Rozklad částečné frakce - Partial fraction decomposition

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v algebra, rozklad částečné frakce nebo částečná expanze zlomku a racionální zlomek (tj zlomek tak, že čitatel i jmenovatel jsou oba polynomy ) je operace, která se skládá z vyjádření zlomku jako součtu polynomu (případně nuly) a jednoho nebo několika zlomků s jednodušším jmenovatelem.^[1]

Význam rozkladu částečných zlomků spočívá ve skutečnosti, že poskytuje algoritmy pro různé výpočty s racionální funkce, včetně explicitního výpočtu antiderivativa,^[2] Rozšíření Taylorovy řady, inverzní Z-transformace, inverzní Laplaceovy transformace. Koncept byl objeven nezávisle v roce 1702 oběma Johann Bernoulli a Gottfried Leibniz.^[3]

V symbolech je rozklad částečné frakce racionálního zlomku formy${ displaystyle textstyle { frac {f (x)} {g (x)}},}$kde F a G jsou polynomy, je jejich výraz jako

${ displaystyle { frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + součet _ {j} { frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x )}}}$

kdep(X) je polynom, a pro každý j, jmenovatel G_j (X) je Napájení z neredukovatelný polynom (to není faktorovatelné do polynomů kladných stupňů) a čitatel F_j (X) je polynom menšího stupně než stupeň tohoto neredukovatelného polynomu.

Pokud se jedná o explicitní výpočet, často se dává přednost hrubšímu rozkladu, který spočívá v nahrazení „neredukovatelného polynomu“ výrazem „polynom bez čtverců "v popisu výsledku. To umožňuje nahradit." polynomiální faktorizace mnohem snazší spočítat faktorizace bez čtverců. To je dostatečné pro většinu aplikací a vyhýbá se zavedení iracionální koeficienty když jsou koeficienty vstupních polynomů celá čísla nebo racionální čísla.

Základní principy

Nechat

${ displaystyle R (x) = { frac {F} {G}}}$

být racionální zlomek, kde F a G jsou jednorozměrné polynomy v neurčitý X. Existenci částečné frakce lze prokázat indukčním použitím následujících redukčních kroků.

Polynomiální část

Existují dva polynomy E a F₁ takhle

${ displaystyle { frac {F} {G}} = E + { frac {F_ {1}} {G}},}$

a

${ displaystyle deg F_ {1} < deg G,}$

kde ${ displaystyle deg P}$ označuje stupeň polynomu P.

To vyplývá okamžitě z Euklidovské dělení z F podle G, který tvrdí existenci E a F₁ takhle ${ displaystyle F = EG + F_ {1}}$ a ${ displaystyle deg F_ {1} < deg G.}$

To umožňuje předpokládat v dalších krocích, že ${ displaystyle deg F < deg G.}$

Faktory jmenovatele

Li ${ displaystyle deg F < deg G,}$ a

${ displaystyle G = G_ {1} G_ {2},}$

kde G₁ a G₂ jsou coprime polynomy, pak existují polynomy ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ takhle

${ displaystyle { frac {F} {G}} = { frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + { frac {F_ {2}} {G_ {2}}},}$

a

${ displaystyle deg F_ {1} < deg G_ {1} quad { text {a}} quad deg F_ {2} < deg G_ {2}.}$

To lze dokázat následovně. Bézoutova identita tvrdí existenci polynomů C a D takhle

${ displaystyle CG_ {1} + DG_ {2} = 1}$

(podle hypotézy, 1 je největší společný dělitel z G₁ a G₂).

Nechat ${ displaystyle DF = G_ {1} Q + F_ {1}}$ s ${ displaystyle deg F_ {1} < deg G_ {1}}$ být Euklidovské dělení z DF podle ${ displaystyle G_ {1}.}$ Nastavení ${ displaystyle F_ {2} = CF + QG_ {2},}$ jeden dostane

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {F} {G}} & = { frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = { frac {DF} {G_ {1}}} + { frac {CF} {G_ {2}}} & = { frac {F_ {1} + G_ {1} Q} {G_ {1 }}} + { frac {F_ {2} -G_ {2} Q} {G_ {2}}} & = { frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + { frac {F_ {2}} {G_ {2}}}. End {zarovnáno}}}$

