Zápis pro rozlišení - Notation for differentiation

v diferenciální počet, neexistuje jednotná uniforma notace pro diferenciaci. Místo toho několik různých notací pro derivát a funkce nebo proměnná byly navrženy různými matematiky. Užitečnost každého zápisu se liší podle kontextu a je někdy výhodné použít v daném kontextu více než jeden zápis. Nejběžnější notace pro diferenciaci (a její opačná operace, antidiferenciace nebo neurčitá integrace) jsou uvedeny níže.

Leibnizova notace

Původní notace zaměstnaná uživatelem Gottfried Leibniz se používá v celé matematice. To je zvláště běžné, když rovnice y = F(X) je považován za funkční vztah mezi závislé a nezávislé proměnné y a X. Leibnizova notace činí tento vztah výslovným psaním derivace jako

${displaystyle {frac {dy} {dx}}.}$

Funkce, jejíž hodnota v X je derivát F v X je tedy psáno

${displaystyle {frac {df} {dx}} (x) {ext {or}} {frac {df (x)} {dx}} {ext {or}} {frac {d} {dx}} f (x ).}$

Vyšší deriváty se zapisují jako

${displaystyle {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}, {frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}}, {frac {d ^ {4} y} {dx ^ {4}}}, ldots, {frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}.}$

Toto je sugestivní notační zařízení, které vychází z formálních manipulací se symboly, jako v

${displaystyle {frac {dleft ({frac {dleft ({frac {dy} {dx}} ight)} {dx}} ight)} {dx}} = left ({frac {d} {dx}} ight) ^ {3} y = {frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}}.}$

Logicky vzato, tyto rovnosti nejsou věty. Místo toho jsou to jednoduše definice notace.

Hodnota derivátu y v určitém okamžiku X = A lze vyjádřit dvěma způsoby pomocí Leibnizovy notace:

${displaystyle left. {frac {dy} {dx}} ight | _ {x = a} = {frac {dy} {dx}} (a)}$.

Leibnizova notace umožňuje určit proměnnou pro diferenciaci (ve jmenovateli). To je zvláště užitečné při zvažování částečné derivace. To také dělá řetězové pravidlo snadno zapamatovatelné a rozpoznatelné:

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {dy} {du}} cdot {frac {du} {dx}}.}$

Leibnizova notace pro diferenciaci nevyžaduje přiřazení významu symbolům, jako jsou dx nebo dy samy o sobě a někteří autoři se nepokoušejí přiřadit těmto symbolům význam. Leibniz zacházel s těmito symboly jako nekonečně malá čísla. Pozdější autoři jim přiřadili další významy, například infinitesimals v nestandardní analýza nebo vnější deriváty.

Někteří autoři a časopisy nastavují diferenciální symbol d v římský typ namísto kurzíva: dX. The ISO / IEC 80000 vědecký průvodce stylem tento styl doporučuje.

Leibnizova notace pro antidiferenciaci

Leibniz představil integrální symbol ∫ v Analyseos tetragonisticae pars secunda a Methodi tangentium inversae exempla (oba od roku 1675). Nyní je to standardní symbol pro integrace.

${displaystyle {egin {aligned} int y ', dx & = int f' (x), dx = f (x) + C_ {0} = y + C_ {0} int y, dx & = int f (x), dx = F (x) + C_ {1} iint y, dx ^ {2} & = int left (int y, dxight) dx = int _ {X imes X} f (x), dx = int F (x ), dx = g (x) + C_ {2} underbrace {int dots int} _ {!! n} y, underbrace {dxdots dx} _ {n} & = int _ {underbrace {X imes cdots imes X} _ {n}} f (x), dx = int s (x), dx = S (x) + C_ {n} konec {zarovnáno}}}$

Lagrangeova notace

Jeden z nejběžnějších moderních zápisů pro rozlišení je způsoben Joseph Louis Lagrange. Podle Lagrangeovy notace, a hlavní známka označuje derivát. Li F je funkce, její derivace se vyhodnotí na X je psáno

${displaystyle f '(x)}$.

