Lebesgueova integrace - Lebesgue integration

Integrál kladné funkce lze interpretovat jako plochu pod křivkou.

v matematika, integrální nezáporného funkce jedné proměnné lze v nejjednodušším případě považovat za plocha mezi graf této funkce a X-osa. The Lebesgueův integrál rozšiřuje integrál na větší třídu funkcí. Rovněž rozšiřuje domén na kterých lze tyto funkce definovat.

Dlouho před 20. stoletím už matematici pochopili, že pro nezáporné funkce s a hladký dostatek grafu - například spojité funkce na Zavřeno ohraničený intervaly —The plocha pod křivkou lze definovat jako integrál a vypočítat pomocí aproximačních technik v oblasti pomocí mnohoúhelníky. Jak však vyvstala potřeba uvažovat o nepravidelnějších funkcích - např. V důsledku omezující procesy matematická analýza a matematické teorie pravděpodobnosti —Zjistilo se, že k definování vhodného integrálu jsou zapotřebí opatrnější aproximační techniky. Lze také chtít integraci do prostorů obecnějších než skutečná čára. Lebesgueův integrál poskytuje abstrakce potřebné k provedení této důležité práce.

Lebesgueův integrál hraje důležitou roli v teorie pravděpodobnosti, skutečná analýza a mnoho dalších oborů v matematice. Je pojmenován po Henri Lebesgue (1875–1941), který představil integrál (Lebesgue 1904 ). Je také stěžejní součástí axiomatická teorie pravděpodobnosti.

Termín Lebesgueova integrace může znamenat buď obecnou teorii integrace funkce s ohledem na obecnou opatření, jak uvádí Lebesgue, nebo specifický případ integrace funkce definované v subdoméně domény skutečná linie s respektem k Lebesgueovo opatření.

Úvod

Integrál kladné funkce F mezi limity A a b lze interpretovat jako plochu pod grafem F. To je jednoduché pro funkce jako polynomy, ale co to znamená pro exotičtější funkce? Pro jakou třídu funkcí má „plocha pod křivkou“ obecně smysl? Odpověď na tuto otázku má velký teoretický i praktický význam.

Jako součást obecného pohybu směrem k přísnost v matematice v devatenáctém století se matematici pokusili postavit integrální počet na pevný základ. The Riemannův integrál —Předložil Bernhard Riemann (1826–1866) - je široce úspěšný pokus poskytnout takový základ. Riemannova definice začíná konstrukcí posloupnosti snadno vypočítatelných oblastí, které konvergují k integrálu dané funkce. Tato definice je úspěšná v tom smyslu, že poskytuje očekávanou odpověď na mnoho již vyřešených problémů a poskytuje užitečné výsledky pro mnoho dalších problémů.

Riemannova integrace však neinteraguje dobře s omezeními posloupností funkcí, což ztěžuje analýzu těchto omezujících procesů. To je důležité například při studiu Fourierova řada, Fourierovy transformace a další témata. Lebesgueův integrál lépe popisuje, jak a kdy je možné stanovit limity pod integrálním znaménkem (prostřednictvím monotónní věta o konvergenci a dominující věta o konvergenci ).

Zatímco Riemannův integrál uvažuje plochu pod křivkou vytvořenou ze svislých obdélníků, Lebesgueova definice zvažuje vodorovné desky, které nemusí být nutně jen obdélníky, a proto je flexibilnější. Z tohoto důvodu umožňuje Lebesgueova definice počítat integrály pro širší třídu funkcí. Například Dirichletova funkce, což je 0, kde je jeho argument iracionální a 1 jinak, má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál. Lebesgueův integrál této funkce je dále nulový, což souhlasí s intuicí, že při náhodném a náhodném výběru reálného čísla z jednotkového intervalu by měla být pravděpodobnost výběru racionálního čísla nulová.

Lebesgue shrnul svůj přístup k integraci v dopise Paul Montel:

Musím zaplatit určitou částku, kterou jsem vybral v kapse. Vybírám bankovky a mince z kapsy a dávám je věřiteli v pořadí, v jakém je najdu, dokud nedosáhnu celkové částky. Toto je Riemannův integrál. Ale můžu postupovat jinak. Poté, co jsem vytáhl všechny peníze z kapsy, objednám směnky a mince podle stejných hodnot a poté několik hromád po sobě vyplácím věřiteli. To je můj integrál.