Zbývá to ukázat ${ displaystyle deg F_ {2} < deg G_ {2}.}$ Snížením posledního součtu zlomků na stejný jmenovatel získá jeden${ displaystyle F = F_ {2} G_ {1} + F_ {1} G_ {2},}$a tudíž

${ displaystyle { begin {aligned} deg F_ {2} & = deg (F-F_ {1} G_ {2}) - deg G_ {1} leq max ( deg F, deg ( F_ {1} G_ {2})) - deg G_ {1} & < max ( deg G, deg (G_ {1} G_ {2})) - deg G_ {1} = deg G_ {2} end {aligned}}}$

Pravomoci ve jmenovateli

Použitím předchozího rozkladu indukčně získáme zlomky formy ${ displaystyle { frac {F} {G ^ {k}}},}$ s ${ displaystyle deg F < deg G ^ {k} = k deg G,}$ kde G je neredukovatelný polynom. Li k > 1, lze dále rozložit pomocí toho, že neredukovatelný polynom je a polynom bez čtverců, to znamená, ${ displaystyle 1}$ je největší společný dělitel polynomu a jeho derivát. Li ${ displaystyle G '}$ je derivát G, Bézoutova identita poskytuje polynomy C a D takhle ${ displaystyle CG + DG '= 1}$ a tudíž ${ displaystyle F = FCG + FDG '.}$ Euklidovské rozdělení ${ displaystyle FDG '}$`` od ${ displaystyle G}$ dává polynomy ${ displaystyle H_ {k}}$ a ${ displaystyle Q}$ takhle ${ displaystyle FDG '= QG + H_ {k}}$ a ${ displaystyle deg H_ {k} < deg G.}$ Nastavení ${ displaystyle F_ {k-1} = FC + Q,}$ jeden dostane

${ displaystyle { frac {F} {G ^ {k}}} = { frac {H_ {k}} {G ^ {k}}} + { frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}},}$

s ${ displaystyle deg H_ {k} < deg G.}$

Iterací tohoto procesu pomocí ${ displaystyle { frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}}}$ namísto ${ displaystyle { frac {F} {G ^ {k}}}}$ vede nakonec k následující větě.

Prohlášení

Jedinečnost lze prokázat následovně. Nechat d = max (1 + deg F, deg G). Všichni společně, b a A_ij mít d koeficienty. Tvar rozkladu definuje a lineární mapa od vektorů koeficientů po polynomy F stupně menší než d. Důkaz existence znamená, že tato mapa je surjektivní. Jako ti dva vektorové prostory mají stejnou dimenzi, mapa je také injekční, což znamená jedinečnost rozkladu. Mimochodem, tento důkaz indukuje algoritmus pro výpočet rozkladu lineární algebra.

Li K. je pole komplexní čísla, základní věta o algebře to znamená vše p_i mít titul jeden a všechny čitatele ${ displaystyle a_ {ij}}$ jsou konstanty. Když K. je obor reálná čísla, některé z p_i mohou být kvadratické, takže při rozkladu parciálních zlomků mohou také nastat kvocienty lineárních polynomů podle mocností kvadratických polynomů.

V předchozí větě lze nahradit „odlišné neredukovatelné polynomy“ výrazem „dvojice coprime polynomy, které jsou coprime s jejich derivátem ". Například p_i mohou být faktory faktorizace bez čtverců z G. Když K. je obor racionální čísla, jak je tomu obvykle v počítačová algebra, což umožňuje nahradit faktorizaci znakem největší společný dělitel výpočet pro výpočet rozkladu částečného zlomku.

