvážením anti-derivátu (F) na 0-rozměrných hranicích ({A, b}), lze zobecnit základní teorém počtu, s několika dalšími upozorněními, zabývajícími se hodnotou integrálů (dω) přes n-dimenzionální potrubí (Ω) zvážením protikladného (ω) na (n − 1)-dimenzionální hranice (∂Ω) potrubí.

Základní věta zní:

${ displaystyle int _ {[a, b]} f (x) , dx = int _ {[a, b]} dF = int _ { {a } ^ {-} pohár { b } ^ {+}} F = F (b) -F (a) ,.}$

Formulace pro hladké potrubí s ohraničením

Nechat Ω být orientovaný hladké potrubí s hranicí dimenze n a nechte α být hladký n-diferenciální forma to je kompaktně podporováno na Ω. Nejprve předpokládejme, že α je kompaktně podporován v doméně jednoho, orientované souřadnicový graf {U, φ}. V tomto případě definujeme integrál α přes Ω tak jako

${ displaystyle int _ { Omega} alpha = int _ { varphi (U)} left ( varphi ^ {- 1} right) ^ {*} alpha ,,}$

tj. prostřednictvím zarazit z α na Rⁿ.

Obecněji řečeno, integrál α přes Ω je definována takto: Let {ψ_i} být rozdělení jednoty spojené s a místně konečné Pokrýt {U_i, φ_i} (důsledně orientovaných) souřadnicových grafů, pak definujte integrál

${ displaystyle int _ { Omega} alfa ekviv součet _ {i} int _ {U_ {i}} psi _ {i} alfa ,,}$

kde je každý člen v součtu vyhodnocen tahem zpět na Rⁿ jak je popsáno výše. Toto množství je dobře definované; to znamená, že to nezávisí na volbě souřadnicových grafů, ani rozdělení jednoty.

Zobecněná Stokesova věta zní:

Teorém. (Stokes – Cartan) Pokud ${ displaystyle omega}$ je hladký ${ displaystyle (n-1)}$-formulář s kompaktní podpora na hladké ${ displaystyle n}$-dimenzionální potrubí s hranicí ${ displaystyle Omega}$, ${ displaystyle částečné Omega}$ označuje hranice z ${ displaystyle Omega}$ vzhledem k indukované orientace, a ${ displaystyle i: částečné Omega hookrightarrow Omega}$ je mapa zařazení, pak

${ displaystyle int _ { Omega} d omega = int _ { částečné Omega} i ^ {*} omega}$.

Konvenčně, ${ textstyle int _ { částečné Omega} i ^ {*} omega}$ je zkrácen jako ${ textstyle int _ { částečné Omega} omega}$, protože odvolání diferenciální formy inkluzní mapou je jednoduše omezením na její doménu: ${ displaystyle i ^ {*} omega = omega | _ { částečné Omega}}$. Tady ${ displaystyle d}$ je vnější derivace, který je definován pouze pomocí struktury potrubí. Pravá strana je někdy psána jako ${ textstyle mast _ { částečné Omega} omega}$ zdůraznit skutečnost, že ${ displaystyle (n-1)}$- potrubí ${ displaystyle částečné Omega}$ nemá hranice.^{[poznámka 2]} (Tato skutečnost je také implikací Stokesovy věty, protože pro danou hladkou ${ displaystyle n}$-dimenzionální potrubí ${ displaystyle Omega}$, aplikace věty dvakrát dává ${ textstyle int _ { částečné ( částečné Omega)} omega = int _ { Omega} d (d omega) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle (n-2)}$-formulář ${ displaystyle omega}$, což z toho vyplývá ${ displaystyle částečné ( částečné Omega) = prázdné nastavení}$.) Pravá strana rovnice se často používá k formulaci integrální zákony; levá strana pak vede k ekvivalentu rozdíl formulace (viz níže).

Věta se často používá v situacích, kdy ${ displaystyle Omega}$ je vložený orientovaný dílčí potrubí nějakého většího potrubí, často ${ displaystyle mathbf {R} ^ {k}}$, na kterém je formulář ${ displaystyle omega}$ je definováno.

