Integrace funkce secant - Integral of the secant function - Wikipedia

V počtu je integrál funkce secant lze vyhodnotit pomocí různých metod a existuje několik způsobů vyjádření primitivní funkce, z nichž všechny lze prostřednictvím trigonometrických identit ukázat jako rovnocenné,

{ displaystyle int sec theta , d theta = { begin {cases} { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | + C [15pt] ln left | sec theta + tan theta right | + C [15pt] ln left | tan left ( { dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} vpravo) vpravo | + C end {případy}}}

Tento vzorec je užitečný pro vyhodnocení různých trigonometrických integrálů. Zejména jej lze použít k vyhodnocení integrál funkce sečny na kostky, který se navzdory zdánlivě speciálnímu v aplikacích objevuje poměrně často.^[1]

Důkaz, že různé výhody jsou rovnocenné

Trigonometrické formy

{ displaystyle int sec theta , d theta = left {{ begin {pole} {l} { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | + C [15pt] ln left | sec theta + tan theta right | + C [15pt] ln left | tan left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right) right | + C end {array}} right } { text {(ekvivalentní formuláře)}}}

Druhý z nich následuje tak, že se nejprve vynásobí horní a dolní část vnitřní frakce ${ displaystyle (1+ sin theta)}$ . To dává ${ displaystyle 1- sin ^ {2} theta = cos ^ {2} theta}$ ve jmenovateli a výsledek následuje přesunutím faktoru 1/2 do logaritmu jako druhá odmocnina. Prozatím vynecháme konstantu integrace,

{ displaystyle { begin {aligned} { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} right | & = { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {1+ sin theta} {1- sin theta}} cdot { dfrac {1+ sin theta} {1+ sin theta}} right | = { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {(1+ sin theta) ^ {2}} {1- sin ^ {2 } theta}} right | = { dfrac {1} {2}} ln left | { dfrac {(1+ sin theta) ^ {2}} { cos ^ {2} theta }} right | [6pt] & = { dfrac {1} {2}} ln left ({ dfrac {1+ sin theta} { cos theta}} right) ^ { 2} = ln { sqrt { left ({ dfrac {1+ sin theta} { cos theta}} right) ^ {2}}} = ln left | { dfrac {1 + sin theta} { cos theta}} right | = ln | sec theta + tan theta |. end {zarovnáno}}}

Třetí forma následuje nahrazením ${ displaystyle sin theta}$ podle ${ displaystyle - cos ( theta + pi / 2)}$ a rozšiřování pomocí identity pro ${ displaystyle cos 2x}$ . Lze jej také získat přímo pomocí následujících substitucí:

{ displaystyle { begin {aligned} sec theta = { frac {1} { sin left ( theta + { dfrac { pi} {2}} right)}} = { frac { 1} {2 sin left ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} right) cos left ({ dfrac { theta} {2} } + { dfrac { pi} {4}} vpravo)}} = { frac { sec ^ {2} vlevo ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi } {4}} vpravo)} {2 tan vlevo ({ dfrac { theta} {2}} + { dfrac { pi} {4}} vpravo)}}. End {zarovnáno} }}

Konvenční řešení pro Mercatorova projekce souřadnice lze psát bez znaků modulu od zeměpisné šířky ${ displaystyle varphi}$ leží mezi ${ displaystyle - { frac { pi} {2}}}$ a ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$ ,

{ displaystyle y = ln tan ! vlevo ({ frac { varphi} {2}} + { frac { pi} {4}} vpravo).}

Hyperbolické formy

Nechat

{ displaystyle { begin {zarovnáno} psi & = ln ( sec theta + tan theta), e ^ { psi} & = sec theta + tan theta, sinh psi & = { frac {1} {2}} (e ^ { psi} -e ^ {- psi}) = tan theta, cosh psi & = { sqrt {1 + sinh ^ {2} psi}} = sec theta, tanh psi & = sin theta. end {zarovnáno}}}

Proto,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} int sec theta , d theta & = psi = tanh ^ {- 1} ! left ( sin theta right) = sinh ^ {- 1} ! Left ( tan theta right) = cosh ^ {- 1} ! Left ( sec theta right). End {zarovnáno}}}