Aplikace na symbolickou integraci

Za účelem symbolická integrace, předchozí výsledek může být upřesněn

Tím se snižuje výpočet primitivní racionální funkce k integraci posledního součtu, který se nazývá logaritmická část, protože jeho primitivní funkcí je lineární kombinace logaritmů. Ve skutečnosti máme

${ displaystyle { frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = sum _ { alpha _ {j}: p_ {i} ( alpha _ {j}) = 0} { frac { c_ {i1} ( alpha _ {j})} {p '_ ​​{i} ( alpha _ {j})}} { frac {1} {x- alpha _ {j}}}.}$

Existují různé metody pro výpočet výše uvedeného rozkladu. Nejjednodušší je pravděpodobně popsat tzv Poustevník metoda. Jako stupeň C_ij je omezen stupněm p_ia stupeň b je rozdíl stupňů F a G (pokud tento rozdíl není záporný; v opačném případě b= 0), lze tyto neznámé polynomy zapsat jako polynomy s neznámými koeficienty. Redukce dvou členů výše uvedeného vzorce na stejného jmenovatele a psaní, že koeficienty každé mocniny X jsou stejné ve dvou čitatelích, jeden dostane a soustava lineárních rovnic které lze vyřešit pro získání požadovaných hodnot pro neznámé koeficienty.

Postup

Vzhledem k tomu, dva polynomy ${ displaystyle P (x)}$ a ${ displaystyle Q (x) = (x- alpha _ {1}) (x- alpha _ {2}) cdots (x- alpha _ {n})}$, Kde α_i jsou odlišné konstanty a stupněP < n, částečné frakce se obecně získají za předpokladu, že

${ displaystyle { frac {P (x)} {Q (x)}} = { frac {c_ {1}} {x- alpha _ {1}}} + { frac {c_ {2}} {x- alpha _ {2}}} + cdots + { frac {c_ {n}} {x- alpha _ {n}}}}$

a řešení pro C_i konstanty, substitucí, vyrovnání koeficientů podmínek zahrnujících pravomoci X, nebo jinak. (Toto je varianta metoda neurčených koeficientů.)

Přímější výpočet, se kterým silně souvisí Lagrangeova interpolace spočívá v psaní

${ displaystyle { frac {P (x)} {Q (x)}} = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac {P ( alpha _ {i})} {Q '( alpha _ {i})}} { frac {1} {(x- alpha _ {i})}}}$

kde ${ displaystyle Q '}$ je derivace polynomu ${ displaystyle Q}$.

Tento přístup nezohledňuje několik dalších případů, ale lze jej odpovídajícím způsobem upravit:

• Li ${ displaystyle deg P geqslant deg Q,}$ pak je nutné provést Euklidovské dělení z P podle Q, použitím polynomiální dlouhé dělení dávat P(X) = E(X) Q(X) + R(X) s degR < n. Dělení Q(X) to dává

${ displaystyle { frac {P (x)} {Q (x)}} = E (x) + { frac {R (x)} {Q (x)}},}$

a poté hledejte částečné zlomky pro zbývající zlomek (který podle definice splňuje degR Q).

• Li Q(X) obsahuje faktory, které jsou v daném poli neredukovatelné, pak čitatel N(X) každého dílčího zlomku s takovým faktorem F(X) ve jmenovateli je třeba hledat jako polynom s degN F, spíše než jako konstanta. Například převezměte následující rozklad R:

${ displaystyle { frac {x ^ {2} +1} {(x + 2) (x-1) color {modrá} (x ^ {2} + x + 1)}} = { frac {a } {x + 2}} + { frac {b} {x-1}} + { frac { color {OliveGreen} cx + d} { color {Blue} x ^ {2} + x + 1} }.}$

• Předpokládat Q(X) = (X − α)^rS(X) a S(α) ≠ 0. Potom Q(X) má nulu α z multiplicita r, a v rozkladu částečné frakce, r částečných zlomků bude zahrnovat pravomoci (X − α). Pro ilustraci si vezměte S(X) = 1 pro získání následujícího rozkladu:

${ displaystyle { frac {P (x)} {Q (x)}} = { frac {P (x)} {(x- alpha) ^ {r}}} = { frac {c_ {1 }} {x- alpha}} + { frac {c_ {2}} {(x- alpha) ^ {2}}} + cdots + { frac {c_ {r}} {(x- alfa) ^ {r}}}.}$

Ilustrace

V příkladu použití tohoto postupu (3X + 5)/(1 – 2X)² lze rozložit ve formě

${ displaystyle { frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = { frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + { frac {B} { (1-2x)}}.}$

Zúčtování jmenovatelů ukázat to 3X + 5 = A + B(1 – 2X). Rozšíření a vyrovnání koeficientů mocnin X dává