— Zdroj: (Siegmund-Schultze 2008 )

Vhled je, že člověk by měl být schopen volně uspořádat hodnoty funkce při zachování hodnoty integrálu. Tento proces přeskupení může převést velmi patologická funkce do takového, který je z hlediska integrace „pěkný“, a tak nechá integrovat takové patologické funkce.

Intuitivní výklad

Integrace Riemann-Darboux (modře) a Lebesgueova integrace (červeně).

Abychom získali určitou intuici o různých přístupech k integraci, představme si, že chceme najít objem hory (nad hladinou moře).

Přístup Riemann – Darboux

Rozdělte úpatí hory na mřížku o čtvercích 1 metr. Změřte nadmořskou výšku hory ve středu každého čtverce. Objem na jednom čtverci mřížky je přibližně 1 m² × (nadmořská výška daného čtverce), takže celkový objem je 1 m² krát součet výšek.

Lebesgueův přístup

Nakresli vrstevnicová mapa hory, kde sousední vrstevnice jsou od sebe vzdáleny 1 metr nadmořské výšky. Objem země, který obsahuje jedna kontura, je přibližně 1 m × (plocha této kontury), takže celkový objem je součtem těchto oblastí krát 1 m.

Folland shrnuje rozdíl mezi Riemannovým a Lebesgueovým přístupem takto: „vypočítat Riemannův integrál F, jeden rozdělí doménu [A, b] do podintervalů ", zatímco v Lebesgueově integrálu" je ve skutečnosti rozdělení rozsahu F ."^[1]

Směrem k formální definici

Spolu se sadou je zobrazena měřitelná funkce ${ displaystyle {x: f (x)> t }}$ (na X-osa). Lebesgueův integrál se získá krájením podél y-os, pomocí 1-rozměrné Lebesgueovy míry k měření „šířky“ řezů.

Definovat Lebesgueův integrál vyžaduje formální představu a opatření který se zhruba přidruží ke každé sadě A reálných čísel nezáporné číslo μ(A) představující "velikost" A. Tento pojem „velikosti“ by měl souhlasit s obvyklou délkou intervalu nebo disjunktním sjednocením intervalů. Předpokládejme to F : ℝ → ℝ⁺ je nezáporná funkce se skutečnou hodnotou. Pomocí "rozdělení rozsahu F "filozofie, integrál F by měl být součet t elementární oblasti obsažené v tenkém vodorovném pásu mezi y = t a y = t − dt. Tato základní oblast je spravedlivá

${ Displaystyle mu left ( {x mid f (x)> t } right) , dt.}$

Nechat

${ displaystyle f ^ {*} (t) = mu left ( {x mid f (x)> t } right).}$

Lebesgueův integrál F je pak definováno^[2]

${ displaystyle int f , d mu = int _ {0} ^ { infty} f ^ {*} (t) , dt}$

kde integrál vpravo je obyčejný nesprávný Riemannův integrál. Všimněte si, že F^∗ je nezáporná klesající funkce, a proto má dobře definovaný nesprávný Riemannův integrál s hodnotou v intervalu [0,∞]. Pro vhodnou třídu funkcí ( měřitelné funkce ), toto definuje Lebesgueův integrál.

Obecná (ne nutně pozitivní) měřitelná funkce F je Lebesgue integrovatelný, pokud je oblast mezi grafem F a X-os je konečný:

${ displaystyle int | f | , d mu <+ infty.}$

V tom případě, stejně jako v Riemannově případě, je integrál rozdílem mezi oblastí nad X- osa a oblast pod X-osa:

${ displaystyle int f , d mu = int f ^ {+} , d mu - int f ^ {-} , d mu}$

kde ${ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-}}$ je rozklad F do rozdílu dvou nezáporných funkcí daných

${ displaystyle { begin {alignedat} {3} f ^ {+} (x) & = max {f (x), 0 } & {} = {} & { begin {cases} f (x ), & { text {if}} f (x)> 0, 0, & { text {jinak}} end {cases}} f ^ {-} (x) & = max {-f (x), 0 } & {} = {} & { begin {cases} -f (x), & { text {if}} f (x) <0, 0, & { text {jinak.}} end {případy}} end {alignedat}}}$

Konstrukce

Teorie Lebesgueova integrálu vyžaduje teorii měřitelných množin a měr na těchto množinách, stejně jako teorii měřitelných funkcí a integrálů na těchto funkcích.

