Zmáčkněte větu - Squeeze theorem - Wikipedia

Ilustrace věty o zmáčknutí

Když posloupnost leží mezi dvěma dalšími konvergujícími sekvencemi se stejným limitem, také konverguje k tomuto limitu.

v počet, zmáčknout teorém, také známý jako špetka věta, sendvičová věta, sendvičové pravidlo, policejní věta a někdy squeeze lemma, je teorém týkající se limit funkce. V Itálii je věta známá také jako věta o carabinieri.

Veta o zmáčknutí se používá v počtu a matematická analýza. Obvykle se používá k potvrzení limitu funkce porovnáním se dvěma dalšími funkcemi, jejichž limity jsou známé nebo snadno vypočítatelné. Poprvé byl geometricky použit matematici Archimedes a Eudoxus ve snaze vypočítat π, a byl formulován v moderních termínech Carl Friedrich Gauss.

V mnoha jazycích (např. Francouzštině, němčině, italštině, maďarštině a ruštině) je věta o zmáčknutí známá také jako dva policisté (a opilý) teorém, nebo jejich variace.^{[Citace je zapotřebí ]} Příběh je takový, že pokud mezi nimi dva policisté doprovázejí opilého vězně a oba policisté jdou do cely, pak (bez ohledu na cestu a skutečnost, že se vězeň mezi policisty kolísá) musí vězeň také skončit nahoře v cele.

Prohlášení

Věta o zmáčknutí je formálně uvedena následovně.^[1]

Nechat Já být interval mít smysl A jako mezní bod. Nechat G, F, a h být funkce definováno dne Já, s výjimkou případu A sám. Předpokládejme, že pro každého X v Já nerovná se A, my máme

${ Displaystyle g (x) leq f (x) leq h (x)}$

a také to předpokládej

${ displaystyle lim _ {x to a} g (x) = lim _ {x to a} h (x) = L.}$

Pak ${ displaystyle lim _ {x až a} f (x) = L.}$

• Funkce ${ textstyle g}$ a ${ textový styl}$ se říká, že jsou dolní a horní mez (v uvedeném pořadí) z ${ textstyle f}$.
• Tady, ${ textstyle a}$ je ne povinen ležet v interiér z ${ textstyle I}$. Opravdu, pokud ${ textstyle a}$ je koncový bod ${ textový styl I}$, pak výše uvedené limity jsou limity pro levou nebo pravou ruku.
• Podobné prohlášení platí pro nekonečné intervaly: například if ${ textový styl I = (0, infty)}$, pak závěr platí, přičemž limity jsou ${ textstyle x rightarrow infty}$.

Tato věta platí také pro sekvence. Nechat ${ displaystyle (a_ {n}), (c_ {n})}$ být dvě sekvence konvergující k ${ displaystyle ell}$, a ${ displaystyle (b_ {n})}$ sekvence. Li ${ displaystyle forall n geqslant N, N in mathbb {N}}$ my máme ${ displaystyle a_ {n} leqslant b_ {n} leqslant c_ {n}}$, pak ${ displaystyle (b_ {n})}$ také konverguje k ${ displaystyle ell}$.

Důkaz

Podle výše uvedených hypotéz máme, přičemž limit horší a nadřízený:

${ Displaystyle L = lim _ {x až a} g (x) leq liminf _ {x až a} f (x) leq limsup _ {x až a} f (x) leq lim _ {x to a} h (x) = L,}$

takže všechny nerovnosti jsou skutečně rovnosti a práce okamžitě následuje.

Přímý důkaz pomocí ${ displaystyle ( epsilon, delta)}$-definice limitu, by bylo dokázat, že pro všechny skutečné ${ textstyle epsilon> 0}$ existuje skutečný ${ displaystyle delta> 0}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle x}$ s ${ displaystyle | x-a | < delta}$, my máme ${ displaystyle | f (x) -L | < epsilon}$. Symbolicky,

${ displaystyle forall epsilon> 0, existuje delta> 0: forall x, (| x-a | < delta Rightarrow | f (x) -L | < epsilon).}$

Tak jako

${ displaystyle lim _ {x až a} g (x) = L}$

znamená, že

${ displaystyle forall varepsilon> 0, existuje delta _ {1}> 0: forall x (| xa | < delta _ {1} Rightarrow | g (x) -L | < varepsilon). qquad (1)}$

a

${ displaystyle lim _ {x až a} h (x) = L}$

znamená, že

${ displaystyle forall varepsilon> 0, existuje delta _ {2}> 0: forall x (| xa | < delta _ {2} Rightarrow | h (x) -L | < varepsilon), qquad (2)}$

pak máme

${ Displaystyle g (x) leq f (x) leq h (x)}$

${ Displaystyle g (x) -L leq f (x) -L leq h (x) -L}$

Můžeme si vybrat ${ displaystyle delta: = min vlevo { delta _ {1}, delta _ {2} vpravo }}$. Pak, pokud ${ displaystyle | x-a | < delta}$, kombinující (1) a (2), máme

${ displaystyle - varepsilon$

${ displaystyle - varepsilon$,

který doplňuje důkaz. ${ displaystyle blacksquare}$

Důkaz pro sekvence je velmi podobný s použitím ${ displaystyle epsilon}$-definice limitu posloupnosti.

