Kelvin – Stokesova věta - Kelvin–Stokes theorem

Ilustrace věty Kelvin-Stokes s povrchem

Σ

, jeho hranice

\partialΣ

a normální vektor

n

.

The Kelvin – Stokesova věta,^[1]^[2] pojmenoval podle Lord Kelvin a George Stokes, také známý jako Stokesova věta,^[3] the základní věta pro kadeře nebo jednoduše zvlněná věta,^[4] je teorém v vektorový počet na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Vzhledem k tomu, vektorové pole, věta se týká integrální z kučera vektorového pole přes nějaký povrch k linka integrální vektorového pole kolem hranice povrchu. Klasickou Kelvin-Stokesovu větu lze konstatovat jednou větou: The linka integrální vektorového pole přes smyčku se rovná tok jeho zvlnění skrz uzavřený povrch.

Kelvin-Stokesova věta je zvláštním případem „zobecněného“ Stokesova věta."^[5]^[6] Zejména vektorové pole na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ lze považovat za 1-forma v takovém případě je jeho zvlnění jeho vnější derivace, 2-forma.

Teorém

Pokud vektorové pole ${ displaystyle mathbf {A} = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))}$ je definována v oblasti s hladce orientovaným povrchem ${ displaystyle Sigma}$ a má nepřetržitý první řád částečné derivace pak:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} iint limity _ { Sigma} ( nabla times mathbf {A}) cdot d mathbf {a} & = iint limity _ { Sigma} { Bigg (} left ({ frac { částečné R} { částečné y}} - { frac { částečné Q} { částečné z}} pravé) , dy , dz + vlevo ({ frac { částečné P} { částečné z}} - { frac { částečné R} { částečné x}} pravé) , dz , dx + levé ({ frac { částečné Q} { částečné x }} - { frac { částečné P} { částečné y}} vpravo) , dx , dy { Bigg)} & = mast limity _ { částečné Sigma} { Big ( } P , dx + Q , dy + R , dz { Big)} = mast limity _ { částečné Sigma} mathbf {A} cdot d mathbf {l}, end {zarovnáno }}}

kde ${ displaystyle částečné Sigma}$ je hranice oblasti s hladkým povrchem ${ displaystyle Sigma}$ .

Hlavní výzvou v přesném vyjádření Stokesovy věty je definování pojmu hranice. Povrchy jako Sněhová vločka Koch, například, je dobře známo, že nevykazují Riemannovu integrovatelnou hranici a pojem povrchové míry v Lebesgueova teorie nelze definovat proLipschitz povrch. Jednou (pokročilou) technikou je předání a slabá formulace a poté použijte strojní zařízení z teorie geometrických měr; pro tento přístup viz coarea vzorec. V tomto článku místo toho používáme elementárnější definici založenou na skutečnosti, že lze rozeznat hranici pro plnorozměrné podmnožiny $ℝ 2$ .

Nechat $y : [A, b] \to R 2$ být po částech hladký Jordan rovina křivka. The Jordanova věta o křivce to naznačuje $y$ rozděluje $R 2$ do dvou složek, a kompaktní jeden a druhý, který je nekompaktní. Nechat $D$ označit kompaktní část; pak $D$ je ohraničen $y$ . Nyní stačí převést tento pojem hranice podél spojité mapy na náš povrch v $ℝ 3$ . Ale už tu máme takovou mapu: parametrizace z $Σ$ .

Předpokládat $ψ : D \to R 3$ je hladký, s $Σ = ψ (D)$ . Li $Γ$ je prostorová křivka definován $Γ (t) = ψ (y (t))$ ,^{[poznámka 1]} pak zavoláme $Γ$ hranice $Σ$ , psaný $\partial Σ$ .

S výše uvedeným zápisem, pokud $F$ je jakékoli hladké vektorové pole $R 3$ , pak^[7]^[8]

{ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {F} , cdot , d { mathbf { Gamma}} = iint _ { Sigma} nabla times mathbf {F} , cdot , d mathbf {S}.}

Důkaz

Důkaz věty se skládá ze 4 kroků. Předpokládáme Greenova věta Znepokojivé je tedy to, jak převést trojrozměrný komplikovaný problém (Kelvin-Stokesova věta) na dvourozměrný základní problém (Greenova věta).^[9] Při dokazování této věty ji matematici obvykle odvodí jako speciální případ a obecnější výsledek, který je uveden ve smyslu diferenciální formy, a prokázal použití sofistikovanějších strojů. I když jsou tyto techniky výkonné, vyžadují značné znalosti, takže důkaz níže se jim vyhýbá a nepředpokládají žádné znalosti nad rámec znalosti základního vektorového počtu.^[8] Na konci této části je uveden krátký alternativní důkaz Kelvin-Stokesovy věty jako důsledek zobecněné Stokesovy věty.