Teorie měření

Teorie měření byl původně vytvořen, aby poskytl užitečnou abstrakci představy o délce podmnožin skutečné linie - a obecněji o ploše a objemu podmnožin euklidovských prostorů. Poskytla zejména systematickou odpověď na otázku, které podskupiny ℝ mít délku. Jako později teorie množin vývoj ukázal (viz neměřitelná množina ), je vlastně nemožné přiřadit délku všem podmnožinám ℝ způsobem, který zachovává některé přirozené vlastnosti aditivity a invariance překladu. To naznačuje, že vybrat vhodnou třídu měřitelný podmnožiny je nezbytným předpokladem.

Riemannův integrál používá pojem délky explicitně. Prvkem výpočtu Riemannova integrálu je ve skutečnosti obdélník [A, b] × [C, d], jehož plocha se počítá jako (b − A)(d − C). Množství b − A je délka základny obdélníku a d − C je výška obdélníku. Riemann mohl použít pouze rovinné obdélníky k přiblížení oblasti pod křivkou, protože neexistovala adekvátní teorie pro měření obecnějších množin.

Při vývoji teorie ve většině moderních učebnic (po roce 1950) jde o přístup k měření a integraci axiomatický. To znamená, že mírou je jakákoli funkce μ definovaná v určité třídě X  podmnožin sady E, který splňuje určitý seznam vlastností. Je možné ukázat, že tyto vlastnosti platí v mnoha různých případech.

Měřitelné funkce

Začínáme s změřte prostor (E, X, μ) kde E je soubor, X je σ-algebra podskupin E, a μ je (ne-negativní ) opatření na E definované na množinách X.

Například, E může být Euklidovský n-prostor ℝⁿ nebo některé Lebesgue měřitelný jeho podmnožina, X je σ-algebra všech měřitelných podmnožin Lebesgue Ea μ je Lebesgueovo měřítko. V matematické teorii pravděpodobnosti omezujeme naši studii na a pravděpodobnost opatřeníμ, což uspokojuje μ (E) = 1.

Lebesgueova teorie definuje integrály pro třídu funkcí zvaných měřitelné funkce. Funkce se skutečnou hodnotou F na E je měřitelný, pokud předobraz každého intervalu formuláře (t, ∞) (ve skutečnosti jakékoli Sada Borel ) je v X:

${ displaystyle {x , mid , f (x)> t } v X quad forall t in mathbb {R}.}$

Můžeme ukázat, že to je ekvivalentní požadavku na předobraz každého Borel podmnožina ℝ být v X. Sada měřitelných funkcí je uzavřena algebraickými operacemi, ale co je důležitější, je uzavřena různými druhy bodové sekvenční limity:

${ displaystyle sup _ {k in mathbb {N}} f_ {k}, quad liminf _ {k in mathbb {N}} f_ {k}, quad limsup _ {k in mathbb {N}} f_ {k}}$

jsou měřitelné, pokud původní sekvence (F_k)_k, kde k ∈ ℕ, se skládá z měřitelných funkcí.

Existuje několik přístupů k definování integrálu:

${ displaystyle int _ {E} f , d mu = int _ {E} f left (x right) , d mu left (x right)}$

pro měřitelné funkce se skutečnou hodnotou F definováno dne E.

Konstruování integrálu

Aproximace funkce jednoduchými funkcemi.

