Geometrický počet - Geometric calculus - Wikipedia

v matematika, geometrický počet rozšiřuje geometrická algebra zahrnout diferenciace a integrace. Formalismus je silný a lze prokázat, že zahrnuje i jiné matematické teorie diferenciální geometrie a diferenciální formy.^[1]

Diferenciace

Když je dána geometrická algebra, nechť ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ být vektory a nechte ${ displaystyle F}$ být multivektorový -hodnota funkce vektoru. The směrový derivát z ${ displaystyle F}$ podél ${ displaystyle b}$ na ${ displaystyle a}$ je definován jako

${ displaystyle ( nabla _ {b} F) (a) = lim _ { epsilon rightarrow 0} { frac {F (a + epsilon b) -F (a)} { epsilon}},}$

za předpokladu, že limit existuje pro všechny ${ displaystyle b}$, kde je limit považován za skalární ${ displaystyle epsilon}$. To je podobné obvyklé definici směrové derivace, ale rozšiřuje ji na funkce, které nemusí být nutně skalární.

Dále vyberte sadu základní vektory ${ displaystyle {e_ {i} }}$ a vezměte v úvahu označené operátory ${ displaystyle částečné _ {i}}$, které provádějí směrové derivace ve směrech ${ displaystyle e_ {i}}$:

${ displaystyle částečné _ {i}: F mapsto (x mapsto ( nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}$

Poté pomocí Einsteinova součtová notace, zvažte provozovatele:

${ displaystyle e ^ {i} částečné _ {i},}$

což znamená

${ displaystyle F mapsto e ^ {i} částečné _ {i} F,}$

kde se geometrický součin aplikuje za směrovou derivaci. Podrobněji:

${ displaystyle F mapsto (x mapsto e ^ {i} ( nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}$

Tento operátor je nezávislý na výběru rámce, a lze jej tedy použít k definování geometrický derivát:

${ displaystyle nabla = e ^ {i} částečný _ {i}.}$

To je podobné obvyklé definici spád, ale také se vztahuje na funkce, které nemusí být nutně skalární.

Směrový derivát je lineární, pokud jde o jeho směr, to znamená:

${ displaystyle nabla _ { alpha a + beta b} = alpha nabla _ {a} + beta nabla _ {b}.}$

Z toho vyplývá, že směrový derivát je vnitřním součinem jeho směru geometrickým derivátem. Je třeba dodržovat pouze ten směr ${ displaystyle a}$ lze psát ${ displaystyle a = (a cdot e ^ {i}) e_ {i}}$, aby:

${ displaystyle nabla _ {a} = nabla _ {(a cdot e ^ {i}) e_ {i}} = (a cdot e ^ {i}) nabla _ {e_ {i}} = a cdot (e ^ {i} nabla _ {e_ {i}}) = a cdot nabla.}$

Z tohoto důvodu, ${ displaystyle nabla _ {a} F (x)}$ je často uvedeno ${ displaystyle a cdot nabla F (x)}$.

Standardní pořadí operací pro geometrický derivát je to, že působí pouze na funkci nejblíže k jeho okamžitému právu. Vzhledem k tomu, dvě funkce ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$, pak například máme

${ displaystyle nabla FG = ( nabla F) G.}$

Pravidlo produktu

Ačkoli parciální derivát vykazuje a produktové pravidlo, zdědí geometrická derivace tuto vlastnost pouze částečně. Zvažte dvě funkce ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla (FG) & = e ^ {i} částečný _ {i} (FG) & = e ^ {i} (( částečný _ {i} F) G + F ( částečné _ {i} G)) & = e ^ {i} ( částečné _ {i} F) G + e ^ {i} F ( částečné _ {i} G). End {zarovnaný}}}$

Protože geometrický součin není komutativní s ${ displaystyle e ^ {i} F neq Fe ^ {i}}$ obecně potřebujeme novou notaci, abychom mohli pokračovat. Řešením je přijmout přehnané notace, ve kterém rozsah geometrického derivátu s overdotem je multivektorová funkce sdílená se stejným overdotem. V tomto případě, pokud definujeme

${ displaystyle { dot { nabla}} F { dot {G}} = e ^ {i} F ( částečné _ {i} G),}$

pak je produktové pravidlo pro geometrickou derivaci

${ displaystyle nabla (FG) = nabla FG + { dot { nabla}} F { dot {G}}.}$

Derivát interiéru a exteriéru

Nechat ${ displaystyle F}$ být ${ displaystyle r}$-gradovat multivektor. Pak můžeme definovat další dvojici operátorů, vnitřní a vnější derivace,

