Vektorové identity kalkulu - Vector calculus identities

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Následující jsou důležité identity zahrnující deriváty a integrály v vektorový počet.

Operátorská notace

Spád

Pro funkci ${ displaystyle f (x, y, z)}$ v trojrozměrném Kartézská souřadnice proměnné, gradient je vektorové pole:

${ displaystyle operatorname {grad} (f) = nabla f = { begin {pmatrix} { frac { částečné} { částečné x}}, { frac { částečné} { částečné y}} , { frac { částečné} { částečné z}} konec {pmatrix}} f = { frac { částečné f} { částečné x}} mathbf {i} + { frac { částečné f } { částečné y}} mathbf {j} + { frac { částečné f} { částečné z}} mathbf {k}}$

kde i, j, k jsou Standard jednotkové vektory pro X, y, z-sekery. Obecněji pro funkci n proměnné ${ displaystyle psi (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$, také nazývaný a skalární pole, gradient je vektorové pole:

${ displaystyle nabla psi = { begin {pmatrix} { frac { částečné} { částečné x_ {1}}}, ldots, { frac { částečné} { částečné x_ {n}} } end {pmatrix}} psi = { frac { částečné psi} { částečné x_ {1}}} mathbf {e} _ {1} + ldots + { frac { částečné psi} { částečné x_ {n}}} mathbf {e} _ {n}.}$

kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {i}}$ jsou ortogonální jednotkové vektory v libovolných směrech.

Pro vektorové pole ${ displaystyle mathbf {A} = vlevo (A_ {1}, ldots, A_ {n} vpravo)}$ psáno jako 1 × n řádkový vektor, nazývaný také tenzorové pole řádu 1, gradient nebo kovarianční derivace je n × n Jacobian matrix:

${ displaystyle nabla ! mathbf {A} = mathbf {J} _ { mathbf {A}} = left ({ frac { částečné A_ {i}} { částečné x_ {j}}} right) _ {! ij}.}$

Pro tenzorové pole ${ displaystyle mathbf {A}}$ jakékoli objednávky k, přechod ${ displaystyle operatorname {grad} ( mathbf {A}) = nabla ! mathbf {A}}$ je tenzorové pole objednávky k + 1.

Divergence

V kartézských souřadnicích se odchylka a průběžně diferencovatelné vektorové pole ${ displaystyle mathbf {F} = F_ {x} mathbf {i} + F_ {y} mathbf {j} + F_ {z} mathbf {k}}$ je skalární funkce:

${ displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = nabla cdot mathbf {F} = { begin {pmatrix} { frac { částečné} { částečné x}}, { frac { částečné} { částečné y}}, { frac { částečné} { částečné z}} konec {pmatrix}} cdot { begin {pmatrix} F_ {x}, F_ {y}, F_ {z} end {pmatrix}} = { frac { částečné F_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné F_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné F_ {z}} { částečné z}}.}$

Divergence a tenzorové pole ${ displaystyle mathbf {A}}$ nenulového řádu k je psán jako ${ displaystyle operatorname {div} ( mathbf {A}) = nabla cdot mathbf {A}}$, a kontrakce do tenzorového pole objednávky k - 1. Konkrétně je divergence vektoru skalární. Divergenci tenzorového pole vyššího řádu lze zjistit rozložením tenzorového pole na součet vnějších produktů a použitím identity,

${ displaystyle nabla cdot left ( mathbf {B} otimes { hat { mathbf {A}}} right) = { hat { mathbf {A}}} ( nabla cdot mathbf {B}) + ( mathbf {B} cdot nabla) { hat { mathbf {A}}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {B} cdot nabla}$ je směrový derivát ve směru ${ displaystyle mathbf {B}}$ vynásobený jeho velikostí. Konkrétně pro vnější produkt dvou vektorů,

${ displaystyle nabla cdot left ( mathbf {b} mathbf {a} ^ { mathsf {T}} right) = mathbf {a} left ( nabla cdot mathbf {b} right) + left ( mathbf {b} cdot nabla right) mathbf {a}.}$

Kučera

V kartézských souřadnicích, pro ${ displaystyle mathbf {F} = F_ {x} mathbf {i} + F_ {y} mathbf {j} + F_ {z} mathbf {k}}$ zvlnění je vektorové pole:

${ displaystyle operatorname {curl} mathbf {F} = nabla times mathbf {F} = { begin {pmatrix} { frac { částečné} { částečné x}}, { frac { částečný} { částečný y}}, { frac { částečný} { částečný z}} konec {pmatrix}} krát { začátek {pmatrix} F_ {x}, F_ {y}, F_ {z} end {pmatrix}} = left | { begin {matrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} { frac { částečný} { částečný x} } & { frac { částečné} { částečné y}} & { frac { částečné} { částečné z}} F_ {x} & F_ {y} & F_ {z} end {matrix}} vpravo | = doleva ({ frac { částečné F_ {z}} { částečné y}} - { frac { částečné F_ {y}} { částečné z}} pravé) mathbf {i} + left ({ frac { částečné F_ {x}} { částečné z}} - { frac { částečné F_ {z}} { částečné x}} vpravo) mathbf {j} + vlevo ( { frac { částečné F_ {y}} { částečné x}} - { frac { částečné F_ {x}} { částečné y}} vpravo) mathbf {k}}$

kde i, j, a k jsou jednotkové vektory pro X-, y-, a z-axes, resp. v Einsteinova notace, vektorové pole ${ displaystyle mathbf {F} = { begin {pmatrix} F_ {1} & F_ {2} & F_ {3} end {pmatrix}}}$ má zvlnění dané:

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = varepsilon ^ {ijk} mathbf {e} _ {i} { frac { částečný F_ {k}} { částečný x ^ {j}}}}$

kde ${ displaystyle varepsilon}$ = ± 1 nebo 0 je Symbol parity Levi-Civita.

Laplacian

v Kartézské souřadniceLaplacian funkce ${ displaystyle f (x, y, z)}$ je

${ displaystyle Delta f = nabla ^ {2} ! f = ( nabla cdot nabla) f = { frac { částečné ^ {2} ! f} { částečné x ^ {2}} } + { frac { částečné ^ {2} ! f} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} ! f} { částečné z ^ {2}} }.}$

Pro tenzorové pole, ${ displaystyle mathbf {A}}$, Laplacian je obecně psán jak:

${ displaystyle Delta mathbf {A} = nabla ^ {2} ! mathbf {A} = ( nabla cdot nabla) mathbf {A}}$

a je tenzorové pole stejného řádu.

Když je Laplacian roven 0, funkce se nazývá a Harmonická funkce. To znamená,

${ displaystyle Delta f = 0}$

Speciální notace

v Feynmanova dolní indexová notace,

${ displaystyle nabla _ { mathbf {B}} ! left ( mathbf {A { cdot} B} right) = mathbf {A} { times} ! left ( nabla { times} mathbf {B} right) + left ( mathbf {A} { cdot} nabla right) mathbf {B}}$

kde notace ∇_B znamená, že indexovaný gradient funguje pouze na faktoru B.^[1][2]

Méně obecný, ale podobný je Hestenes overdot notace v geometrická algebra.^[3] Výše uvedená identita je pak vyjádřena jako:

${ displaystyle { dot { nabla}} left ( mathbf {A} { cdot} { dot { mathbf {B}}} right) = mathbf {A} { times} ! left ( nabla { times} mathbf {B} right) + left ( mathbf {A} { cdot} nabla right) mathbf {B}}$

kde overdots definují rozsah vektorové derivace. Tečkovaný vektor, v tomto případě B, je diferencovaný, zatímco (undotted) A je konstantní.

Ve zbývající části tohoto článku se případně použije Feynmanova dolní indexová notace.

První odvozené identity

Pro skalární pole ${ displaystyle psi}$, ${ displaystyle phi}$ a vektorová pole ${ displaystyle mathbf {A}}$, ${ displaystyle mathbf {B}}$, máme následující odvozené identity.

Distribuční vlastnosti

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla ( psi + phi) & = nabla psi + nabla phi nabla ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = nabla mathbf {A} + nabla mathbf {B} nabla cdot ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = nabla { cdot} mathbf {A} + nabla cdot mathbf {B} nabla times ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = nabla times mathbf {A} + nabla times mathbf {B} end {zarovnáno} }}$

Pravidlo produktu pro násobení skalárem

Máme následující zevšeobecnění produktové pravidlo v jedné proměnné počet.