Jedním z přístupů ke konstrukci Lebesgueova integrálu je využití tzv jednoduché funkce: konečné reálné lineární kombinace funkce indikátorů. Pro nováčka teorie míry má tato konstrukce Lebesgueova integrálu intuitivnější smysl, když je ve srovnání s touto cestou Riemannova suma se používá s definicí / konstrukcí Riemannův integrál. K přiblížení měřitelné funkce lze použít jednoduché funkce rozdělením rozsahu do vrstev. Integrál jednoduché funkce se rovná míře dané vrstvy, krát její výšky. Integrál nezáporné obecné měřitelné funkce je pak definován jako vhodný supremum aproximací jednoduchými funkcemi a integrál (ne nutně pozitivní) měřitelné funkce je rozdíl dvou integrálů nezáporných měřitelných funkcí, jak je uvedeno dříve.

Indikační funkce

Chcete-li přiřadit hodnotu integrálu funkce indikátoru 1_S měřitelné množiny S v souladu s daným měřítkem μ je jedinou rozumnou volbou nastavit:

${ displaystyle int 1_ {S} , d mu = mu (S).}$

Všimněte si, že výsledek se může rovnat +∞, pokud μ je konečný opatření.

Jednoduché funkce

Konečný lineární kombinace funkcí indikátorů

${ displaystyle sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}$

kde koeficienty A_k jsou reálná čísla a S_k jsou disjunktní měřitelné množiny, nazývá se měřitelná jednoduchá funkce. Integrál rozšíříme o linearitu na nezáporné měřitelné jednoduché funkce. Když koeficienty A_k jsou nezáporné, nastavíme

${ displaystyle int left ( sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}} right) , d mu = sum _ {k} a_ {k} int 1_ {S_ { k}} , d mu = součet _ {k} a_ {k} , mu (S_ {k}).}$

Konvence 0 × ∞ = 0 musí být použito a výsledek může být nekonečný. I když lze jednoduchou funkci zapsat mnoha způsoby jako lineární kombinaci indikátorových funkcí, integrál je vždy stejný. To lze ukázat pomocí vlastnosti aditivity opatření.

Při definování integrálu a. Je zapotřebí určité opatrnosti skutečný jednoduchá funkce, aby se zabránilo nedefinovanému výrazu ∞ − ∞: jeden předpokládá, že reprezentace

${ displaystyle f = sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}$

je takový μ (S_k) < ∞ kdykoli A_k ≠ 0. Pak výše uvedený vzorec pro integrál z F dává smysl a výsledek nezávisí na konkrétním zastoupení F splnění předpokladů.

Li B je měřitelná podmnožina E a s je měřitelná jednoduchá funkce, kterou člověk definuje

${ displaystyle int _ {B} s , d mu = int 1_ {B} , s , d mu = součet _ {k} a_ {k} , mu (S_ {k} čepice B).}$

Nezáporné funkce

Nechat F být nezápornou měřitelnou funkcí E, kterému umožňujeme dosáhnout hodnoty +∞, jinými slovy, F přebírá nezáporné hodnoty v prodloužená řada reálných čísel. Definujeme

${ displaystyle int _ {E} f , d mu = sup vlevo {, int _ {E} s , d mu: 0 leq s leq f, s { text {simple}} , right }.}$

Musíme ukázat, že tento integrál se shoduje s předchozím, definovaným na množině jednoduchých funkcí, když E je segment [A, b]. Je zde také otázka, zda to nějak odpovídá Riemannově pojmu integrace. Je možné dokázat, že odpověď na obě otázky je ano.

Definovali jsme integrál F pro jakoukoli nezápornou rozšířenou měřitelnou funkci se skutečnou hodnotou zapnutouE. U některých funkcí tento integrál ∫_E F dμ je nekonečný.

Často je užitečné mít určitou posloupnost jednoduchých funkcí, která aproximuje Lebesgueovu integrální studnu (analogicky k Riemannově součtu). Pro nezápornou měřitelnou funkci F, nechť ${ displaystyle s_ {n} (x)}$ být jednoduchá funkce, jejíž hodnota je ${ displaystyle k / 2 ^ {n}}$ kdykoli ${ Displaystyle k / 2 ^ {n} leq f (x) <(k + 1) / 2 ^ {n}}$, pro k nezáporné celé číslo menší než (řekněme) ${ displaystyle 4 ^ {n}}$. Pak lze přímo dokázat, že

${ displaystyle int f , d mu = lim _ {n až infty} int s_ {n} , d mu}$

a že limit na pravé straně existuje jako rozšířené reálné číslo. To propojuje spojení mezi přístupem k Lebesgueovu integrálu pomocí jednoduchých funkcí a motivací pro Lebesgueův integrál pomocí dělení rozsahu.

