Binomická věta - Binomial theorem - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Binomická věta“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

${ displaystyle { begin {array} {c} 1 1 quad 1 1 quad 2 quad 1 1 quad 3 quad 3 quad 1 1 quad 4 quad 6 quad 4 quad 1 1 quad 5 quad 10 quad 10 quad 5 quad 1 1 quad 6 quad 15 quad 20 quad 15 quad 6 quad 1 1 quad 7 quad 21 quad 35 quad 35 quad 21 quad 7 quad 1 end {pole}}}$

The binomický koeficient ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ se zobrazí jako btého záznamu v ntř. řada Pascalův trojúhelník (počítání začíná v 0). Každá položka je součtem dvou nad ní.

v elementární algebra, binomická věta (nebo binomická expanze) popisuje algebraickou expanzi pravomoci a binomický. Podle věty je možné polynom rozšířit (X + y)ⁿ do součet zahrnující podmínky formuláře sekera^by^C, kde exponenty b a C jsou nezáporná celá čísla s b + C = na součinitel A každého termínu je specifický kladné celé číslo záleží na n a b. Například (pro n = 4),

${ displaystyle (x + y) ^ {4} = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}.}$

Koeficient A v termínu sekera^by^C je známý jako binomický koeficient ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ nebo ${ displaystyle { tbinom {n} {c}}}$ (dva mají stejnou hodnotu). Tyto koeficienty pro různé n a b lze uspořádat do formy Pascalův trojúhelník. Tato čísla také vznikají v kombinatorika, kde ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ udává počet různých kombinace z b elementy které lze vybrat z n-živel soubor. Proto ${ displaystyle { tbinom {n} {b}}}$ se často vyslovuje jako „n Vybrat b".

Dějiny

Zvláštní případy binomické věty byly známy přinejmenším od 4. století před naším letopočtem Řecký matematik Euklid zmínil speciální případ binomické věty pro exponent2.^[1][2] Existují důkazy, že binomická věta o kostkách byla známa v 6. století našeho letopočtu v Indii.^[1][2]

Binomické koeficienty jako kombinatorické veličiny vyjadřující počet způsobů výběru k předměty z n bez náhrady, zajímali staroindické matematiky. Nejdříve známý odkaz na tento kombinatorický problém je Chandaḥśāstra indický textař Pingala (c. 200 př. n. l.), který obsahuje způsob jeho řešení.^[3]:230 Komentátor Halayudha z 10. století našeho letopočtu vysvětluje tuto metodu pomocí toho, co je nyní známé jako Pascalův trojúhelník.^[3] Do 6. století našeho letopočtu indičtí matematici pravděpodobně věděli, jak to vyjádřit jako kvocient ${ displaystyle { frac {n!} {(n-k)! k!}}}$,^[4] a jasné prohlášení o tomto pravidle lze nalézt v textu z 12. století Lilavati podle Bhaskara.^[4]

První formulaci binomické věty a tabulku binomických koeficientů, pokud je nám známo, lze najít v práci Al-Karaji, citováno uživatelem Al-Samaw'al v jeho „al-Bahir“.^[5][6][7] Al-Karaji popsal trojúhelníkový vzor binomických koeficientů^[8] a také poskytl matematický důkaz binomické věty a Pascalova trojúhelníku, s použitím rané formy matematická indukce.^[8] Perský básník a matematik Omar Khayyam pravděpodobně znal vzorec vyšších řádů, ačkoli mnoho z jeho matematických prací je ztraceno.^[2] Binomické expanze malých stupňů byly známy v matematických pracích ze 13. století Yang Hui^[9] a také Chu Shih-Chieh.^[2] Yang Hui připisuje metodu mnohem dřívějšímu textu z 11. století Jia Xian, ačkoli tyto spisy jsou nyní také ztraceny.^[3]:142

V roce 1544 Michael Stifel představil pojem „binomický koeficient“ a ukázal, jak je použít k vyjádření ${ displaystyle (1 + a) ^ {n}}$ ve smyslu ${ displaystyle (1 + a) ^ {n-1}}$pomocí „Pascalova trojúhelníku“.^[10] Blaise Pascal studoval stejnojmenný trojúhelník komplexně v jeho Traité dus trojúhelníkový arithmétique.^[11] Vzorec čísel však již poznali evropští matematici pozdní renesance, včetně Stifela, Niccolò Fontana Tartaglia, a Simon Stevin.^[10]