${ displaystyle { begin {zarovnaný} nabla ( psi phi) & = phi , nabla psi + psi , nabla phi nabla ( psi mathbf {A}) & = ( nabla psi) ^ { mathbf {T}} mathbf {A} + psi nabla mathbf {A} = nabla psi otimes mathbf {A} + psi , nabla mathbf {A} nabla cdot ( psi mathbf {A}) & = psi , nabla { cdot} mathbf {A} + ( nabla psi) , { cdot } mathbf {A} nabla { times} ( psi mathbf {A}) & = psi , nabla { times} mathbf {A} + ( nabla psi) { krát } mathbf {A} nabla ^ {2} (fg) & = f , nabla ^ {2 !} g + 2 , nabla ! f cdot ! nabla g + g , nabla ^ {2 !} f end {zarovnáno}}}$

Ve druhém vzorci je transponovaný gradient ${ displaystyle ( nabla psi) ^ { mathbf {T}}}$ je n × 1 vektor sloupce, ${ displaystyle mathbf {A}}$ je 1 × n řádkový vektor a jejich součin je n × n matice (nebo přesněji a dyad ); To lze také považovat za tenzorový produkt ${ displaystyle otimes}$ ze dvou vektorů nebo z covektoru a vektoru.

Pravidlo kvocientu pro dělení skalárem

${ displaystyle { begin {aligned} nabla left ({ frac { psi} { phi}} right) & = { frac { phi , nabla psi - psi , nabla phi} { phi ^ {2}}} [1em] nabla cdot left ({ frac { mathbf {A}} { phi}} right) & = { frac { phi , nabla { cdot} mathbf {A} - nabla ! phi cdot mathbf {A}} { phi ^ {2}}} [1em] nabla times left ({ frac { mathbf {A}} { phi}} vpravo) & = { frac { phi , nabla { times} mathbf {A} - nabla ! phi , { krát } , mathbf {A}} { phi ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

Řetězové pravidlo

Nechat ${ displaystyle f (x)}$ být funkcí jedné proměnné od skalárů ke skalárům, ${ displaystyle mathbf {r} (t) = (r_ {1} (t), ldots, r_ {n} (t))}$ A parametrizováno křivka a ${ displaystyle F: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ funkce od vektorů ke skalárům. Máme následující speciální případy více proměnných řetězové pravidlo.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla (f circ F) & = left (f ' circ F right) , nabla F (F circ mathbf {r})' & = ( nabla F circ mathbf {r}) cdot mathbf {r} ' nabla (F circ mathbf {A}) & = ( nabla F circ mathbf {A}) , nabla mathbf {A} end {zarovnáno}}}$

Pro parametrizace souřadnic ${ displaystyle Phi: mathbb {R} ^ {n} do mathbb {R} ^ {n}}$ my máme:

${ displaystyle nabla cdot ( mathbf {A} circ Phi) = mathrm {tr} left (( nabla mathbf {A} circ Phi) mathbf {J} _ { Phi} že jo)}$

Tady vezmeme stopa produktu dvou n × n matice: přechod z A a jakobián z ${ displaystyle Phi}$.

Pravidlo tečkového produktu

${ displaystyle { begin {seřazeno} nabla ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) & = ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {B} , + , ( mathbf {B} cdot nabla) mathbf {A} , + , mathbf {A} { times} ( nabla { times} mathbf {B}) , + , mathbf {B} { times} ( nabla { times} mathbf {A}) & = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {B}} + mathbf { B} cdot mathbf {J} _ { mathbf {A}} = mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} , + , mathbf {B} cdot nabla ! mathbf {A} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {J} _ { mathbf {A}} = nabla ! mathbf {A} = ( částečné A_ {i} / částečné x_ {j}) _ {ij}}$ označuje Jacobian matrix vektorového pole ${ displaystyle mathbf {A} = (A_ {1}, ldots, A_ {n})}$, a v posledním výrazu ${ displaystyle cdot}$ rozumí se, že operace nepůsobí na ${ displaystyle nabla}$ pokyny (které by někteří autoři označili vhodnými závorkami nebo transponují).