Podepsané funkce

Ke zpracování podepsaných funkcí potřebujeme ještě několik definic. Li F je měřitelná funkce množiny E do skutečností (včetně ±∞), pak můžeme psát

${ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-}, quad}$

kde

${ displaystyle f ^ {+} (x) = left {{ begin {matrix} f (x) & { text {if}} f (x)> 0 0 & { text {jinak}} end {matrix}} right.}$

${ displaystyle f ^ {-} (x) = left {{ begin {matrix} -f (x) & { text {if}} f (x) <0 0 & { text {jinak} } end {matrix}} vpravo.}$

Všimněte si, že obojí F⁺ a F⁻ jsou nezáporné měřitelné funkce. Všimněte si také, že

${ displaystyle | f | = f ^ {+} + f ^ {-}. quad}$

Říkáme, že Lebesgueův integrál měřitelné funkce F existujenebo je definováno pokud alespoň jeden z ${ displaystyle int f ^ {+} , d mu}$ a ${ displaystyle int f ^ {-} , d mu}$ je konečný:

${ displaystyle min left ( int f ^ {+} , d mu, int f ^ {-} , d mu right) < infty.}$

V tomto případě jsme definovat

${ displaystyle int f , d mu = int f ^ {+} , d mu - int f ^ {-} , d mu.}$

Li

${ displaystyle int | f | , d mu < infty,}$

říkáme to F je Lebesgue integrovatelný.

Ukazuje se, že tato definice dává žádoucí vlastnosti integrálu.

Funkce s komplexní hodnotou

Komplex -hodnotové funkce mohou být podobně integrovány, když vezmeme v úvahu skutečnou část a imaginární část zvlášť.

Li h=F+ig pro integrovatelné funkce se skutečnou hodnotou F, G, pak integrál h je definováno

${ displaystyle int h , d mu = int f , d mu + i int g , d mu.}$

Funkce je integrovatelná do Lebesgue, právě když je její absolutní hodnota je Lebesgue integrovatelný (viz Absolutně integrovatelná funkce ).

Příklad

Zvažte funkce indikátoru racionálních čísel, 1_Q, známá také jako Dirichletova funkce. Tato funkce je nikde nepřetržitý.

• ${ displaystyle 1 _ { mathbf {Q}}}$ není integrovatelný s Riemannem [0, 1]: Bez ohledu na to, jak je sada [0, 1] je rozdělen na podintervaly, každý oddíl obsahuje alespoň jedno racionální a alespoň jedno iracionální číslo, protože racionální i iracionální jsou v realitách husté. Tedy horní Sumy Darboux jsou všechny jedno a nižší součty Darboux jsou všechny nulové.
• ${ displaystyle 1 _ { mathbf {Q}}}$ je integrovatelný do Lebesgue [0, 1] za použití Lebesgueovo opatření: Ve skutečnosti jde o indikátorovou funkci racionálu, tedy z definice

${ displaystyle int _ {[0,1]} 1 _ { mathbf {Q}} , d mu = mu ( mathbf {Q} cap [0,1]) = 0,}$

protože Q je počitatelný.

Doména integrace

Technickým problémem integrace Lebesgue je, že doména integrace je definována jako soubor (podmnožina měrného prostoru), bez pojmu orientace. V elementárním počtu definujeme integraci s ohledem na orientace:

${ displaystyle int _ {b} ^ {a} f: = - int _ {a} ^ {b} f.}$

Zobecnění na vyšší dimenze přináší integraci diferenciální formy. Naproti tomu integrace Lebesgue poskytuje alternativní zevšeobecnění, integraci přes podmnožiny s ohledem na opatření; toto lze označit jako

${ displaystyle int _ {A} f , d mu = int _ {[a, b]} f , d mu}$

k označení integrace přes podmnožinu A. Podrobnosti o vztahu mezi těmito zevšeobecněním viz Diferenciální forma § Vztah k opatřením.

