Věta o střední hodnotě - Mean value theorem

Pro každou funkci, která je trvale zapnutá

{displaystyle [a, b]}

a rozlišitelné na

{displaystyle (a, b)}

nějaké existují

{displaystyle c}

v intervalu

{displaystyle (a, b)}

tak, že sečna spojující koncové body intervalu

{displaystyle [a, b]}

je rovnoběžná s tangensou v

{displaystyle c}

.

v matematika, věta o střední hodnotě zhruba uvádí, že pro danou rovinu oblouk mezi dvěma koncovými body je alespoň jeden bod, ve kterém tečna k oblouku je rovnoběžná s sekán prostřednictvím svých koncových bodů. Je to jeden z nejdůležitějších výsledků v skutečná analýza. Tato věta se používá k prokázání tvrzení o funkci v intervalu vycházející z lokálních hypotéz o derivátech v bodech intervalu.

Věta přesněji uvádí, že pokud ${displaystyle f}$ je spojitá funkce na uzavřený interval ${displaystyle [a, b]}$ a rozlišitelný na otevřený interval ${displaystyle (a, b)}$ , pak existuje bod ${displaystyle c}$ v ${displaystyle (a, b)}$ tak, že tečna v c je rovnoběžná se sečnickou čarou přes koncové body ${displaystyle (a, f (a))}$ a ${displaystyle (b, f (b))}$ , to znamená,

{displaystyle f '(c) = {frac {f (b) -f (a)} {b-a}}.}

Dějiny

Zvláštní případ teorém byl poprvé popsán uživatelem Parameshvara (1370–1460), z Kerala School of Astronomy and Mathematics v Indie, ve svých komentářích k Govindasvāmi a Bhāskara II.^[1] Omezenou formu věty prokázal Michel Rolle v roce 1691; výsledkem bylo to, co je nyní známé jako Rolleova věta, a bylo prokázáno pouze pro polynomy, bez technik počtu. Věta o střední hodnotě v její moderní podobě byla uvedena a prokázána Augustin Louis Cauchy v roce 1823.^[2]

Formální prohlášení

Funkce

{displaystyle f}

dosáhne sklonu sečny mezi

{displaystyle a}

a

{displaystyle b}

jako derivát v bodě

{displaystyle xi in (a, b)}

.

Je také možné, že existuje více tečen rovnoběžných se secantem.

Nechat ${displaystyle f: [a, b] o mathbb {R}}$ být spojitá funkce na zavřeném interval ${displaystyle [a, b]}$ , a rozlišitelný na otevřeném intervalu ${displaystyle (a, b)}$ , kde ${displaystyle a$ . Pak nějaké existují ${displaystyle c}$ v ${displaystyle (a, b)}$ takhle

{displaystyle f '(c) = {frac {f (b) -f (a)} {b-a}}.}

Věta o střední hodnotě je zobecněním Rolleova věta, který předpokládá ${displaystyle f (a) = f (b)}$ , takže pravá strana výše je nula.

Věta o střední hodnotě je stále platná v trochu obecnějším nastavení. Je třeba jen předpokládat, že ${displaystyle f: [a, b] o mathbb {R}}$ je kontinuální na ${displaystyle [a, b]}$ , a to pro každého ${displaystyle x}$ v ${displaystyle (a, b)}$ the omezit

{displaystyle lim _ {h o 0} {frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

existuje jako konečné číslo nebo se rovná ${displaystyle infty}$ nebo ${displaystyle -infty}$ . Pokud je konečný, tento limit se rovná ${displaystyle f '(x)}$ . Příklad, kde platí tato verze věty, je uveden v reálné hodnotě třetí odmocnina mapování funkcí ${displaystyle x o x ^ {frac {1} {3}}}$ , jehož derivát inklinuje k nekonečnu v počátku.

Všimněte si, že věta, jak je uvedeno, je nepravdivá, pokud je diferencovatelná funkce komplexně oceněna místo skutečné hodnoty. Například definujte ${displaystyle f (x) = e ^ {xi}}$ pro všechny skutečné ${displaystyle x}$ . Pak

{displaystyle f (2pi) -f (0) = 0 = 0 (2pi -0)}

zatímco ${displaystyle f '(x) eq 0}$ pro všechny skutečné ${displaystyle x}$ .

