Totožnost (matematika) - Identity (mathematics)

Vizuální důkaz Pytagorova identita: pro jakýkoli úhel

{ displaystyle theta}

, Bod

{ displaystyle (x, y) = ( cos theta, sin theta)}

leží na jednotkový kruh, který splňuje rovnici

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

. Tím pádem,

{ displaystyle cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1}

.

v matematika, an identita je rovnost vztahující se k jednomu matematickému výrazu A k jinému matematickému výrazuB, takový, že A a B (který by mohl nějaké obsahovat proměnné ) produkují stejnou hodnotu pro všechny hodnoty proměnných v určitém rozsahu platnosti.^[1]^[2] Jinými slovy, A = B je identita, pokud A a B definovat totéž funkce, a identita je rovnost mezi funkcemi, které jsou odlišně definovány. Například, ${ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ a ${ displaystyle cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1}$ jsou identity.^[2] Totožnosti jsou někdy označeny trojitý bar symbol $\equiv$ namísto $=$ , znaménko rovná se.^[3]

Společné identity

Algebraické identity

Určité identity, jako např ${ displaystyle a + 0 = a}$ a ${ displaystyle a + (- a) = 0}$ , tvoří základ algebry,^[4] zatímco jiné identity, jako např ${ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ a ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$ , může být užitečné při zjednodušování a rozšiřování algebraických výrazů.^[5]

Trigonometrické identity

Geometricky, trigonometrické identity jsou identity zahrnující určité funkce jedné nebo více úhly.^[6] Jsou odlišné od identity trojúhelníku, což jsou identity zahrnující úhly i délky stran a trojúhelník. V tomto článku jsou zahrnuty pouze ty první.

Tyto identity jsou užitečné, kdykoli je třeba zjednodušit výrazy zahrnující trigonometrické funkce. Další důležitou aplikací je integrace ne trigonometrických funkcí: běžná technika, která zahrnuje nejprve použití substituční pravidlo s trigonometrickou funkcí a potom zjednodušení výsledného integrálu pomocí trigonometrické identity.

Jedním z nejvýznamnějších příkladů trigonometrických identit je rovnice ${ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1,}$ což platí pro všechny komplex hodnoty ${ displaystyle theta}$ (od komplexních čísel ${ displaystyle mathbb {C}}$ tvoří doménu sinu a kosinu). Na druhou stranu rovnice

{ displaystyle cos theta = 1}

platí pouze pro určité hodnoty ${ displaystyle theta}$ , ne všechny (ani pro všechny hodnoty v a sousedství ). Například tato rovnice platí, když ${ displaystyle theta = 0,}$ ale falešné, když ${ displaystyle theta = 2}$ .

Další skupina trigonometrických identit se týká takzvaných vzorců sčítání / odčítání (např. Identita s dvojitým úhlem ${ displaystyle sin (2 theta) = 2 sin theta cos theta}$ , sčítací vzorec pro ${ displaystyle tan (x + y)}$ ),^[3]^[1] který lze použít k rozdělení výrazů větších úhlů na výrazy s menšími složkami.

Exponenciální identity

Následující identity platí pro všechny celočíselné exponenty za předpokladu, že základna je nenulová:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} b ^ {m + n} & = b ^ {m} cdot b ^ {n} (b ^ {m}) ^ {n} & = b ^ {m cdot n} (b cdot c) ^ {n} & = b ^ {n} cdot c ^ {n} end {zarovnáno}}}

Na rozdíl od sčítání a násobení, umocňování není komutativní. Například, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 a 2 · 3 = 3 · 2 = 6, ale 2³ = 8, zatímco 3² = 9.