Základní důkaz

První krok kontroly (parametrizace integrálu)

Jako v § Věta, zmenšíme kótu pomocí přirozené parametrizace povrchu. Nechat $ψ$ a $y$ být jako v této sekci a všimněte si, že změnou proměnných

{ displaystyle mast _ { částečné Sigma} { mathbf {F} ( mathbf {x}) cdot , d mathbf {l}} = mast _ { gamma} { mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) cdot , d mathbf { psi} ( mathbf {y})} = mast _ { gamma} { mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) J _ { mathbf {y}} ( mathbf { psi}) , d mathbf {y}}}

kde $Jψ$ znamená Jacobian matrix z $ψ$ .

Tak teď ${E u, E proti}$ být ortonormální základ ve směrech souřadnic $ℝ 2$ . Uznáváme, že sloupce $J y ψ$ jsou přesně dílčí deriváty $ψ$ v $y$ , můžeme předchozí rovnici rozšířit v souřadnicích jako

{ displaystyle { begin {zarovnáno} mast _ { částečné Sigma} { mathbf {F} ( mathbf {x}) cdot , d mathbf {l}} & = mast _ { gamma } { mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) J _ { mathbf {y}} ( mathbf { psi}) mathbf {e} _ {u} ( mathbf {e} _ {u} cdot , d mathbf {y}) + mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) J _ { mathbf {y}} ( mathbf { psi}) mathbf {e} _ {v} ( mathbf {e} _ {v} cdot , d mathbf {y})} & = masti _ { gamma} { vlevo ( left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) cdot { frac { částečné mathbf { psi}} { částečné u}} ( mathbf {y }) right) mathbf {e} _ {u} + left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} ( mathbf {y})) cdot { frac { částečné mathbf { psi}} { částečné v}} ( mathbf {y}) vpravo) mathbf {e} _ {v} vpravo) cdot , d mathbf {y}} konec {zarovnáno}}}

Druhý krok v důkazu (definování odvolání)

Předchozí krok navrhuje, abychom definovali funkci

{ displaystyle mathbf {P} (u, v) = left ( mathbf {F} ( mathbf { psi} (u, v)) cdot { frac { částečný mathbf { psi}} { částečné u}} (u, v) vpravo) mathbf {e} _ {u} + vlevo ( mathbf {F} ( mathbf { psi} (u, v)) cdot { frac { částečné mathbf { psi}} { částečné v}} vpravo) mathbf {e} _ {v}}

To je zarazit z $F$ podél $ψ$ , a výše uvedené, uspokojuje

{ displaystyle mast _ { částečné Sigma} { mathbf {F} ( mathbf {x}) cdot , d mathbf {l}} = mast _ { gamma} { mathbf {P} ( mathbf {y}) cdot , d mathbf {l}}}

Úspěšně jsme zredukovali jednu stranu Stokesovy věty na dvourozměrný vzorec; nyní se otočíme na druhou stranu.

Třetí krok důkazu (druhá rovnice)

Nejprve spočítejte dílčí derivace, které se objevují v Greenova věta prostřednictvím produktové pravidlo:

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné P_ {1}} { částečné v}} & = { frac { částečné ( mathbf {F} circ psi)} { částečné v }} cdot { frac { částečné psi} { částečné u}} + ( mathbf {F} cirkus psi) cdot { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné v částečné u}} { frac { částečné P_ {2}} { částečné u}} & = { frac { částečné ( mathbf {F} circ psi)} { částečné u}} cdot { frac { částečné psi} { částečné v}} + ( mathbf {F} cirkus psi) cdot { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné u částečné v}} end {zarovnáno}}}

