Veta o rolích - Rolles theorem - Wikipedia

Pokud nemovitý -hodnotená funkce

F

je kontinuální na uzavřený interval

[A, b]

, rozlišitelný na otevřený interval

(A, b)

, a

F (A) = F (b)

, pak existuje a

C

v otevřeném intervalu

(A, b)

takhle

F'(C) = 0

.

v počet, Rolleova věta nebo Rolleovo lemma v podstatě uvádí, že každý má skutečnou hodnotu diferencovatelná funkce který dosahuje stejných hodnot ve dvou odlišných bodech, musí mít alespoň jeden stacionární bod někde mezi nimi - tj. bod, kde je první derivace (sklon tečny k grafu funkce) nula. Věta je pojmenována po Michel Rolle.

Standardní verze věty

Pokud nemovitý -hodnotená funkce $F$ je kontinuální na správné uzavřený interval $[A, b]$ , rozlišitelný na otevřený interval $(A, b)$ , a $F (A) = F (b)$ , pak existuje alespoň jeden $C$ v otevřeném intervalu $(A, b)$ takhle

{ displaystyle f '(c) = 0}

.

Tato verze Rollovy věty se používá k prokázání věta o střední hodnotě, jehož Rolleova věta je skutečně zvláštním případem. Je také základem pro prokázání Taylorova věta.

Dějiny

Indický matematik Bhāskara II (1114–1185) se připisuje znalost Rollovy věty.^[1] Ačkoli je věta pojmenována po Michel Rolle, Rolleův 1691 důkaz pokrýval pouze případ polynomiálních funkcí. Jeho důkaz nepoužíval metody diferenciální počet, což v té chvíli svého života považoval za klamné. Věta byla poprvé prokázána Cauchy v roce 1823 jako důsledek dokladu o věta o střední hodnotě.^[2] Název „Rolleova věta“ poprvé použil Moritz Wilhelm Drobisch Německa v roce 1834 a do Giusto Bellavitis Itálie v roce 1846.^[3]

Příklady

První příklad

A půlkruh poloměru

r

.

Pro rádius $r > 0$ , zvažte funkci

{ displaystyle f (x) = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}, quad x v [-r, r].}

Své graf je horní půlkruh soustředěný na počátek. Tato funkce je spojitá v uzavřeném intervalu $[- r, r]$ a diferencovatelné v otevřeném intervalu $(- r, r)$ , ale nediferencovatelné v koncových bodech $- r$ a $r$ . Od té doby $F (- r) = F (r)$ , Platí Rolleova věta a skutečně existuje bod, ve kterém je derivace $F$ je nula. Všimněte si, že věta platí, i když funkci nelze v koncových bodech diferencovat, protože vyžaduje pouze to, aby byla funkce diferencovatelná v otevřeném intervalu.

Druhý příklad

Graf funkce absolutní hodnoty.

Pokud diferencovatelnost selže ve vnitřním bodě intervalu, závěr Rolleho věty nemusí platit. Zvažte absolutní hodnota funkce

{ displaystyle f (x) = | x |, qquad x v [-1,1].}

Pak $F (-1) = F (1)$ , ale neexistuje $C$ mezi −1 a 1, pro které $F'(C)$ je nula. Je to proto, že tato funkce, i když je spojitá, se na ni nedá diferencovat $X = 0$ . Všimněte si, že derivace $F$ mění své označení na $X = 0$ , ale bez dosažení hodnoty 0. Větu nelze na tuto funkci použít, protože nesplňuje podmínku, že funkce musí být pro každý $X$ v otevřeném intervalu. Když však odpadne požadavek diferencovatelnosti z Rollovy věty, $F$ stále bude mít kritické číslo v otevřeném intervalu $(A, b)$ , ale nemusí poskytnout vodorovnou tečnu (jako v případě absolutní hodnoty znázorněné v grafu).

Zobecnění

Druhý příklad ilustruje následující zobecnění Rollovy věty:

Zvažte skutečnou hodnotu spojité funkce $F$ v uzavřeném intervalu $[A, b]$ s $F (A) = F (b)$ . Pokud pro každého $X$ v otevřeném intervalu $(A, b)$ the pravý limit

{ displaystyle f '(x ^ {+}): = lim _ {h až 0 ^ {+}} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

a levý limit

{ displaystyle f '(x ^ {-}): = lim _ {h až 0 ^ {-}} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

existují v prodloužená skutečná čára $[-\infty, \infty]$ , pak je nějaké číslo $C$ v otevřeném intervalu $(A, b)$ takový, že jeden ze dvou limitů

{ displaystyle f '(c ^ {+}) quad { text {a}} quad f' (c ^ {-})}

je ≥ 0 a druhá je ≤ 0 (v rozšířené reálné linii). Pokud se pravá a levá omezení shodují pro všechny $X$ , pak souhlasí zejména s $C$ , proto derivát $F$ existuje v $C$ a rovná se nule.

