Konvergenční testy - Convergence tests - Wikipedia

v matematika, konvergenční testy jsou metody testování pro konvergence, podmíněná konvergence, absolutní konvergence, interval konvergence nebo divergence nekonečná řada ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ .

Seznam testů

Limit součtu

Pokud je limit součtu nedefinovaný nebo nenulový, je to ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} neq 0}$ , pak se série musí rozcházet. V tomto smyslu jsou dílčí součty Cauchy jen když tento limit existuje a rovná se nule. Test je neprůkazný, pokud je limit součtu nulový.

Poměrový test

Toto je také známé jako d'Alembertovo kritérium.

Předpokládejme, že existuje

{ displaystyle r}

takhle

{ displaystyle lim _ {n to infty} left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | = r.}

Li r <1, pak je řada absolutně konvergentní. Li r > 1, pak se řada rozchází. Li r = 1, poměrový test je neprůkazný a řada se může sbíhat.

Kořenový test

Toto je také známé jako nth kořenový test nebo Cauchyho kritérium.

Nechat

{ displaystyle r = limsup _ {n to infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

kde

{ displaystyle limsup}

označuje limit lepší (možná

{ displaystyle infty}

; pokud limit existuje, je to stejná hodnota).

Li r <1, pak řada konverguje. Li r > 1, pak se řada rozchází. Li r = 1, kořenový test je neprůkazný a řada se může sbíhat nebo rozcházet.

Kořenový test je silnější než poměrový test: kdykoli poměrový test určí konvergenci nebo divergenci nekonečné řady, provede také kořenový test, ale ne naopak.^[1]

Například pro sérii

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

konvergence vyplývá z kořenového testu, ale nikoli z testu poměru.^[2]

Integrální test

Série může být porovnána s integrálem k vytvoření konvergence nebo divergence. Nechat ${ displaystyle f: [1, infty) to mathbb {R} _ {+}}$ být nezáporný a monotónně klesající funkce takhle ${ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ .

Li

{ displaystyle int _ {1} ^ { infty} f (x) , dx = lim _ {t až infty} int _ {1} ^ {t} f (x) , dx < infty,}

pak řada konverguje. Pokud se však integrál rozchází, pak to dělá i řada.

Jinými slovy, série

{ displaystyle {a_ {n}}}

konverguje kdyby a jen kdyby integrál konverguje.

Test přímého srovnání

Pokud série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$ je absolutně konvergentní série a ${ displaystyle | a_ {n} | leq | b_ {n} |}$ pro dostatečně velké n , pak série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ absolutně konverguje.

Mezní srovnávací test

Li ${ displaystyle {a_ {n} }, {b_ {n} }> 0}$ , (to znamená, že každý prvek ze dvou sekvencí je pozitivní) a limit ${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ existuje, je konečný a nenulový ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ rozchází se kdyby a jen kdyby ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$ rozchází se.

Cauchyova zkouška kondenzace

Nechat ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ být pozitivní nerostoucí sekvence. Pak součet ${ displaystyle A = sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje kdyby a jen kdyby součet ${ displaystyle A ^ {*} = součet _ {n = 0} ^ { infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}}$ konverguje. Navíc, pokud se sblíží, pak ${ displaystyle A leq A ^ {*} leq 2A}$ drží.

Ábelova zkouška

Předpokládejme, že následující tvrzení jsou pravdivá:

${ displaystyle sum a_ {n}}$ je konvergentní řada,
${ displaystyle left {b_ {n} right }}$ je monotónní sekvence a
${ displaystyle left {b_ {n} right }}$ je omezený.

Pak ${ displaystyle sum a_ {n} b_ {n}}$ je také konvergentní.

Test absolutní konvergence

Každý absolutně konvergentní řada konverguje.

Test střídavé řady

Toto je také známé jako Leibnizovo kritérium.

Předpokládejme, že následující tvrzení jsou pravdivá:

${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = 0}$ ,
pro každého n, ${ displaystyle a_ {n + 1} leq a_ {n}}$

Pak ${ displaystyle sum _ {n = k} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ a ${ displaystyle sum _ {n = k} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} a_ {n}}$ jsou konvergentní řady.

Dirichletův test

Li ${ displaystyle {a_ {n} }}$ je sekvence z reálná čísla a ${ displaystyle {b_ {n} }}$ posloupnost komplexní čísla uspokojující

${ displaystyle a_ {n} geq a_ {n + 1}}$

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0}$

${ displaystyle left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} vpravo | leq M}$ pro každé kladné celé číslo N

kde M je nějaká konstanta, pak řada

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} b_ {n}}

konverguje.

