Trigonometrická substituce - Trigonometric substitution

Trigonometrie
Obrys Dějiny Používání Funkce  (inverzní ) Zobecněná trigonometrie
Odkaz
Totožnosti Přesné konstanty Tabulky Jednotkový kruh
Zákony a věty
Sines Kosiny Tečny Kotangens Pythagorova věta
Počet
Trigonometrická substituce Integrály  (inverzní funkce ) Deriváty

v matematika, trigonometrická substituce je substituce z trigonometrické funkce pro jiné výrazy. v počet, trigonometrická substituce je technika pro hodnocení integrálů. Navíc lze použít trigonometrické identity zjednodušit jisté integrály obsahující radikální výrazy.^[1][2] Stejně jako jiné metody substituce integrace, i při hodnocení určitého integrálu může být jednodušší před použitím hranic integrace zcela odvodit antiderivativ.

Případ I: Celé značky obsahující ${ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}}$

Nechat ${ displaystyle x = a sin theta}$a použijte identita ${ displaystyle 1- sin ^ {2} theta = cos ^ {2} theta}$.

Příklady případu I

Geometrická konstrukce pro případ I

Příklad 1

V integrálu

${ displaystyle int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},}$

můžeme použít

${ displaystyle x = a sin theta, quad dx = a cos theta , d theta, quad theta = arcsin { frac {x} {a}}.}$

Pak,

${ displaystyle { begin {aligned} int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} theta}}} [6pt] & = int d theta [6pt] & = theta + C [6pt] & = arcsin { frac {x} {a}} + C. end {zarovnáno}}}$

Výše uvedený krok to vyžaduje ${ displaystyle a> 0}$ a ${ displaystyle cos theta> 0}$. Můžeme si vybrat ${ displaystyle a}$ být hlavním kořenem ${ displaystyle a ^ {2}}$a uložit omezení ${ displaystyle - pi / 2 < theta < pi / 2}$ pomocí funkce inverzní sinus.

U určitého integrálu je třeba zjistit, jak se mění hranice integrace. Například jako ${ displaystyle x}$ jde od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle a / 2}$, pak ${ displaystyle sin theta}$ jde od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle 1/2}$, tak ${ displaystyle theta}$ jde od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle pi / 6}$. Pak,

${ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = int _ {0} ^ { pi / 6} d theta = { frac { pi} {6}}.}$

Při zvyšování hranice je nutná určitá opatrnost. Protože výše uvedená integrace to vyžaduje ${ displaystyle - pi / 2 < theta < pi / 2}$ , ${ displaystyle theta}$ může jít pouze z ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle pi / 6}$. Při zanedbání tohoto omezení by si někdo mohl vybrat ${ displaystyle theta}$ odejít ${ displaystyle pi}$ na ${ displaystyle 5 pi / 6}$, což by mělo za následek zápor skutečné hodnoty.

Případně před použitím okrajových podmínek plně zhodnoťte neurčité integrály. V takovém případě dává primitivní funkce

${ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = arcsin left ({ frac {x } {a}} right) { Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = arcsin left ({ frac {1} {2}} right) - arcsin (0) = { frac { pi} {6}}}$ jako dříve.

Příklad 2

Integrál

${ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx,}$

mohou být hodnoceny nechat ${ displaystyle x = a sin theta, , dx = a cos theta , d theta, , theta = arcsin { frac {x} {a}},}$

kde ${ displaystyle a> 0}$ aby ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2}}} = a}$, a ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}}$ rozsahem arcsinu, takže ${ displaystyle cos theta geq 0}$ a ${ displaystyle { sqrt { cos ^ {2} theta}} = cos theta}$.

Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} ( cos ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int (a cos theta) (a cos theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = a ^ {2} int left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2} } right) , d theta [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( theta + sin theta cos theta) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( arcsin { frac {x} {a}} + { frac {x} {a}} { sqrt {1 - { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} vpravo) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} { a}} + { frac {x} {2}} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. end {zarovnáno}}}$

Pro určitý integrál se hranice změní, jakmile je provedena substituce, a jsou určeny pomocí rovnice ${ displaystyle theta = arcsin { frac {x} {a}}}$, s hodnotami v rozsahu ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}}$. Případně použijte hraniční výrazy přímo na vzorec pro primitivní funkci.

Například určitý integrál

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx,}$

lze vyhodnotit dosazením ${ Displaystyle x = 2 sin theta, , dx = 2 cos theta , d theta}$, s hranicemi určenými pomocí ${ displaystyle theta = arcsin { frac {x} {2}}}$.

Od té doby ${ displaystyle arcsin (1/2) = pi / 6}$ a ${ displaystyle arcsin (-1/2) = - pi / 6}$,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4-4 sin ^ {2} theta}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 (1- sin ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 ( cos ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [ 6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} (2 cos theta) (2 cos theta) , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2}} right) , d theta [6pt] & = 2 left [ theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right] _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = [2 theta + sin 2 theta] { Biggl |} _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = left ({ frac { pi} {3}} + sin { frac { pi} {3}} right) - left (- { frac { pi} {3}} + sin left (- { frac { pi} {3}} right) right) = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3 }}. [6pt] end {zarovnáno}}}$

Na druhou stranu přímá aplikace hraničních výrazů na dříve získaný vzorec pro antiiderivativní výtěžky

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = left [{ frac {2 ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} {2}} + { frac {x} {2}} { sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} vpravo] _ {- 1} ^ {1} [6pt] & = left (2 arcsin { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} { sqrt {4-1}} right) - left (2 arcsin left (- { frac {1} {2}} right) + { frac {-1} {2}} { sqrt {4-1}} right) [6pt] & = left (2 cdot { frac { pi} {6}} + { frac { sqrt {3}} {2}} right) - left (2 cdot left (- { frac { pi} {6}} right) - { frac { sqrt {3}} {2}} right) [6pt] & = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3}} end {zarovnáno}}}$

jako dříve.