Tyto formální výroky jsou také známé jako Lagrangeova věta o střední hodnotě.^[3]

Důkaz

Výraz ${displaystyle {frac {f (b) -f (a)} {(b-a)}}}$ dává sklon čáry spojující body ${displaystyle (a, f (a))}$ a ${displaystyle (b, f (b))}$ , což je akord grafu ${displaystyle f}$ , zatímco ${displaystyle f '(x)}$ udává sklon tečny ke křivce v bodě ${displaystyle (x, f (x))}$ . Věta o střední hodnotě tedy říká, že vzhledem k libovolnému akordu hladké křivky můžeme najít bod ležící mezi koncovými body akordu tak, že tečna v tomto bodě je rovnoběžná s akordem. Následující důkaz ilustruje tuto myšlenku.

Definovat ${displaystyle g (x) = f (x) -rx}$ , kde ${displaystyle r}$ je konstanta. Od té doby ${displaystyle f}$ je nepřetržitě zapnuto ${displaystyle [a, b]}$ a rozlišitelné na ${displaystyle (a, b)}$ , totéž platí pro ${displaystyle g}$ . Nyní si chceme vybrat ${displaystyle r}$ aby ${displaystyle g}$ splňuje podmínky Rolleova věta. A to

{displaystyle {egin {zarovnáno} g (a) = g (b) & iff f (a) -ra = f (b) -rb & iff r (ba) = f (b) -f (a) & iff r = {frac {f (b) -f (a)} {ba}} konec cdot {zarovnáno}}}

Podle Rolleova věta, od té doby ${displaystyle g}$ je rozlišitelný a ${displaystyle g (a) = g (b)}$ , některé jsou ${displaystyle c}$ v ${displaystyle (a, b)}$ pro který ${displaystyle g '(c) = 0}$ , a vyplývá to z rovnosti ${displaystyle g (x) = f (x) -rx}$ že,

{displaystyle {egin {aligned} & g '(x) = f' (x) -r & g '(c) = 0 & g' (c) = f '(c) -r = 0 & Rightarrow f' (c ) = r = {frac {f (b) -f (a)} {ba}} konec {zarovnáno}}}

Implikace

Věta 1: Předpokládejme to F je spojitá funkce se skutečnou hodnotou definovaná v libovolném intervalu Já skutečné linie. Pokud je derivát F u každého vnitřní bod intervalu Já existuje a je tedy nula F je konstantní v interiéru.

Důkaz: Předpokládejme derivaci F u každého vnitřní bod intervalu Já existuje a je nula. Nechť (A, b) být libovolný otevřený interval v Já. Věta o střední hodnotě existuje bod C v (A,b) takové, že

{displaystyle 0 = f '(c) = {frac {f (b) -f (a)} {b-a}}.}

To z toho vyplývá F(A) = F(b). Tím pádem, F je konstantní na vnitřku Já a tak je konstantní Já kontinuitou. (Verze tohoto výsledku s více proměnnými viz níže.)

Poznámky:

Pouze kontinuita F, v koncových bodech intervalu není nutná diferenciace Já. Není třeba uvádět hypotézu kontinuity, pokud Já je otevřený interval, protože existence derivace v bodě implikuje kontinuitu v tomto bodě. (Viz část kontinuita a diferencovatelnost článku derivát.)
Diferencovatelnost F lze uvolnit jednostranná diferencovatelnost, důkaz uvedený v článku o polodiferencovatelnost.

Věta 2: Pokud F'(X) = G'(X) pro všechny X v intervalu (A, b) domény těchto funkcí f - g je konstantní nebo f = g + c kde C je konstanta na (A, b).

Důkaz: Nechat F = f - g, pak F '= f' - g '= 0 v intervalu (A, b), takže výše uvedená věta 1 to říká F = f - g je konstanta C nebo f = g + c.

Věta 3: Pokud F je primitivní funkcí F v intervalu Já, pak nejobecnější primitivní funkce F na Já je F (x) + c kde C je konstanta.