5 = A + B a 3X = –2Bx

Řešení tohoto soustava lineárních rovnic pro A a B výnosy A = 13/2 a B = –3/2. Proto,

${ displaystyle { frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = { frac {13/2} {(1-2x) ^ {2}}} + { frac {- 3/2} {(1–2x)}}.}$

Metoda reziduí

Přes složitá čísla, předpokládejme F(X) je racionální vlastní zlomek a lze jej rozložit

${ displaystyle f (x) = součet _ {i} vlevo ({ frac {a_ {i1}} {x-x_ {i}}} + { frac {a_ {i2}} {(x-x_ {i}) ^ {2}}} + cdots + { frac {a_ {ik_ {i}}} {(x-x_ {i}) ^ {k_ {i}}}} vpravo).}$

Nechat

${ displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$

pak podle jedinečnost série Laurent, A_ij je koeficient pojmu (X − X_i)⁻¹ v Laurentově expanzi G_ij(X) o bod X_i, tj. jeho zbytek

${ displaystyle a_ {ij} = operatorname {Res} (g_ {ij}, x_ {i}).}$

To je dáno přímo vzorcem

${ displaystyle a_ {ij} = { frac {1} {(k_ {i} -j)!}} lim _ {x až x_ {i}} { frac {d ^ {k_ {i} - j}} {dx ^ {k_ {i} -j}}} left ((x-x_ {i}) ^ {k_ {i}} f (x) right),}$

nebo ve zvláštním případě, když X_i je jednoduchý kořen,

${ displaystyle a_ {i1} = { frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}},}$

když

${ displaystyle f (x) = { frac {P (x)} {Q (x)}}.}$

Přes realitu

Dílčí frakce se používají v skutečná proměnná integrální počet najít skutečnou hodnotu antiderivativa z racionální funkce. Částečný zlomek rozkladu reálného racionální funkce se také používá k nalezení jejich Inverzní Laplaceovy transformace. Pro aplikace rozklad částečných zlomků nad reálemiviz

• Aplikace na symbolickou integraci výše
• Parciální zlomky v Laplaceových transformacích

Obecný výsledek

Nechat F(X) být jakoukoli racionální funkcí nad reálná čísla. Jinými slovy, předpokládejme, že existují skutečné funkce polynomů p(X) a q(X) ≠ 0, takové, že

${ displaystyle f (x) = { frac {p (x)} {q (x)}}}$

Vydělením čitatele i jmenovatele vedoucím koeficientem q(X), můžeme předpokládat bez ztráty obecnosti že q(X) je monic. Podle základní věta o algebře, můžeme psát

${ displaystyle q (x) = (x-a_ {1}) ^ {j_ {1}} cdots (x-a_ {m}) ^ {j_ {m}} (x ^ {2} + b_ {1 } x + c_ {1}) ^ {k_ {1}} cdots (x ^ {2} + b_ {n} x + c_ {n}) ^ {k_ {n}}}$

kde A₁,..., A_m, b₁,..., b_n, C₁,..., C_n jsou reálná čísla s b_i² − 4C_i <0 a j₁,..., j_m, k₁,..., k_n jsou kladná celá čísla. Podmínky (X − A_i) jsou lineární faktory z q(X), které odpovídají skutečným kořenům q(X) a podmínky (X_i² + b_iX + C_i) jsou neredukovatelné kvadratické faktory z q(X), které odpovídají dvojicím komplex sdružené kořeny q(X).

Pak se rozpad parciálního zlomku F(X) je následující:

${ displaystyle f (x) = { frac {p (x)} {q (x)}} = P (x) + součet _ {i = 1} ^ {m} součet _ {r = 1} ^ {j_ {i}} { frac {A_ {ir}} {(x-a_ {i}) ^ {r}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {r = 1} ^ {k_ {i}} { frac {B_ {ir} x + C_ {ir}} {(x ^ {2} + b_ {i} x + c_ {i}) ^ {r}}}}$

Tady, P(X) je (pravděpodobně nulový) polynom a A_ir, B_ir, a C_ir jsou skutečné konstanty. Konstanty lze najít mnoha způsoby.