Dějiny

Integrál sekanční funkce byl jedním z „nevyřešených otevřených problémů poloviny sedmnáctého století“, vyřešených v roce 1668 James Gregory.^[2] Výsledek aplikoval na problém týkající se námořních tabulek.^[1] V roce 1599 Edward Wright vyhodnotil integrální podle numerické metody - co bychom dnes nazvali Riemann součty.^[3] Chtěl řešení pro účely kartografie - konkrétně pro konstrukci přesné Mercatorova projekce.^[2] Ve 40. letech 16. století Henry Bond, učitel navigace, geodetických a jiných matematických témat, porovnával Wrightovu numericky vypočítanou tabulku hodnot integrálu sekán s tabulkou logaritmů tangensové funkce a následně to předpokládali^[2]

{ displaystyle int _ {0} ^ { theta} sec theta , d theta = ln left | tan left ({ frac { theta} {2}} + { frac { pi} {4}} vpravo) vpravo |.}

Tato domněnka se stala všeobecně známou a v roce 1665 Isaac Newton byl si toho vědom.^[4]^[5]

Hodnocení

Standardní substitucí (Gregoryho přístup)

Standardní metoda hodnocení sečnového integrálu uvedená v různých referencích zahrnuje vynásobení čitatele a jmenovatele číslem ${ displaystyle sec theta + tan theta}$ a poté do výsledného výrazu dosadíte následující: ${ displaystyle u = sec theta + tan theta}$ a ${ displaystyle du = ( sec theta tan theta + sec ^ {2} theta) , d theta}$ .^[6]^[7] Tuto substituci lze získat z derivátů sečen a tečen sečtených dohromady, které mají sečen jako společný faktor.^[8]

Začínání s

{ displaystyle { frac {d} {d theta}} sec theta = sec theta tan theta quad { text {a}} quad { frac {d} {d theta} } tan theta = sec ^ {2} theta,}

jejich přidání dává

{ displaystyle { frac {d} {d theta}} ( sec theta + tan theta) = sec theta tan theta + sec ^ {2} theta = sec theta ( tan theta + sec theta).}

Derivát součtu se tedy rovná součtu vynásobenému ${ displaystyle sec theta}$ . To umožňuje násobení ${ displaystyle sec theta}$ podle ${ displaystyle sec theta + tan theta}$ v čitateli a jmenovateli a provedení následujících substitucí: ${ displaystyle u = sec theta + tan theta}$ a ${ displaystyle du = ( sec theta tan theta + sec ^ {2} theta) , d theta}$ .

Integrál se hodnotí takto:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int sec theta , d theta & = int { frac { sec theta ( sec theta + tan theta)} { sec theta + tan theta}} , d theta [6pt] & = int { frac {( sec ^ {2} theta + sec theta tan theta) , d theta} { sec theta + tan theta}} && u = sec theta + tan theta [6pt] & = int { frac {du} {u}} && du = ( sec theta tan theta + sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = ln | u | + C = ln | sec theta + tan theta | + C, end {zarovnaný}}}$

jak tvrdí. To byl vzorec, který objevil James Gregory.^[1]

Dílčími zlomky a substitucí (Barrowův přístup)

Ačkoli Gregory dokázal domněnku v roce 1668 v jeho Exercitationes Geometricae, důkaz byl předložen ve formě, která znemožňuje pochopení moderních čtenářů; Isaac Barrow, v jeho Geometrické přednášky z roku 1670,^[9] poskytl první „srozumitelný“ důkaz, i když i ten byl „formulován v geometrickém idiomu dne“.^[2] Barrowovým důkazem výsledku bylo nejranější použití dílčí zlomky v integraci.^[2] Přizpůsoben moderní notaci, Barrowův důkaz začal následovně:

{ displaystyle int sec theta , d theta = int { frac {d theta} { cos theta}} = int { frac { cos theta , d theta} { cos ^ {2} theta}} = int { frac { cos theta , d theta} {1- sin ^ {2} theta}}}

Střídání ${ displaystyle u}$ pro ${ displaystyle sin theta}$ redukuje integrál na

{ displaystyle { begin {zarovnaný} int { frac {du} {1-u ^ {2}}} & = int { frac {du} {(1 + u) (1-u)}} = { dfrac {1} {2}} int left ({ frac {1} {1 + u}} + { frac {1} {1-u}} right) , du [ 10pt] & = { frac {1} {2}} left ( ln left | 1 + u right | - ln left | 1-u right | right) + C = { frac { 1} {2}} ln left | { frac {1 + u} {1-u}} right | + C end {zarovnáno}}}

Proto,

${ displaystyle int sec theta , d theta = { frac {1} {2}} ln left | { frac {1+ sin theta} {1- sin theta}} vpravo | + C,}$

podle očekávání.