Isaac Newton je obecně připočítán zobecněnou binomickou větou, platnou pro všechny racionální exponenty.^[10][12]

Prohlášení

Podle věty je možné rozšířit jakoukoli nezápornou mocninu X + y do součtu formuláře

${ displaystyle (x + y) ^ {n} = {n zvolit 0} x ^ {n} y ^ {0} + {n zvolit 1} x ^ {n-1} y ^ {1} + { n zvolit 2} x ^ {n-2} y ^ {2} + cdots + {n zvolit n-1} x ^ {1} y ^ {n-1} + {n zvolit n} x ^ {0} y ^ {n},}$

kde ${ displaystyle n geq 0}$ je celé číslo a každé ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ je kladné celé číslo známé jako a binomický koeficient. (Když je exponent nula, je odpovídající výraz síly považován za 1 a tento multiplikativní faktor je z termínu často vynechán. Proto je často vidět pravá strana psaná jako ${ displaystyle { binom {n} {0}} x ^ {n} + ldots}$.) Tento vzorec se také označuje jako binomický vzorec nebo binomická identita. Použitím součtová notace, lze zapsat jako

${ displaystyle (x + y) ^ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} x ^ {nk} y ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolte k} x ^ {k} y ^ {nk}.}$

Konečný výraz vyplývá z předchozího symetrií X a y v prvním výrazu a z porovnání vyplývá, že posloupnost binomických koeficientů ve vzorci je symetrická. Jednoduchou variantu binomického vzorce získáme střídání 1 pro y, takže zahrnuje pouze jeden proměnná. V této formě se přečte vzorec

${ displaystyle (1 + x) ^ {n} = {n zvolit 0} x ^ {0} + {n vybrat 1} x ^ {1} + {n zvolit 2} x ^ {2} + cdots + {n select {n-1}} x ^ {n-1} + {n choose n} x ^ {n},}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle (1 + x) ^ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} x ^ {k}.}$

Příklady

Jednoduchým příkladem aplikace binomické věty je odvození vzorce pro náměstí z X + y:

${ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}.}$

Binomické koeficienty 1, 2, 1 objevující se v této expanzi odpovídají druhé řadě Pascalova trojúhelníku. (Horní „1“ trojúhelníku je podle konvence považován za řádek 0.) Koeficienty vyšších mocnin X + y odpovídají spodním řadám trojúhelníku:

${ displaystyle { begin {aligned} (x + y) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3}, [8pt] (x + y) ^ {4} & = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}, [ 8pt] (x + y) ^ {5} & = x ^ {5} + 5x ^ {4} y + 10x ^ {3} y ^ {2} + 10x ^ {2} y ^ {3} + 5xy ^ {4} + y ^ {5}, [8pt] (x + y) ^ {6} & = x ^ {6} + 6x ^ {5} y + 15x ^ {4} y ^ {2} + 20x ^ {3} y ^ {3} + 15x ^ {2} y ^ {4} + 6xy ^ {5} + y ^ {6}, [8pt] (x + y) ^ {7} & = x ^ {7} + 7x ^ {6} y + 21x ^ {5} y ^ {2} + 35x ^ {4} y ^ {3} + 35x ^ {3} y ^ {4} + 21x ^ {2 } y ^ {5} + 7xy ^ {6} + y ^ {7}, [8pt] (x + y) ^ {8} & = x ^ {8} + 8x ^ {7} y ​​+ 28x ^ {6} y ^ {2} + 56x ^ {5} y ^ {3} + 70x ^ {4} y ^ {4} + 56x ^ {3} y ^ {5} + 28x ^ {2} y ^ { 6} + 8xy ^ {7} + y ^ {8}. End {zarovnáno}}}$

Z těchto příkladů lze pozorovat několik vzorů. Obecně platí, že pro expanzi (X + y)ⁿ:

1. pravomoci X začátek v n a snižovat o 1 v každém semestru, dokud nedosáhnou 0 (s X⁰ = 1, často nepsané);
2. pravomoci y začněte od 0 a zvyšujte o 1, dokud nedosáhnou n;
3. the nkdyž bude termín uspořádán tímto způsobem, bude pátá řada Pascalova trojúhelníku koeficienty rozšířeného binomia;
4. počet členů v expanzi před spojením podobných členů je součtem koeficientů a rovná se 2ⁿ; a
5. bude n + 1 termíny ve výrazu po kombinaci jako termíny v expanzi.