Nejpřímější metodou je znásobení společným jmenovatelem q(X). Poté získáme rovnici polynomů, jejichž levá strana je jednoduše p(X) a jehož pravá strana má koeficienty, které jsou lineárními výrazy konstant A_ir, B_ir, a C_ir. Vzhledem k tomu, že dva polynomy jsou stejné právě tehdy, pokud jsou jejich odpovídající koeficienty stejné, můžeme rovnat koeficienty podobných výrazů. Tímto způsobem se získá systém lineárních rovnic, který vždy má jedinečné řešení. Toto řešení lze nalézt pomocí kterékoli ze standardních metod lineární algebra. Lze jej také najít u limity (vidět Příklad 5 ).

Příklady

Příklad 1

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}}}$

Zde se jmenovatel rozdělí na dva odlišné lineární faktory:

${ displaystyle q (x) = x ^ {2} + 2x-3 = (x + 3) (x-1)}$

takže máme rozklad částečných zlomků

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = { frac {A} {x + 3}} + { frac {B} {x-1 }}}$

Násobení jmenovatelem na levé straně nám dává polynomiální identitu

${ displaystyle 1 = A (x-1) + B (x + 3)}$

Střídání X = -3 do této rovnice dává A = −1/4 a střídání X = 1 dává B = 1/4, takže

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = { frac {1} {4}} vlevo ({ frac {-1} {x + 3}} + { frac {1} {x-1}} vpravo)}$

Příklad 2

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}}}$

Po dlouhé rozdělení, my máme

${ displaystyle f (x) = 1 + { frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + { frac {4x ^ { 2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}}}$

Faktor X² − 4X + 8 je neredukovatelný nad realitou diskriminující (−4)² − 4×8 = − 16 je negativní. Rozklad parciálních zlomků nad reálemi má tedy tvar

${ displaystyle { frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}} = { frac {A} {x}} + { frac {Bx + C} {x ^ {2} -4x + 8}}}$

Násobení X³ − 4X² + 8X, máme polynomiální identitu

${ displaystyle 4x ^ {2} -8x + 16 = A (x ^ {2} -4x + 8) + (Bx + C) x}$

Brát X = 0, vidíme, že 16 = 8A, tak A = 2. Porovnání X² koeficienty, vidíme, že 4 = A + B = 2 + B, tak B = 2. Při srovnání lineárních koeficientů vidíme, že −8 = −4A + C = −8 + C, tak C = 0. Celkem,

${ displaystyle f (x) = 1 + 2 vlevo ({ frac {1} {x}} + { frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} vpravo)}$

Frakci lze zcela rozložit pomocí komplexní čísla. Podle základní věta o algebře každý složitý polynom stupně n má n (složité) kořeny (některé z nich lze opakovat). Druhý zlomek lze rozložit na:

${ displaystyle { frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = { frac {D} {x- (2 + 2i)}} + { frac {E} {x- (2 -2i)}}}$

Násobení jmenovatelem dává:

${ displaystyle x = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}$

Rovnání koeficientů X a konstanta (s ohledem na X) koeficienty obou stran této rovnice, jeden dostane soustavu dvou lineárních rovnic v D a E, jehož řešení je

${ displaystyle D = { frac {1 + i} {2i}} = { frac {1-i} {2}}, qquad E = { frac {1-i} {- 2i}} = { frac {1 + i} {2}}.}$

Máme tedy úplný rozklad:

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + { frac {2} {x}} + { frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + { frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$

Jeden může také počítat přímo A, D a E zbytkovou metodou (viz také příklad 4 níže).

Příklad 3

Tento příklad ilustruje téměř všechny „triky“, které bychom mohli potřebovat, kromě konzultace a počítačový algebraický systém.

