Lineární aproximace - Linear approximation

v matematika, a lineární aproximace je aproximace generála funkce používat lineární funkce (přesněji an afinní funkce ). Jsou široce používány v metodě konečné rozdíly vyrobit metody prvního řádu pro řešení nebo aproximaci řešení rovnic.
Definice
Vzhledem k dvakrát nepřetržitě diferencovatelné funkci jednoho nemovitý variabilní, Taylorova věta pro případ tvrdí, že
kde je zbývající termín. Lineární aproximace se získá upuštěním zbytku:
- .
Toto je dobrá aproximace, když je dostatečně blízko k ; protože křivka, když je pozorně sledována, začne připomínat přímku. Proto je výraz na pravé straně pouze rovnicí pro tečna do grafu na . Z tohoto důvodu se tento proces nazývá také aproximace tečny.
Li je konkávní dolů v intervalu mezi a , aproximace bude nadhodnocenou (protože derivace v tomto intervalu klesá). Li je konkávní, aproximace bude podhodnocena.[1]
Lineární aproximace pro vektor funkce vektorové proměnné jsou získány stejným způsobem, přičemž derivace v bodě je nahrazena Jacobian matice. Například vzhledem k diferencovatelné funkci se skutečnými hodnotami se dá přiblížit pro blízko k podle vzorce
Pravá strana je rovnicí roviny tečné k grafu na
V obecnějším případě Banachovy prostory, jeden má
kde je Fréchetův derivát z na .
Aplikace
Optika
Gaussova optika je technika v geometrická optika který popisuje chování světelných paprsků v optických systémech pomocí paraxiální aproximace, ve kterém pouze paprsky, které dělají malé úhly s optická osa systému.[2] V této aproximaci lze trigonometrické funkce vyjádřit jako lineární funkce úhlů. Gaussova optika platí pro systémy, ve kterých jsou všechny optické povrchy buď ploché, nebo jsou částmi a koule. V tomto případě lze uvést jednoduché explicitní vzorce pro parametry zobrazovacího systému, jako je ohnisková vzdálenost, zvětšení a jas, pokud jde o geometrické tvary a materiálové vlastnosti jednotlivých prvků.
Období oscilace
Období švihu a jednoduché gravitační kyvadlo záleží na tom délka, místní gravitační síla, a v malé míře maximálně úhel že kyvadlo se odklání od svislé polohy, θ0, volal amplituda.[3] Je nezávislý na Hmotnost bobu. Skutečné období T jednoduchého kyvadla, čas potřebný na kompletní cyklus ideálního jednoduchého gravitačního kyvadla, lze napsat v několika různých formách (viz Kyvadlo (matematika) ), jedním příkladem je nekonečná řada:[4][5]
kde L je délka kyvadla a G je místní gravitační zrychlení.
Pokud však vezmeme lineární aproximaci (tj. Pokud je amplituda omezena na malé výkyvy,[Poznámka 1] ) doba je:[6]
V lineární aproximaci je doba švihu přibližně stejná pro různé velikosti výkyvů: to znamená, perioda je nezávislá na amplitudě. Tato vlastnost se nazývá izochronismus, je důvod, proč jsou kyvadla pro měření času tak užitečná.[7] Po sobě jdoucí výkyvy kyvadla, i když se mění amplituda, trvají stejně dlouho.
Elektrický odpor
Elektrický odpor většiny materiálů se mění s teplotou. Pokud teplota T příliš se nemění, obvykle se používá lineární aproximace:
kde se nazývá teplotní koeficient odporu, je pevná referenční teplota (obvykle teplota v místnosti) a je měrný odpor při teplotě . Parametr je empirický parametr získaný z naměřených dat. Protože lineární aproximace je pouze aproximací, se liší pro různé referenční teploty. Z tohoto důvodu je obvyklé určit teplotu, která byl měřen na s příponou, jako je a vztah platí pouze v rozsahu teplot kolem reference.[8] Pokud se teplota mění ve velkém teplotním rozsahu, lineární aproximace je nedostatečná a je třeba použít podrobnější analýzu a porozumění.
Viz také
- Binomická aproximace
- Eulerova metoda
- Konečné rozdíly
- Metody konečných rozdílů
- Newtonova metoda
- Silová řada
- Taylor série
Poznámky
- ^ „Malý“ výkyv je takový, ve kterém je úhel θ dostatečně malý, aby bylo možné aproximovat sin (θ) θ, když se θ měří v radiánech
Reference
- ^ "12.1 Odhad hodnoty funkce pomocí lineární aproximace". Citováno 3. června 2012.
- ^ Lipson, A .; Lipson, S. G .; Lipson, H. (2010). Optická fyzika (4. vydání). Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. str. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
- ^ Milham, Willis I. (1945). Časoměřiči. MacMillan. 188–194. OCLC 1744137.
- ^ Nelson, Robert; M. G. Olsson (únor 1987). „Kyvadlo - bohatá fyzika z jednoduchého systému“ (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112–121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. Citováno 2008-10-29.
- ^ "Hodiny". Encyklopedie Britannica, 11. vydání. 6. The Encyclopædia Britannica Publishing Co. 1910. str. 538. Citováno 2009-03-04. zahrnuje odvození
- ^ Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Základy fyziky, 5. vyd. New York: John Wiley & Sons. str.381. ISBN 0-471-14854-7.
- ^ Cooper, Herbert J. (2007). Vědecké přístroje. New York: Hutchinson. str. 162. ISBN 1-4067-6879-0.
- ^ Ward, M. R. (1971). Věda o elektrotechnice. McGraw-Hill. s. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.
Další čtení
- Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Kalkul III. Berlín: Springer-Verlag. str. 775. ISBN 0-387-90985-0.
- Strang, Gilbert (1991). Počet. Wellesley College. str. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
- Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). Jak se připravit na počet AP. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. str.118. ISBN 0-7641-2382-3.