Důkaz: Je přímo odvozen z výše uvedené věty 2.

Cauchyova věta o střední hodnotě

Cauchyova věta o střední hodnotě, také známý jako věta o rozšířené střední hodnotě,^[4] je zobecnění věty o střední hodnotě. Uvádí: Pokud funkce F a G jsou oba spojité v uzavřeném intervalu [A, b] a diferencovatelné na otevřeném intervalu (A, b), pak nějaké existují C ∈ (A, b), takový, že^[3]

Geometrický význam Cauchyho věty

{displaystyle (f (b) -f (a)) g '(c) = (g (b) -g (a)) f' (c).}

Samozřejmě, pokud G(A) ≠ G(b) a pokud G'(C) ≠ 0, to odpovídá:

{displaystyle {frac {f '(c)} {g' (c)}} = {frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}}.}

Geometricky to znamená, že nějaké existují tečna do grafu křivka^[5]

{displaystyle {egin {cases} [a, b] o mathbf {R} ^ {2} tmapsto (f (t), g (t)) end {cases}}}

který je paralelní k přímce definované body (F(A), G(A)) a (F(b), G(b)). Cauchyova věta však netvrdí existenci takové tečny ve všech případech, kdy (F(A), G(A)) a (F(b), G(b)) jsou odlišné body, protože to může být uspokojeno pouze pro určitou hodnotu C s F'(C) = G'(C) = 0, jinými slovy hodnota, pro kterou je uvedená křivka stacionární; v takových bodech nebude pravděpodobně vůbec definována žádná tečna ke křivce. Příkladem této situace je křivka daná vztahem

{displaystyle tmapsto (t ^ {3}, 1-t ^ {2}),}

který na intervalu [−1, 1] přechází z bodu (−1, 0) do (1, 0), přesto nikdy nemá vodorovnou tečnu; má však stacionární bod (ve skutečnosti a hrot ) na t = 0.

K prokázání lze použít Cauchyovu větu o střední hodnotě l'Hôpitalovo pravidlo. Věta o střední hodnotě je speciální případ Cauchyho věty o střední hodnotě, když G(t) = t.

Důkaz Cauchyho věty o střední hodnotě

Důkaz Cauchyho věty o střední hodnotě je založen na stejné myšlence jako důkaz věty o střední hodnotě.

Předpokládat G(A) ≠ G(b). Definovat h(X) = F(X) − rg(X), kde r je stanovena takovým způsobem, že h(A) = h(b), jmenovitě

{displaystyle {egin {zarovnáno} h (a) = h (b) & iff f (a) -rg (a) = f (b) -rg (b) & iff r (g (b) -g (a)) = f (b) -f (a) & iff r = {frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}}. konec {zarovnáno}}}

Od té doby F a G jsou spojité na [A, b] a rozlišitelné na (A, b), totéž platí pro h. Celkově vzato, h splňuje podmínky Rolleova věta: v důsledku toho existují C v (A, b) pro který h ′(C) = 0. Nyní pomocí definice h my máme:

{displaystyle 0 = h '(c) = f' (c) -rg '(c) = f' (c) -left ({frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} hned) g '(c).}

Proto:

{displaystyle f '(c) = {frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} g' (c),}

což znamená výsledek.^[3]

Li G(A) = G(b), poté se přihlásíte Rolleova věta na G, z toho vyplývá, že existuje C v (A, b) pro který G'(C) = 0. Pomocí této volby C, Cauchyova věta o střední hodnotě (triviálně) platí.

Zobecnění pro determinanty

Předpokládat, že ${displaystyle f, g,}$ a ${displaystyle h}$ jsou rozlišitelné funkce na ${displaystyle (a, b)}$ které jsou nepřetržitě zapnuty ${displaystyle [a, b]}$ . Definovat

{displaystyle D (x) = left | {egin {array} {ccc} f (x) & g (x) & h (x) f (a) & g (a) & h (a) f (b) & g (b ) & h (b) konec {pole}} hned |}

Tady existuje ${displaystyle cin (a, b)}$ takhle ${displaystyle D '(c) = 0}$ .

