Explicitní a implicitní metody - Explicit and implicit methods

Explicitní a implicitní metody jsou přístupy používané v numerická analýza pro získání numerických aproximací řešení časově závislých obyčejný a parciální diferenciální rovnice, jak je požadováno v počítačové simulace z fyzikální procesy. Explicitní metody vypočítat stav systému později ze stavu systému v aktuálním čase, zatímco implicitní metody najít řešení řešením rovnice zahrnující jak aktuální stav systému, tak i pozdější. Matematicky, pokud ${displaystyle Y (t)}$ je aktuální stav systému a ${displaystyle Y (t + Delta t)}$ je stát v pozdější době ( ${displaystyle Delta t}$ je malý časový krok), tedy pro explicitní metodu

{displaystyle Y (t + Delta t) = F (Y (t)),}

zatímco u implicitní metody se řeší rovnice

{displaystyle G {Big (} Y (t), Y (t + Delta t) {Big)} = 0qquad (1),}

najít ${displaystyle Y (t + Delta t).}$

Implicitní metody vyžadují zvláštní výpočet (řešení výše uvedené rovnice) a jejich implementace může být mnohem těžší. Používají se implicitní metody, protože v praxi je mnoho problémů tuhý, pro které použití explicitní metody vyžaduje neprakticky malé časové kroky ${displaystyle Delta t}$ aby chyba ve výsledku zůstala ohraničená (viz numerická stabilita ). U takových problémů, aby se dosáhlo dané přesnosti, trvá mnohem méně výpočetního času, než se použije implicitní metoda s většími časovými kroky, i když vezmeme v úvahu, že v každém časovém kroku je třeba vyřešit rovnici formuláře (1). To znamená, že zda je třeba použít explicitní nebo implicitní metodu, závisí na problému, který má být vyřešen.

Protože implicitní metodu nelze provést pro každý druh operátoru diferenciálu, je někdy vhodné využít takzvanou metodu rozdělení operátoru, což znamená, že operátor diferenciálu je přepsán jako součet dvou doplňkových operátorů

{displaystyle Y (t + Delta t) = F (Y (t + Delta t)) + G (Y (t)) ,,}

zatímco s jedním je zacházeno explicitně a s druhým implicitně. U běžných aplikací je implicitní termín zvolen jako lineární, zatímco explicitní termín může být nelineární. Tato kombinace dřívější metody se nazývá Implicitně-explicitní metoda (krátký IMEX ^[1], ^[2]).

Ilustrace pomocí Eulerových metod vpřed a vzad

Zvažte obyčejná diferenciální rovnice

{displaystyle {frac {dy} {dt}} = - y ^ {2}, plechovka [0, a] quad quad (2)}

s původním stavem ${displaystyle y (0) = 1.}$ Zvažte mřížku ${displaystyle t_ {k} = a {frac {k} {n}}}$ pro 0 ≤k ≤ n, to znamená, že časový krok je ${displaystyle Delta t = a / n,}$ a označit ${displaystyle y_ {k} = y (t_ {k})}$ pro každého ${displaystyle k}$ . Diskretizujte tato rovnice používá nejjednodušší explicitní a implicitní metody, kterými jsou vpřed Euler a dozadu Euler metody (viz obyčejné numerické diferenciální rovnice ) a porovnat získaná schémata.

Forward Eulerova metoda

Výsledek aplikace různých metod integrace na ode

{displaystyle y '= - y ^ {2} ,; tin [0,5] ,; y_ {0} = 1}

s

{displaystyle Delta t = 5/10}

.

Vpřed Eulerova metoda

{displaystyle left ({frac {dy} {dt}} ight) _ {k} přibližně {frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {Delta t}} = - y_ {k} ^ {2} }

výnosy

{displaystyle y_ {k + 1} = y_ {k} - Delta ty_ {k} ^ {2} quad quad quad (3),}

pro každého ${displaystyle k = 0,1, dots, n.}$ Toto je explicitní vzorec pro ${displaystyle y_ {k + 1}}$ .

Zpětná Eulerova metoda

S zpětně Eulerova metoda

{displaystyle {frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {Delta t}} = - y_ {k + 1} ^ {2}}

jeden najde implicitní rovnici

{displaystyle y_ {k + 1} + Delta ty_ {k + 1} ^ {2} = y_ {k}}

pro ${displaystyle y_ {k + 1}}$ (porovnejte to s vzorcem (3) kde ${displaystyle y_ {k + 1}}$ byl v rovnici uveden spíše explicitně než jako neznámý).

Tohle je kvadratická rovnice, který má jeden negativní a jeden pozitivní vykořenit. Pozitivní kořen je vybrán, protože v původní rovnici je počáteční podmínka kladná a poté ${displaystyle y}$ při příštím kroku je dán

{displaystyle y_ {k + 1} = {frac {-1+ {sqrt {1 + 4Delta ty_ {k}}}} {2Delta t}}. quad quad (4)}

V naprosté většině případů je rovnice, která se má vyřešit při použití implicitního schématu, mnohem komplikovanější než kvadratická rovnice a neexistuje žádné analytické řešení. Pak jeden používá algoritmy hledání kořenů, jako Newtonova metoda, abyste našli numerické řešení.

Metoda Crank Nicolson

S Crank-Nicolsonova metoda

{displaystyle {frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} {Delta t}} = - {frac {1} {2}} y_ {k + 1} ^ {2} - {frac {1} { 2}} y_ {k} ^ {2}}

jeden najde implicitní rovnici

{displaystyle y_ {k + 1} + {frac {1} {2}} Delta ty_ {k + 1} ^ {2} = y_ {k} - {frac {1} {2}} Delta ty_ {k} ^ {2}}

pro ${displaystyle y_ {k + 1}}$ (porovnejte to s vzorcem (3) kde ${displaystyle y_ {k + 1}}$ byl v rovnici uveden spíše explicitně než jako neznámý). To lze vyřešit numericky pomocí algoritmy hledání kořenů, jako Newtonova metoda, získat ${displaystyle y_ {k + 1}}$ .