Případně pomocí Feynmanovy dolní indexové notace,

${ displaystyle nabla ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) = nabla _ { mathbf {A}} ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) + nabla _ { mathbf {B}} ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) .}$

Viz tyto poznámky.^[4]

Jako zvláštní případ, kdy A = B,

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} nabla left ( mathbf {A} cdot mathbf {A} right) = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {A}} = mathbf {A} cdot nabla mathbf {A} = ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {A} , + , mathbf {A} { times} ( nabla { times} mathbf {A}).}$

Zobecnění vzorce tečkového produktu na Riemannovy variety je definující vlastností a Riemannovo spojení, který rozlišuje vektorové pole a poskytuje vektorovou hodnotu 1-forma.

Křížové pravidlo produktu

${ displaystyle { begin {aligned} nabla cdot ( mathbf {A} times mathbf {B}) & = ( nabla { times} mathbf {A}) cdot mathbf {B } , - , mathbf {A} cdot ( nabla { times} mathbf {B}) [5pt] nabla times ( mathbf {A} times mathbf {B}) & = mathbf {A} ( nabla { cdot} mathbf {B}) , - , mathbf {B} ( nabla { cdot} mathbf {A}) , + , ( mathbf {B} { cdot} nabla) mathbf {A} , - , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} [2pt] & = ( nabla { cdot} , mathbf {B} , + , mathbf {B} , { cdot} nabla) mathbf {A} , - , ( nabla { cdot} mathbf {A} , + , mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} [2pt] & = nabla { cdot} left ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathrm {T}} vpravo) , - , nabla { cdot} vlevo ( mathbf {A} mathbf {B} ^ { mathrm {T}} vpravo) [2pt] & = nabla { cdot} left ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathrm {T}} , - , mathbf {A} mathbf {B } ^ { mathrm {T}} vpravo) mathbf {A} times ( nabla times mathbf {B}) & = nabla _ { mathbf {B}} ( mathbf { A} { cdot} mathbf {B}) , - , ( mathbf {A} { cd ot} nabla) mathbf {B} [2pt] & = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {B}} , - , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} = mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} , - , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B } [5pt] ( mathbf {A} times nabla) times mathbf {B} & = mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} , - , mathbf { A} ( nabla { cdot} mathbf {B}) & = mathbf {A} times ( nabla times mathbf {B}) , + , ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {B} , - , mathbf {A} ( nabla { cdot} mathbf {B}) end {zarovnáno}}}$

Všimněte si rozdílu mezi

${ displaystyle mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {B}} = A_ {i} vlevo ( { frac { částečné B_ {i}} { částečné x_ {j}}} vpravo)}$

a

${ displaystyle ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {B} = vlevo (A_ {i} { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} vpravo) B_ { j} = A_ {i} vlevo ({ frac { částečné B_ {j}} { částečné x_ {i}}} pravé) ,.}$

Druhé derivační identity

Divergence zvlnění je nulová

The divergence zvlnění žádný vektorové pole A je vždy nula:

${ displaystyle nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) = 0}$

Toto je zvláštní případ zmizení čtverce vnější derivace v De Rham řetězový komplex.

Divergence gradientu je laplaciánská

The Laplacian skalárního pole je divergence jeho gradientu:

${ displaystyle nabla ^ {2} psi = nabla cdot ( nabla psi)}$

Výsledkem je skalární veličina.

Divergence divergence není definována

Divergence vektorového pole A je skalární a nemůžete brát divergenci skalární veličiny. Proto:

${ displaystyle nabla cdot ( nabla cdot mathbf {A}) { text {je nedefinováno}}}$

Curl gradientu je nula

The kučera z spád z žádný průběžně dvakrát rozlišitelné skalární pole ${ displaystyle varphi}$ je vždy nulový vektor:

${ displaystyle nabla times ( nabla varphi) = mathbf {0}}$

Toto je zvláštní případ zmizení čtverce vnější derivace v De Rham řetězový komplex.

Curl of curl

${ displaystyle nabla times left ( nabla times mathbf {A} right) = nabla ( nabla { cdot} mathbf {A}) , - , nabla ^ {2 !} mathbf {A}}$

Tady ∇² je vektor Laplacian pracující na vektorovém poli A.