Všimněte si toho

{displaystyle D '(x) = left | {egin {array} {ccc} f' (x) & g '(x) & h' (x) f (a) & g (a) & h (a) f (b ) & g (b) & h (b) konec {pole}} vpravo |}

a pokud umístíme ${displaystyle h (x) = 1}$ , dostaneme Cauchyovu větu o střední hodnotě. Pokud umístíme ${displaystyle h (x) = 1}$ a ${displaystyle g (x) = x}$ dostaneme Lagrangeova věta o střední hodnotě.

Důkaz zobecnění je poměrně jednoduchý: každý z nich ${displaystyle D (a)}$ a ${displaystyle D (b)}$ jsou tedy determinanty se dvěma identickými řádky ${displaystyle D (a) = D (b) = 0}$ . Rolleova věta naznačuje, že existuje ${displaystyle cin (a, b)}$ takhle ${displaystyle D '(c) = 0}$ .

Věta o střední hodnotě v několika proměnných

Věta o střední hodnotě se zobecňuje na skutečné funkce více proměnných. Trik spočívá v tom, že pomocí parametrizace vytvoříte skutečnou funkci jedné proměnné a poté použijete větu o jedné proměnné.

Nechat ${displaystyle G}$ být otevřenou konvexní podmnožinou ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a nechte ${displaystyle f: G o mathbb {R}}$ být rozlišitelná funkce. Fixní body ${displaystyle x, yin G}$ a definovat ${displaystyle g (t) = f {Big (} (1-t) x + ty {Big)}}$ . Od té doby ${displaystyle g}$ je diferencovatelná funkce v jedné proměnné, věta o střední hodnotě dává:

{displaystyle g (1) -g (0) = g '(c)}

pro některé ${displaystyle c}$ mezi 0 a 1. Ale od té doby ${displaystyle g (1) = f (y)}$ a ${displaystyle g (0) = f (x)}$ , výpočetní ${displaystyle g '(c)}$ výslovně máme:

{displaystyle f (y) -f (x) = abla f {Big (} (1-c) x + cy {Big)} cdot (y-x)}

kde ${displaystyle abla}$ označuje a spád a ${displaystyle cdot}$ A Tečkovaný produkt. Všimněte si, že se jedná o přesný analog věty v jedné proměnné (v případě ${displaystyle n = 1}$ tento je věta v jedné proměnné). Podle Cauchy – Schwarzova nerovnost, rovnice udává odhad:

{displaystyle {Bigg |} f (y) -f (x) {Bigg |} leq {Bigg |} abla f {Big (} (1-c) x + cy {Big)} {Bigg |} {Big |} yx {velký |}.}

Zejména pokud jsou dílčí deriváty ${displaystyle f}$ jsou omezené, ${displaystyle f}$ je Lipschitz kontinuální (a proto rovnoměrně spojité ).

Jako aplikaci výše uvedeného to dokazujeme ${displaystyle f}$ je konstantní, pokud ${displaystyle G}$ je otevřený a propojený a každá částečná derivace ${displaystyle f}$ je 0. Vyberte nějaký bod ${displaystyle x_ {0} v G}$ a nechte ${displaystyle g (x) = f (x) -f (x_ {0})}$ . Chceme ukázat ${displaystyle g (x) = 0}$ pro každého ${displaystyle xin G}$ . Za to, pojďme ${displaystyle E = {xin G: g (x) = 0}}$ . Pak E je uzavřený a neprázdný. Je také otevřený: pro každého ${displaystyle xin E}$ ,

{displaystyle {Big |} g (y) {Big |} = {Bigg |} g (y) -g (x) {Bigg |} leq (0) {Big |} y-x {Big |} = 0}

pro každého ${displaystyle y}$ v nějaké čtvrti ${displaystyle x}$ . (Tady je to rozhodující ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ jsou dostatečně blízko u sebe.) Protože ${displaystyle G}$ je připojen, usuzujeme ${displaystyle E = G}$ .

Výše uvedené argumenty jsou vytvářeny způsobem bez souřadnic; proto se zobecňují na případ, kdy ${displaystyle G}$ je podmnožinou Banachova prostoru.