Lagrange nejprve použil notaci v nepublikovaných dílech a v tisku se objevil v roce 1770.^[1]

Vyšší deriváty jsou označeny pomocí dalších prvočísel, jako v ${displaystyle f '' (x)}$ pro druhá derivace a ${displaystyle f '' '(x)}$ pro třetí derivát. Použití opakovaných prvočísel se nakonec stává nepraktickým. Někteří autoři pokračují v zaměstnávání římské číslice, obvykle malými písmeny,^[2][3] jako v

${displaystyle f ^ {mathrm {iv}} (x), f ^ {mathrm {v}} (x), f ^ {mathrm {vi}} (x), ldots,}$

k označení derivátů čtvrtého, pátého, šestého a vyššího řádu. Jiní autoři používají arabské číslice v závorkách, stejně jako v

${displaystyle f ^ {(4)} (x), f ^ {(5)} (x), f ^ {(6)} (x), ldots.}$

Tato notace také umožňuje popsat nth derivát, kde n je proměnná. Toto je napsáno

${displaystyle f ^ {(n)} (x).}$

Mezi znaky Unicode související s Lagrangeovou notací patří

• U + 2032 ◌′ PRIMÁRNÍ (derivát)
• U + 2033 ◌″ DOUBLE PRIME (dvojitý derivát)
• U + 2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (třetí derivát)
• U + 2057 ◌⁗ Čtyřnásobný PRIME (čtvrtý derivát)

Pokud pro funkci existují dvě nezávislé proměnné F(X,y), lze dodržovat následující konvenci:^[4]

${displaystyle {egin {aligned} f ^ {prime} & = {frac {df} {dx}} = f_ {x} f_ {prime} & = {frac {df} {dy}} = f_ {y} f ^ {prime prime} & = {frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} = f_ {xx} f_ {prime} ^ {prime} & = {frac {částečné ^ {2} f} {parciální xpartial y}} = f_ {xy} f_ {prime prime} & = {frac {d ^ {2} f} {dy ^ {2}}} = f_ {yy} ,, konec {zarovnán} }}$

Lagrangeova notace pro antidiferenciaci

Když vzal antiderivativ, Lagrange následoval Leibnizovu notaci:^[1]

${displaystyle f (x) = int f '(x), dx = int y, dx.}$

Avšak protože integrace je inverzní funkcí diferenciace, Lagrangeova notace pro deriváty vyššího řádu se vztahuje i na integrály. Opakované integrály F lze psát jako

${displaystyle f ^ {(- 1)} (x)}$ pro první integrál (to je snadno zaměnitelné s inverzní funkce ${displaystyle f ^ {- 1} (x)}$),

${displaystyle f ^ {(- 2)} (x)}$ pro druhý integrál,

${displaystyle f ^ {(- 3)} (x)}$ pro třetí integrál a

${displaystyle f ^ {(- n)} (x)}$ pro nth integrální.

Eulerova notace

Leonhard Euler 'notace používá a operátor diferenciálu navrhl Louis François Antoine Arbogast, označeno jako D (Operátor D.)^[5] nebo D̃ (Provozovatel Newton – Leibniz)^[6] Při použití na funkci F(X), je definován

${displaystyle (Df) (x) = {frac {df (x)} {dx}}.}$

Vyšší deriváty jsou označovány jako pravomoci D, jako v^[4]

${displaystyle D ^ {2} f}$ pro druhou derivaci,

${displaystyle D ^ {3} f}$ pro třetí derivát a

${displaystyle D ^ {n} f}$ pro nth derivát.

Eulerova notace ponechává implicitní proměnnou, s ohledem na kterou se děje diferenciace. Tuto proměnnou však lze také explicitně notovat. Když F je funkce proměnné X, to se děje písemně^[4]

${displaystyle D_ {x} f}$ pro první derivát,

${displaystyle D_ {x} ^ {2} f}$ pro druhou derivaci,

${displaystyle D_ {x} ^ {3} f}$ pro třetí derivát a

${displaystyle D_ {x} ^ {n} f}$ pro nth derivát.

Když F je funkce několika proměnných, je běžné používat∂ " spíše než D. Jak je uvedeno výše, dolní indexy označují deriváty, které jsou přijímány. Například druhé parciální derivace funkce F(X, y) jsou:^[4]

${displaystyle částečný _ {xx} f = {frac {částečný ^ {2} f} {částečný x ^ {2}}},}$

${displaystyle partial _ {xy} f = {frac {částečné ^ {2} f} {částečné ypartial x}},}$

${displaystyle partial _ {yx} f = {frac {částečné ^ {2} f} {částečné xpartial y}},}$

${displaystyle partial _ {yy} f = {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y ^ {2}}}.}$

Vidět § Částečné derivace.