Prohlášení k sérii

K dispozici je také věta o zmáčknutí řady, kterou lze konstatovat následovně:^{[Citace je zapotřebí ]}

Nechat ${ displaystyle sum _ {n} a_ {n}, sum _ {n} c_ {n}}$ být dvě konvergentní řady. Li ${ displaystyle existuje N v mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle forall n> N, a_ {n} leqslant b_ {n} leqslant c_ {n}}$pak ${ displaystyle sum _ {n} b_ {n}}$ také konverguje.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle sum _ {n} a_ {n}, sum _ {n} c_ {n}}$ být dvě konvergentní řady. Proto sekvence ${ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} right) _ {n = 1} ^ { infty}, left ( sum _ {k = 1} ^ { n} c_ {k} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$ jsou Cauchy. To znamená, že pro pevné ${ displaystyle epsilon> 0}$,

${ displaystyle existuje N_ {1} v mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle forall n> m> N_ {1}, left | sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} - sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} right | < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = m + 1} ^ {n} a_ {k} right | < epsilon Longrightarrow - epsilon < sum _ {k = m + 1 } ^ {n} a_ {k} < epsilon}$ (1)

a podobně ${ displaystyle existuje N_ {2} in mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle forall n> m> N_ {2}, left | sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} - sum _ {k = 1} ^ {m} c_ {k} right | < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = m + 1} ^ {n} c_ {k} right | < epsilon Longrightarrow - epsilon < sum _ {k = m + 1 } ^ {n} c_ {k} < epsilon}$ (2).

Víme, že ${ displaystyle existuje N_ {3} v mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle forall n> N_ {3}, a_ {n} leqslant b_ {k} leqslant c_ {k}}$. Proto, ${ displaystyle forall n> m> max {N_ {1}, N_ {2}, N_ {3} }}$, máme kombinaci (1) a (2):

${ displaystyle a_ {n} leqslant b_ {k} leqslant c_ {k} Longrightarrow sum _ {k = m + 1} ^ {n} a_ {k} leqslant sum _ {k = m + 1 } ^ {n} b_ {k} leqslant sum _ {k = m + 1} ^ {n} c_ {k} Longrightarrow - epsilon < sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} right | < epsilon Longrightarrow left | sum _ {k = 1} ^ { n} b_ {k} - součet _ {k = 1} ^ {m} b_ {k} doprava | < epsilon}$.

Proto ${ displaystyle left ( sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$je Cauchyova sekvence. Tak ${ displaystyle sum _ {n} b_ {n}}$ konverguje. ${ displaystyle blacksquare}$

Příklady

První příklad

X² hřích (1 /X) je stlačen v limitu, protože x jde na 0

Omezení

${ displaystyle lim _ {x až 0} x ^ {2} sin ({ tfrac {1} {x}})}$

nelze určit zákonem o limitu

${ displaystyle lim _ {x až a} (f (x) cdot g (x)) = lim _ {x až a} f (x) cdot lim _ {x až a} g (X),}$

protože

${ displaystyle lim _ {x až 0} sin ({ tfrac {1} {x}})}$

neexistuje.

Podle definice sinusová funkce,

${ displaystyle -1 leq sin ({ tfrac {1} {x}}) leq 1.}$

Z toho vyplývá, že

${ displaystyle -x ^ {2} leq x ^ {2} sin ({ tfrac {1} {x}}) leq x ^ {2}}$

Od té doby ${ displaystyle lim _ {x až 0} -x ^ {2} = lim _ {x až 0} x ^ {2} = 0}$podle věty o zmáčknutí, ${ displaystyle lim _ {x až 0} x ^ {2} sin ({ tfrac {1} {x}})}$ musí být také 0.

