Svislá tečna - Vertical tangent

Svislá tečna k funkci ƒ(X) na X = C.

v matematika, zejména počet, a vertikální tečna je tečna to je vertikální. Protože svislá čára má nekonečný sklon, a funkce jehož graf má svislou tečnu není rozlišitelný v bodě tečnosti.

Definice limitu

Funkce ƒ má svislou tečnu v X = A pokud rozdílový kvocient používá se k definování derivátu nekonečný limit:

{displaystyle lim _ {h o 0} {frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ infty} quad {ext {or}} quad lim _ {h o 0} {frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {- infty}.}

První případ odpovídá vertikální tangentě se sklonem nahoru a druhý případ se vertikální tangentou se sklonem dolů. Neformálně řečeno, graf ƒ má vertikální tečnu v X = A pokud je derivace ƒ at A je buď kladné nebo záporné nekonečno.

Pro spojitá funkce, je často možné detekovat vertikální tečnu pomocí limitu derivace. Li

{displaystyle lim _ {x o a} f '(x) = {+ infty} {ext {,}}}

pak ƒ musí mít svislou tečnu skloněnou nahoru X = A. Podobně, pokud

{displaystyle lim _ {x o a} f '(x) = {- infty} {ext {,}}}

pak ƒ musí mít svislou tečnu skloněnou dolů X = A. V těchto situacích se vertikální tečna k ƒ zobrazí jako vertikální asymptota na grafu derivace.

Svislé vrcholy

Úzce souvisí se svislými tečnami vertikální vrcholy. K tomu dochází, když jednostranné deriváty jsou oba nekonečné, ale jeden je pozitivní a druhý je negativní. Například pokud

{displaystyle lim _ {h o 0 ^ {-}} {frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ infty} quad {ext {and}} quad lim _ {h o 0 ^ {+}} {frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {- infty} {ext {,}}}

pak graf of bude mít svislý hrot, který se svažuje na levé straně a dolů na pravé straně.

Stejně jako u vertikálních tečen lze vertikální vrcholy někdy detekovat pro spojitou funkci zkoumáním limitu derivace. Například pokud

{displaystyle lim _ {x oa ^ {-}} f '(x) = {- infty} quad {ext {and}} quad lim _ {x oa ^ {+}} f' (x) = {+ infty} {ext {,}}}

pak bude mít graf ƒ svislý hrot X = A který se svažuje dolů na levé straně a nahoru na pravé straně. To odpovídá vertikálnímu asymptotu na grafu derivace, která jde do ${displaystyle infty}$ vlevo a ${displaystyle -infty}$ napravo.