Pohodlně druhý člen zmizí v rozdílu o rovnost smíšených částí. Tak,

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné P_ {1}} { částečné v}} - { frac { částečné P_ {2}} { částečné u}} & = { frac { částečné ( mathbf {F} circ psi)} { částečné v}} cdot { frac { částečné psi} { částečné u}} - { frac { částečné ( mathbf {F} circ psi)} { částečné u}} cdot { frac { částečné psi} { částečné v}} & = { frac { částečné psi} { částečné u}} (J_ { psi (u, v)} mathbf {F}) { frac { částečné psi} { částečné v}} - { frac { částečné psi} { částečné v}} (J _ { psi (u, v)} mathbf {F}) { frac { částečné psi} { částečné u}} && { text {(pravidlo řetězu)}} & = { frac { částečné psi} { částečné u}} (J _ { psi (u, v)} mathbf {F} - (J _ { psi (u, v)} mathbf {F}) ^ { mathsf {T}} ) { frac { částečné psi} { částečné v}} konec {zarovnáno}}}

Ale teď vezměte v úvahu matici v této kvadratické formě - tj. ${ displaystyle J _ { psi (u, v)} mathbf {F} - (J _ { psi (u, v)} mathbf {F}) ^ { mathsf {T}}}$ . Tvrdíme, že tato matice ve skutečnosti popisuje křížový produkt.

Přesněji řečeno ${ displaystyle A = (A_ {ij}) _ {ij}}$ být libovolný $3 \times 3$ matice a nechat

{ displaystyle mathbf {a} = { begin {pmatrix} A_ {32} -A_ {23} A_ {13} -A_ {31} A_ {21} -A_ {12} end {pmatrix }}}

Všimněte si, že $X \mapsto A \times X$ je lineární, takže je určen jeho působením na základní prvky. Ale přímým výpočtem

{ displaystyle { begin {aligned} (AA ^ { mathsf {T}}) mathbf {e} _ {1} & = { begin {pmatrix} 0 a_ {3} - a_ {2 } end {pmatrix}} = mathbf {a} times mathbf {e} _ {1} (AA ^ { mathsf {T}}) mathbf {e} _ {2} & = { začátek {pmatrix} -a_ {3} 0 a_ {1} end {pmatrix}} = mathbf {a} times mathbf {e} _ {2} (AA ^ { mathsf { T}}) mathbf {e} _ {3} & = { begin {pmatrix} a_ {2} - a_ {1} 0 end {pmatrix}} = mathbf {a} times mathbf {e} _ {3} end {zarovnáno}}}

Tím pádem $(A - A T) X = A \times X$ pro všechny $X$ . Střídání $J F$ pro $A$ , získáváme

{ displaystyle ({(J _ { psi (u, v)} mathbf {F})} _ { psi (u, v)} - {(J _ { psi (u, v)} mathbf {F })} ^ { mathsf {T}}) mathbf {x} = ( nabla times mathbf {F}) times mathbf {x}, quad { text {pro všechny}} , mathbf {x} in mathbf {R} ^ {3}}

Nyní můžeme rozpoznat rozdíl částečných jako a (skalární) trojitý produkt:

{ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné P_ {1}} { částečné v}} - { frac { částečné P_ {2}} { částečné u}} & = { frac { částečné psi} { částečné u}} cdot ( nabla times mathbf {F}) times { frac { částečné psi} { částečné v}} & = det left [ ( nabla times mathbf {F}) ( psi (u, v)) quad { frac { částečné psi} { částečné u}} (u, v) quad { frac { částečné psi} { částečné v}} (u, v) vpravo] konec {zarovnáno}}}

Na druhou stranu definice a povrchový integrál zahrnuje také trojitý produkt - ten samý!

{ displaystyle { begin {zarovnáno} iint _ {S} ( nabla times mathbf {F}) cdot , d ^ {2} mathbf {S} & = iint _ {D} {( nabla times mathbf {F}) ( psi (u, v)) cdot left ({ frac { částečné psi} { částečné u}} (u, v) times { frac { částečné psi} { částečné v}} (u, v) , du , dv pravé)} & = iint _ {D} det left [( nabla times mathbf {F }) ( psi (u, v)) quad { frac { částečné psi} { částečné u}} (u, v) quad { frac { částečné psi} { částečné v}} (u, v) right] , du , dv end {zarovnáno}}}

Takže jsme získali

{ displaystyle iint _ {S} ( nabla times mathbf {F}) cdot , d ^ {2} mathbf {S} = iint _ {D} vlevo ({ frac { částečné P_ {2}} { částečné u}} - { frac { částečné P_ {1}} { částečné v}} pravé) , du , dv}

Čtvrtý krok důkazu (redukce na Greenovu větu)

Kombinace druhého a třetího kroku a následné použití Greenova věta doplňuje důkaz.