${ displaystyle f (x) = { frac {x ^ {9} -2x ^ {6} + 2x ^ {5} -7x ^ {4} + 13x ^ {3} -11x ^ {2} + 12x- 4} {x ^ {7} -3x ^ {6} + 5x ^ {5} -7x ^ {4} + 7x ^ {3} -5x ^ {2} + 3x-1}}}$

Po dlouhé rozdělení a factoring jmenovatele, máme

${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + { frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2 } + 3x} {(x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) ^ {2}}}}$

Rozklad částečné frakce má formu

${ displaystyle { frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = { frac {A} {x-1}} + { frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + { frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + { frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + { frac {Fx + G} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Vynásobením jmenovatele na levé straně máme polynomiální identitu

${ displaystyle { begin {aligned} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} end {zarovnáno }}}$

Nyní používáme různé hodnoty X vypočítat koeficienty:

${ displaystyle { begin {cases} 4 = 4C & x = 1 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) & x = i 0 = A-B + CE-G & x = 0 end {případů }}}$

Řešení tohoto máme:

${ displaystyle { begin {cases} C = 1 F = 0, G = 1 E = A-B end {případy}}}$

Pomocí těchto hodnot můžeme psát:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} + 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} [4pt] & = (A + D) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x end {zarovnáno}}}$

Porovnáváme koeficienty X⁶ a X⁵ na obou stranách a máme:

${ displaystyle { begin {cases} A + D = 2 - A-3D = -4 end {cases}} quad Rightarrow quad A = D = 1.}$

Proto:

${ displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B + 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$

což nám dává B = 0. Rozklad parciálního zlomku je tedy dán vztahem:

${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + { frac {1} {(x-1)}} + { frac {1} {(x-1) ^ {3}} } + { frac {x + 1} {x ^ {2} +1}} + { frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

Alternativně, místo rozšiřování, lze získat další lineární závislosti na koeficientech počítajících některé derivace v ${ displaystyle x = 1, imath}$ ve výše uvedené polynomiální identitě. (Za tímto účelem si připomeňme, že derivát v X = A z (X − A)^mp(X) zmizí, pokud m > 1 a je spravedlivý p(A) pro m = 1.) Například první derivace v X = 1 dává

${ Displaystyle 2 cdot 6-4 cdot 5 + 5 cdot 4-3 cdot 3 + 2 + 3 = A cdot (0 + 0) + B cdot (4 + 0) + 8 + D cdot 0}$

to je 8 = 4B + 8 tak B = 0.

Příklad 4 (metoda zbytků)

${ displaystyle f (z) = { frac {z ^ {2} -5} {(z ^ {2} -1) (z ^ {2} +1)}} = { frac {z ^ {2 } -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}}}$

Tím pádem, F(z) lze rozložit na racionální funkce, jejichž jmenovateli jsou z+1, z−1, z+ i, z- i. Protože každý člen je mocninový, −1, 1, -i a i jsou jednoduché póly.

Z toho důvodu rezidua spojená s každým pólem, daná vztahem

${ displaystyle { frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = { frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$

jsou

${ displaystyle 1, -1, { tfrac {3i} {2}}, - { tfrac {3i} {2}},}$

respektive a

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {z + 1}} - { frac {1} {z-1}} + { frac {3i} {2}} { frac {1} {z + i}} - { frac {3i} {2}} { frac {1} {zi}}.}$

Příklad 5 (metoda limitu)

Limity lze použít k nalezení rozkladu částečného zlomku.^[4] Zvažte následující příklad:

${ displaystyle { frac {1} {x ^ {3} -1}}}$

Nejprve zohledněte jmenovatele, který určuje rozklad:

${ displaystyle { frac {1} {x ^ {3} -1}} = { frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = { frac { A} {x-1}} + { frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$

Násobení všeho ${ displaystyle x-1}$, a brát limit, když ${ displaystyle x až 1}$, dostaneme

${ displaystyle lim _ {x až 1} left ((x-1) left ({ frac {A} {x-1}} + { frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} right) right) = lim _ {x to 1} A + lim _ {x to 1} { frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = A.}$

Na druhou stranu,

${ displaystyle lim _ {x až 1} { frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = lim _ {x až 1 } { frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = { frac {1} {3}},}$

a tudíž:

${ displaystyle A = { frac {1} {3}}.}$

Vynásobením X a vzít limit, když ${ displaystyle x to infty}$, my máme

${ displaystyle lim _ {x to infty} x left ({ frac {A} {x-1}} + { frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} right) = lim _ {x to infty} { frac {Ax} {x-1}} + lim _ {x to infty} { frac {Bx ^ {2} + Cx} { x ^ {2} + x + 1}} = A + B,}$

a

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

Z toho vyplývá A + B = 0 a tak ${ displaystyle B = - { frac {1} {3}}}$.