Curl of divergence není definován

The divergence vektorového pole A je skalární a nelze použít zvlnění skalárního množství. Proto

${ displaystyle nabla times ( nabla cdot mathbf {A}) { text {je nedefinováno}}}$

Shrnutí důležitých identit

Diferenciace

Spád

• ${ displaystyle nabla ( psi + phi) = nabla psi + nabla phi}$
• ${ displaystyle nabla ( psi phi) = phi nabla psi + psi nabla phi}$
• ${ displaystyle nabla ( psi mathbf {A}) = nabla psi otimes mathbf {A} + psi nabla mathbf {A}}$
• ${ displaystyle nabla ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) = ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {B} + ( mathbf {B} cdot nabla) mathbf {A} + mathbf {A} times ( nabla times mathbf {B}) + mathbf {B} times ( nabla times mathbf {A})}$

Divergence

• ${ displaystyle nabla cdot ( mathbf {A} + mathbf {B}) = nabla cdot mathbf {A} + nabla cdot mathbf {B}}$
• ${ displaystyle nabla cdot left ( psi mathbf {A} vpravo) = psi nabla cdot mathbf {A} + mathbf {A} cdot nabla psi}$
• ${ displaystyle nabla cdot left ( mathbf {A} times mathbf {B} right) = ( nabla times mathbf {A}) cdot mathbf {B} - ( nabla krát mathbf {B}) cdot mathbf {A}}$

Kučera

• ${ displaystyle nabla times ( mathbf {A} + mathbf {B}) = nabla times mathbf {A} + nabla times mathbf {B}}$
• ${ displaystyle nabla times left ( psi mathbf {A} right) = psi , ( nabla times mathbf {A}) + nabla psi times mathbf {A}}$
• ${ Displaystyle nabla times left ( psi nabla phi right) = nabla psi times nabla phi}$
• ${ displaystyle nabla times left ( mathbf {A} times mathbf {B} right) = mathbf {A} left ( nabla cdot mathbf {B} right) - mathbf { B} left ( nabla cdot mathbf {A} right) + left ( mathbf {B} cdot nabla right) mathbf {A} - left ( mathbf {A} cdot nabla right) mathbf {B}}$

Vektorové tečka Del operátor

• ${ displaystyle ( mathbf {A} cdot nabla) mathbf {A} = { frac {1} {2}} nabla mathbf {A} ^ {2} - mathbf {A} krát ( nabla times mathbf {A})}$

Druhé deriváty

Tabulka DCG: Některá pravidla pro druhé deriváty.

• ${ displaystyle nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) = 0}$
• ${ displaystyle nabla times ( nabla psi) = mathbf {0}}$
• ${ displaystyle nabla cdot ( nabla psi) = nabla ^ {2} psi}$ (skalární Laplacian )
• ${ displaystyle nabla left ( nabla cdot mathbf {A} right) - nabla times left ( nabla times mathbf {A} right) = nabla ^ {2} mathbf { A}}$ (vektor Laplacian )
• ${ displaystyle nabla cdot ( phi nabla psi) = phi nabla ^ {2} psi + nabla phi cdot nabla psi}$
• ${ displaystyle psi nabla ^ {2} phi - phi nabla ^ {2} psi = nabla cdot left ( psi nabla phi - phi nabla psi right)}$
• ${ displaystyle nabla ^ {2} ( phi psi) = phi nabla ^ {2} psi +2 ( nabla phi) cdot ( nabla psi) + doleva ( nabla ^ { 2} phi right) psi}$
• ${ displaystyle nabla ^ {2} ( psi mathbf {A}) = mathbf {A} nabla ^ {2} psi +2 ( nabla psi cdot nabla) mathbf {A} + psi nabla ^ {2} mathbf {A}}$
• ${ displaystyle nabla ^ {2} ( mathbf {A} cdot mathbf {B}) = mathbf {A} cdot nabla ^ {2} mathbf {B} - mathbf {B} cdot nabla ^ {2} ! mathbf {A} +2 nabla cdot (( mathbf {B} cdot nabla) mathbf {A} + mathbf {B} krát ( nabla krát mathbf {A}))}$ (Greenova vektorová identita )

Obrázek vpravo je mnemotechnická pomůcka pro některé z těchto identit. Použité zkratky jsou:

• D: divergence,
• C: zvlnění,
• G: gradient,
• L: Laplacian,
• CC: zvlnění zvlnění.