Omezení Riemannova integrálu

S příchodem Fourierova řada, přišlo mnoho analytických problémů zahrnujících integrály, jejichž uspokojivé řešení vyžadovalo záměnu mezních procesů a integrálních znaků. Podmínky, za kterých jsou integrály

${ displaystyle sum _ {k} int f_ {k} (x) dx, quad int left [ sum _ {k} f_ {k} (x) right] dx}$

se v Riemannově rámci ukázaly jako docela nepolapitelné. S Riemannovým integrálem existují další technické potíže. Ty souvisejí s výše zmíněnými obtížemi při přijímání omezení.

Selhání monotónní konvergence. Jak je uvedeno výše, funkce indikátoru 1_Q na racionální úrovni není Riemann integrovatelný. Zejména Monotónní věta o konvergenci selže. Abychom pochopili proč, pojďme {A_k} být výčet všech racionálních čísel v [0, 1] (oni jsou počitatelný takže to lze udělat.) Pak nechte

${ displaystyle g_ {k} (x) = left {{ begin {matrix} 1 & { text {if}} x = a_ {j}, j leq k 0 & { text {jinak}} end {matrix}} right.}$

Funkce G_k je nula všude, s výjimkou konečné sady bodů. Proto je jeho Riemannův integrál nulový. Každý G_k je nezáporná a tato posloupnost funkcí se monotónně zvyšuje, ale její limit je k → ∞ je 1_Q, což není Riemann integrovatelné.

Nevhodnost pro neomezené intervaly. Riemannův integrál může integrovat funkce pouze v omezeném intervalu. Lze jej však rozšířit na neomezené intervaly přijetím limitů, pokud to nepřinese odpověď, jako je ∞ − ∞.

Integrace na jiné struktury než euklidovský prostor. Riemannův integrál je neoddělitelně spojen se strukturou objednávky reálné linie.

Základní věty Lebesgueova integrálu

Dvě funkce jsou považovány za stejné téměř všude (${ displaystyle f { stackrel { text {a.e.}} {=}} g}$ zkráceně) pokud se shodují venku a podmnožina opatření 0.

Měřitelnost podmnožiny ${ displaystyle {x mid f (x) neq g (x) }}$ je ne Požadované.

• Li F, G jsou nezáporné měřitelné funkce (pravděpodobně za předpokladu hodnoty +∞) takové, že F = G tedy téměř všude

${ displaystyle int f , d mu = int g , d mu.}$

Integrál respektuje vztah ekvivalence téměř všude rovnosti.

• Li F, G jsou funkce takové, že F = G tedy téměř všude F je Lebesgue integrovatelný právě tehdy G je Lebesgue integrovatelný a integrály F a G jsou stejné, pokud existují.

• Linearita: Pokud F a G jsou Lebesgue integrovatelné funkce a A a b jsou tedy skutečná čísla af + bg je Lebesgue integrovatelný a

${ Displaystyle int (af + bg) , d mu = a int f , d mu + b int g , d mu.}$

• Monotónnost: Pokud F ≤ G, pak

${ displaystyle int f , d mu leq int g , d mu.}$

• Nechat ${ displaystyle ( Omega, Sigma, mu)}$ být měřítkem prostoru. Označit ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ the ${ displaystyle sigma}$-algebra Borel se zapíná ${ displaystyle [0, + infty]}$. (Podle definice, ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ obsahuje sadu ${ displaystyle {+ infty }}$ a všechny podmnožiny Borel z ${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}}$). Zvažte a ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelná nezáporná funkce ${ displaystyle s: Omega do [0, + infty]}$. Pro sadu ${ displaystyle S in Sigma}$, definovat

${ displaystyle nu (S) = int _ {S} s , d mu.}$

Pak ${ displaystyle nu}$ je Lebesgueovým opatřením ${ displaystyle ( Omega, Sigma)}$.

• Monotónní věta o konvergenci: Předpokládejme { F_k}_{k ∈ ℕ} je sled nezáporných měřitelných funkcí takový, že

${ Displaystyle f_ {k} (x) leq f_ {k + 1} (x) quad forall k in mathbb {N}, , forall x v E.}$

Potom bodový limit F z F_k je Lebesgue měřitelný a

${ displaystyle lim _ {k} int f_ {k} , d mu = int f , d mu.}$

Hodnota kteréhokoli z integrálů může být nekonečná.