Poznámky

Li $F$ je konvexní nebo konkávní, pak pravá a levá derivace existují v každém vnitřním bodě, proto výše uvedené limity existují a jsou reálnými čísly.
Tato zobecněná verze věty je dostatečná k prokázání konvexnost když jednostranné deriváty jsou monotónně roste:^[4]

{ displaystyle f '(x ^ {-}) leq f' (x ^ {+}) leq f '(y ^ {-}), qquad x

Důkaz zobecněné verze

Protože důkaz pro standardní verzi Rolleovy věty a zobecnění jsou velmi podobné, zobecnění dokazujeme.

Myšlenkou důkazu je tvrdit, že pokud $F (A) = F (b)$ , pak $F$ musí dosáhnout buď maximum nebo minimum někde mezi $A$ a $b$ , řekněte na $C$ a funkce se musí změnit z rostoucí na klesající (nebo naopak) v $C$ . Zejména pokud derivát existuje, musí být nulový v $C$ .

Podle předpokladu $F$ je nepřetržitě zapnuto $[A, b]$ a věta o extrémní hodnotě dosáhne svého maxima i minima v $[A, b]$ . Pokud jsou oba dosaženy v koncových bodech $[A, b]$ , pak $F$ je konstantní na $[A, b]$ a tak derivát $F$ je nula v každém bodě $(A, b)$ .

Předpokládejme tedy, že maximum je získáno při vnitřní bod $C$ z $(A, b)$ (argument pro minimum je velmi podobný, jen zvažte $- F$ ). Výše uvedené limity pro pravou a levou stranu budeme zkoumat samostatně.

Opravdu $h$ takhle $C + h$ je v $[A, b]$ , hodnota $F (C + h)$ je menší nebo rovno $F (C)$ protože $F$ dosahuje svého maxima v $C$ . Proto pro každého $h > 0$ ,

{ displaystyle { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} leq 0,}

proto

{ displaystyle f '(c ^ {+}): = lim _ {h až 0 ^ {+}} { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} leq 0 ,}

tam, kde limit existuje podle předpokladu, může to být mínus nekonečno.

Podobně pro každého $h < 0$ , nerovnost se otočí, protože jmenovatel je nyní záporný a dostaneme

{ displaystyle { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} geq 0,}

proto

{ displaystyle f '(c ^ {-}): = lim _ {h až 0 ^ {-}} { frac {f (c + h) -f (c)} {h}} geq 0 ,}

kde limit může být plus nekonečno.

A konečně, když se výše uvedené limity vpravo a vlevo shodují (zejména když $F$ je diferencovatelný), pak derivát $F$ na $C$ musí být nula.

(Alternativně můžeme použít Fermatova věta o stacionárním bodu přímo.)

Zobecnění na vyšší deriváty

Můžeme také zobecnit Rolleovu větu tak, že to vyžadujeme $F$ má více bodů se stejnými hodnotami a větší pravidelností. Konkrétně předpokládejme, že

funkce $F$ je $n - 1$ krát průběžně diferencovatelné na uzavřeném intervalu $[A, b]$ a $n$ Tato derivace existuje v otevřeném intervalu $(A, b)$ , a
existují $n$ intervaly dané $A 1 < b 1 \leq A 2 < b 2 \leq \dots \leq A n < b n$ v $[A, b]$ takhle $F (A k) = F (b k)$ pro každého $k$ od 1 do $n$ . Pak je tu číslo $C$ v $(A, b)$ takové, že $n$ th derivát $F$ na $C$ je nula.

Červená křivka je graf funkce se 3 kořeny v intervalu

[-3, 2]

. Jeho druhá derivace (znázorněná zeleně) má tedy také kořen ve stejném intervalu.

Požadavky týkající se $n$ th derivát $F$ může být oslabeno jako v generalizaci výše, což dává odpovídající (možná slabší) tvrzení pro pravou a levou hranici definované výše s $F (n - 1)$ namísto $F$ .

