Běžně se vyskytující a složitý integrál
The integrál secantu na kostky je časté a náročné[1] neurčitý integrál elementární počet:
![{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = {frac {1} {2}} (sec x an x + ln left | sec x + an xight |) + C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4008c142f9fecda7d8946f4baef51cb316aad9)
Existuje celá řada důvodů, proč si tento konkrétní primitivní prostředek zaslouží zvláštní pozornost:
- Technika použitá pro redukci integrálů vyšších lichých sil sekans na nižší je plně přítomná v tomto, nejjednodušším případě. Ostatní případy se provádějí stejným způsobem.
- Užitečnost hyperbolických funkcí v integraci lze prokázat v případě lichých sil sečen (mohou být zahrnuty také síly tečny).
- Jedná se o jeden z několika integrálů, které se obvykle provádějí v kurzu prvního ročníku, který zahrnuje nejpřirozenější způsob postupu integrace po částech a návrat ke stejnému integrálu, který začal s (další je integrál produktu produktu exponenciální funkce s funkcí sinus nebo kosinus; další integrál síly sinusové nebo kosinové funkce).
- Tento integrál se používá při hodnocení jakéhokoli integrálu formuláře
![int {sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}, dx,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7743ecacf4555bb30acab65632bbe5c249988e)
- kde
je konstanta. Zejména se objevuje v problémech:
Odvození
Integrace po částech
Tento primitivní lze najít integrace po částech, jak následuje:[2]
![{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = int u, dv = uv-int v, du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a999411159d2572e67576507c5485acbbe2f5cb9)
kde
![{displaystyle u = sec x, quad dv = sec ^ {2} x, dx, quad v = an x, quad du = sec x an x, dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fb231355413773ef40b194f20cc1750f30f708)
Pak
![{displaystyle {egin {aligned} int sec ^ {3} x, dx & {} = int (sec x) (sec ^ {2} x), dx & {} = sec x an x-int an x, (sec x an x), dx & {} = sec x an x-int sec x an ^ {2} x, dx & {} = sec x an x-int sec x, (sec ^ {2} x-1 ), dx & {} = sec x an x-left (int sec ^ {3} x, dx-int sec x, dxight) & {} = sec x an x-int sec ^ {3} x, dx + int sec x, dx.end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011196a746f454bd4b7bfbddffeda238e7eb0732)
Další přidat
na obě strany právě odvozené rovnosti:[A]
![{displaystyle {egin {aligned} 2int sec ^ {3} x, dx & = sec x an x + int sec x, dx & = sec x an x + ln left | sec x + an xight | + C, end {aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0c606cc6627094e139af2c67f91f46038e4e1a)
vzhledem k tomu, že integrál funkce secant je
[2]
Nakonec rozdělte obě strany o 2:
![{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = {frac {1} {2}} (sec x an x + ln left | sec x + an xight |) + C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576953c792551c8df5f37fe117bfee33fdbc877f)
který měl být odvozen.[2]
Redukce na integrál racionální funkce
![int sec ^ {3} x, dx = int {frac {dx} {cos ^ {3} x}} = int {frac {cos x, dx} {cos ^ {4} x}} = int {frac {cos x, dx} {(1-sin ^ {2} x) ^ {2}}} = int {frac {du} {(1-u ^ {2}) ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8769e11d7f5dea08779289fa956b413bbde08eda)
kde
, aby
. To připouští rozklad od dílčí zlomky:
![{displaystyle {frac {1} {(1-u ^ {2}) ^ {2}}} = {frac {1} {(1 + u) ^ {2} (1-u) ^ {2}}} = {frac {1/4} {1 + u}} + {frac {1/4} {(1 + u) ^ {2}}} + {frac {1/4} {1-u}} + { frac {1/4} {(1-u) ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0be28cbe70ebf451124d9898acf7667db0e2ee)