Topologické přípravné zápasy; integrace přes řetězce

Nechat M být hladké potrubí. (Hladký) singulární k-jednodušší v M je definována jako a hladká mapa ze standardního simplexu v R^k na M. Skupina C_k(M, Z) jednotného čísla k-řetězy na M je definován jako bezplatná abelianská skupina na množině jednotného čísla k-jednoduchosti v M. Tyto skupiny spolu s hraniční mapou ∂, definujte a řetězový komplex. Odpovídající skupina homologie (resp. Cohomologie) je izomorfní k obvyklé singulární homologie skupina H_k(M, Z) (resp singulární kohomologie skupina H^k(M, Z)), definovaný pomocí spojitých spíše než hladkých jednoduchostí v M.

Na druhou stranu diferenciální formy s vnější derivací djako spojovací mapa tvoří komplex řetězců, který definuje de Rhamova kohomologie skupiny H^k
_dR(M, R).

Rozdíl k-formy lze integrovat přes a k-simplexní přirozeným způsobem, tažením zpět k R^k. Rozšíření o linearitu umožňuje integraci přes řetězce. To dává lineární mapu z prostoru k-formy do kth skupina singular cochains, C^k(M, Z), lineární funkcionály zapnuty C_k(M, Z). Jinými slovy, a k-formulář ω definuje funkční

${ displaystyle I ( omega) (c) = mast _ {c} omega.}$

na k-řetězce. Stokesova věta říká, že se jedná o řetězovou mapu od de Rhamovy kohomologie k singulární kohomologii se skutečnými koeficienty; vnější derivát, dse chová jako dvojí z ∂ na formulářích. To dává homomorfismus od de Rhamovy kohomologie po singulární kohomologii. Na úrovni formulářů to znamená:

1. uzavřené formy, tj. dω = 0, mít nulový integrál přes hranice, tj. přes různá potrubí, která lze zapsat jako ∂∑_C M_C, a
2. přesné formy, tj. ω = dσ, mít nulový integrál přes cykly, tj. pokud se hranice sčítají s prázdnou množinou: ∑_C M_C = ∅.

De Rhamova věta ukazuje, že tento homomorfismus je ve skutečnosti izomorfismus. Konverzace na 1 a 2 výše tedy platí. Jinými slovy, pokud {C_i} jsou cykly generující kth homology group, then for any corresponding real numbers, {A_i}, existuje uzavřená forma, ω, takový, že

${ displaystyle mast _ {c_ {i}} omega = a_ {i} ,,}$

a tento formulář je jedinečný až do přesných formulářů.

Stokesova věta o hladkých varietách může být odvozena od Stokesovy věty pro řetězce v hladkých varietách a naopak.^[12] Formálně řečeno, druhý zní:^[13]

Základní princip

Pro zjednodušení těchto topologických argumentů stojí za to prozkoumat základní princip zvážením příkladu pro d = 2 rozměry. Základní myšlenku lze pochopit na obrázku vlevo, který ukazuje, že při orientovaném obkladu potrubí jsou vnitřní cesty procházeny opačnými směry; jejich příspěvky do integrálu dráhy se tak po dvojicích ruší. V důsledku toho zbývá pouze příspěvek z hranice. Postačuje tedy dokázat Stokesovu větu pro dostatečně jemné sklony (nebo ekvivalentně jednoduchosti ), což obvykle není obtížné.

Zobecnění na hrubé množiny

Region (zde se nazývá D namísto Ω) s po částech hladkou hranicí. Tohle je rozdělovač s rohy, takže jeho hranice není plynulé potrubí.

Formulace výše, ve které Ω je hladké potrubí s hranicí, nestačí v mnoha aplikacích. Například pokud je doména integrace definována jako rovinná oblast mezi dvěma X- souřadnice a grafy dvou funkcí, často se stane, že doména má rohy. V takovém případě to znamenají rohové body Ω není hladké potrubí s hranicí, a proto neplatí výše uvedené prohlášení Stokesovy věty. Přesto je možné ověřit, že závěr Stokesovy věty je stále pravdivý. To je proto, že Ω a jeho hranice se chovají dobře od malé množiny bodů (a změřit nulu soubor).