Pro X = 0, dostaneme ${ displaystyle -1 = -A + C,}$ a tudíž ${ displaystyle C = - { tfrac {2} {3}}}$.

Když vše dáme dohromady, dostaneme rozklad

${ displaystyle { frac {1} {x ^ {3} -1}} = { frac {1} {3}} vlevo ({ frac {1} {x-1}} + { frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} vpravo).}$

Příklad 6 (integrální)

Předpokládejme, že máme neurčitý čas integrální:

${ displaystyle int { frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} , dx}$

Před provedením rozkladu je zřejmé, že musíme provést polynomiální dlouhé dělení a faktor jmenovatel. To by mělo za následek:

${ displaystyle int x ^ {2} +3 + { frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} , dx}$

Poté můžeme provést rozklad částečných zlomků.

${ displaystyle int x ^ {2} +3 + { frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} , dx = int x ^ {2} +3+ { frac {A} {(x + 2)}} + { frac {B} {(x-1)}} , dx}$

tak:

${ displaystyle A (x-1) + B (x + 2) = - 3x + 7}$.

Po nahrazení našich hodnot, v tomto případě, kde x = 1 pro řešení pro B a x = -2 pro řešení pro A, budeme mít za následek:

${ displaystyle A = { frac {-13} {3}} , B = { frac {4} {3}}}$

Zapojení všeho zpět do našeho integrálu nám umožňuje najít odpověď:

${ displaystyle int x ^ {2} +3 + { frac {-13/3} {(x + 2)}} + { frac {4/3} {(x-1)}} dx = { frac {x ^ {3}} {3}} + 3x - { frac {13} {3}} ln (| x + 2 |) + { frac {4} {3}} ln (| x-1 |) + C}$

Role Taylorova polynomu

S parciálním zlomkovým rozkladem racionální funkce lze souviset Taylorova věta jak následuje. Nechat

${ displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), ldots, A_ {r} (x)}$

být skutečné nebo složité polynomy předpokládají, že

${ displaystyle Q = prod _ {j = 1} ^ {r} (x- lambda _ {j}) ^ { nu _ {j}},}$

splňuje

${ displaystyle deg A_ {1} < nu _ {1}, ldots, deg A_ {r} < nu _ {r}, quad { text {a}} quad deg (P) < deg (Q) = sum _ {j = 1} ^ {r} nu _ {j}.}$

Také definujte

${ displaystyle Q_ {i} = prod _ {j neq i} (x- lambda _ {j}) ^ { nu _ {j}} = { frac {Q} {(x- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}}}, qquad 1 leqslant i leqslant r.}$

Pak máme

${ displaystyle { frac {P} {Q}} = součet _ {j = 1} ^ {r} { frac {A_ {j}} {(x- lambda _ {j}) ^ { nu _ {j}}}}}$

pokud, a pouze pokud, každý polynom ${ displaystyle A_ {i} (x)}$ je Taylorův polynom z ${ displaystyle { tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ řádu ${ displaystyle nu _ {i} -1}$ na místě ${ displaystyle lambda _ {i}}$:

${ displaystyle A_ {i} (x): = součet _ {k = 0} ^ { nu _ {i} -1} { frac {1} {k!}} vlevo ({ frac {P } {Q_ {i}}} vpravo) ^ {(k)} ( lambda _ {i}) (x- lambda _ {i}) ^ {k}.}$

Taylorova věta (v reálném nebo komplexním případě) pak poskytuje důkaz o existenci a jedinečnosti rozkladu parciálních zlomků a charakterizaci koeficientů.

Náčrt důkazu

Výše uvedený rozklad částečných zlomků znamená pro každou 1 ≤i ≤ r, polynomiální expanze

${ displaystyle { frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}), qquad { text {for}} x to lambda _ {i},}$

tak ${ displaystyle A_ {i}}$ je Taylorův polynom z ${ displaystyle { tfrac {P} {Q_ {i}}}}$, kvůli jednotnosti polynomiální expanze řádu ${ displaystyle nu _ {i} -1}$, a za předpokladu ${ displaystyle deg A_ {i} < nu _ {i}}$.