Věta o střední hodnotě pro funkce s vektorovou hodnotou

Pro funkce s vektorovou hodnotou neexistuje přesný analogor věty o střední hodnotě.

v Principy matematické analýzy, Rudine dává nerovnost, kterou lze použít na mnoho stejných situací, pro které je věta o střední hodnotě použitelná v jednorozměrném případě:^[6]

Teorém. Pro spojitou funkci s vektorovou hodnotou ${displaystyle mathbf {f}: [a, b] o mathbb {R} ^ {k}}$ diferencovatelné na ${displaystyle (a, b)}$ , tady existuje ${displaystyle xin (a, b)}$ takhle ${displaystyle | mathbf {f} '(x) | geq {frac {1} {b-a}} | mathbf {f} (b) -mathbf {f} (a) |}$ .

Jean Dieudonné v jeho klasickém pojednání Základy moderní analýzy odhodí větu o střední hodnotě a nahradí ji střední nerovností, protože důkaz není konstruktivní a nelze ji najít a v aplikacích stačí pouze střední nerovnost. Serge Lang v Analýza I používá teorém o střední hodnotě v integrální formě jako okamžitý reflex, ale toto použití vyžaduje kontinuitu derivace. Pokud někdo používá Henstock – Kurzweil integrální jeden může mít větu o střední hodnotě v integrální formě bez dalšího předpokladu, že derivace by měla být spojitá, protože každá derivace je integrovatelná Henstock – Kurzweil. Problém je zhruba řečeno následující: Pokud F : U → R^m je rozlišitelná funkce (kde U ⊂ Rⁿ je otevřený) a pokud X + th, x, h ∈ Rⁿ, t ∈ [0, 1] je dotyčný úsečka (ležící uvnitř U), pak lze použít výše uvedený postup parametrizace na každou z komponentních funkcí F_i (i = 1, ..., m) z F (ve výše uvedené sadě notací y = X + h). Přitom člověk najde body X + t_ih na úsečce vyhovující

{displaystyle f_ {i} (x + h) -f_ {i} (x) = abla f_ {i} (x + t_ {i} h) cdot h.}

Ale obecně tam nebude singl směřovat X + t * h na úsečce vyhovující

{displaystyle f_ {i} (x + h) -f_ {i} (x) = abla f_ {i} (x + t ^ {*} h) cdot h.}

pro všechny i zároveň. Například definujte:

{displaystyle {egin {cases} f: [0,2pi] o mathbf {R} ^ {2} f (x) = (cos (x), sin (x)) end {cases}}}

Pak ${displaystyle f (2pi) -f (0) = mathbf {0} v mathbf {R} ^ {2}}$ , ale ${displaystyle f_ {1} '(x) = - sin (x)}$ a ${displaystyle f_ {2} '(x) = cos (x)}$ nikdy nejsou současně nulové jako ${displaystyle x}$ pohybuje se nad ${displaystyle left [0,2pi ight]}$ .

Určitý typ zobecnění věty o střední hodnotě na funkce s vektorovou hodnotou se však získá takto: Let F být kontinuálně diferencovatelnou funkcí se skutečnou hodnotou definovanou v otevřeném intervalu Jáa nechte X stejně jako X + h být body Já. Věta o střední hodnotě v jedné proměnné nám říká, že nějaká existuje t * mezi 0 a 1 takovým

{displaystyle f (x + h) -f (x) = f '(x + t ^ {*} h) cdot h.}

Na druhou stranu máme základní věta o počtu následovaná změnou proměnných,

{displaystyle f (x + h) -f (x) = int _ {x} ^ {x + h} f '(u), du = left (int _ {0} ^ {1} f' (x + th ), dtight) cdot h.}

Tedy hodnota F'(X + t * h) v konkrétním bodě t * byla nahrazena střední hodnotou

{displaystyle int _ {0} ^ {1} f '(x + th), dt.}

Tuto poslední verzi lze zobecnit na funkce s vektorovou hodnotou:

Lemma 1. Nechat U ⊂ Rⁿ být otevřený, F : U → R^m nepřetržitě diferencovatelné a X ∈ U, h ∈ Rⁿ vektory takové, že úsečka X + th, 0 ≤ t ≤ 1 zůstává v U. Pak máme:

{displaystyle f (x + h) -f (x) = left (int _ {0} ^ {1} Df (x + th), dtight) cdot h,}

kde Df označuje Jacobian matrix z F a integrálu matice je třeba rozumět po částech.