Eulerova notace je užitečná pro konstatování a řešení lineární diferenciální rovnice, protože zjednodušuje prezentaci diferenciální rovnice, což může usnadnit vidění podstatných prvků problému.

Eulerova notace pro antidiferenciaci

Eulerova notace může být použita pro antidiferenciaci stejným způsobem jako Lagrangeova notace.^[7] jak následuje^[6]

${displaystyle D ^ {- 1} f (x)}$ pro první primitivní,

${displaystyle D ^ {- 2} f (x)}$ pro druhé primitivní, a

${displaystyle D ^ {- n} f (x)}$ pro nto primitivní.

Newtonova notace

Newton Zápis pro rozlišení (nazývaný také tečkový zápis, nebo někdy hrubě, flyspeck notace^[8] pro rozlišení) umístí tečku nad závislou proměnnou. To je, pokud y je funkce t, pak derivát y s ohledem na t je

${displaystyle {dot {y}}}$

Vyšší deriváty jsou reprezentovány pomocí více teček, jako v

${displaystyle {ddot {y}}, {overet {...} {y}}}$

Newton rozšířil tuto myšlenku docela daleko:^[9]

${displaystyle {egin {aligned} {ddot {y}} & equiv {frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = {frac {d} {dt}} vlevo ({frac {dy} { dt}} ight) = {frac {d} {dt}} {Bigl (} {dot {y}} {Bigr)} = {frac {d} {dt}} {Bigl (} f '(t) {Bigr )} = D_ {t} ^ {2} y = f '' (t) = y '' _ {t} {přesahující {...} {y}} & = {tečka {ddot {y}}} ekviv {frac {d ^ {3} y} {dt ^ {3}}} = D_ {t} ^ {3} y = f '' '(t) = y' '' {{t} {přesahující { , 4} {dot {y}}} & = {overset {....} {y}} = {ddot {ddot {y}}} equiv {frac {d ^ {4} y} {dt ^ {4 }}} = D_ {t} ^ {4} y = f ^ {m {IV}} (t) = y_ {t} ^ {(4)} {přesahující {, 5} {tečka {y}}} & = {ddot {overset {...} {y}}} = {dot {ddot {ddot {y}}}} = {ddot {dot {ddot {y}}}} ekviv {frac {d ^ {5 } y} {dt ^ {5}}} = D_ {t} ^ {5} y = f ^ {m {V}} (t) = y_ {t} ^ {(5)} {přesahující {, 6 } {dot {y}}} & = {overset {...} {overset {...} {y}}} equiv {frac {d ^ {6} y} {dt ^ {6}}} = D_ {t} ^ {6} y = f ^ {m {VI}} (t) = y_ {t} ^ {(6)} {overset {, 7} {dot {y}}} & = {dot { overset {...} {overset {...} {y}}}} equiv {frac {d ^ {7} y} {dt ^ {7}}} = D_ {t} ^ {7} y ​​= f ^ {m {VII}} (t) = y_ {t} ^ {(7)} {overset {, 10} {dot {y}}} & = {ddot {ddot {ddot {ddot {ddot {y} }}}}} ekviv {frac {d ^ {10} y} {dt ^ {10}}} = D_ {t} ^ {10} y = f ^ {m {X}} (t) = y_ {t } ^ {(10)} {přesahující { , n} {dot {y}}} & equiv {frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} = D_ {t} ^ {n} y = f ^ {(n)} (t) = y_ {t} ^ {(n)} konec {zarovnáno}}}$

Mezi znaky Unicode související s Newtonovou notací patří:

• U + 0307 ◌̇ KOMBINOVÁNÍ DOT výše (derivát)
• U + 0308 ◌̈ KOMBINACE DIAEREZE (dvojitý derivát)
• U + 20 dB ◌⃛ KOMBINACE TŘI BODŮ výše (třetí derivace) ← nahrazeno slovy „kombinující diaeréza“ + „kombinující tečka výše“.
• U + 20DC ◌⃜ KOMBINOVÁNÍ ČTYŘI BODŮ výše (čtvrtá derivace) ← nahrazeno dvakrát „spojením diaeresis“.
• U + 030D ◌̍ KOMBINOVÁNÍ VERTIKÁLNÍHO ŘÁDKU výše (integrální)
• U + 030E ◌̎ KOMBINACE DVOJITÉ VERTIKÁLNÍ ŘÁDKY NAD (druhý integrál)
• U + 25AD ▭ BÍLÝ OBDÉLNÍK (integrální)
• U + 20DE ◌⃞ KOMBINACE PŘIHLÁŠKY (integrální)
• U + 1DE0 ◌ᷠ KOMBINACE LATINSKÉHO MALÉHO LISTU N (nth derivát)

Newtonova notace se obecně používá, když nezávislá proměnná označuje čas. Pokud umístění y je funkce t, pak ${displaystyle {dot {y}}}$ označuje rychlost^[10] a ${displaystyle {ddot {y}}}$ označuje akcelerace.^[11] Tato notace je populární v fyzika a matematická fyzika. Objevuje se také v oblastech matematiky spojených s fyzikou, jako je diferenciální rovnice. Je populární pouze pro první a druhý derivát, ale v aplikacích jsou to obvykle jediné deriváty, které jsou nezbytné.

Když vezmeme derivaci závislé proměnné y = F(X), existuje alternativní notace:^[12]

${displaystyle {frac {dot {y}} {dot {x}}} = {dot {y}}: {dot {x}} equiv {frac {dy} {dt}}: {frac {dx} {dt} } = {frac {frac {dy} {dt}} {frac {dx} {dt}}} = {frac {dy} {dx}} = {frac {d} {dt}} {Bigl (} f (x ) {Bigr)} = Dy = f '(x) = y'}$

Newton vyvinul následující parciální diferenciální operátory pomocí postranních teček na zakřiveném X (ⵋ). Definice dané Whiteside jsou níže:^[13][14]

${displaystyle {egin {aligned} {mathcal {X}} & = f (x, y) ,, cdot {mathcal {X}} & = x {frac {partial f} {partial x}} = xf_ {x} ,, {mathcal {X}} cdot & = y {frac {částečné f} {částečné y}} = yf_ {y} ,, colon {mathcal {X}}, {ext {or}}, cdot left ( cdot {mathcal {X}} ight) & = x ^ {2} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} = x ^ {2} f_ {xx} ,, {mathcal {X}} dvojtečka, {ext {or}}, vlevo ({mathcal {X}} cdot ight) cdot & = y ^ {2} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y ^ {2}} } = y ^ {2} f_ {yy} ,, cdot {mathcal {X}} cdot & = xy {frac {částečné ^ {2} f} {částečné xpartial y}} = xyf_ {xy} ,, konec { zarovnaný}}}$

Newtonova notace pro integraci

Newton vyvinul mnoho různých notací pro integrace v jeho Quadratura curvarum (1704) a pozdější práce: napsal malou svislou čárku nebo prvočíslo nad závislou proměnnou (y̍ ), předpona obdélník (▭y), nebo vložení výrazu do obdélníku (y) k označení plynulý nebo časový integrál (absces ).

${displaystyle {egin {aligned} y & = Box {dot {y}} equiv int {dot {y}}, dt = int f '(t), dt = D_ {t} ^ {- 1} (D_ {t} y) = f (t) + C_ {0} = y_ {t} + C_ {0} {overset {, prime} {y}} & = Box yequiv int y, dt = int f (t), dt = D_ {t} ^ {- 1} y = F (t) + C_ {1} konec {zarovnáno}}}$

K označení více integrálů použil Newton dva malé svislé pruhy nebo prvočísla (y̎), nebo kombinace předchozích symbolů ▭y̍y̍, k označení podruhé integrálu (absence).

${displaystyle {overset {, prime prime} {y}} = Box {overset {, prime} {y}} equiv int {overset {, prime} {y}}, dt = int F (t), dt = D_ { t} ^ {- 2} y = g (t) + C_ {2}}$

Časové integrály vyššího řádu byly následující:^[15]

${displaystyle {egin {aligned} {overset {, prime prime prime} {y}} & = Box {overset {, prime prime} {y}} equiv int {overset {, prime prime} {y}}, dt = int g (t), dt = D_ {t} ^ {- 3} y = G (t) + C_ {3} {overset {, prime prime prime prime} {y}} & = Box {overset {, prime prime prime} {y}} equiv int {overset {, prime prime prime} {y}}, dt = int G (t), dt = D_ {t} ^ {- 4} y = h (t) + C_ {4 } {overset {; n} {overset {, prime} {y}}} & = Box {overset {; n-1} {overset {, prime} {y}}} equiv int {overset {; n-1 } {overset {, prime} {y}}}, dt = int s (t), dt = D_ {t} ^ {- n} y = S (t) + C_ {n} konec {zarovnáno}}}$

Tento matematická notace se nerozšířil kvůli potížím s tiskem a Leibniz – Newtonova diskuse o počtu.