Naopak, pokud ${ displaystyle A_ {i}}$ jsou Taylorovy polynomy, výše uvedené expanze u každého ${ displaystyle lambda _ {i}}$ držte, proto také máme

${ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}), qquad { text {pro}} x na lambda _ {i},}$

což znamená, že polynom ${ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$ je dělitelné ${ displaystyle (x- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}.}$

Pro ${ displaystyle j neq i, Q_ {j} A_ {j}}$ je také dělitelné ${ displaystyle (x- lambda _ {i}) ^ { nu _ {i}}}$, tak

${ displaystyle P- sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

je dělitelné ${ displaystyle Q}$. Od té doby

${ displaystyle deg left (P- sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} right) < deg (Q)}$

pak máme

${ displaystyle P- sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$

a najdeme rozklad parciálního zlomku dělený ${ displaystyle Q}$.

Zlomky celých čísel

Myšlenku částečných zlomků lze zobecnit na jinou integrální domény, řekněme prsten z celá čísla kde prvočísla převzít roli neredukovatelných jmenovatelů. Například:

${ displaystyle { frac {1} {18}} = { frac {1} {2}} - { frac {1} {3}} - { frac {1} {3 ^ {2}}} .}$

Poznámky

Reference

• Rao, K. R .; Ahmed, N. (1968). Msgstr "Rekurzivní techniky pro získání částečné expanze racionální funkce". IEEE Trans. Educ. 11 (2). str. 152–154. doi:10.1109 / TE.1968.4320370.
• Henrici, Peter (1971). "Algoritmus pro neúplný rozklad racionální funkce na dílčí zlomky". Z. Angew. Matematika. Phys. 22 (4). 751–755. doi:10.1007 / BF01587772.
• Chang, Feng-Cheng (1973). Msgstr "Rekurzivní vzorce pro částečné rozšíření zlomku racionální funkce s více póly". Proc. IEEE. 61 (8). str. 1139–1140. doi:10.1109 / PROC.1973.9216.
• Kung, H. T .; Tong, D. M. (1977). Msgstr "Rychlé algoritmy pro rozklad částečných zlomků". SIAM Journal on Computing. 6 (3): 582. doi:10.1137/0206042.
• Eustice, Dan; Klamkin, M. S. (1979). "Na koeficientech rozkladu částečných zlomků". Americký matematický měsíčník. 86 (6). 478–480. JSTOR  2320421.
• Mahoney, J. J .; Sivazlian, B. D. (1983). "Rozšíření částečných zlomků: přehled výpočetní metodiky a účinnosti". J. Comput. Appl. Matematika. 9. 247–269. doi:10.1016/0377-0427(83)90018-3.
• Miller, Charles D .; Lial, Margaret L .; Schneider, David I. (1990). Základy vysokoškolské algebry (3. vyd.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. str.364–370. ISBN  0-673-38638-4.
• Westreich, David (1991). msgstr "expanze částečné frakce bez vyhodnocení derivace". IEEE Trans. Circ. Syst. 38 (6). str. 658–660. doi:10.1109/31.81863.
• Kudryavtsev, L. D. (2001) [1994], "Neurčené koeficienty, metoda", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Velleman, Daniel J. (2002). "Parciální zlomky, binomické koeficienty a integrál liché síly sec theta". Amer. Matematika. Měsíční. 109 (8). 746–749. JSTOR  3072399.
• Slota, Damian; Witula, Roman (2005). "Metoda třídílného rozkladu částečného zlomku nějakého typu racionálního vyjádření". Přednáška Ne. Computer Sci. 33516. str. 659–662. doi:10.1007/11428862_89.
• Kung, Sidney H. (2006). Msgstr "Rozklad částečných zlomků dělením". Sb. Matematika. J. 37 (2): 132–134. doi:10.2307/27646303. JSTOR  27646303.
• Witula, Roman; Slota, Damian (2008). "Rozklad částečných zlomků některých racionálních funkcí". Appl. Matematika. Comput. 197. 328–336. doi:10.1016 / j.amc.2007.07.048. PAN  2396331.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Částečný rozklad frakcí“. MathWorld.
• Blake, Sam. „Krok za krokem částečné zlomky“.
• Provádějte rozklady částečných zlomků pomocí Scilab.