Tato verze věty zejména tvrdí, že pokud má funkce dostatečně diferencovatelnou funkci $n$ kořeny (takže mají stejnou hodnotu, to je 0), pak existuje vnitřní bod, kde $F (n - 1)$ zmizí.

Důkaz

Důkaz používá matematická indukce. Pouzdro $n = 1$ je prostě standardní verze Rolleovy věty. Pro $n > 1$ , vezměte jako indukční hypotézu, pro kterou platí zobecnění $n - 1$ . Chceme to dokázat $n$ . Předpokládejme funkci $F$ splňuje hypotézy věty. Podle standardní verze Rolleovy věty pro každé celé číslo $k$ od 1 do $n$ , existuje a $C k$ v otevřeném intervalu $(A k, b k)$ takhle $F'(C k) = 0$ . První derivace tedy splňuje předpoklady o $n - 1$ uzavřené intervaly $[C 1, C 2], \dots, [C n - 1, C n]$ . Podle indukční hypotézy existuje a $C$ takové, že $(n - 1)$ první derivát $F'$ na $C$ je nula.

Zobecnění na jiná pole

Rollova věta je vlastnost diferencovatelných funkcí nad reálnými čísly, která jsou objednané pole. Jako takový se nezobecňuje na jiné pole, ale následující důsledek ano: pokud skutečný polynomiální faktor (má všechny své kořeny) nad reálnými čísly, pak jeho derivát také. Jeden může volat tuto vlastnost pole Rolleův majetek.^{[Citace je zapotřebí ]} Obecnější pole nemají vždy diferencovatelné funkce, ale vždy mají polynomy, které lze symbolicky odlišit. Podobně obecnější pole nemusí mít pořadí, ale jedno má pojem kořene polynomu ležícího v poli.

Rolleova věta tedy ukazuje, že reálná čísla mají Rolleovu vlastnost. Jakékoli algebraicky uzavřené pole, například komplexní čísla má Rolleův majetek. Racionální čísla však ne - například $X 3 - X = X (X - 1)(X + 1)$ faktory nad racionální, ale jeho derivát,

{ displaystyle 3x ^ {2} -1 = 3 vlevo (x - { tfrac {1} { sqrt {3}}} vpravo) vlevo (x + { tfrac {1} { sqrt {3} }}že jo),}

ne. Otázka, která pole splňují Rolleův majetek, byla vznesena v (Kaplansky 1972 ).^[5] Pro konečná pole Odpověď je pouze tato $F 2$ a $F 4$ mít Rolleův majetek.^[6]^[7]

Komplexní verze viz Voorhoeveův index.

Viz také

Reference

^ Gupta, R. C. Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách. str. 156.
^ Besenyei, A. (17. září 2012). „Stručná historie věty o střední hodnotě“ (PDF).
^ Vidět Cajori, Florian. Dějiny matematiky. str. 224.
^ Artin, Emil (1964) [1931], Funkce gama, přeložil Butler, Michael, Holt, Rinehart a Winston, s. 3–4
^ Kaplansky, Irving (1972), Pole a prsteny
^ Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplikátorové sekvence pro pole", Illinois J. Math., 21 (4): 801–817
^ Ballantine, C .; Roberts, J. (leden 2002), „Jednoduchý důkaz Rollovy věty pro konečná pole“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 109 (1): 72–74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770

Další čtení

Leithold, Louis (1972). Kalkul s analytickou geometrií (2. vyd.). New York: Harper & Row. 201–207. ISBN 0-06-043959-9.
Taylor, Angus E. (1955). Pokročilý počet. Boston: Ginn and Company. 30–37.

externí odkazy

"Rolleova věta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Věty o rolích a střední hodnotě na cut-the-uzel.
Systém Mizar důkaz: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

[1] Gupta, R. C. Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách. str. 156.

[2] Besenyei, A. (17. září 2012). „Stručná historie věty o střední hodnotě“ (PDF).

[3] Vidět Cajori, Florian. Dějiny matematiky. str. 224.

[4] Artin, Emil (1964) [1931], Funkce gama, přeložil Butler, Michael, Holt, Rinehart a Winston, s. 3–4

[5] Kaplansky, Irving (1972), Pole a prsteny

[6] Craven, Thomas; Csordas, George (1977), "Multiplikátorové sekvence pro pole", Illinois J. Math., 21 (4): 801–817

[7] Ballantine, C .; Roberts, J. (leden 2002), „Jednoduchý důkaz Rollovy věty pro konečná pole“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 109 (1): 72–74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]