Částečné derivace

Pokud jsou nutné konkrétnější typy diferenciace, například v vícerozměrný počet nebo tenzorová analýza, ostatní zápisy jsou běžné.

Pro funkci F(X), můžeme derivaci vyjádřit pomocí indexů nezávislé proměnné:

${displaystyle {egin {aligned} f_ {x} & = {frac {df} {dx}} f_ {xx} & = {frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}}. konec { zarovnaný}}}$

Tento typ notace je obzvláště užitečný pro pořizování částečné derivace funkce několika proměnných.

Částečné deriváty se obecně odlišují od běžných derivátů nahrazením operátoru diferenciálu d s "∂ "". Můžeme například označit částečnou derivaci F(X, y, z) s ohledem na X, ale ne y nebo z několika způsoby:

${displaystyle {frac {částečné f} {částečné x}} = f_ {x} = částečné _ {x} f}$.

To, co dělá tento rozdíl důležitým, je to, že ne-částečný derivát, jako je ${displaystyle extstyle {frac {df} {dx}}}$ smět, v závislosti na kontextu, lze interpretovat jako rychlost změny v ${displaystyle f}$ ve vztahu k ${displaystyle x}$ když je dovoleno měnit všechny proměnné současně, zatímco s parciální derivací, jako je ${displaystyle extstyle {frac {částečné f} {částečné x}}}$ je výslovné, že by se měla lišit pouze jedna proměnná.

Další notace lze nalézt v různých podpolech matematiky, fyziky a techniky, viz například Maxwellovy vztahy z termodynamika. Symbol ${displaystyle left ({frac {částečné T} {částečné V}} vpravo) _ {S}}$ je derivát teploty T s ohledem na objem PROTI při zachování konstantní entropie (dolní index) S, zatímco ${displaystyle left ({frac {částečné T} {částečné V}} vpravo) _ {P}}$ je derivace teploty vzhledem k objemu při zachování konstantního tlaku P. To je nezbytné v situacích, kdy počet proměnných překračuje stupně volnosti, takže je třeba zvolit, které další proměnné mají být udržovány pevné.

Parciální derivace vyššího řádu vzhledem k jedné proměnné jsou vyjádřeny jako

${displaystyle {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} = f_ {xx}}$

${displaystyle {frac {částečné ^ {3} f} {částečné x ^ {3}}} = f_ {xxx}.}$

Smíšené parciální deriváty lze vyjádřit jako

${displaystyle {frac {částečné ^ {2} f} {částečné ypartiální x}} = f_ {xy}.}$

V tomto posledním případě jsou proměnné zapsány v obráceném pořadí mezi dvěma notacemi, vysvětleno takto:

${displaystyle (f_ {x}) _ {y} = f_ {xy}}$

${displaystyle {frac {částečný} {částečný y}} vlevo ({frac {částečný f} {částečný x}} vpravo) = {frac {částečný ^ {2} f} {částečný ypartiální x}}}$

Zápis ve vektorovém počtu

Vektorový počet obavy diferenciace a integrace z vektor nebo skalární pole. Několik notací specifických pro případ trojrozměrného Euklidovský prostor jsou běžné.

Předpokládat, že (X, y, z) je dané Kartézský souřadnicový systém, že A je vektorové pole s komponenty ${displaystyle mathbf {A} = (mathbf {A} _ {x}, mathbf {A} _ {y}, mathbf {A} _ {z})}$, a to ${displaystyle varphi = varphi (x, y, z)}$ je skalární pole.

Operátor diferenciálu představený William Rowan Hamilton, psaný ∇ a zavolal del nebo nabla, je symbolicky definována ve formě vektoru,

${displaystyle abla = left ({frac {částečný} {částečný x}}, {frac {částečný} {částečný y}}, {frac {částečný} {částečný z}} večer),}$

kde terminologie symbolicky odráží, že operátor ∇ bude také považován za obyčejný vektor.