Raabe – Duhamelův test

Nechat ${ displaystyle a_ {n}> 0}$ .

Definovat

{ displaystyle b_ {n} = n vlevo ({ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 vpravo).}

Li

{ displaystyle L = lim _ {n to infty} b_ {n}}

existují tři možnosti:

-li L > 1 řada konverguje
-li L <1 se řada liší
a pokud L = 1 je test neprůkazný.

Alternativní formulace tohoto testu je následující. Nechat { A_n} být řada reálných čísel. Pak pokud b > 1 a K. (přirozené číslo) existují takové, že

{ displaystyle left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | leq 1 - { frac {b} {n}}}

pro všechny n > K. pak série {A_n} je konvergentní.

Bertrandův test

Nechť { A_n } být posloupnost kladných čísel.

Definovat

{ displaystyle b_ {n} = ln n left (n left ({ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 right) -1 right).}

Li

{ displaystyle L = lim _ {n to infty} b_ {n}}

existují tři možnosti:^[3]^[4]

-li L > 1 řada konverguje
-li L <1 se řada liší
a pokud L = 1 je test neprůkazný.

Gaussův test

Nechť { A_n } být posloupnost kladných čísel. Li ${ displaystyle { frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + { frac { alpha} {n}} + O (1 / n ^ { beta})}$ pro nějaký β> 1 tedy ${ displaystyle sum a_ {n}}$ konverguje, pokud $α> 1$ a liší se, pokud $α \leq 1$ .^[5]

Poznámky

Pro některé konkrétní typy sérií existují více specializované konvergenční testy, například pro Fourierova řada tam je Diniho test.

Příklady

Zvažte sérii

${ displaystyle (*) ; ; ; sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ { alpha}}}.}$

Cauchyova zkouška kondenzace znamená, že (*) je konečně konvergentní, pokud

{ displaystyle (**) ; ; ; součet _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {n} left ({ frac {1} {2 ^ {n}}} right ) ^ { alpha}}

je konečně konvergentní. Od té doby

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {n} left ({ frac {1} {2 ^ {n}}} right) ^ { alpha} = sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {nn alpha} = sum _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {(1- alpha) n}}

(**) je geometrická řada s poměrem ${ displaystyle 2 ^ {(1 alfa)}}$ . (**) je konečně konvergentní, pokud je jeho poměr menší než jedna (jmenovitě ${ displaystyle alpha> 1}$ ). (*) Je tedy konečně konvergentní kdyby a jen kdyby ${ displaystyle alpha> 1}$ .

Konvergence produktů

Zatímco většina testů se zabývá konvergencí nekonečných řad, lze je také použít k zobrazení konvergence nebo divergence nekonečné produkty. Toho lze dosáhnout pomocí následující věty: Let ${ displaystyle left {a_ {n} right } _ {n = 1} ^ { infty}}$ být posloupností kladných čísel. Pak nekonečný produkt ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + a_ {n})}$ konverguje kdyby a jen kdyby série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje. Podobně, pokud ${ displaystyle 0$ drží tedy ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-a_ {n})}$ se blíží nenulovému limitu právě tehdy, když série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje.

To lze prokázat logaritmem produktu a použitím testu mezního srovnání.^[6]

Viz také

Reference

^ Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - skutečná analýza: poměrový test". www.mathcs.org.
^ V příkladu S = 1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... je poměrový test neprůkazný, pokud ${ displaystyle n}$ je zvláštní, takže ${ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$ (i když ne, pokud ${ displaystyle n}$ je sudý), protože se dívá na
${ displaystyle r = lim _ {n to infty} left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | = lim _ {n to infty} left | { frac {2 cdot .5 ^ {n}} {2 cdot .5 ^ {n}}} right | = 1.}$
Kořenový test ukazuje konvergenci, protože se dívá na
${ displaystyle r = limsup _ {n to infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = limsup _ {n to infty} { sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$
^ František Ďuriš, Nekonečná řada: konvergenční testy, s. 24–9. Bakalářská práce.
^ Weisstein, Eric W. „Bertrandův test“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-04-16.
^ * „Gaussovo kritérium“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
^ Belk, Jim (26. ledna 2008). „Konvergence nekonečných produktů“.