Každá šipka je označena výsledkem identity, konkrétně výsledkem použití operátoru za ocasem šipky na operátora v jeho hlavě. Modrý kruh uprostřed znamená, že zvlnění zvlnění existuje, zatímco další dva červené kruhy (přerušované) znamenají, že DD a GG neexistují.

Třetí deriváty

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla ^ {2} ( nabla psi) & = nabla ( nabla cdot ( nabla psi)) = nabla vlevo ( nabla ^ {2} psi right) nabla ^ {2} ( nabla cdot mathbf {A}) & = nabla cdot ( nabla ( nabla cdot mathbf {A})) = nabla cdot left ( nabla ^ {2} mathbf {A} right) nabla ^ {2} ( nabla times mathbf {A}) & = - nabla times ( nabla times ( nabla times mathbf {A})) = nabla times left ( nabla ^ {2} mathbf {A} right) end {zarovnáno}}}$

Integrace

Níže je složený symbol ∂ znamená „hranice "povrch nebo těleso.

Integrály povrch-objem

V následujících integrálních větách o povrchu a objemu PROTI označuje trojrozměrný objem s odpovídajícím dvojrozměrným hranice S = ∂PROTI (A uzavřený povrch ):

• ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle mathbf {A} cdot d mathbf {S} = iiint _ {V} left ( nabla cdot mathbf {A} right) dV}$ (věta o divergenci )
• ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle psi , d mathbf {S} = iiint _ {V} nabla psi , dV}$
• ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle mathbf {A} times d mathbf {S} = - iiint _ {V} nabla times mathbf {A} , dV}$
• ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ Displaystyle psi nabla ! varphi cdot d mathbf {S} = iiint _ {V} vlevo ( psi nabla ^ {2} ! varphi + nabla ! varphi cdot nabla ! psi right) , dV}$ (Greenova první identita )
• ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle left ( psi nabla ! varphi - varphi nabla ! psi vpravo) cdot d mathbf {S} = }$ ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle left ( psi { frac { částečné varphi} { částečné n}} - varphi { frac { částečné psi} { částečné n}} pravé) dS}$ ${ displaystyle displaystyle = iiint _ {V} vlevo ( psi nabla ^ {2} ! varphi - varphi nabla ^ {2} ! psi vpravo) , dV}$ (Greenova druhá identita )
• ${ displaystyle iiint _ {V} mathbf {A} cdot nabla psi , dV = }$ ${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ ${ displaystyle psi mathbf {A} cdot d mathbf {S} - iiint _ {V} psi nabla cdot mathbf {A} , dV}$ (integrace po částech )
• ${ displaystyle iiint _ {V} psi nabla cdot mathbf {A} , dV = iint _ { částečné V} psi mathbf {A} cdot d mathbf {S} - iiint _ {V} nabla psi cdot mathbf {A} , dV}$ (integrace po částech )

Křivkové integrály

V následujících integrálních větách s křivkou a povrchem S označuje 2d otevřený povrch s odpovídající hranicí 1d C = ∂S (A uzavřená křivka ):

• ${ displaystyle mast _ { částečné S} mathbf {A} cdot d { boldsymbol { ell}} = iint _ {S} left ( nabla times mathbf {A} right ) cdot d mathbf {S}}$ (Stokesova věta )
• ${ displaystyle mast _ { částečné S} psi , d { boldsymbol { ell}} = - iint _ {S} nabla psi krát d mathbf {S}}$

Integrace kolem uzavřené křivky v ve směru hodinových ručiček sense je negativ stejné čáry integrální ve smyslu proti směru hodinových ručiček (analogicky k záměně limitů v a určitý integrál ):

${ displaystyle { scriptstyle částečné S}}$ ${ displaystyle mathbf {A} cdot { rm {d}} { boldsymbol { ell}} = -}$ ${ displaystyle { scriptstyle částečné S}}$ ${ displaystyle mathbf {A} cdot { rm {d}} { boldsymbol { ell}}.}$

Viz také

• Vnější identita kalkulu
• Vnější derivát
• Del ve válcových a sférických souřadnicích
• Vektorové algebraické vztahy
• Porovnání vektorové a geometrické algebry

Reference

Další čtení