${ displaystyle nabla cdot F = langle nabla F rangle _ {r-1} = e ^ {i} cdot částečné _ {i} F,}$

${ displaystyle nabla klín F = langle nabla F rangle _ {r + 1} = e ^ {i} klín částečný _ {i} F.}$

Zejména pokud ${ displaystyle F}$ je stupeň 1 (funkce s vektorovou hodnotou), pak můžeme psát

${ displaystyle nabla F = nabla cdot F + nabla klín F}$

a identifikovat divergence a kučera tak jako

${ displaystyle nabla cdot F = operatorname {div} F,}$

${ displaystyle nabla wedge F = I , operatorname {curl} F.}$

Na rozdíl od geometrické derivace není vnitřní derivační operátor ani vnější derivační operátor invertibilní.

Integrace

Nechat ${ displaystyle {e_ {1}, ldots, e_ {n} }}$ být soubor základních vektorů, které překlenují ${ displaystyle n}$-dimenzionální vektorový prostor. Z geometrické algebry interpretujeme pseudoskalární ${ displaystyle e_ {1} klín e_ {2} klín cdots klín e_ {n}}$ být podepsaný svazek z ${ displaystyle n}$-rovnoběžník subtended těmito základními vektory. Pokud jsou základní vektory ortonormální, pak se jedná o jednotku pseudoskalární.

Obecněji se můžeme omezit na podmnožinu ${ displaystyle k}$ základních vektorů, kde ${ displaystyle 1 leq k leq n}$, k ošetření délky, plochy nebo jiného obecného ${ displaystyle k}$-objem podprostoru v celku ${ displaystyle n}$-dimenzionální vektorový prostor. Označíme tyto vybrané základní vektory pomocí ${ displaystyle {e_ {i_ {1}}, ldots, e_ {i_ {k}} }}$. Generál ${ displaystyle k}$-objem ${ displaystyle k}$-parallelotope subtended těmito základními vektory je stupeň ${ displaystyle k}$ multivektorový ${ displaystyle e_ {i_ {1}} klín e_ {i_ {2}} klín cdots klín e_ {i_ {k}}}$.

Ještě obecněji můžeme uvažovat o nové sadě vektorů ${ displaystyle {x ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}}, ldots, x ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} }}$ úměrný ${ displaystyle k}$ základní vektory, kde každý z ${ displaystyle {x ^ {i_ {j}} }}$ je komponenta, která mění měřítko jednoho ze základních vektorů. Můžeme si zvolit komponenty tak nekonečně malé, jak si přejeme, pokud zůstanou nenulové. Protože vnější produkt těchto výrazů lze interpretovat jako a ${ displaystyle k}$-objem, přirozený způsob, jak definovat a opatření je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d ^ {k} X & = left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} right) wedge left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} right) wedge cdots wedge left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} right) & = left (e_ {i_ {1} } wedge e_ {i_ {2}} wedge cdots wedge e_ {i_ {k}} right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} cdots dx ^ {i_ {k }}. end {zarovnáno}}}$

Míra je proto vždy úměrná jednotce pseudoskalární a ${ displaystyle k}$-rozměrný podprostor vektorového prostoru. Porovnejte Riemannova objemová forma v teorii diferenciálních forem. Integrál se bere s ohledem na toto opatření:

${ displaystyle int _ {V} F (x) , d ^ {k} X = int _ {V} F (x) vlevo (e_ {i_ {1}} klín e_ {i_ {2} } wedge cdots wedge e_ {i_ {k}} right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} cdots dx ^ {i_ {k}}.}$

Více formálně zvažte nějaký směrovaný svazek ${ displaystyle V}$ podprostoru. Můžeme tento objem rozdělit na součet jednoduchosti. Nechat ${ displaystyle {x_ {i} }}$ jsou souřadnice vrcholů. U každého vrcholu přiřadíme míru ${ displaystyle Delta U_ {i} (x)}$ jako průměrná míra jednoduchostí sdílejících vrchol. Pak integrál ${ displaystyle F (x)}$ s ohledem na ${ displaystyle U (x)}$ nad tímto objemem se získá v limitu jemnějšího rozdělení svazku na menší zjednodušení:

${ displaystyle int _ {V} F , dU = lim _ {n rightarrow infty} součet _ {i = 1} ^ {n} F (x_ {i}) , Delta U_ {i }(X).}$