Druhý příklad

Porovnávání oblastí:
${ displaystyle { begin {zarovnáno} & , A ( trojúhelník ADF) geq A ({ text {sektor}} , ADB) geq A ( trojúhelník ADB) Rightarrow & , { frac {1} {2}} cdot tan (x) cdot 1 geq { frac {x} {2 pi}} cdot pi geq { frac {1} {2}} cdot sin (x) cdot 1 Rightarrow & , { frac { sin (x)} { cos (x)}} geq x geq sin (x) Rightarrow & , { frac { cos (x)} { sin (x)}} leq { frac {1} {x}} leq { frac {1} { sin (x)}}} Rightarrow & , cos (x) leq { frac { sin (x)} {x}} leq 1 end {zarovnáno}}}$

Pravděpodobně nejznámějšími příklady nalezení limitu mačkáním jsou důkazy o rovnosti

${ displaystyle { begin {aligned} & lim _ {x to 0} { frac { sin (x)} {x}} = 1, [10 bodů] & lim _ {x až 0 } { frac {1- cos (x)} {x}} = 0. end {zarovnáno}}}$

První limit vyplývá z věty o zmáčknutí ze skutečnosti, že

${ displaystyle cos x leq { frac { sin (x)} {x}} leq 1}$^[2]

pro X dostatečně blízko k 0. Správnost, kterou pro kladné x lze zjistit jednoduchým geometrickým uvažováním (viz obrázek), které lze rozšířit i na záporné x. Druhá hranice vyplývá z věty o sevření a skutečnosti, že

${ displaystyle 0 leq { frac {1- cos (x)} {x}} leq x}$

pro X dostatečně blízko k 0. To lze odvodit nahrazením ${ displaystyle sin (x)}$ v dřívější skutečnosti od ${ displaystyle { sqrt {1- cos (x) ^ {2}}}}$ a druhou mocninu výsledné nerovnosti.

Tyto dvě limity se používají jako důkaz skutečnosti, že derivací sinusové funkce je kosinová funkce. Na tuto skutečnost se opírají další důkazy o derivacích trigonometrických funkcí.

Třetí příklad

Je možné to ukázat

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} tan theta = sec ^ {2} theta}$

mačkáním, následujícím způsobem.

Na obrázku vpravo je oblast menšího ze dvou stínovaných sektorů kruhu

${ displaystyle { frac { sec ^ {2} theta , Delta theta} {2}},}$

protože poloměr je sekθ a oblouk na jednotkový kruh má délku Δθ. Podobně je oblast většího ze dvou stínovaných sektorů

${ displaystyle { frac { sec ^ {2} ( theta + Delta theta) , Delta theta} {2}}.}$

Mezi nimi se vmáčkne trojúhelník, jehož základem je svislý segment, jehož koncovými body jsou dvě tečky. Délka základny trojúhelníku je pálená (θ + Δθ) - opálení (θ) a výška je 1. Plocha trojúhelníku je tedy

${ displaystyle { frac { tan ( theta + Delta theta) - tan ( theta)} {2}}.}$

Z nerovností

${ displaystyle { frac { sec ^ {2} theta , Delta theta} {2}} leq { frac { tan ( theta + Delta theta) - tan ( theta) } {2}} leq { frac { sec ^ {2} ( theta + Delta theta) , Delta theta} {2}}}$

odvodíme to

${ displaystyle sec ^ {2} theta leq { frac { tan ( theta + Delta theta) - tan ( theta)} { Delta theta}} leq sec ^ {2 } ( theta + Delta theta),}$

za předpokladu Δθ > 0 a nerovnosti jsou obráceny, pokud Δθ <0. Protože první a třetí výraz se blíží sek²θ jako Δθ → 0 a prostřední výraz se blíží (d/dθ) opáleníθ, následuje požadovaný výsledek.

Čtvrtý příklad

Věta o zmáčknutí může být stále použita v kalkulu s více proměnnými, ale dolní (a horní funkce) musí být pod (a nad) cílovou funkcí nejen podél cesty, ale kolem celého sousedství bodu zájmu a funguje pouze v případě, že funkce opravdu tam má limit. Lze ji tedy použít k prokázání, že funkce má v určitém okamžiku limit, ale nikdy ji nelze použít k prokázání, že funkce nemá v určitém bodě limit.^[3]

${ displaystyle lim _ {(x, y) až (0,0)} { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

nelze najít přijetím libovolného počtu limitů podél cest, které procházejí bodem, ale od té doby

${ displaystyle 0 leq { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} leq 1}$

${ displaystyle - left | y right vert leq y leq left | y right vert}$

${ displaystyle - left | y right vert leq { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} leq left | y right vert}$

${ displaystyle lim _ {(x, y) až (0,0)} - vlevo | y vpravo vert = 0}$

${ displaystyle lim _ {(x, y) až (0,0)} vlevo | y vpravo vert = 0}$

${ displaystyle 0 leq lim _ {(x, y) až (0,0)} { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} leq 0}$

tedy podle věty o sevření,

${ displaystyle lim _ {(x, y) až (0,0)} { frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = 0}$

Reference

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Squeeze theorem“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Duben 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Veta o stlačení“. MathWorld.
• Veta o zmáčknutí Bruce Atwood (Beloit College) po práci, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), Demonstrační projekt Wolfram.
• Veta o zmáčknutí na ProofWiki.