Důkaz prostřednictvím diferenciálních forem

$ℝ \to ℝ 3$ lze identifikovat se zapnutými diferenciálními 1 formami $ℝ 3$ přes mapu

{ displaystyle F_ {1} mathbf {e} _ {1} + F_ {2} mathbf {e} _ {2} + F_ {3} mathbf {e} _ {3} mapsto F_ {1} , dx + F_ {2} , dy + F_ {3} dz}

.

Napište diferenciální 1 formulář přidružený k funkci $F$ tak jako $ω F$ . Pak to lze vypočítat

{ displaystyle star omega _ { nabla times mathbf {F}} = d omega _ { mathbf {F}}}

kde $★$ je Hodge hvězda a ${ displaystyle d}$ je vnější derivace. Tak, tím zobecněná Stokesova věta,^[10]

{ displaystyle mast _ { částečné Sigma} { mathbf {F} cdot , d mathbf {l}} = mast _ { částečné Sigma} { omega _ { mathbf {F}} } = int _ { Sigma} {d omega _ { mathbf {F}}} = int _ { Sigma} { star omega _ { nabla times mathbf {F}}} = iint _ { Sigma} { nabla times mathbf {F} cdot , d ^ {2} mathbf {S}}}

Aplikace

V dynamice tekutin

V této části budeme diskutovat o lamelové vektorové pole na základě Kelvin-Stokesovy věty.

Irrotační pole

Definice 2-1 (Irrotační pole). Hladké vektorové pole $F$ na otevřeno $U \subseteq R 3$ je irrotační -li $\nabla \times F = 0$ .

Pokud doména F je jednoduše připojeno, pak $F$ je konzervativní vektorové pole.

Helmholtzovy věty

V této části představíme teorém, který je odvozen z Kelvin-Stokesovy věty a charakterizuje vektorová pole bez víru. V dynamice tekutin se tomu říká Helmholtzovy věty.

Věta 2-1 (Helmholtzova věta v dynamice tekutin).^[5]^[2]^:142 Nechat $U \subseteq R 3$ být otevřeno podmnožina s lamelovým vektorovým polem $F$ a nechte $C 0, C 1 : [0, 1] \to U$ být po částech hladké smyčky. Pokud existuje funkce $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ takhle

[TLH0] $H$ je po částech hladký,
[TLH1] $H (t, 0) = C 0 (t)$ pro všechny $t \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $H (t, 1) = C 1 (t)$ pro všechny $t \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)$ pro všechny $s \in [0, 1]$ .

Pak,

{ displaystyle int _ {c_ {0}} mathbf {F} , dc_ {0} = int _ {c_ {1}} mathbf {F} , dc_ {1}}

Některé učebnice, například Lawrence^[5] nazývat vztah mezi $C 0$ a $C 1$ uvedeno v teorémě 2-1 jako „homotopické“ a funkce $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ jako "homotopy mezi $C 0$ a $C 1$ „Homotopický“ nebo „homotopický“ ve výše uvedeném smyslu se však liší (silnější než) typické definice „homotopický“ nebo „homotopický“; druhý vynechá podmínku [TLH3]. Od této chvíle tedy označujeme homotopii (homotop) ve smyslu Věty 2-1 jako a tubulární homotopy (resp. tubulární homotopy).^{[poznámka 2]}

Důkaz věty

Definice

y 1, ..., y 4

V následujícím budeme notace o zneužití a použít " $+$ "pro zřetězení cest v základní grupoid a " $-$ "pro obrácení orientace cesty.

Nechat $D = [0, 1] \times [0, 1]$ a rozdělit $\partial D$ do 4 úseček $y j$ .

{ displaystyle { begin {aligned} gamma _ {1}: [0,1] to D; quad & gamma _ {1} (t) = (t, 0) gamma _ {2 }: [0,1] to D; quad & gamma _ {2} (s) = (1, s) gamma _ {3}: [0,1] to D; quad & gamma _ {3} (t) = (1-t, 1) gamma _ {4}: [0,1] to D; quad & gamma _ {4} (s) = (0 , 1 s) částečný D = gamma _ {1} + gamma _ {2} + gamma _ {3} + gamma _ {4} end {zarovnáno}}}

Podle našeho předpokladu, že $C 1$ a $C 2$ jsou po částech hladká homotopická, existuje po částech hladká homotopie $H : D \to M$

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Gamma _ {i} (t) & = H ( gamma _ {i} (t)) && i = 1,2,3,4 Gamma (t) & = H ( gamma (t)) = ( Gamma _ {1} oplus Gamma _ {2} oplus Gamma _ {3} oplus Gamma _ {4}) (t) end {zarovnáno}} }

Nechat S být obrazem $D$ pod H. Že

{ displaystyle iint _ {S} nabla times mathbf {F} , dS = mast _ { Gamma} mathbf {F} , d Gamma}

vyplývá bezprostředně z věty Kelvin – Stokes. $F$ je lamelární, takže levá strana zmizí, tj.