Verze Stokesovy věty, která umožňuje drsnost, dokázala Whitney.^[14] Předpokládat, že D je spojená ohraničená otevřená podmnožina Rⁿ. Volání D A standardní doména pokud splňuje následující vlastnost: Existuje podmnožina P z ∂D, otevři to ∂D, jehož doplněk v ∂D má Hausdorff (n − 1)-opatření nula; a takové, že každý bod P má zobecněný normální vektor. Toto je vektor proti(X) tak, že pokud je zvolen souřadný systém tak proti(X) je první základní vektor, tedy v otevřeném okolí X, existuje plynulá funkce F(X₂, …, X_n) takhle P je graf { X₁ = F(X₂, …, X_n) } a D je region {X₁ : X₁ < F(X₂, …, X_n) }. Whitney poznamenává, že hranicí standardní domény je spojení množiny nulových Hausdorffů (n − 1)- opatření a konečné nebo spočetné spojení hladkého (n − 1)-manifolds, z nichž každý má doménu pouze na jedné straně. Poté dokazuje, že pokud D je standardní doména v Rⁿ, ω je (n − 1)-forma, která je definována, spojitá a ohraničená D ∪ P, hladké D, integrovatelný na Pa tak dále dω je integrovatelný D, pak platí Stokesova věta, tj.

${ displaystyle int _ {P} omega = int _ {D} d omega ,.}$

Studium teoreticko-teoretických vlastností hrubých množin vede k teorie geometrických měr. Ještě obecnější verze Stokesovy věty prokázali Federer a Harrison.^[15]

Speciální případy

Obecná forma Stokesovy věty používající diferenciální formy je výkonnější a snáze použitelná než speciální případy. Tradiční verze lze formulovat pomocí Kartézské souřadnice bez mechanismu diferenciální geometrie, a jsou tak přístupnější. Dále jsou starší a jejich jména jsou díky tomu známější. Tradiční formy jsou praktickými vědci a inženýry často považovány za pohodlnější, ale nepřirozenost tradiční formulace se projeví při použití jiných souřadnicových systémů, i těch známých, jako jsou sférické nebo válcové souřadnice. Existuje způsob nejasností ve způsobu použití názvů a použití dvojí formulace.

Kelvin – Stokesova věta

Ilustrace věty Kelvin-Stokes s povrchem Σ, jeho hranice ∂Σ a „normální“ vektor n.

Toto je (dualizovaný) (1 + 1) -dimenzionální případ, pro 1-formulář (dualizovaný, protože se jedná o prohlášení o vektorová pole ). Tento speciální případ se často označuje jako Stokesova věta v mnoha úvodních univerzitních kurzech vektorového počtu a používá se ve fyzice a inženýrství. To je také někdy známé jako kučera teorém.

Klasická Kelvin-Stokesova věta souvisí s povrchový integrál z kučera a vektorové pole přes povrch Σ v euklidovském tříprostoru k linka integrální vektorového pole přes jeho hranici. Jedná se o speciální případ obecné Stokesovy věty (s n = 2) jakmile identifikujeme vektorové pole s 1 formou pomocí metriky na euklidovském 3 prostoru. Křivka integrálu přímky, ∂Σ, musí mít pozitivní orientace, znamenající, že ∂Σ body proti směru hodinových ručiček, když povrch normální, n, ukazuje na diváka.

Jedním z důsledků Kelvin-Stokesovy věty je, že siločáry vektorového pole s nulovým zvlněním nelze uzavřít obrysy. Vzorec lze přepsat jako:

Greenova věta

Greenova věta je okamžitě rozpoznatelný jako třetí integrand obou stran v integrálu, pokud jde o P, Q, a R citováno výše.

V elektromagnetismu

Dva ze čtyř Maxwellovy rovnice zahrnují kadeře 3D vektorových polí a jejich diferenciální a integrální formy jsou spojeny pomocí Kelvin – Stokesova věta. Je třeba dbát na to, aby se zabránilo případům s pohyblivými hranicemi: derivace částečného času mají takové případy vyloučit. Pokud jsou zahrnuty pohyblivé hranice, zavádí výměna integrace a diferenciace pojmy související s hraničním pohybem, které nejsou zahrnuty ve výsledcích níže (viz Diferenciace pod integrálním znaménkem ):