• Spád: Přechod ${displaystyle mathrm {grad,} varphi}$ skalárního pole ${displaystyle varphi}$ je vektor, který je symbolicky vyjádřen znakem násobení ∇ a skalární pole ${displaystyle varphi}$,

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {grad} varphi & = left ({frac {částečné varphi} {částečné x}}, {frac {částečné varphi} {částečné y}}, {frac {částečné varphi} {částečné z} } ight) & = left ({frac {částečný} {částečný x}}, {frac {částečný} {částečný y}}, {frac {částečný} {částečný z}} ight) varphi & = abla varphi konec { zarovnaný}}}$

• Divergence: Divergence ${displaystyle mathrm {div}, mathbf {A}}$ vektorového pole A je skalár, který je symbolicky vyjádřen znakem Tečkovaný produkt ∇ a vektoru A,

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {div} mathbf {A} & = {částečné A_ {x} přes částečné x} + {částečné A_ {y} přes částečné y} + {částečné A_ {z} přes částečné z} & = left ({frac {částečný} {částečný x}}, {frac {částečný} {částečný y}}, {frac {částečný} {částečný z}} ight) cdot mathbf {A} & = abla cdot mathbf { A} konec {zarovnáno}}}$

• Laplacian: Laplacian ${displaystyle operatorname {div} operatorname {grad} varphi}$ skalárního pole ${displaystyle varphi}$ je skalární, což je symbolicky vyjádřeno skalárním násobením ∇² a skalární pole φ,

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {div} operatorname {grad} varphi & = abla cdot (abla varphi) & = (abla cdot abla) varphi & = abla ^ {2} varphi & = Delta varphi end { zarovnaný}}}$

• Otáčení: Rotace ${displaystyle mathrm {curl}, mathbf {A}}$nebo ${displaystyle mathrm {rot}, mathbf {A}}$, vektorového pole A je vektor, který je symbolicky vyjádřen znakem křížový produkt ∇ a vektoru A,

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {curl} mathbf {A} & = left ({částečné A_ {z} nad {částečné y}} - {částečné A_ {y} nad {částečné z}}, {částečné A_ {x } nad {částečné z}} - {částečné A_ {z} nad {částečné x}}, {částečné A_ {y} nad {částečné x}} - {částečné A_ {x} nad {částečné y}} včas) & = left ({částečné A_ {z} nad {částečné y}} - {částečné A_ {y} nad {částečné z}} vpravo) mathbf {i} + vlevo ({částečné A_ {x} nad {částečné z}} - - {částečné A_ {z} nad {částečné x}} ight) mathbf {j} + vlevo ({částečné A_ {y} nad {částečné x}} - {částečné A_ {x} nad {částečné y}} vpravo) mathbf { k} & = {egin {vmatrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} {cfrac {částečný} {částečný x}} & {cfrac {částečný} {částečný y}} & {cfrac {částečný} {částečné z}} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} konec {vmatrix}} & = abla imes mathbf {A} konec {zarovnáno}}}$

Mnoho symbolických operací derivací může být zobecněno přímým způsobem operátorem přechodu v kartézských souřadnicích. Například jedna proměnná produktové pravidlo má přímý analog v násobení skalárních polí použitím operátoru přechodu, jako v

${displaystyle (fg) '= f'g + fg' ~~~ Longrightarrow ~~~ abla (phi psi) = (abla phi) psi + phi (abla psi).}$

Mnoho dalších pravidel z jednoho proměnného počtu má analoga vektorového počtu pro přechod, divergenci, zvlnění a Laplacian.

Byly vyvinuty další notace pro exotičtější typy prostorů. Pro výpočty v Minkowského prostor, operátor d'Alembert, nazývaný také d'Alembertianův, vlnový operátor nebo operátor boxu je reprezentován jako ${displaystyle Box}$, nebo jako ${displaystyle Delta}$ když není v rozporu se symbolem pro Laplacian.

Viz také

• Analytická společnost
• Derivát
• Jacobian matrix
• Hesenská matice

Reference

externí odkazy

• Nejčasnější použití symbolů kalkulu, kterou udržuje Jeff Miller.