Druhá derivace - Second derivative - Wikipedia

Druhá derivace a kvadratická funkce je konstantní.

v počet, druhá derivace, nebo derivát druhého řádu, a funkce F je derivát derivátu F. Zhruba řečeno, druhá derivace měří, jak se sama mění rychlost změny veličiny; například druhou derivací polohy objektu vzhledem k času je okamžité zrychlení nebo rychlostí, s jakou rychlost objektu se mění s ohledem na čas. v Leibnizova notace:

${ displaystyle mathbf {a} = { frac {d mathbf {v}} {dt}} = { frac {d ^ {2} { boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}} ,}$

kde A je zrychlení, proti je rychlost, t je čas, X je poloha a d je okamžitá „delta“ nebo změna. Poslední výraz ${ displaystyle { tfrac {d ^ {2} { boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}}}$ je druhá derivace polohy (x) vzhledem k času.

Na graf funkce, druhá derivace odpovídá zakřivení nebo konkávnost grafu. Graf funkce s kladnou druhou derivací je směrem nahoru konkávní, zatímco graf funkce se zápornou druhou derivací křivky opačně.

Druhé derivační pravidlo síly

The pravidlo moci pro první derivaci, pokud se použije dvakrát, vytvoří pravidlo druhé derivační síly takto:

${ displaystyle { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} [x ^ {n}] = { frac {d} {dx}} { frac {d} {dx}} [ x ^ {n}] = { frac {d} {dx}} [nx ^ {n-1}] = n { frac {d} {dx}} [x ^ {n-1}] = n ( n-1) x ^ {n-2}.}$

Zápis

Druhá derivace funkce ${ displaystyle f (x)}$ se obvykle označuje ${ displaystyle f '' (x)}$.^[1][2][3] To je:

${ displaystyle f '' = (f ')'}$

Při použití Leibnizova notace pro deriváty druhá derivace závislé proměnné y s ohledem na nezávislou proměnnou X je psáno

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}.}$

Tento zápis je odvozen z následujícího vzorce:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} , = , { frac {d} {dx}} vlevo ({ frac {dy} {dx}} že jo).}$

Příklad

Vzhledem k funkci

${ displaystyle f (x) = x ^ {3},}$

derivát F je funkce

${ displaystyle f '(x) = 3x ^ {2}.}$

Druhá derivace F je derivát F′, jmenovitě

${ displaystyle f '' (x) = 6x.}$

Vztah ke grafu

Spiknutí ${ displaystyle f (x) = sin (2x)}$ z ${ displaystyle - pi / 4}$ na ${ displaystyle 5 pi / 4}$. Tečna je modrá, kde je křivka konkávní nahoru, zelená, kde je křivka konkávní dolů, a červená v inflexních bodech (0, ${ displaystyle pi}$/ 2 a ${ displaystyle pi}$).

Konkávnost

Druhá derivace funkce F lze použít k určení konkávnost grafu F.^[3] Funkce, jejíž druhá derivace je kladná, bude konkávní (označovaný také jako konvexní), což znamená, že tečna bude ležet pod grafem funkce. Podobně bude funkce, jejíž druhá derivace je záporná konkávní dolů (také jednoduše nazývané konkávní) a jeho tečny budou ležet nad grafem funkce.

Inflexní body

Pokud druhá derivace funkce změní znaménko, přepne se graf funkce z konkávní dolů na konkávní nahoru nebo naopak. Bod, kde k tomu dojde, se nazývá inflexní bod. Za předpokladu, že druhá derivace je spojitá, musí mít hodnotu nula v kterémkoli inflexním bodě, i když ne každý bod, kde je druhá derivace nulová, je nutně inflexním bodem.

Druhý derivační test

Vztah mezi druhou derivací a grafem lze použít k testování, zda a stacionární bod pro funkci (tj. bod, kde ${ displaystyle f '(x) = 0}$) je místní maximum nebo a místní minimum. Konkrétně

• Li ${ displaystyle f ^ { prime prime} (x) <0}$, pak ${ displaystyle f}$ má místní maximum na ${ displaystyle x}$.
• Li ${ displaystyle f ^ { prime prime} (x)> 0}$, pak ${ displaystyle f}$ má místní minimum na ${ displaystyle x}$.
• Li ${ displaystyle f ^ { prime prime} (x) = 0}$, druhý test derivace neříká nic o bodě ${ displaystyle x}$, možný inflexní bod.

Důvod, proč druhá derivace produkuje tyto výsledky, lze vidět pomocí analogie v reálném světě. Vezměme si vozidlo, které se zpočátku pohybuje velkou rychlostí, ale se záporným zrychlením. Je zřejmé, že poloha vozidla v bodě, kde rychlost dosáhne nuly, bude maximální vzdálenost od výchozí polohy - po této době se rychlost stane zápornou a vozidlo se zařadí zpět. Totéž platí pro minimum, s vozidlem, které má zpočátku velmi negativní rychlost, ale pozitivní zrychlení.

Omezit

Je možné napsat jeden omezit pro druhou derivaci:

${ displaystyle f '' (x) = lim _ {h až 0} { frac {f (x + h) -2f (x) + f (x-h)} {h ^ {2}}}.}$

Limit se nazývá druhá symetrická derivace.^[4][5] Všimněte si, že druhá symetrická derivace může existovat, i když (obvyklá) druhá derivace není.

Výraz vpravo lze psát jako a rozdílový kvocient rozdílových kvocientů:

${ displaystyle { frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}} = { frac {{ frac {f (x + h) -f ( x)} {h}} - { frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}}.}$

Na tento limit lze pohlížet jako na průběžnou verzi druhý rozdíl pro sekvence.