Protidiferenciační termín po termínu, jeden dostane
![{displaystyle {egin {aligned} int sec ^ {3} x, dx & = {frac {1} {4}} ln | 1 + u | - {frac {1/4} {1 + u}} - {frac { 1} {4}} ln | 1-u | + {frac {1/4} {1-u}} + C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln {Biggl |} {frac {1 + u} {1-u}} {Biggl |} + {frac {1} {2}} vlevo ({frac {u} {1-u ^ {2}}} vpravo) + C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln {Biggl |} {frac {1 + sin x} {1-sin x}} {Biggl |} + {frac {1} {2}} vlevo ({frac { sin x} {cos ^ {2} x}} ight) + C [6pt] & = {frac {1} {4}} vlevo vlevo | {frac {1 + sin x} {1-sin x}} vpravo | + {frac {1} {2}} sec x an x + C [6pt] & = {frac {1} {4}} vlevo vlevo | {frac {(1 + sin x) ^ {2}} { 1-sin ^ {2} x}} ight | + {frac {1} {2}} s x x x C [6pt] & = {frac {1} {4}} vlevo vlevo | {frac {( 1 + sin x) ^ {2}} {cos ^ {2} x}} ight | + {frac {1} {2}} s x x x C [6pt] & = {frac {1} {4 }} vlevo dole | {frac {1 + sin x} {cos x}} ight | ^ {2} + {frac {1} {2}} s x x x C [6pt] & = {frac {1 } {2}} vlevo vlevo | {frac {1 + sin x} {cos x}} ight | + {frac {1} {2}} s x x x C [6pt] & = {frac {1} {2}} (ln | sec x + an x | + sec x an x) + C.end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597048627f2ea1168768d62f2a0756815e8b169a)
Hyperbolické funkce
Integrály formuláře:
lze snížit pomocí Pythagorovy identity, pokud
je sudý nebo
a
jsou oba zvláštní. Li
je liché a
je sudé, hyperbolické substituce lze použít k nahrazení vnořené integrace částmi pomocí hyperbolických vzorců snižujících výkon.
![{displaystyle {egin {aligned} sec x & {} = cosh u [6pt] an x & {} = sinh u [6pt] sec ^ {2} x, dx & {} = cosh u, du {ext {or}} sec x an x, dx = sinh u, du [6pt] sec x, dx & {} =, du {ext {or}} dx = operatorname {sech} u, du [6pt] u & {} = operatorname {arcosh } (sec x) = operatorname {arsinh} (an x) = ln | sec x + an x | end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c969190a61f0390802c02991cfc1d9672a4889)
Všimněte si, že
vyplývá přímo z této substituce.
![{displaystyle {egin {aligned} int sec ^ {3} x, dx & {} = int cosh ^ {2} u, du [6pt] & {} = {frac {1} {2}} int (cosh 2u + 1), du [6pt] & {} = {frac {1} {2}} vlevo ({frac {1} {2}} sinh 2u + uight) + C [6pt] & {} = {frac { 1} {2}} (sinh ucosh u + u) + C [6pt] & {} = {frac {1} {2}} (sec x an x + ln left | sec x + an xight |) + C konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd953de09d93e38021fd7872870ce17e71041453)
Vyšší liché síly sečny
Stejně jako integrace výše uvedenými částmi snížila integrál sečenového krychle na integrál sečnantu na první mocninu, tak podobný proces redukuje integrál vyšších lichých sil sečnického na nižší. Toto je vzorec redukce secantu, který se řídí syntaxí:
![int sec ^ {n} x, dx = {frac {sec ^ {{n-2}} x an x} {n-1}}, +, {frac {n-2} {n-1}} int sec ^ {{n-2}} x, dxqquad {ext {(pro}} neq 1 {ext {)}} ,!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25003a0e0e9049d07d2d755bd71201e7ce193ca6)
Alternativně:
![int sec ^ {n} x, dx = {frac {sec ^ {{n-1}} xsin x} {n-1}}, +, {frac {n-2} {n-1}} int sec ^ {{n-2}} x, dxqquad {ext {(pro}} neq 1 {ext {)}} ,!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96512d8fe8760332d00260ceff0d56939e907a4)
Dokonce i mocniny tečen lze přizpůsobit pomocí binomické expanze k vytvoření lichého polynomu sekundy a použitím těchto vzorců na největší člen a kombinací podobných členů.
Viz také
Poznámky
- ^ Konstanty integrace jsou absorbovány ve zbývajícím integrálním členu.
Reference