Důkaz. Nechat F₁, ..., F_m označit součásti F a definovat:

{displaystyle {egin {cases} g_ {i}: [0,1] o mathbf {R} g_ {i} (t) = f_ {i} (x + th) end {cases}}}

Pak máme

{displaystyle {egin {aligned} & f_ {i} (x + h) -f_ {i} (x) = g_ {i} (1) -g_ {i} (0) = int _ {0} ^ {1} g_ {i} '(t), dt = {} & int _ {0} ^ {1} vlevo (součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {částečný f_ {i}} {částečný x_ {j }}} (x + th) h_ {j} ight), dt = součet _ {j = 1} ^ {n} vlevo (int _ {0} ^ {1} {frac {částečný f_ {i}} {částečný x_ {j}}} (x + th), dtight) h_ {j} .end {zarovnáno}}}

Tvrzení následuje od té doby Df je matice skládající se z komponent ${displaystyle {frac {částečné f_ {i}} {částečné x_ {j}}}.}$

Lemma 2. Nechat proti : [A, b] → R^m být spojitá funkce definovaná na intervalu [A, b] ⊂ R. Pak máme

{displaystyle left | int _ {a} ^ {b} v (t), dtight | leqslant int _ {a} ^ {b} | v (t) |, dt.}

Důkaz. Nechat u v R^m označit hodnotu integrálu

{displaystyle u: = int _ {a} ^ {b} v (t), dt.}

Nyní máme (pomocí Cauchy – Schwarzova nerovnost ):

{displaystyle | u | ^ {2} = langle u, uangle = leftlangle int _ {a} ^ {b} v (t), dt, uightangle = int _ {a} ^ {b} langle v (t), uangle , dtleqslant int _ {a} ^ {b} | v (t) | cdot | u |, dt = | u | int _ {a} ^ {b} | v (t) |, dt}

Nyní ruší normu u z obou konců nám dává požadovanou nerovnost.

Nerovnost střední hodnoty. Pokud je norma Df(X + th) je omezen nějakou konstantou M pro t poté v [0, 1]

{displaystyle | f (x + h) -f (x) | leqslant M | h |.}

Důkaz. Z Lemmy 1 a 2 to vyplývá

{displaystyle | f (x + h) -f (x) | = vlevo | int _ {0} ^ {1} (Df (x + th) cdot h), dtight | leqslant int _ {0} ^ {1} | Df (x + th) | cdot | h |, dtleqslant M | h |.}

Věty o střední hodnotě pro určité integrály

Věta o první střední hodnotě pro určité integrály

Geometricky: interpretace f (c) jako výšky obdélníku a b–A jako šířka má tento obdélník stejnou plochu jako oblast pod křivkou od A na b^[7]

Nechat F : [A, b] → R být spojitou funkcí. Pak existuje C v [A, b] takové, že

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x), dx = f (c) (b-a).}

Protože střední hodnota F na [A, b] je definován jako

{displaystyle {frac {1} {b-a}} int _ {a} ^ {b} f (x), dx,}

závěr můžeme interpretovat jako F u některých dosahuje své střední hodnoty C v (A, b).^[8]

Obecně, pokud F : [A, b] → R je spojitý a G je integrovatelná funkce, která nemění přihlášení [A, b], pak existuje C v (A, b) takové, že

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dx = f (c) int _ {a} ^ {b} g (x), dx.}

Důkaz první věty o střední hodnotě pro určité integrály

Předpokládat F : [A, b] → R je spojitý a G je nezáporná integrovatelná funkce na [A, b]. Podle věta o extrémní hodnotě, tady existuje m a M takové, že pro každého X v [A, b], ${displaystyle mleqslant f (x) leqslant M}$ a ${displaystyle f [a, b] = [m, M]}$ . Od té doby G není negativní,