• Fatouovo lemma: Pokud { F_k}_{k ∈ N} je sekvence nezáporných měřitelných funkcí

${ displaystyle int liminf _ {k} f_ {k} , d mu leq liminf _ {k} int f_ {k} , d mu.}$

Opět může být hodnota kteréhokoli z integrálů nekonečná.

• Věta o dominantní konvergenci: Předpokládejme { F_k}_{k ∈ N} je posloupnost komplexních měřitelných funkcí s bodovým limitem F, a tam je Lebesgue integrovatelná funkce G (tj., G patří do prostor L¹ ) takhle | F_k | ≤ G pro všechny k.

Pak, F je Lebesgue integrovatelný a

${ displaystyle lim _ {k} int f_ {k} , d mu = int f , d mu.}$

Alternativní formulace

Je možné vyvinout integrál s ohledem na Lebesgueovu míru, aniž bychom se spoléhali na celou mašinérii teorie míry. Jeden takový přístup poskytuje Daniellův integrál.

Existuje také alternativní přístup k rozvoji teorie integrace metodami funkční analýza. Riemannův integrál existuje pro každou spojitou funkci F z kompaktní Podpěra, podpora definováno dne ℝⁿ (nebo pevná otevřená podmnožina). Od těchto integrálů lze sestavit integrály obecnějších funkcí.

Nechat C_C být prostorem všech skutečně oceněných kompaktně podporovaných spojitých funkcí of. Definujte normu C_C podle

${ Displaystyle left | f right | = int | f (x) | , dx.}$

Pak C_C je normovaný vektorový prostor (a zejména jde o metrický prostor.) Všechny metrické prostory mají Dokončení Hausdorff, tak ať L¹ být jeho dokončením. Tento prostor je izomorfní s prostorem Lebesgueových integrovatelných funkcí modulovaných podprostorem funkcí s integrální nulou. Dále Riemannův integrál ∫ je rovnoměrně spojité funkční s ohledem na normu o C_C, který je hustý v L¹. Proto ∫ má jedinečné rozšíření pro všechny L¹. Tento integrál je přesně Lebesgueův integrál.

Obecněji řečeno, když je měrný prostor, na kterém jsou funkce definovány, také a místně kompaktní topologický prostor (jako je tomu v případě reálných čísel ℝ), míry slučitelné s topologií ve vhodném smyslu (Radon měří, jehož příkladem je Lebesgueova míra) integrál s ohledem na ně lze definovat stejným způsobem, počínaje integrály spojité funkce s kompaktní podpora. Přesněji řečeno, kompaktně podporované funkce tvoří a vektorový prostor který nese přirozené topologie, a (Radon) míra je definována jako spojitá lineární funkční v tomto prostoru. Hodnota míry u kompaktně podporované funkce je pak také podle definice integrálem funkce. Jeden pak pokračuje v rozšíření míry (integrálu) na obecnější funkce kontinuitou a definuje míru množiny jako integrál její funkce indikátoru. To je přístup, který zaujal Bourbaki (2004) a určitý počet dalších autorů. Podrobnosti viz Radon měří.

Omezení Lebesgueova integrálu

Hlavním účelem Lebesgueova integrálu je poskytnout integrální pojem, kde limity integrálů platí za mírných předpokladů. Neexistuje žádná záruka, že každá funkce je integrovatelná do Lebesgue. Ale může se stát, že nesprávné integrály existují pro funkce, které nejsou Lebesgue integrovatelné. Jeden příklad by byl

${ displaystyle { frac { sin (x)} {x}}}$

přes celou skutečnou linii. Tato funkce není integrovatelná do Lebesgue

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} vlevo | { frac { sin (x)} {x}} vpravo | dx = infty.}$

Na druhou stranu, ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} dx}$ existuje jako nesprávný integrál a lze jej vypočítat jako konečný; je to dvojnásobek Dirichletův integrál.