Základní věta o geometrickém počtu

Důvodem pro definování geometrické derivace a integrálu, jak je uvedeno výše, je to, že umožňují silné zobecnění Stokesova věta. Nechat ${ displaystyle { mathsf {L}} (A; x)}$ být multivektorovou funkcí ${ displaystyle r}$-gradovat vstup ${ displaystyle A}$ a obecné postavení ${ displaystyle x}$, lineární ve svém prvním argumentu. Potom základní věta geometrického počtu souvisí s integrálem derivace nad objemem ${ displaystyle V}$ k integrálu přes jeho hranici:

Jako příklad, pojďme ${ displaystyle { mathsf {L}} (A; x) = langle F (x) AI ^ {- 1} rangle}$ pro funkci s vektorovou hodnotou ${ displaystyle F (x)}$ a (${ displaystyle n-1}$) - upgradovat multivektor ${ displaystyle A}$. Zjistili jsme to

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {V} { dot { mathsf {L}}} left ({ dot { nabla}} dX; x right) & = int _ {V } langle { dot {F}} (x) { dot { nabla}} , dX , I ^ {- 1} rangle & = int _ {V} langle { dot { F}} (x) { dot { nabla}} , | dX | rangle & = int _ {V} nabla cdot F (x) , | dX |. End {zarovnáno} }}$

Rovněž,

${ displaystyle { begin {aligned} mast _ { částečné V} { mathsf {L}} (dS; x) & = mast _ { částečné V} langle F (x) , dS , I ^ {- 1} rangle & = masti _ { částečné V} langle F (x) { hat {n}} , | dS | rangle & = masti _ { částečné V} F (x) cdot { hat {n}} , | dS |. End {zarovnáno}}}$

Tak jsme obnovit věta o divergenci,

${ displaystyle int _ {V} nabla cdot F (x) , | dX | = mast _ { částečné V} F (x) cdot { hat {n}} , | dS |. }$

Kovovariantní derivát

Dostatečně hladký ${ displaystyle k}$-povrch v ${ displaystyle n}$-dimenzionální prostor je považován za potrubí. Ke každému bodu na potrubí můžeme připojit a ${ displaystyle k}$-čepel ${ displaystyle B}$ to je tečna k potrubí. Lokálně, ${ displaystyle B}$ působí jako pseudoscalar ${ displaystyle k}$-rozměrný prostor. Tato čepel definuje a projekce vektorů na potrubí:

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {B} (A) = (A cdot B ^ {- 1}) B.}$

Stejně jako geometrická derivace ${ displaystyle nabla}$ je definována jako celek ${ displaystyle n}$-dimenzionální prostor, můžeme si přát definovat vnitřní derivát ${ displaystyle částečné}$, místně definované na potrubí:

${ displaystyle částečné F = { mathcal {P}} _ {B} ( nabla) F.}$

(Poznámka: Pravá strana výše uvedené nemusí ležet v tečném prostoru potrubí. Proto to není totéž jako ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {B} ( nabla F)}$, který nutně leží v tečném prostoru.)

Li ${ displaystyle a}$ je tečna vektoru k potrubí, pak ve skutečnosti jak geometrická derivace, tak vnitřní derivace poskytují stejnou směrovou derivaci:

${ displaystyle a cdot částečné F = a cdot nabla F.}$

Ačkoli je tato operace naprosto platná, není vždy užitečná, protože ${ displaystyle částečné F}$ sama o sobě nemusí být nutně na potrubí. Proto definujeme kovarianční derivace být vynucenou projekcí vnitřní derivace zpět na potrubí:

${ displaystyle a cdot DF = { mathcal {P}} _ {B} (a cdot částečné F) = { mathcal {P}} _ {B} (a cdot { mathcal {P}} _ {B} ( nabla) F).}$

Protože jakýkoli obecný multivektor lze v tomto případě vyjádřit jako součet projekce a odmítnutí

${ displaystyle a cdot částečné F = { mathcal {P}} _ {B} (a cdot částečné F) + { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (a cdot částečné F),}$

představujeme novou funkci, tvarový tenzor ${ displaystyle { mathsf {S}} (a)}$, což uspokojuje

${ displaystyle F times { mathsf {S}} (a) = { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (a cdot částečné F),}$

kde ${ displaystyle times}$ je komutátorový produkt. Na základě místních souřadnic ${ displaystyle {e_ {i} }}$ přes tečnou plochu je tenzor tvaru dán vztahem

${ displaystyle { mathsf {S}} (a) = e ^ {i} klín { mathcal {P}} _ {B} ^ { perp} (a cdot částečný e_ {i}).}$