Jednoduchý příklad se specifickou kladnou hodnotou y:

${ displaystyle { begin {aligned} (x + 2) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} (2) + 3x (2) ^ {2} + 2 ^ {3} & = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 12x + 8. end {zarovnáno}}}$

Jednoduchý příklad se specifickou zápornou hodnotou y:

${ displaystyle { begin {aligned} (x-2) ^ {3} & = x ^ {3} -3x ^ {2} (2) + 3x (2) ^ {2} -2 ^ {3} & = x ^ {3} -6x ^ {2} + 12x-8. end {zarovnáno}}}$

Geometrické vysvětlení

Vizualizace binomické expanze až do 4. síly

Pro kladné hodnoty A a b, binomická věta s n = 2 je geometricky evidentní skutečnost, že čtverec strany A + b lze řezat do čtverce ze strany A, čtverec strany ba dva obdélníky se stranami A a b. S n = 3, věta říká, že krychle strany A + b lze řezat na kostku ze strany A, kostka strany b, tři A × A × b obdélníkové krabice a tři A × b × b obdélníkové krabice.

v počet, tento obrázek také poskytuje geometrický důkaz derivát ${ displaystyle (x ^ {n}) '= nx ^ {n-1}:}$^[13] pokud jeden nastaví ${ displaystyle a = x}$ a ${ displaystyle b = Delta x,}$ tlumočení b jako infinitezimální změna v A, pak tento obrázek ukazuje nekonečně malou změnu objemu an n-dimenzionální hyperkrychle, ${ displaystyle (x + Delta x) ^ {n},}$ kde koeficient lineárního členu (v ${ displaystyle Delta x}$) je ${ displaystyle nx ^ {n-1},}$ oblast n tváře, každá z dimenzí n − 1:

${ displaystyle (x + Delta x) ^ {n} = x ^ {n} + nx ^ {n-1} Delta x + { binom {n} {2}} x ^ {n-2} ( Delta x) ^ {2} + cdots.}$

Nahrazením to do definice derivátu přes a rozdílový kvocient a přijetí limitů znamená, že podmínky vyššího řádu, ${ displaystyle ( Delta x) ^ {2}}$ a vyšší, stane se zanedbatelným a získá vzorec ${ displaystyle (x ^ {n}) '= nx ^ {n-1},}$ interpretováno jako

"nekonečně malá rychlost změny objemu n-krychle, protože délka strany se mění, je oblast n jeho (n − 1)-dimenzionální tváře ".

Pokud jeden integruje tento obrázek, který odpovídá použití základní věta o počtu, jeden získá Cavalieriho kvadraturní vzorec, integrál ${ displaystyle textstyle { int x ^ {n-1} , dx = { tfrac {1} {n}} x ^ {n}}}$ - viz důkaz Cavalieriho kvadraturního vzorce pro detaily.^[13]

Binomické koeficienty

Koeficienty, které se objevují v binomické expanzi, se nazývají binomické koeficienty. Obvykle jsou psány ${ displaystyle { tbinom {n} {k}},}$ a vyslovuje se „n Vybrat k".

Vzorce

Koeficient X^n−ky^k je dáno vzorcem

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {n!} {k! (n-k)!}},}$

který je definován z hlediska faktoriál funkce n!. Ekvivalentně lze tento vzorec napsat

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {n (n-1) cdots (n-k + 1)} {k (k-1) cdots 1}} = prod _ { ell = 1} ^ {k} { frac {n- ell +1} { ell}} = prod _ { ell = 0} ^ {k-1} { frac {n- ell } {k- ell}}}$

s k faktory v čitateli i jmenovateli zlomek. Ačkoli tento vzorec zahrnuje zlomek, binomický koeficient ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ je ve skutečnosti celé číslo.

Kombinatorický výklad

Binomický koeficient ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ lze interpretovat jako počet způsobů výběru k prvky z n- sada prvků. To souvisí s dvojčleny z následujícího důvodu: pokud píšeme (X + y)ⁿ jako produkt

${ displaystyle (x + y) (x + y) (x + y) cdots (x + y),}$

pak podle distribuční právo, v každé expanzi bude jeden termín v expanzi X nebo y z každého z dvojčlenů produktu. Například bude existovat pouze jeden termín Xⁿ, odpovídající výběru X z každého dvojčlenu. Formulář však bude mít několik podmínek Xⁿ⁻²y², jeden pro každý způsob výběru přesně dvou binomií, kterými chcete přispět a y. Proto po kombinovat jako termíny koeficient, Xⁿ⁻²y² se bude rovnat počtu způsobů, jak si vybrat přesně 2 prvky z n- sada prvků.