Střídáním Weierstrassem

Standard

Vzorce pro Střídání Weierstrassem jsou následující. Nechat ${ displaystyle t = tan ( theta / 2)}$ , kde ${ displaystyle - pi < theta < pi}$ . Pak^[10]

{ displaystyle sin left ({ frac { theta} {2}} right) = { frac {t} { sqrt {1 + t ^ {2}}}} qquad { text {a }} qquad cos left ({ frac { theta} {2}} right) = { frac {1} { sqrt {1 + t ^ {2}}}}.}

Proto,

{ displaystyle sin theta = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, qquad cos theta = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ { 2}}}, qquad { text {a}} qquad d theta = { frac {2} {1 + t ^ {2}}} , dt,}

podle vzorců dvojitého úhlu. Pokud jde o integrál funkce secant,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int sec theta , d theta & = int { frac {d theta} { cos theta}} = int { frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2}}} { frac {2} {1 + t ^ {2}}} dt && t = tan { frac { theta} {2}} [6 bodů] & = int { frac {2 , dt} {1-t ^ {2}}} = int { frac {2 , dt} {(1-t) (1 + t)}}} [6pt] & = int 2 left [{ frac {1} {2 (1 + t)}} + { frac {1} {2 (1-t)}} right] dt && { text { rozklad částečných zlomků}} [6pt] & = int left ({ frac {1} {t + 1}} - { frac {1} {t-1}} right) dt [6pt ] & = ln | t + 1 | - ln | t-1 | + C = ln left | { frac {t + 1} {t-1}} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {t + 1} {t-1}} cdot { frac {t + 1} {t + 1}} right | + C = ln left | { frac {t ^ {2} + 2t + 1} {t ^ {2} -1}} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {t ^ {2} +1 } {t ^ {2} -1}} + { frac {2t} {t ^ {2} -1}} right | + C = ln left | { frac {t ^ {2} +1 } {t ^ {2} -1}} + { frac {2t} {t ^ {2} -1}} cdot { frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} +1 }} right | + C [6pt] & = ln left | { frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} -1}} + { frac {2t} {t ^ {2} +1}} cdot { frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} -1}} vpravo | + C [6pt] & = ln vlevo | { frac {1} { cos theta}} + sin theta cdot { frac {1} { cos theta}} vpravo | + C = ln | se c theta + tan theta | + C, end {zarovnáno}}}$

jako dříve.

Nestandardní

Integrál lze také odvodit pomocí poněkud nestandardní verze Weierstrassovy substituce, která je v případě tohoto konkrétního integrálu, publikované v roce 2013, jednodušší,^[11] je následující:

{ displaystyle { begin {aligned} & x = tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) [10 bodů] & { frac {2x} {1 + x ^ {2}}} = 2 sin left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) cos left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) = sin left ({ frac { pi} {2}} + theta right ) = cos theta [10pt] & dx = { frac {1} {2}} sec ^ {2} left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta } {2}} vpravo) d theta = { frac {1} {2}} (1 + x ^ {2}) d theta [10 bodů] & { frac {2 , dx} { 1 + x ^ {2}}} = d theta [10 bodů] int sec theta , d theta & = int left ({ frac {1 + x ^ {2}} {2x }} right) left ({ frac {2} {1 + x ^ {2}}} right) , dx = int { frac {dx} {x}} = ln | x | + C = ln left | tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac { theta} {2}} right) right | + C. End {zarovnáno}} }

Gudermannian a lambertian

Integrál sečanové funkce definuje Lambertovu funkci, což je inverzní funkce k Gudermannská funkce:

{ displaystyle int sec theta , d theta = operatorname {lam} ( theta) = operatorname {gd} ^ {- 1} ( theta).}

S tím se setkáváme v teorii mapových projekcí: Mercatorova projekce bodu s délkou θ a zeměpisná šířka φ lze psát^[12] tak jako:

{ displaystyle (x, y) = ( theta, operatorname {lam} ( varphi))}}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Stewart, James (2012). "Oddíl 7.2: Trigonometrické integrály". Kalkul - rané transcendentály. USA: Cengage Learning. str. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ ^A ^b ^C ^d ^E V. Frederick Rickey a Philip M. Tuchinsky, Aplikace geografie na matematiku: Dějiny integrálu sekans v Matematický časopis, svazek 53, číslo 3, květen 1980, strany 162–166.
^ Edward Wright, Určité chyby v navigaci, vznikající buď z ordinaire chybné výroby nebo vsing moře graf, Compasse, Crosse staffe a tabulky sklonu Sunne, a pevné Starres zjištěny a opraveny, Valentine Simms, Londýn, 1599.
^ H. W. Turnbull, redaktor, Korespondence Isaaca Newtona, Cambridge University Press, 1959–1960, svazek 1, strany 13–16 a svazek 2, strany 99–100.
^ D. T. Whiteside, editor, Matematické papíry Isaaca Newtona, Cambridge University Press, 1967, svazek 1, strany 466–467 a 473–475.
^ „Důkaz: Integral sec (x)“. Math.com.
^ Feldman, Joel. "Integrace sec x a sec³ X" (PDF). Katedra matematiky University of British Columbia.
^ „Integral of Secant“ (PDF). MIT OpenCourseWare.
^ Drážďany, Arnold (1918). "Posouzení: Geometrické přednášky Isaaca Barrowa, přeložil James Mark Child s poznámkami a důkazy (PDF). Býk. Amer. Matematika. Soc. 24 (9): 454–456. doi:10.1090 / s0002-9904-1918-03122-4.
^ Stewart, James (2012). „Část 7.4: Integrace racionálních funkcí částečnými zlomky“. Calculus: Early Transcendentals (7. vydání). Belmont, CA, USA: Cengage Learning. str.493. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ Michael Hardy, „Efektivnost v antidiferenciaci sekanční funkce“, Americký matematický měsíčník, Červen – červenec 2013, strana 580.
^ Lee, L.P. (1976). Konformní projekce založené na eliptických funkcích. Dodatek č. 1 ke kanadskému kartografovi, svazek 13. (Označeno jako monografie 16)

[:1-1] A ^b ^C Stewart, James (2012). "Oddíl 7.2: Trigonometrické integrály". Kalkul - rané transcendentály. USA: Cengage Learning. str. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.

[rickey-tuchinsky-2] A ^b ^C ^d ^E V. Frederick Rickey a Philip M. Tuchinsky, Aplikace geografie na matematiku: Dějiny integrálu sekans v Matematický časopis, svazek 53, číslo 3, květen 1980, strany 162–166.

[3] Edward Wright, Určité chyby v navigaci, vznikající buď z ordinaire chybné výroby nebo vsing moře graf, Compasse, Crosse staffe a tabulky sklonu Sunne, a pevné Starres zjištěny a opraveny, Valentine Simms, Londýn, 1599.

[4] H. W. Turnbull, redaktor, Korespondence Isaaca Newtona, Cambridge University Press, 1959–1960, svazek 1, strany 13–16 a svazek 2, strany 99–100.

[5] D. T. Whiteside, editor, Matematické papíry Isaaca Newtona, Cambridge University Press, 1967, svazek 1, strany 466–467 a 473–475.

[6] „Důkaz: Integral sec (x)“. Math.com.

[7] Feldman, Joel. "Integrace sec x a sec³ X" (PDF). Katedra matematiky University of British Columbia.

[8] „Integral of Secant“ (PDF). MIT OpenCourseWare.

[9] Drážďany, Arnold (1918). "Posouzení: Geometrické přednášky Isaaca Barrowa, přeložil James Mark Child s poznámkami a důkazy (PDF). Býk. Amer. Matematika. Soc. 24 (9): 454–456. doi:10.1090 / s0002-9904-1918-03122-4.

[:0-10] Stewart, James (2012). „Část 7.4: Integrace racionálních funkcí částečnými zlomky“. Calculus: Early Transcendentals (7. vydání). Belmont, CA, USA: Cengage Learning. str.493. ISBN 978-0-538-49790-9.

[11] Michael Hardy, „Efektivnost v antidiferenciaci sekanční funkce“, Americký matematický měsíčník, Červen – červenec 2013, strana 580.

[lee_exact-12] Lee, L.P. (1976). Konformní projekce založené na eliptických funkcích. Dodatek č. 1 ke kanadskému kartografovi, svazek 13. (Označeno jako monografie 16)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]