název	Rozdíl formulář	Integrální forma (pomocí Kelvin-Stokesovy věty plus relativistické invariance, ∫ ∂/∂t … → d/dt ∫ …)
Maxwellova – Faradayova rovnice Faradayův zákon indukce:	${ displaystyle quad nabla times mathbf {E} = - { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} quad}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} quad mast _ {C} mathbf {E} cdot d mathbf {l} & = iint _ {S} nabla times mathbf {E} cdot d mathbf {A} & = - iint _ {S} { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} cdot d mathbf {A} end {zarovnáno}} quad }$ (s C a S ne nutně stacionární)
Ampereův zákon (s příponou Maxwell):	${ displaystyle quad nabla times mathbf {H} = mathbf {J} + { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} quad}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} quad mast _ {C} mathbf {H} cdot d mathbf {l} & = iint _ {S} nabla times mathbf {H} cdot d mathbf {A} & = iint _ {S} mathbf {J} cdot d mathbf {A} + iint _ {S} { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} cdot d mathbf {A} end {zarovnáno}} quad}$ (s C a S ne nutně stacionární)

Výše uvedená podmnožina Maxwellových rovnic platí pro elektromagnetická pole vyjádřená v SI jednotky. V jiných systémech jednotek, jako např CGS nebo Gaussovy jednotky, měřítkové faktory pro termíny se liší. Například v Gaussových jednotkách má Faradayův zákon indukce a Ampereův zákon tyto formy:^[16][17]

${ displaystyle { begin {aligned} nabla times mathbf {E} & = - { frac {1} {c}} { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}} ,, nabla times mathbf {H} & = { frac {1} {c}} { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}} + { frac {4 pi} {c}} mathbf {J} ,, end {zarovnáno}}}$

respektive kde C je rychlost světla ve vakuu.

Věta o divergenci

Stejně tak věta o divergenci

${ displaystyle int _ { mathrm {Vol}} nabla cdot mathbf {F} , d _ { mathrm {Vol}} = mast _ { částečné mathrm {Vol}} mathbf {F} cdot d { boldsymbol { Sigma}}}$

je zvláštní případ, pokud identifikujeme vektorové pole s (n − 1)-forma získaná kontrakcí vektorového pole s euklidovským objemovým formulářem. Je tomu tak v případě použití F = FC kde C je libovolný konstantní vektor. Vypracování divergence produktu dává

${ displaystyle mathbf {c} cdot int _ { mathrm {vol}} nabla f , d _ { mathrm {vol}} = mathbf {c} cdot mast _ { částečný mathrm { Vol}} f , d { boldsymbol { Sigma}} ,.}$

Protože to platí pro všechny C shledáváme

${ displaystyle int _ { mathrm {Vol}} nabla f , d _ { mathrm {Vol}} = mast _ { částečný mathrm {Vol}} f , d { boldsymbol { Sigma} } ,.}$

Viz také

• Lemma Chandrasekhar – Wentzel

Poznámky pod čarou

Reference

Další čtení

• Grunsky, Helmut (1983). Věta generála Stokese. Boston: Pitman. ISBN  0-273-08510-7.
• Katz, Victor J. (květen 1979). „Historie Stokesovy věty“. Matematický časopis. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
• Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (2014). Pokročilý počet. Hackensack, New Jersey: World Scientific. ISBN  978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). Od kalkulu po kohomologii: De Rhamova kohomologie a charakteristické třídy. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  0-521-58956-8.
• Marsden, Jerrold E.; Anthony, Tromba (2003). Vektorový počet (5. vydání). W. H. Freeman.
• Lee, John (2003). Úvod do hladkých potrubí. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-95448-6.
• Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy. New York, NY: McGraw – Hill. ISBN  0-07-054235-X.
• Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: a Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN  0-8053-9021-9.
• Stewart, James (2009). Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning. str. 960–967. ISBN  978-0-495-55742-5.
• Stewart, James (2003). Calculus: Early Transcendental Functions (5. vydání). Brooks / Cole.
• Tu, Loring W. (2011). Úvod do rozdělovačů (2. vyd.). New York: Springer. ISBN  978-1-4419-7399-3.

externí odkazy

• "Stokesův vzorec", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Důkaz věty o divergenci a Stokesovy věty
• Calculus 3 - Stokesova věta z lamar.edu - výkladové vysvětlení