A na rozdíl od sčítání a násobení, umocňování není asociativní buď. Například, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 a (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, ale 2³ 4 je 8⁴ (nebo 4096), zatímco 2 až 3⁴ je 2⁸¹ (nebo 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Bez závorek upravujících pořadí výpočtu je podle pořadí pořadí shora dolů, nikoli zdola nahoru:

{ displaystyle b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p cdot q)} = b ^ {p cdot q}.}

Logaritmické identity

Několik důležitých vzorců, někdy nazývaných logaritmické identity nebo protokolovat zákony, vztahují logaritmy k sobě navzájem.^[7]

Produkt, podíl, moc a kořen

Logaritmus produktu je součet logaritmů vynásobených čísel; logaritmus poměru dvou čísel je rozdíl logaritmů. Logaritmus p-th síla čísla je p krát logaritmus samotného čísla; logaritmus a p-th root je logaritmus čísla děleno p. Následující tabulka uvádí tyto identity s příklady. Každou z identit lze odvodit po nahrazení definic logaritmu x = b^log_b(X)a / nebo y = b^log_b(y), na levé straně.

	Vzorec	Příklad
produkt	${ displaystyle log _ {b} (xy) = log _ {b} (x) + log _ {b} (y)}$	${ displaystyle log _ {3} (243) = log _ {3} (9 cdot 27) = log _ {3} (9) + log _ {3} (27) = 2 + 3 = 5}$
kvocient	${ displaystyle log _ {b} ! left ({ frac {x} {y}} right) = log _ {b} (x) - log _ {b} (y)}$	${ displaystyle log _ {2} (16) = log _ {2} ! left ({ frac {64} {4}} right) = log _ {2} (64) - log _ {2} (4) = 6-2 = 4}$
Napájení	${ displaystyle log _ {b} (x ^ {p}) = p log _ {b} (x)}$	${ displaystyle log _ {2} (64) = log _ {2} (2 ^ {6}) = 6 log _ {2} (2) = 6}$
vykořenit	${ displaystyle log _ {b} { sqrt [{p}] {x}} = { frac { log _ {b} (x)} {p}}}$	${ displaystyle log _ {10} { sqrt {1000}} = { frac {1} {2}} log _ {10} 1000 = { frac {3} {2}} = 1,5}$

Změna základny

Logaritmický protokol_b(X) lze vypočítat z logaritmů X a b s ohledem na libovolnou základnu k pomocí následujícího vzorce:

{ displaystyle log _ {b} (x) = { frac { log _ {k} (x)} { log _ {k} (b)}}.}

Typický vědecké kalkulačky vypočítat logaritmy k základům 10 a E.^[8] Logaritmy s ohledem na jakoukoli základnu b lze určit pomocí některého z těchto dvou logaritmů podle předchozího vzorce:

{ displaystyle log _ {b} (x) = { frac { log _ {10} (x)} { log _ {10} (b)}} = { frac { log _ {e} (x)} { log _ {e} (b)}}.}

Vzhledem k číslu X a jeho logaritmus log_b(X) na neznámou základnu b, základ je dán:

{ displaystyle b = x ^ { frac {1} { log _ {b} (x)}}.}

Hyperbolické identitní funkce

Hyperbolické funkce uspokojují mnoho identit, všechny mají podobnou formu jako trigonometrické identity. Ve skutečnosti, Osbornovo pravidlo^[9] uvádí, že lze převést libovolnou trigonometrickou identitu na hyperbolickou identitu jejím úplným rozšířením, pokud jde o integrální síly sinusů a kosinů, změnou sinu na sinh a kosinus na cosh a přepnutím znaménka každého termínu, který obsahuje produkt 2, 6 , 10, 14, ... sinhs.^[10]

The Gudermannská funkce dává přímý vztah mezi kruhovými funkcemi a hyperbolickými funkcemi, který nezahrnuje komplexní čísla.