Důkazy

Kombinatorický důkaz

Příklad

Koeficient xy² v

${ displaystyle { begin {aligned} (x + y) ^ {3} & = (x + y) (x + y) (x + y) & = xxx + xxy + xyx + { podtržení {xyy} } + yxx + { podtržení {yxy}} + { podtržení {yyx}} + rrr & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + { podtržení {3xy ^ {2}}} + y ^ {3} end {zarovnáno}}}$

rovná se ${ displaystyle { tbinom {3} {2}} = 3}$ protože jsou tři X,y řetězce délky 3 s přesně dvěma ys, jmenovitě

${ displaystyle xyy, ; yxy, ; yyx,}$

odpovídá třem dvouprvkovým podmnožinám {1, 2, 3}, jmenovitě

${ displaystyle {2,3 }, ; {1,3 }, ; {1,2 },}$

kde každá podmnožina specifikuje polohy y v odpovídajícím řetězci.

Obecný případ

Rozšiřuje se (X + y)ⁿ získá součet 2ⁿ výrobky formuláře E₁E₂ ... E_n kde každý E_i je X neboy. Faktory přeskupení ukazují, že každý produkt se rovná X^n−ky^k pro některé k mezi 0 an. Za dané k, se prokazují rovnocenně následující:

• počet kopií X^{n − k}y^k v expanzi
• počet n-charakter X,y řetězce mají y přesně k pozic
• počet k-prvkové podmnožiny {1, 2, ..., n}
• ${ displaystyle { tbinom {n} {k}},}$ buď podle definice, nebo krátkým kombinatorickým argumentem, pokud jeden definuje ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ tak jako ${ displaystyle { tfrac {n!} {k! (n-k)!}}.}$

To dokazuje binomickou větu.

Induktivní důkaz

Indukce přináší další důkaz binomické věty. Když n = 0, obě strany stejné 1, od té doby X⁰ = 1 a ${ displaystyle { tbinom {0} {0}} = 1.}$ Nyní předpokládejme, že rovnost platí pro dané n; dokážeme to n + 1. Pro j, k ≥ 0, nechť [F(X, y)]_j,k označit koeficient X^jy^k v polynomu F(X, y). Indukční hypotézou (X + y)ⁿ je polynom v X a y takhle [(X + y)ⁿ]_j,k je ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$ -li j + k = n, a 0 v opačném případě. Identita

${ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = x (x + y) ^ {n} + y (x + y) ^ {n}}$

ukázat to (X + y)ⁿ⁺¹ je také polynom v X a y, a

${ displaystyle [(x + y) ^ {n + 1}] _ {j, k} = [(x + y) ^ {n}] _ {j-1, k} + [(x + y) ^ {n}] _ {j, k-1},}$

protože pokud j + k = n + 1, pak (j − 1) + k = n a j + (k − 1) = n. Nyní je pravá strana

${ displaystyle { binom {n} {k}} + { binom {n} {k-1}} = { binom {n + 1} {k}},}$

podle Pascalova identita.^[14] Na druhou stranu, pokud j + k ≠ n + 1, pak (j – 1) + k ≠ n a j + (k – 1) ≠ n, takže máme 0 + 0 = 0. Tím pádem

${ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = součet _ {k = 0} ^ {n + 1} { binom {n + 1} {k}} x ^ {n + 1-k} y ^ {k},}$

což je indukční hypotéza s n + 1 nahrazeno n a tím je dokončen indukční krok.