{displaystyle mint _ {a} ^ {b} g (x), dxleqslant int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dxleqslant Mint _ {a} ^ {b} g (x), dx.}

Teď nech

{displaystyle I = int _ {a} ^ {b} g (x), dx.}

Li ${displaystyle I = 0}$ , od té doby jsme skončili

{displaystyle 0leqslant int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dxleqslant 0}

prostředek

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dx = 0,}

takže pro všechny C v (A, b),

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dx = f (c) I = 0.}

Li Já ≠ tedy 0

{displaystyle mleqslant {frac {1} {I}} int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dxleqslant M.}

Podle věta o střední hodnotě, F dosáhne všech hodnot intervalu [m, M], takže pro některé C v [A, b]

{displaystyle f (c) = {frac {1} {I}} int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dx,}

to je

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dx = f (c) int _ {a} ^ {b} g (x), dx.}

Nakonec, pokud G je záporný na [A, b], pak

{displaystyle Mint _ {a} ^ {b} g (x), dxleqslant int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), dxleqslant mint _ {a} ^ {b} g (x), dx,}

a stále máme stejný výsledek jako výše.

QED

Druhá věta o střední hodnotě pro určité integrály

Existují různé mírně odlišné věty zvané věta o střední hodnotě pro určité integrály. Běžně se vyskytující verze je následující:

Li G : [A, b] → R je pozitivní monotónně klesá funkce a φ: [A, b] → R je integrovatelná funkce, pak existuje číslo X v (A, b] takové, že

{displaystyle int _ {a} ^ {b} G (t) varphi (t), dt = G (a ^ {+}) int _ {a} ^ {x} varphi (t), dt.}

Tady ${displaystyle G (a ^ {+})}$ znamená ${displaystyle {lim _ {x o a ^ {+}} G (x)}}$ , jejíž existence vyplývá z podmínek. Je důležité, aby interval (A, b] obsahuje b. Varianta, která tento požadavek nemá, je:^[9]

Li G : [A, b] → R je monotóní (ne nutně klesající a pozitivní) funkce a φ: [A, b] → R je integrovatelná funkce, pak existuje číslo X v (A, b) takové, že

{displaystyle int _ {a} ^ {b} G (t) varphi (t), dt = G (a ^ {+}) int _ {a} ^ {x} varphi (t), dt + G (b ^ {-}) int _ {x} ^ {b} varphi (t), dt.}

Věta o střední hodnotě pro integraci selže pro funkce s vektorovou hodnotou

Pokud je funkce ${displaystyle G}$ vrací vícerozměrný vektor, pak MVT pro integraci není pravda, i když je doména ${displaystyle G}$ je také vícerozměrný.

Zvažte například následující 2-dimenzionální funkci definovanou na ${displaystyle n}$ -rozměrná kostka:

{displaystyle {egin {cases} G: [0,2pi] ^ {n} o mathbb {R} ^ {2} G (x_ {1}, cdots, x_ {n}) = left (sin (x_ {1 } + cdots + x_ {n}), cos (x_ {1} + cdots + x_ {n}) ight) end {cases}}}

Pak symetrií snadno zjistíme, že střední hodnota ${displaystyle G}$ přes jeho doménu je (0,0):

{displaystyle int _ {[0,2pi] ^ {n}} G (x_ {1}, cdots, x_ {n}) dx_ {1} cdots dx_ {n} = (0,0)}

Nemá však smysl ${displaystyle G = (0,0)}$ , protože ${displaystyle | G | = 1}$ všude.