Logika a univerzální algebra

v matematická logika a v univerzální algebra, identita je definována jako a vzorec formuláře "∀X₁,...,X_n. s = t„, kde s a t jsou podmínky bez dalších volné proměnné než X₁,...,X_n. Předpona kvantifikátoru ("∀X₁,...,X_n. ") je často ponechán implicitní, zejména v univerzální algebře. Například axiomy a monoidní jsou často uváděny jako identita soubor

{ ∀X,y,z. X*(y*z)=(X*y)*z , ∀X. X*1=X , ∀X. 1*X=X },

nebo, ve zkratce, jako

{ X*(y*z)=(X*y)*z , X*1=X , 1*X=X }.

Někteří autoři používají název „rovnice“ místo „identita“.^[11]^[12]

Viz také

Reference

^ ^A ^b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - identita“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-12-01.
^ ^A ^b „Mathwords: Identity“. www.mathwords.com. Citováno 2019-12-01.
^ ^A ^b „Identita - definice matematického slova - Math Open Reference“. www.mathopenref.com. Citováno 2019-12-01.
^ „Základní identity“. www.math.com. Citováno 2019-12-01.
^ „Algebraické identity“. www.sosmath.com. Citováno 2019-12-01.
^ Stapel, Elizabeth. „Trigonometrické identity“. Purplemath. Citováno 2019-12-01.
^ Všechna prohlášení v této části naleznete v Shailesh Shirali2002, oddíl 4, (Douglas Downing2003, str. 275) nebo Kate & Bhapkar2009, str. Například 1-1.
^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaumův nástin teorie a problémy prvků statistiky. Já, popisná statistika a pravděpodobnost, Schaumova osnova, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, str. 21
^ Osborn, G. (1. ledna 1902). „109. Mnemotechnická pomůcka pro hyperbolické vzorce“. Matematický věstník. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
^ Peterson, John Charles (2003). Technická matematika s kalkulem (3. vyd.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Kapitola 26, strana 1155
^ Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Přepsat systémy". v Jan van Leeuwen (vyd.). Formální modely a sémantika. Příručka teoretické informatiky. B. Elsevier. 243–320.
^ Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (eds.). Univerzální algebra pro počítačové vědce. EATCS Monografie o teoretické informatice. 25. Berlín: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Zde: Def.1 z oddílu 3.2.1, s. 160.

externí odkazy

Encyklopedie rovnic Online encyklopedie matematických identit (archivováno)
Sbírka algebraických identit

[:0-1] A ^b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - identita“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-12-01.

[:1-2] A ^b „Mathwords: Identity“. www.mathwords.com. Citováno 2019-12-01.

[:2-3] A ^b „Identita - definice matematického slova - Math Open Reference“. www.mathopenref.com. Citováno 2019-12-01.

[4] „Základní identity“. www.math.com. Citováno 2019-12-01.

[5] „Algebraické identity“. www.sosmath.com. Citováno 2019-12-01.

[6] Stapel, Elizabeth. „Trigonometrické identity“. Purplemath. Citováno 2019-12-01.

[7] Všechna prohlášení v této části naleznete v Shailesh Shirali2002, oddíl 4, (Douglas Downing2003, str. 275) nebo Kate & Bhapkar2009, str. Například 1-1.

[8] Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaumův nástin teorie a problémy prvků statistiky. Já, popisná statistika a pravděpodobnost, Schaumova osnova, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, str. 21

[9] Osborn, G. (1. ledna 1902). „109. Mnemotechnická pomůcka pro hyperbolické vzorce“. Matematický věstník. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.

[10] Peterson, John Charles (2003). Technická matematika s kalkulem (3. vyd.). Cengage Learning. p. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Kapitola 26, strana 1155

[11] Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Přepsat systémy". v Jan van Leeuwen (vyd.). Formální modely a sémantika. Příručka teoretické informatiky. B. Elsevier. 243–320.

[12] Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa (eds.). Univerzální algebra pro počítačové vědce. EATCS Monografie o teoretické informatice. 25. Berlín: Springer. ISBN 3-540-54280-9. Zde: Def.1 z oddílu 3.2.1, s. 160.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]