Zobecnění

Newtonova zobecněná binomická věta

Kolem roku 1665, Isaac Newton zobecnil binomickou větu tak, aby umožňoval jiné reálné exponenty než nezáporná celá čísla. (Stejné zobecnění platí i pro komplex V této generalizaci je konečný součet nahrazen nekonečná řada. K tomu je třeba dát smysl binomickým koeficientům s libovolným horním indexem, což nelze provést pomocí obvyklého vzorce s faktoriály. Nicméně pro libovolné číslo r, lze definovat

${ displaystyle {r vyberte k} = { frac {r (r-1) cdots (r-k + 1)} {k!}} = { frac {(r) _ {k}} {k !}},}$

kde ${ displaystyle ( cdot) _ {k}}$ je Pochhammer symbol, tady stojí za klesající faktoriál. To souhlasí s obvyklými definicemi, když r je nezáporné celé číslo. Pak, pokud X a y jsou reálná čísla s |X| > |y|,^{[Poznámka 1]} a r je jakékoli komplexní číslo, jeden má

${ displaystyle { begin {aligned} (x + y) ^ {r} & = sum _ {k = 0} ^ { infty} {r vyberte k} x ^ {rk} y ^ {k} & = x ^ {r} + rx ^ {r-1} y + { frac {r (r-1)} {2!}} x ^ {r-2} y ^ {2} + { frac { r (r-1) (r-2)} {3!}} x ^ {r-3} y ^ {3} + cdots. end {zarovnáno}}}$

Když r je nezáporné celé číslo, binomické koeficienty pro k > r jsou nula, takže tato rovnice se redukuje na obvyklou binomickou větu a je jich nanejvýš r + 1 nenulové podmínky. Pro ostatní hodnoty r, série má obvykle nekonečně mnoho nenulových výrazů.

Například, r = 1/2 dává následující řadu pro druhou odmocninu:

${ displaystyle { sqrt {1 + x}} = 1 + { frac {1} {2}} x - { frac {1} {8}} x ^ {2} + { frac {1} { 16}} x ^ {3} - { frac {5} {128}} x ^ {4} + { frac {7} {256}} x ^ {5} - cdots}$

Brát r = −1, zobecněná binomická řada dává vzorec geometrické řady, platný pro |X| < 1:

${ displaystyle (1 + x) ^ {- 1} = { frac {1} {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + x ^ {4} -x ^ {5} + cdots}$

Obecněji s r = −s:

${ displaystyle { frac {1} {(1-x) ^ {s}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {s + k-1 vyberte k} x ^ {k} .}$

Například, když s = 1/2,

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1 + x}}} = 1 - { frac {1} {2}} x + { frac {3} {8}} x ^ {2} - { frac {5} {16}} x ^ {3} + { frac {35} {128}} x ^ {4} - { frac {63} {256}} x ^ {5} + cdots}$

Další zobecnění

Zobecněnou binomickou větu lze rozšířit na případ, kdy X a y jsou komplexní čísla. U této verze by se mělo opět předpokládat |X| > |y|^{[Poznámka 1]} a definovat pravomoci X + y a X používat holomorfní větev log definované na otevřeném disku o poloměru |X| se středem na X. Zobecněná binomická věta je platná i pro prvky X a y a Banachova algebra tak dlouho jak xy = yx, a X je invertibilní a ||y/X|| < 1.

Verze binomické věty je platná pro následující Pochhammer symbol - jako rodina polynomů: pro danou skutečnou konstantu C, definovat ${ displaystyle x ^ {(0)} = 1}$ a

${ displaystyle x ^ {(n)} = prod _ {k = 1} ^ {n} [x + (k-1) c]}$

pro ${ displaystyle n> 0.}$ Pak^[15]

${ displaystyle (a + b) ^ {(n)} = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} a ^ {(nk)} b ^ {(k) }.}$

Pouzdro C = 0 obnoví obvyklou binomickou větu.

Obecněji sekvence ${ displaystyle {p_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ polynomů se říká, že jsou binomický -li

• ${ displaystyle deg p_ {n} = n}$ pro všechny ${ displaystyle n}$,
• ${ displaystyle p_ {0} (0) = 1}$, a
• ${ displaystyle p_ {n} (x + y) = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} p_ {k} (x) p_ {n-k} (y)}$ pro všechny ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, a ${ displaystyle n}$.

Provozovatel ${ displaystyle Q}$ o prostoru polynomů se říká, že operátor základny sekvence ${ displaystyle {p_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ -li ${ displaystyle Qp_ {0} = 0}$ a ${ displaystyle Qp_ {n} = np_ {n-1}}$ pro všechny ${ displaystyle n geqslant 1}$. Sekvence ${ displaystyle {p_ {n} } _ {n = 0} ^ { infty}}$ je binomický právě tehdy, pokud je jeho základním operátorem a Operátor Delta.^[16] Psaní ${ displaystyle E ^ {a}}$ pro posun o ${ displaystyle a}$ operátor, operátory Delta odpovídající výše uvedeným "polychromům" rodiny Pochhammerů jsou zpětným rozdílem ${ displaystyle I-E ^ {- c}}$ pro ${ displaystyle c> 0}$, obyčejný derivát pro ${ displaystyle c = 0}$a přední rozdíl ${ displaystyle E ^ {- c} -I}$ pro ${ displaystyle c <0}$.