{ displaystyle 0 = mast _ { Gamma} mathbf {F} , d Gamma = součet _ {i = 1} ^ {4} mast _ { Gamma _ {i}} mathbf {F } , d Gamma}

Tak jako H je trubkovitý, $Γ 2 =- Γ 4$ . Tedy liniové integrály podél $Γ 2 (s)$ a $Γ 4 (s)$ zrušit, odejít

{ displaystyle 0 = mast _ { Gamma _ {1}} mathbf {F} , d Gamma + mast _ { Gamma _ {3}} mathbf {F} d Gamma}

Na druhou stranu, $C 1 = Γ 1$ a $C 3 =- Γ 3$ , takže požadovaná rovnost následuje téměř okamžitě.

Konzervativní síly

Helmholtzova věta vysvětluje, proč je práce konzervativní síly při změně polohy objektu nezávislá na cestě. Nejprve představíme Lemma 2-2, což je důsledek a speciální případ Helmholtzovy věty.

Lemma 2-2.^[5]^[6] Nechat $U \subseteq R 3$ být otevřeno podmnožina, s lamelovým vektorovým polem $F$ a po částech hladká smyčka $C 0 : [0, 1] \to U$ . Opravte bod $p \in U$ , pokud existuje homotopy (trubkovitá homotopy) $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ takhle

[SC0] H je po částech hladký,
[SC1] H(t, 0) = C₀(t) pro všechny t ∈ [0, 1],
[SC2] H(t, 1) = p pro všechny t ∈ [0, 1],
[SC3] H(0, s) = H(1, s) = p pro všechny s ∈ [0, 1].

Pak,

{ displaystyle int _ {c_ {0}} mathbf {F} , dc_ {0} = 0}

Lema 2-2 vyplývá z věty 2-1. V lemmatu 2-2 existence $H$ uspokojení [SC0] až [SC3] je zásadní. Li U je jednoduše připojen, například H existuje. Definice Prostě propojený prostor následuje:

Definice 2-2 (jednoduše propojený prostor).^[5]^[6] Nechat $M \subseteq R n$ být neprázdný a spojeno s cestou. $M$ je nazýván jednoduše připojeno právě když pro jakoukoli spojitou smyčku, $C : [0, 1] \to M$ existuje kontinuální tubulární homotopy $H : [0, 1] \times [0, 1] \to M$ z $C$ do pevného bodu $p \in C$ ; to je

[SC0 '] H je kontinuální,
[SC1] H(t, 0) = C(t) pro všechny t ∈ [0, 1],
[SC2] H(t, 1) = p pro všechny t ∈ [0, 1],
[SC3] H(0, s) = H(1, s) = p pro všechny s ∈ [0, 1].

Tvrzení, že „pro konzervativní sílu je práce prováděná při změně polohy objektu nezávislá na cestě“, by se mohlo zdát okamžitě následovat. Připomeňme si však, že jednoduché připojení zaručuje pouze existenci a kontinuální vyhovující homotopie [SC1-3]; místo toho hledáme po částech hladkou hoomotopii splňující tyto podmínky.

Rozdíl v pravidelnosti však řeší Whitneyova aproximační věta.^[6]^:136,421^[11] Získáváme tedy následující větu.

Věta 2-2.^[5]^[6] Nechat $U \subseteq R 3$ být otevřeno a jednoduše spojené s irrotačním vektorovým polem $F$ . Pro všechny po částech hladké smyčky $C : [0, 1] \to U$

{ displaystyle int _ {c_ {0}} mathbf {F} , dc_ {0} = 0}

Maxwellovy rovnice

Ve fyzice elektromagnetismus, Kelvin-Stokesova věta poskytuje ospravedlnění pro ekvivalenci diferenciální formy Maxwellova – Faradayova rovnice a Maxwellova – Ampereova rovnice a integrální forma těchto rovnic. Pro Faradayův zákon se Kelvin-Stokesova věta aplikuje na elektrické pole, ${ displaystyle mathbf {E}}$ .

${ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} { boldsymbol {l}} = iint _ { Sigma} mathbf { nabla} times mathbf { E} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$

Pro Ampereův zákon je Kelvin-Stokesova věta aplikována na magnetické pole, ${ displaystyle mathbf {B}}$ .

${ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {B} cdot mathrm {d} { boldsymbol {l}} = iint _ { Sigma} mathbf { nabla} times mathbf { B} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$

Poznámky

^ $Γ$ nemusí být a Jordanova křivka, pokud smyčka $y$ špatně interaguje s $ψ$ . Nicméně $Γ$ je vždy a smyčka a topologicky a připojená suma z spočetně mnoho Jordanovy křivky, takže integrály jsou dobře definované.
^ Existují učebnice, které používají výrazy „homotopy“ a „homotopic“ ve smyslu věty 2-1.^[5] Je to opravdu velmi výhodné pro konkrétní problém konzervativních sil. Obě použití homotopie se však objevují dostatečně často, takže k disambiguaci je nezbytná určitá terminologie, a zde přijatý termín „tubulární homotopie“ slouží dostatečně dobře.

Reference

^ Nagayoshi Iwahori, et al. :"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku " Sho-Ka-Bou (jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4[1] (Psáno v japonštině)
^ ^A ^b Atsuo Fujimoto; "Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C (1)"Bai-Fu-Kan (jp) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (Psáno v japonštině)
^ Stewart, James (2012). Kalkul - rané transcendentály (7. vydání). Učení Brooks / Cole Cengage. p. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ Griffiths, David (2013). Úvod do elektrodynamiky. Pearson. p. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Conlon, Lawrence (2008). Diferencovatelné rozdělovače. Moderní Birkhauserova klasika. Boston: Birkhaeuser.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Lee, John M. (2002). Úvod do hladkých potrubí. Postgraduální texty z matematiky. 218. Springer.
^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.
^ ^A ^b Robert Scheichl, poznámky k přednášce pro University of Bath kurz matematiky [3]
^ Colley, Susan Jane (2002). Vektorový počet (4. vydání). Boston: Pearson. 500–3.
^ Edwards, Harold M. (1994). Advanced Calculus: A Differential Forms Approach. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.
^ L. S. Pontryagin, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, sv. 11, Americká matematická společnost „Providence, R.I., 1959, s. 1–114. PAN0115178 (22 #5980 [4] ). Viz věty 7 a 8.

[cgamma-7] $Γ$ nemusí být a Jordanova křivka, pokud smyčka $y$ špatně interaguje s $ψ$ . Nicméně $Γ$ je vždy a smyčka a topologicky a připojená suma z spočetně mnoho Jordanovy křivky, takže integrály jsou dobře definované.

[TLH-12] Existují učebnice, které používají výrazy „homotopy“ a „homotopic“ ve smyslu věty 2-1.^[5] Je to opravdu velmi výhodné pro konkrétní problém konzervativních sil. Obě použití homotopie se však objevují dostatečně často, takže k disambiguaci je nezbytná určitá terminologie, a zde přijatý termín „tubulární homotopie“ slouží dostatečně dobře.

[iwahori-1] Nagayoshi Iwahori, et al. :"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku " Sho-Ka-Bou (jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4[1] (Psáno v japonštině)

[fujimno-2] A ^b Atsuo Fujimoto; "Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C (1)"Bai-Fu-Kan (jp) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (Psáno v japonštině)

[3] Stewart, James (2012). Kalkul - rané transcendentály (7. vydání). Učení Brooks / Cole Cengage. p. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.

[4] Griffiths, David (2013). Úvod do elektrodynamiky. Pearson. p. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.

[DTPO-5] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Conlon, Lawrence (2008). Diferencovatelné rozdělovače. Moderní Birkhauserova klasika. Boston: Birkhaeuser.

[lee-6] A ^b ^C ^d ^E Lee, John M. (2002). Úvod do hladkých potrubí. Postgraduální texty z matematiky. 218. Springer.

[Jame-8] Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.

[bath-9] A ^b Robert Scheichl, poznámky k přednášce pro University of Bath kurz matematiky [3]

[10] Colley, Susan Jane (2002). Vektorový počet (4. vydání). Boston: Pearson. 500–3.

[11] Edwards, Harold M. (1994). Advanced Calculus: A Differential Forms Approach. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3707-9.

[ptr-13] L. S. Pontryagin, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, sv. 11, Americká matematická společnost „Providence, R.I., 1959, s. 1–114. PAN0115178 (22 #5980 [4] ). Viz věty 7 a 8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[poznámka 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[poznámka 2]

[11]