Existence výše uvedeného limitu však neznamená, že funkce ${ displaystyle f}$ má druhou derivaci. Výše uvedený limit pouze poskytuje možnost výpočtu druhé derivace - neposkytuje však definici. Protikladem je znaková funkce ${ displaystyle operatorname {sgn} (x)}$, který je definován jako:^[1]

${ displaystyle operatorname {sgn} (x) = { začátek {případů} -1 & { text {if}} x <0, 0 & { text {if}} x = 0, 1 & { text {if}} x> 0. end {cases}}}$

Funkce znaménka není spojitá na nule, a tedy druhá derivace pro ${ displaystyle x = 0}$ neexistuje. Ale výše uvedený limit existuje pro ${ displaystyle x = 0}$:

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {h na 0} { frac { operatorname {sgn} (0 + h) -2 operatorname {sgn} (0) + operatorname {sgn} (0 -h)} {h ^ {2}}} & = lim _ {h to 0} { frac { operatorname {sgn} (h) -2 cdot 0+ operatorname {sgn} (- h) } {h ^ {2}}} & = lim _ {h to 0} { frac { operatorname {sgn} (h) + (- operatorname {sgn} (h))} {h ^ {2}}} = lim _ {h to 0} { frac {0} {h ^ {2}}} = 0. end {zarovnáno}}}$

Kvadratická aproximace

Stejně jako první derivace souvisí s lineární aproximace, druhý derivát souvisí s nejlepším kvadratická aproximace pro funkci F. To je kvadratická funkce jehož první a druhý derivát jsou stejné jako deriváty F v daném bodě. Vzorec pro nejlepší kvadratickou aproximaci funkce F kolem bodu X = A je

${ displaystyle f (x) cca f (a) + f '(a) (x-a) + { tfrac {1} {2}} f' (a) (x-a) ^ {2}.}$

Tato kvadratická aproximace je druhého řádu Taylorův polynom pro funkci se středem na X = A.

Vlastní čísla a vlastní vektory druhé derivace

Pro mnoho kombinací okrajové podmínky explicitní vzorce pro vlastní čísla a vlastní vektory druhé derivace lze získat. Například za předpokladu ${ displaystyle x v [0, L]}$ a homogenní Dirichletovy okrajové podmínky (tj., ${ displaystyle v (0) = proti (L) = 0}$), vlastní čísla jsou ${ displaystyle lambda _ {j} = - { tfrac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$ a odpovídající vlastní vektory (také zvaný vlastní funkce ) jsou ${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { tfrac {2} {L}}} sin left ({ tfrac {j pi x} {L}} right)}$. Tady, ${ displaystyle v '' _ {j} (x) = lambda _ {j} v_ {j} (x), , j = 1, ldots, infty.}$

Další známé případy viz Vlastní čísla a vlastní vektory druhé derivace.

Zobecnění na vyšší dimenze

Hessian

Druhá derivace zobecňuje na vyšší dimenze prostřednictvím pojmu sekunda částečné derivace. Pro funkci F: R³ → R, to zahrnuje tři partialy druhého řádu

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x ^ {2}}}, ; { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y ^ {2}}} , { text {and}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}}$

a smíšené částečky

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x , částečné y}}, ; { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x , částečné z }}, { text {a}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y , částečné z}}.}$

Pokud má obrázek funkce i doména potenciál, pak tyto dohromady zapadají do a symetrická matice známý jako Hesián. The vlastní čísla této matice lze použít k implementaci více proměnného analogu druhého derivačního testu. (Viz také druhý dílčí derivační test.)

Laplacian

Dalším běžným zobecněním druhé derivace je Laplacian. Toto je operátor diferenciálu ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ (nebo ${ displaystyle Delta}$^[1]) definován

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}.}$

Laplacian funkce se rovná divergence z spád a stopa hesenské matice.

Viz také

• Chirpyness, druhá derivace okamžitá fáze
• Konečný rozdíl, který se používá k aproximaci druhé derivace
• Druhý dílčí derivační test
• Symetrie druhých derivací

Reference

Další čtení

Tisk

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2. února 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8. vydání), New York: Wiley, ISBN  978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (červen 1967), Calculus, sv. 1: Jeden proměnný počet s úvodem do lineární algebry, 1 (2. vyd.), Wiley, ISBN  978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (červen 1969), Calculus, sv. 2: Multi-proměnný počet a lineární algebra s aplikacemi, 1 (2. vyd.), Wiley, ISBN  978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (2. ledna 1990), Úvod do dějin matematiky (6. vydání), Brooks Cole, ISBN  978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P .; Edwards, Bruce H. (28. února 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4. vydání), Houghton Mifflin Company, ISBN  978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (Září 1994), Počet (3. vydání), Publish or Perish, ISBN  978-0-914098-89-8
• Stewart, James (24. prosince 2002), Počet (5. vydání), Brooks Cole, ISBN  978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (8. září 1998), Snadný výpočet (Revidované, aktualizované, rozšířené vydání.), New York: St. Martin's Press, ISBN  978-0-312-18548-0

Online knihy

• Crowell, Benjamin (2003), Počet
• Garrett, Paul (2004), Poznámky k počtu v prvním roce
• Hussain, Faraz (2006), Porozumění počtu
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementární počet: přístup využívající nekonečně malá čísla
• Mauch, Sean (2004), Nezkrácená verze Seanovy aplikované matematické knihy, archivovány z originál dne 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Diferenční rovnice k diferenciálním rovnicím
• Strang, Gilbert (1991), Počet
• Stroyan, Keith D. (1997), Stručný úvod do nekonečně malého počtu, archivovány z originál dne 11. 9. 2005
• Wikibooks, Počet

externí odkazy

• Diskrétní druhá derivace z nerovnoměrně rozmístěných bodů