Důležité je, že na obecném potrubí kovarianční derivace nedojíždí. Zejména komutátor souvisí s tenzorem tvaru podle

${ displaystyle [a cdot D, , b cdot D] F = - ({ mathsf {S}} (a) times { mathsf {S}} (b)) ​​krát F.}$

Jasně termín ${ displaystyle { mathsf {S}} (a) times { mathsf {S}} (b)}$ je zajímavé. Stejně jako vnitřní derivát však nemusí být nutně na rozmanitosti. Proto můžeme definovat Riemannův tenzor být projekcí zpět na potrubí:

${ displaystyle { mathsf {R}} (a wedge b) = - { mathcal {P}} _ {B} ({ mathsf {S}} (a) times { mathsf {S}} ( b)).}$

A konečně, pokud ${ displaystyle F}$ je známkou ${ displaystyle r}$, pak můžeme definovat vnitřní a vnější kovarianční derivace jako

${ displaystyle D cdot F = langle DF rangle _ {r-1},}$

${ displaystyle D klín F = langle DF rangle _ {r + 1},}$

a podobně pro vnitřní derivát.

Vztah k diferenciální geometrii

Na rozdělovači můžeme lokálně přiřadit tečnou plochu překlenutou množinou základních vektorů ${ displaystyle {e_ {i} }}$. Můžeme spojit komponenty a metrický tenzor, Christoffel symboly a Riemannův tenzor zakřivení jak následuje:

${ displaystyle g_ {ij} = e_ {i} cdot e_ {j},}$

${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} = (e_ {i} cdot De_ {j}) cdot e ^ {k},}$

${ displaystyle R_ {ijkl} = ({ mathsf {R}} (e_ {i} klín e_ {j}) cdot e_ {k}) cdot e_ {l}.}$

Tyto vztahy vkládají teorii diferenciální geometrie do geometrického počtu.

Vztah k diferenciálním formám

V lokální souřadnicový systém (${ displaystyle x ^ {1}, ldots, x ^ {n}}$), souřadnicové diferenciály ${ displaystyle dx ^ {1}}$, ..., ${ displaystyle dx ^ {n}}$ tvoří základní sadu jednoformátů v rámci souřadnicový graf. Vzhledem k multi-index ${ displaystyle I = (i_ {1}, ldots, i_ {k})}$ s ${ displaystyle 1 leq i_ {p} leq n}$ pro ${ displaystyle 1 leq p leq k}$, můžeme definovat a ${ displaystyle k}$-formulář

${ displaystyle omega = f_ {I} , dx ^ {I} = f_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {k}} , dx ^ {i_ {1}} klín dx ^ { i_ {2}} klín cdots klín dx ^ {i_ {k}}.}$

Můžeme alternativně zavést a ${ displaystyle k}$-gradovat multivektor ${ displaystyle A}$ tak jako

${ displaystyle A = f_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {k}} e ^ {i_ {1}} klín e ^ {i_ {2}} klín cdots klín e ^ {i_ {k}}}$

a opatření

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d ^ {k} X & = left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} right) wedge left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} right) wedge cdots wedge left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} right) & = left (e_ {i_ {1} } wedge e_ {i_ {2}} wedge cdots wedge e_ {i_ {k}} right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} cdots dx ^ {i_ {k }}. end {zarovnáno}}}$

Kromě jemného rozdílu ve významu pro vnější produkt s ohledem na diferenciální formy oproti vnějšímu produktu s ohledem na vektory (v prvním případě přírůstcích jsou covektory, zatímco ve druhém případě představují skaláry), vidíme korespondence diferenciální formy

${ displaystyle omega cong A ^ { dagger} cdot d ^ {k} X = A cdot left (d ^ {k} X right) ^ { dagger},}$

jeho derivát

${ displaystyle d omega cong (D klín A) ^ { dagger} cdot d ^ {k + 1} X = (D klín A) cdot left (d ^ {k + 1} X vpravo) ^ { dagger},}$

a jeho Hodge dual

${ displaystyle star omega cong (I ^ {- 1} A) ^ { dagger} cdot d ^ {k} X,}$

vložit teorii diferenciálních forem do geometrického počtu.

Dějiny

Následuje diagram shrnující historii geometrického počtu.

Historie geometrického počtu.

Odkazy a další čtení

• Macdonald, Alan (2012). Vektor a geometrický počet. Charleston: CreateSpace. ISBN  9781480132450. OCLC  829395829.