Pravděpodobnostní analog věty o střední hodnotě

Nechat X a Y být nezáporný náhodné proměnné takový, že E [X] Y] <∞ a ${displaystyle Xleqslant _ {st} Y}$ (tj. X je menší než Y v obvyklý stochastický řád ). Pak existuje absolutně spojitá nezáporná náhodná proměnná Z mít funkce hustoty pravděpodobnosti

{displaystyle f_ {Z} (x) = {Pr (Y> x) -Pr (X> x) nad {m {E}} [Y] - {m {E}} [X]} ,, qquad xgeqslant 0 .}

Nechat G být měřitelný a diferencovatelná funkce takový, že E [G(X)], E [G(Y)] <∞, a nechme jeho derivaci G' být měřitelné a Riemann integrovatelný na intervalu [X, y] pro všechny y ≥ X ≥ 0. Potom E [G'(Z)] je konečný a^[10]

{displaystyle {m {E}} [g (Y)] - {m {E}} [g (X)] = {m {E}} [g '(Z)], [{m {E}} ( Y) - {m {E}} (X)].}

Zobecnění v komplexní analýze

Jak je uvedeno výše, věta neplatí pro diferencovatelné komplexní funkce. Místo toho je zevšeobecnění věty uvedeno takto:^[11]

Nechat F : Ω → C být holomorfní funkce na otevřené konvexní množině Ω a nechte A a b být odlišné body v Ω. Pak existují body u, proti na L_ab (úsečka z A na b) takové, že

{displaystyle mathrm {Re} (f '(u)) = mathrm {Re} vlevo ({frac {f (b) -f (a)} {b-a}} vpravo),}

{displaystyle mathrm {Im} (f '(v)) = mathrm {Im} vlevo ({frac {f (b) -f (a)} {b-a}} vpravo).}

Kde Re () je skutečná část a Im () je imaginární část funkce s komplexní hodnotou.

Viz také

Poznámky

^ J. J. O'Connor a E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor Historie archivu matematiky.
^ Ádám Besenyei. „Historický vývoj věty o střední hodnotě“ (PDF).
^ ^A ^b ^C Skutečná analýza Kirshny: (Obecně). Krishna Prakashan Media.
^ W., Weisstein, Eric. „Rozšířená věta o střední hodnotě“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-10-08.
^ „Věta o průměrné hodnotě Cauchyho“. Math24. Citováno 2018-10-08.
^ Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy (3. vydání). New York: McGraw-Hill. p. 113. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ "Mathwords: Věta o střední hodnotě pro integrály". www.mathwords.com.
^ Michael Comenetz (2002). Kalkul: Prvky. World Scientific. p. 159. ISBN 978-981-02-4904-5.
^ Hobson, E. W. (1909). „K druhé větě střední hodnoty integrálního počtu“. Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14–23. doi:10.1112 / plms / s2-7.1.14. PAN 1575669.
^ Di Crescenzo, A. (1999). "Pravděpodobnostní analog věty o střední hodnotě a její aplikace na teorii spolehlivosti". J. Appl. Probab. 36 (3): 706–719. doi:10.1239 / jap / 1032374628. JSTOR 3215435.
^ "Věta o střední hodnotě". PlanetMath. PlanetMath.

externí odkazy

[1] J. J. O'Connor a E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor Historie archivu matematiky.

[2] Ádám Besenyei. „Historický vývoj věty o střední hodnotě“ (PDF).

[:0-3] A ^b ^C Skutečná analýza Kirshny: (Obecně). Krishna Prakashan Media.

[4] W., Weisstein, Eric. „Rozšířená věta o střední hodnotě“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-10-08.

[5] „Věta o průměrné hodnotě Cauchyho“. Math24. Citováno 2018-10-08.

[6] Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy (3. vydání). New York: McGraw-Hill. p. 113. ISBN 978-0-07-054235-8.

[7] "Mathwords: Věta o střední hodnotě pro integrály". www.mathwords.com.

[Comenetz2002-8] Michael Comenetz (2002). Kalkul: Prvky. World Scientific. p. 159. ISBN 978-981-02-4904-5.

[9] Hobson, E. W. (1909). „K druhé větě střední hodnoty integrálního počtu“. Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14–23. doi:10.1112 / plms / s2-7.1.14. PAN 1575669.

[10] Di Crescenzo, A. (1999). "Pravděpodobnostní analog věty o střední hodnotě a její aplikace na teorii spolehlivosti". J. Appl. Probab. 36 (3): 706–719. doi:10.1239 / jap / 1032374628. JSTOR 3215435.

[PlanetMath-11] "Věta o střední hodnotě". PlanetMath. PlanetMath.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]