Khinchin integrální - Khinchin integral

V matematice je Khinchin integrální (někdy hláskováno Khintchine integrální), také známý jako Denjoy – Khinchinův integrál, zobecněný Denjoyův integrál nebo široký Denjoy integrál, je jednou z mnoha definic integrální a funkce. Jedná se o zobecnění Riemann a Lebesgue integrály. Je pojmenován po Aleksandr Khinchin a Arnaud Denjoy, ale nesmí být zaměňována s (úzkou) Denjoy integrální.

Motivace

Li G : Já → R je Lebesgue-integrovatelná funkce v určitém intervalu Já = [A,b], a pokud

${ displaystyle f (x) = int _ {a} ^ {x} g (t) , dt}$

je jeho Lebesgueův neurčitý integrál, pak platí následující tvrzení:^[1]

1. F je absolutně kontinuální (viz níže)
2. F je rozlišitelný téměř všude
3. Jeho derivát se shoduje téměř všude s G(X). (Ve skutečnosti, Všechno tímto způsobem se získají absolutně spojité funkce.^[2])

Lebesgueův integrál lze definovat takto: G je integrovatelný do Lebesgue Já pokud existuje funkce F to je absolutně spojité, jehož derivace se shoduje s G téměř všude.

I když F : Já → R je rozlišitelný všude, a G je jeho derivát, nenásleduje to F je (až do konstanty) Lebesgueův neurčitý integrál G, prostě protože G může selhat být Lebesgue integrovatelný, tj. F může selhat být absolutně nepřetržitý. Je uveden příklad^[3] derivátem G funkce (diferencovatelné, ale ne absolutně spojité) F(X)=X² · hřích (1 /X²) (funkce G není integrovatelný do Lebesgue kolem 0).

Integrál Denjoy napravuje tento nedostatek zajištěním derivace jakékoli funkce F který je všude diferencovatelný (nebo dokonce diferencovatelný všude kromě maximálně spočetně mnoha bodů) je integrovatelný a jeho integrální rekonstruuje F až do konstanty; Khinchinův integrál je ještě obecnější v tom, že může integrovat přibližný derivace přibližně diferencovatelné funkce (definice viz níže). K tomu nejprve najde podmínku, která je slabší než absolutní kontinuita, ale je splněna jakoukoli přibližně diferencovatelnou funkcí. Toto je koncept zobecněný absolutní kontinuita; zobecněné absolutně spojité funkce budou přesně ty funkce, které jsou neurčité Khinchinovy ​​integrály.

Definice

Zobecněná absolutně spojitá funkce

Nechat Já = [A,b] být interval a F : Já → R být funkcí se skutečnou hodnotou Já.

Odvolej to F je absolutně kontinuální na podmnožinu E z Já právě když pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové, že kdykoli konečná sbírka [X_k,y_k] párových disjunktních podintervalů Já s koncovými body v E splňuje

${ displaystyle sum _ {k} vlevo | y_ {k} -x_ {k} vpravo | < delta}$

také to uspokojuje

${ displaystyle sum _ {k} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | < varepsilon.}$

Definovat^[4][5] funkce F být zobecněný absolutně kontinuální na podmnožinu E z Já pokud omezení F na E je spojitý (zap E) a E lze zapsat jako spočetné sjednocení podmnožin E_i takhle F je na každém naprosto spojitý E_i. To je ekvivalent^[6] k prohlášení, že každý neprázdný perfektní podmnožina E obsahuje část^[7] na kterých F je naprosto kontinuální.

Přibližná derivace

Nechat E být Lebesgue měřitelný soubor skutečností. Připomeňme si, že skutečné číslo X (ne nutně v E) se říká, že je bod hustoty z E když

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0} { frac { mu (E cap [x- varepsilon, x + varepsilon])} {2 varepsilon}} = 1}$

(kde μ označuje Lebesgueovu míru). Lebesgue-měřitelná funkce G : E → R se říká, že má přibližný limit^[8] y v X (bod hustoty E) pokud pro každé kladné číslo ε, bod X je bod hustoty ${ displaystyle g ^ {- 1} ([y- varepsilon, y + varepsilon])}$. (Pokud dále G(X)  = y, můžeme to říci G je přibližně kontinuální v X.^[9]) Ekvivalentně, G má přibližný limit y v X právě když existuje měřitelná podmnožina F z E takhle X je bod hustoty F a (obvyklý) limit na X omezení F na F je y. Stejně jako obvyklý limit je přibližný limit jedinečný, pokud existuje.

A konečně, Lebesgue-měřitelná funkce F : E → R se říká, že má přibližná derivace y v X iff

${ displaystyle { frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}$

má přibližný limit y v X; z toho vyplývá, že F je přibližně spojitý v X.

Věta

Připomeňme, že to vyplývá z Lusinova věta že Lebesgue-měřitelná funkce je přibližně spojitá téměř všude (a naopak).^[10][11] Klíčová věta při konstrukci Khinchinova integrálu je tato: funkce F to je zobecněné absolutně spojité (nebo dokonce „zobecněné ohraničené variace“, slabší představa) má téměř všude derivát.^[12][13][14] Kromě toho, pokud F je zobecněn absolutně spojitý a jeho přibližná derivace je tedy téměř všude nezáporná F neklesá,^[15] a následně, pokud je tato přibližná derivace téměř všude nulová, pak F je konstantní.

Khinchinův integrál

Nechat Já = [A,b] být interval a G : Já → R být funkcí se skutečnou hodnotou Já. Funkce G se říká, že je Khinchin integrovatelný Já pokud existuje funkce F to je zobecněné absolutně spojité, jehož přibližná derivace se shoduje s G téměř všude;^[16] v tomto případě funkce F je určeno G až do konstanty a Khinchinův integrál G z A na b je definován jako F(b) − F(A).

Zvláštní případ

Li F : Já → R je spojitý a má přibližnou derivaci všude Já kromě maximálně spočetně mnoha bodů F je ve skutečnosti zobecněný absolutně spojitý, takže je to (neurčitý) Khinchinův integrál jeho přibližné derivace.^[17]

Tento výsledek neplatí, pokud množina bodů kde F se nepředpokládá, že má přibližnou derivaci, je pouze Lebesgueovy míry nula, protože Funkce Cantor ukazuje.

Poznámky

Reference

• Springerova encyklopedie matematiky: článek „Denjoy integrál“
• Springerova encyklopedie matematiky: článek „Přibližná derivace“
• Bruckner, Andrew (1994). Diferenciace reálných funkcí. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-6990-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gordon, Russell A. (1994). Integrály Lebesgue, Denjoy, Perron a Henstock. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-3805-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Filippov, V.V. (1998). Základní topologické struktury obyčejných diferenciálních rovnic. ISBN  978-0-7923-4951-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)