Multinomiální věta

Binomickou teorém lze zobecnit tak, že zahrnuje mocniny součtů s více než dvěma členy. Obecná verze je

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m}) ^ {n} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m} = n } { binom {n} {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} cdots x_ {m} ^ {k_ {m}},}$

kde součet převezme všechny posloupnosti nezáporných celočíselných indexů k₁ přes k_m tak, že součet všech k_i jen. (U každého členu v expanzi musí exponenti sčítat ažn). Koeficienty ${ displaystyle { tbinom {n} {k_ {1}, cdots, k_ {m}}}}$ jsou známé jako multinomiální koeficienty a lze je vypočítat podle vzorce

${ displaystyle { binom {n} {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}}} = { frac {n!} {k_ {1}! cdot k_ {2}! cdots k_ {m}!}}.}$

Kombinačně multinomický koeficient ${ displaystyle { tbinom {n} {k_ {1}, cdots, k_ {m}}}}$ počítá počet různých způsobů, jak rozdělit an n- prvek nastaven do disjunktní podmnožiny velikostí k₁, ..., k_m.

Věta o více binomiích

Při práci ve více dimenzích je často užitečné zacházet s produkty binomických výrazů. Podle binomické věty se to rovná

${ displaystyle (x_ {1} + y_ {1}) ^ {n_ {1}} dotsm (x_ {d} + y_ {d}) ^ {n_ {d}} = součet _ {k_ {1} = 0} ^ {n_ {1}} dotsm sum _ {k_ {d} = 0} ^ {n_ {d}} { binom {n_ {1}} {k_ {1}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {1} ^ {n_ {1} -k_ {1}} dotsc { binom {n_ {d}} {k_ {d}}} x_ {d} ^ {k_ {d }} y_ {d} ^ {n_ {d} -k_ {d}}.}$

To může být napsáno výstižněji tím, že multi-indexová notace, tak jako

${ displaystyle (x + y) ^ { alpha} = součet _ { nu leq alpha} { binom { alpha} { nu}} x ^ { nu} y ^ { alpha - nu}.}$

Obecné Leibnizovo pravidlo

Obecné Leibnizovo pravidlo dává nth derivát produktu dvou funkcí ve formě podobné formě binomické věty:^[17]

${ displaystyle (fg) ^ {(n)} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(nk)} (x) g ^ {(k)} (x).}$

Tady, horní index (n) označuje nth derivace funkce. Pokud se nastaví F(X) = E^sekera a G(X) = E^bx, a poté zruší společný faktor E^{(A + b)X} z obou stran výsledku se získá obyčejná binomická věta.^[18]

Aplikace

Víceúrovňové identity

Pro komplexní čísla binomická věta může být kombinována s de Moivreův vzorec poddat se vícenásobné vzorce pro sinus a kosinus. Podle De Moivreova vzorce

${ Displaystyle cos left (nx right) + i sin left (nx right) = left ( cos x + i sin x right) ^ {n}.}$

Pomocí binomické věty lze rozšířit výraz napravo a poté lze převzít skutečnou a imaginární část k získání vzorců pro cos (nx) a hřích(nx). Například od

${ displaystyle left ( cos x + i sin x right) ^ {2} = cos ^ {2} x + 2i cos x sin x- sin ^ {2} x,}$

To nám říká De Moivreův vzorec

${ displaystyle cos (2x) = cos ^ {2} x- sin ^ {2} x quad { text {a}} quad sin (2x) = 2 cos x sin x,}$

což jsou obvyklé identity s dvojitým úhlem. Podobně od té doby

${ displaystyle left ( cos x + i sin x right) ^ {3} = cos ^ {3} x + 3i cos ^ {2} x sin x-3 cos x sin ^ { 2} xi sin ^ {3} x,}$