Viz také

• Henri Lebesgue, pro netechnický popis integrace Lebesgue
• Nulová sada
• Integrace
• Opatření
• Sigma-algebra
• Lebesgueův prostor
• Integrace Lebesgue – Stieltjes
• Riemannův integrál
• Henstock – Kurzweil integrální

Poznámky

Reference

• Bartle, Robert G. (1995). Prvky integrace a Lebesgueova míra. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii + 179. ISBN  0-471-04222-6. PAN  1312157.
• Bauer, Heinz (2001). Teorie měření a integrace. De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN  978-3-11-016719-1.
• Bourbaki, Nicolasi (2004). Integrace. I. Kapitoly 1–6. Překlad z francouzských originálů z let 1959, 1965 a 1967 Sterling K. Berberian. Základy matematiky (Berlín). Berlín: Springer-Verlag. xvi + 472. ISBN  3-540-41129-1. PAN  2018901.
• Dudley, Richard M. (1989). Skutečná analýza a pravděpodobnost. Série Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software. xii + 436. ISBN  0-534-10050-3. PAN  0982264. Velmi důkladné zacházení, zejména pro probabilisty s dobrými poznámkami a historickými odkazy.
• Folland, Gerald B. (1999). Skutečná analýza: Moderní techniky a jejich aplikace. Čistá a aplikovaná matematika (New York) (druhé vydání). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi + 386. ISBN  0-471-31716-0. PAN  1681462.
• Halmos, Paul R. (1950). Teorie měření. New York, N.Y .: D. Van Nostrand Company, Inc., s. Xi + 304. PAN  0033869. Klasická, i když poněkud datovaná prezentace.
• "Lebesgueův integrál", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitive". Paříž: Gauthier-Villars. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
• Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq svazky) (francouzsky). Ženeva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. p. 405. PAN  0389523.
• Lieb, Elliott; Ztráta, Michaele (2001). Analýza. Postgraduální studium matematiky. 14 (2. vyd.). Americká matematická společnost. ISBN  978-0821827833.
• Loomis, Lynn H. (1953). Úvod do abstraktní harmonické analýzy. Toronto-New York-Londýn: D. Van Nostrand Company, Inc., s. X + 190. PAN  0054173. Zahrnuje prezentaci integrálu Daniell.
• Munroe, M. E. (1953). Úvod do měření a integrace. Cambridge, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company Inc., s. X + 310. PAN  0053186. Dobré zacházení s teorií vnějších opatření.
• Royden, H.L. (1988). Skutečná analýza (Třetí vydání.). New York: Macmillan Publishing Company. str. xx + 444. ISBN  0-02-404151-3. PAN  1013117.
• Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy. International Series in Pure and Applied Mathematics (třetí vydání). New York: McGraw-Hill Book Co. str. X + 342. PAN  0385023. Známý jako Malý Rudin, obsahuje základy Lebesgueovy teorie, ale nezachází s materiály jako např Fubiniho věta.
• Rudin, Walter (1966). Skutečná a komplexní analýza. New York: McGraw-Hill Book Co. str. Xi + 412. PAN  0210528. Známý jako Velký Rudin. Kompletní a pečlivé představení teorie. Dobrá prezentace vět Rieszových vět. Existuje však drobná chyba (v prvním vydání) v důkazu jedné z rozšiřujících vět, jejichž objev představuje cvičení 21 kapitoly 2.
• Saks, Stanisław (1937). Teorie integrálu. Monografie Matematyczne. 7 (2. vyd.). Warszawa -Lvov: G.E. Stechert & Co. JFM  63.0183.05. Zbl  0017.30004.. Anglický překlad Laurence Chisholm Young, se dvěma dalšími poznámkami od Stefan Banach.
• Shilov, G. E .; Gurevich, B.L. (1977). Integrál, míra a derivace: jednotný přístup. Přeloženo z ruštiny a upraveno Richardem A. Silvermanem. Dover Books on Advanced Mathematics. New York: Dover Publications Inc. xiv + 233. ISBN  0-486-63519-8. PAN  0466463. Zdůrazňuje Daniellův integrál.
• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), „Henri Lebesgue“, Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press.
• Teschl, Gerald. Témata v reálné a funkční analýze. (poznámky z přednášky).
• Yeh, James (2006). Skutečná analýza: Teorie míry a integrál 2.. Vydání Paperback. Singapur: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. str. 760. ISBN  978-981-256-6.