Střídavá řada - Alternating series

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Střídavá řada"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Leden 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an střídavé řady je nekonečná řada formuláře

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ nebo ${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} a_ {n}}$

s A_n > 0 pro všechnyn. Známky obecných výrazů se střídají mezi pozitivními a negativními. Jako každá série, střídavá řada konverguje právě tehdy, je-li přidružená posloupnost dílčích součtů konverguje.

Příklady

Geometrická řada 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ částky na 1/3.

The střídavé harmonické řady má konečnou částku, ale harmonická řada ne.

The Série Mercator poskytuje analytické vyjádření přirozený logaritmus:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} ; = ; ln (1+ X).}$

Funkce sine a kosinus použité v trigonometrie lze definovat jako střídavé řady v počtu, i když jsou zavedeny do elementární algebry jako poměr stran pravoúhlého trojúhelníku. Ve skutečnosti,

${ displaystyle sin x = suma _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$, a

${ displaystyle cos x = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}$

Když je střídavý faktor (–1)ⁿ je odstraněn z těchto sérií, jeden získá hyperbolické funkce sinh a cosh používané v počtu.

Pro celé číslo nebo kladný index α Besselova funkce prvního druhu lze definovat střídavou řadou

${ displaystyle J _ { alpha} (x) = součet _ {m = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {m}} {m! , gama (m + alpha + 1)}} { left ({ frac {x} {2}} right)} ^ {2m + alpha}}$ kde Γ (z) je funkce gama.

Li s je komplexní číslo, Funkce Dirichlet eta je tvořena jako střídavá řada

${ displaystyle eta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {(- 1) ^ {n-1} nad n ^ {s}} = { frac {1} {1 ^ {s}}} - { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} - { frac {1} {4 ^ {s}} } + cdots}$

který se používá v analytická teorie čísel.

Test střídavé řady

Věta známá jako „Leibnizův test“ nebo test střídavé řady nám říká, že střídavá řada bude konvergovat, pokud budou podmínky A_n konvergovat k 0 monotónně.

Důkaz: Předpokládejme sekvenci ${ displaystyle a_ {n}}$ konverguje k nule a monotónně klesá. Li ${ displaystyle m}$ je liché a ${ displaystyle m$, získáme odhad ${ displaystyle S_ {n} -S_ {m} leq a_ {m}}$ pomocí následujícího výpočtu:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} S_ {n} -S_ {m} & = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} , a_ {k} , - , sum _ {k = 0} ^ {m} , (- 1) ^ {k} , a_ {k} = sum _ {k = m + 1} ^ {n} , (- 1 ) ^ {k} , a_ {k} & = a_ {m + 1} -a_ {m + 2} + a_ {m + 3} -a_ {m + 4} + cdots + a_ {n} & = displaystyle a_ {m + 1} - (a_ {m + 2} -a_ {m + 3}) - (a_ {m + 4} -a_ {m + 5}) - cdots -a_ { n} leq a_ {m + 1} leq a_ {m}. end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${ displaystyle a_ {n}}$ monotónně klesá, termíny ${ displaystyle - (a_ {m} -a_ {m + 1})}$ jsou negativní. Máme tedy konečnou nerovnost: ${ displaystyle S_ {n} -S_ {m} leq a_ {m}}$. Podobně lze ukázat, že ${ displaystyle -a_ {m} leq S_ {n} -S_ {m}}$. Od té doby ${ displaystyle a_ {m}}$ konverguje k ${ displaystyle 0}$, naše dílčí částky ${ displaystyle S_ {m}}$ formulář a Cauchyova posloupnost (tj. řada vyhovuje Cauchyho kritérium ), a proto konvergují. Argument pro ${ displaystyle m}$ dokonce je podobný.

Přibližné částky

Odhad výše nezávisí na ${ displaystyle n}$. Takže když ${ displaystyle a_ {n}}$ se blíží k 0 monotónně, odhad poskytuje chyba vázána pro aproximaci nekonečných součtů částečnými součty:

${ displaystyle left | sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} , a_ {k} , - , sum _ {k = 0} ^ {m} , (- 1) ^ {k} , a_ {k} doprava | leq | a_ {m + 1} |.}$

Absolutní konvergence

Série ${ displaystyle sum a_ {n}}$ absolutně konverguje pokud série ${ displaystyle sum | a_ {n} |}$ konverguje.

Věta: Absolutně konvergentní řady jsou konvergentní.

Důkaz: Předpokládejme ${ displaystyle sum a_ {n}}$ je naprosto konvergentní. Pak, ${ displaystyle sum | a_ {n} |}$ je konvergentní a z toho vyplývá ${ displaystyle součet 2 | a_ {n} |}$ konverguje také. Od té doby ${ displaystyle 0 leq a_ {n} + | a_ {n} | leq 2 | a_ {n} |}$, série ${ displaystyle sum (a_ {n} + | a_ {n} |)}$ konverguje k srovnávací test. Proto série ${ displaystyle sum a_ {n}}$ konverguje jako rozdíl dvou konvergentních řad ${ displaystyle sum a_ {n} = sum (a_ {n} + | a_ {n} |) - sum | a_ {n} |}$.

Podmíněná konvergence

Série je podmíněně konvergentní pokud konverguje, ale nekonverguje absolutně.

Například harmonická řada

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}}, !}$

se liší, zatímco alternativní verze

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}, !}$

konverguje k test střídavé řady.

Přeskupení

Pro jakoukoli sérii můžeme vytvořit novou sérii přeskupením pořadí součtu. Série je bezpodmínečně konvergentní pokud nějaké přeskupení vytvoří sérii se stejnou konvergencí jako původní série. Absolutně konvergentní řady jsou bezpodmínečně konvergentní. Ale Věta o Riemannově řadě uvádí, že podmíněně konvergentní řady lze přeskupit, aby se vytvořila libovolná konvergence.^[1] Obecným principem je, že přidání nekonečných součtů je komutativní pouze pro absolutně konvergentní řady.

Například jeden falešný důkaz, že 1 = 0 využívá selhání asociativity pro nekonečné součty.

Jako další příklad víme, že

${ displaystyle ln (2) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} - { frac {1} {4}} + cdots.}$

Jelikož však řada nekonverguje absolutně, můžeme podmínky přeuspořádat, abychom získali řadu pro ${ displaystyle { frac {1} {2}} ln (2)}$:

${ displaystyle { begin {aligned} & {} quad left (1 - { frac {1} {2}} right) - { frac {1} {4}} + left ({ frac {1} {3}} - { frac {1} {6}} vpravo) - { frac {1} {8}} + vlevo ({ frac {1} {5}} - { frac {1} {10}} right) - { frac {1} {12}} + cdots [8pt] & = { frac {1} {2}} - { frac {1} {4 }} + { frac {1} {6}} - { frac {1} {8}} + { frac {1} {10}} - { frac {1} {12}} + cdots [8pt] & = { frac {1} {2}} vlevo (1 - { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} - { frac {1} { 4}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {6}} + cdots right) = { frac {1} {2}} ln (2). End {zarovnaný}}}$

Sériové zrychlení

V praxi lze numerický součet střídavé řady zrychlit pomocí kteréhokoli z řady sériové zrychlení techniky. Jednou z nejstarších technik je metoda Eulerův součet a existuje mnoho moderních technik, které mohou nabídnout ještě rychlejší konvergenci.

Viz také

• Grandiho série
• Nörlund – rýžový integrál

Poznámky

Reference

• Hrabě D. Rainville (1967) Nekonečná série, str. 73–6, Vydavatelé Macmillan.
• Weisstein, Eric W. „Střídavá série“. MathWorld.