De Moivreův vzorec se získá

${ displaystyle cos (3x) = cos ^ {3} x-3 cos x sin ^ {2} x quad { text {a}} quad sin (3x) = 3 cos ^ { 2} x sin x- sin ^ {3} x.}$

Obecně,

${ displaystyle cos (nx) = součet _ {k { text {sudý}}} (- 1) ^ {k / 2} {n zvolit k} cos ^ {nk} x sin ^ {k }X}$

a

${ displaystyle sin (nx) = součet _ {k { text {odd}}} (- 1) ^ {(k-1) / 2} {n zvolit k} cos ^ {nk} x sin ^ {k} x.}$

Série pro E

The číslo E je často definován vzorcem

${ displaystyle e = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n}.}$

Použitím binomické věty na tento výraz se získá obvyklé nekonečná řada pro E. Zejména:

${ displaystyle left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n} = 1 + {n vybrat 1} { frac {1} {n}} + {n zvolit 2 } { frac {1} {n ^ {2}}} + {n zvolit 3} { frac {1} {n ^ {3}}} + cdots + {n zvolit n} { frac { 1} {n ^ {n}}}.}$

The kth termín této částky je

${ displaystyle {n vyberte k} { frac {1} {n ^ {k}}} = { frac {1} {k!}} cdot { frac {n (n-1) (n- 2) cdots (n-k + 1)} {n ^ {k}}}}$

Tak jako n → ∞, přistupuje racionální výraz vpravo 1, a proto

${ displaystyle lim _ {n to infty} {n zvolit k} { frac {1} {n ^ {k}}} = { frac {1} {k!}}.}$

To naznačuje E lze napsat jako sérii:

${ displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {k!}} = { frac {1} {0!}} + { frac {1} {1 !}} + { frac {1} {2!}} + { frac {1} {3!}} + cdots.}$

Ve skutečnosti, protože každý termín binomické expanze je zvýšení funkce z n, vyplývá z monotónní věta o konvergenci pro řady, kterým je součet této nekonečné řady rovenE.

Pravděpodobnost

Binomická věta úzce souvisí s funkcí pravděpodobnostní hmotnosti negativní binomické rozdělení. Pravděpodobnost (spočetné) sbírky nezávislých Bernoulliho studií ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t v S}}$ s pravděpodobností úspěchu ${ displaystyle p v [0,1]}$ vše, co se neděje, je

${ displaystyle P left ( bigcap _ {t in S} X_ {t} ^ {C} right) = (1-p) ^ {| S |} = součet _ {n = 0} ^ { | S |} {| S | zvolte n} (- p) ^ {n}.}$

Užitečná horní hranice pro toto množství je ${ displaystyle e ^ {- p | S |}.}$^[19]

V abstraktní algebře

Binomická věta platí obecněji pro všechny prvky X a y a semiring uspokojující xy = yx. The teorém platí ještě obecněji: alternativita postačuje místo asociativita.

Binomickou větu lze konstatovat tím, že polynomiální sekvence {1, X, X², X³, ...} je z binomický typ.

V populární kultuře

• Binomická věta je zmíněna v Píseň generálmajora v komické opeře Piráti z Penzance.
• Profesor Moriarty je popsán Sherlockem Holmesem, který napsal pojednání o binomické větě.
• Portugalský básník Fernando Pessoa, používající heteronym Álvaro de Campos, napsal, že „Newtonův Binomial je stejně krásný jako Venuše de Milo. Pravdou je, že si to málo lidí všimne. “^[20]
• Ve filmu z roku 2014 Imitace hry Alan Turing odkazuje na práci Isaaca Newtona na binomické větě během jeho prvního setkání s velitelem Dennistonem v Bletchley Parku.

Viz také

• Binomická aproximace
• Binomická distribuce
• Binomická inverzní věta
• Stirlingova aproximace

Poznámky

Reference

Další čtení

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomická věta ve starověké Indii". Indian J. History Sci. 1 (1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). „(5) Binomické koeficienty“. Konkrétní matematika (2. vyd.). Addison Wesley. str.153 –256. ISBN  978-0-201-55802-9. OCLC  17649857.

externí odkazy

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], „Newtonův dvojčlen“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Binomická věta podle Stephen Wolfram, a „Binomická věta (krok za krokem)“ Bruce Colletti a Jeff Bryant, Demonstrační projekt Wolfram, 2007.

Tento článek včlení materiál od induktivního důkazu o binomické větě o PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.