Případ II: Celé značky obsahující ${ displaystyle a ^ {2} + x ^ {2}}$

Nechat ${ displaystyle x = a tan theta}$a použít identitu ${ displaystyle 1+ tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta}$.

Příklady případu II

Geometrická konstrukce pro případ II

Příklad 1

V integrálu

${ displaystyle int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}$

můžeme psát

${ displaystyle x = a tan theta, quad dx = a sec ^ {2} theta , d theta, quad theta = arctan { frac {x} {a}},}$

aby se stal integrál

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} sec ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {d theta} {a}} [6pt] & = { frac { theta} {a}} + C [6pt] & = { frac {1} {a}} arctan { frac {x} {a}} + C, end {zarovnáno}}}$

pokud ${ displaystyle a neq 0}$.

Pro určitý integrál se hranice změní, jakmile je provedena substituce, a jsou určeny pomocí rovnice ${ displaystyle theta = arctan { frac {x} {a}}}$, s hodnotami v rozsahu ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}}$. Případně použijte hraniční výrazy přímo na vzorec pro primitivní funkci.

Například určitý integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx}$

lze vyhodnotit dosazením ${ displaystyle x = tan theta, , dx = sec ^ {2} theta , d theta}$, s hranicemi určenými pomocí ${ displaystyle theta = arctan x}$.

Od té doby ${ displaystyle arctan 0 = 0}$ a ${ displaystyle arctan 1 = pi / 4}$,

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} { frac {4 , dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 int _ {0} ^ {1 } { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} {1+ tan ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} { sec ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} d theta [6pt] & = (4 theta) { Bigg |} _ {0} ^ { pi / 4} = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi. End {zarovnáno }}}$

Mezitím přímá aplikace hraničních výrazů na vzorec pro antiiderivativní výtěžky

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx & = 4 int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 left [{ frac {1} {1}} arctan { frac {x} {1}} right] _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan x) { Bigg |} _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan 1- arctan 0) & = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi, end {zarovnáno}}}$

stejný jako předtím.

Příklad 2

Integrál

${ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , {dx}}$

mohou být hodnoceny nechat ${ displaystyle x = a tan theta, , dx = a sec ^ {2} theta , d theta, , theta = arctan { frac {x} {a}},}$

kde ${ displaystyle a> 0}$ aby ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2}}} = a}$, a ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}}$ rozsahem arkustangensu, takže ${ displaystyle sec theta> 0}$ a ${ displaystyle { sqrt { sec ^ {2} theta}} = sec theta}$.

Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2 } theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int (a sec theta) (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int sec ^ {3} theta , d theta. [6pt] end {zarovnáno}}}$

The integrál secantu na kostky lze vyhodnotit pomocí integrace po částech. Jako výsledek,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ sqrt { 1 + { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} cdot { frac {x} {a}} + ln left | { sqrt {1 + { frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + { frac {x} {a}} vpravo | vpravo) + C [6pt] & = { frac {1} {2 }} left (x { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} {a}} vpravo | vpravo) + C. End {zarovnáno}}}$

Případ III: Celé značky obsahující ${ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2}}$

Nechat ${ displaystyle x = a sec theta}$a použít identitu ${ displaystyle sec ^ {2} theta -1 = tan ^ {2} theta.}$

Příklady případu III

Geometrická konstrukce pro případ III

Integrály jako

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}}$

lze také vyhodnotit pomocí dílčí zlomky spíše než trigonometrické substituce. Integrál

${ displaystyle int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx}$

nemůže. V tomto případě je vhodná substituce:

${ displaystyle x = a sec theta, , dx = a sec theta tan theta , d theta, , theta = operatorname {arcsec} { frac {x} {a}} ,}$

kde ${ displaystyle a> 0}$ aby ${ displaystyle { sqrt {a ^ {2}}} = a}$, a ${ displaystyle 0 leq theta <{ frac { pi} {2}}}$ předpokládáním ${ displaystyle x> 0}$, aby ${ displaystyle tan theta geq 0}$ a ${ displaystyle { sqrt { tan ^ {2} theta}} = tan theta}$.

Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2} theta -a ^ {2}}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} ( sec ^ {2} theta - 1)}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} tan ^ {2} theta}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int a ^ {2} sec theta tan ^ {2} theta , d theta & = a ^ {2} int ( sec theta) ( sec ^ {2} theta -1) , d theta & = a ^ {2} int ( sec ^ {3} theta - sec theta) , d theta. end {zarovnáno}}}$

Lze hodnotit integrál funkce secant vynásobením čitatele a jmenovatele číslem ${ displaystyle ( sec theta + tan theta)}$ a integrál secantu na kostky po částech.^[3] Jako výsledek,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) -a ^ {2} ln | sec theta + tan theta | + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta - ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ frac {x} {a}} cdot { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - ln left | { frac {x} {a}} + { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2}} left (x { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} doprava | right) + C. end {zarovnáno}}}$

Když ${ displaystyle { frac { pi} {2}} < theta leq pi}$, což se stane, když ${ displaystyle x <0}$ vzhledem k rozsahu arcsecantu, ${ displaystyle tan theta leq 0}$, význam ${ displaystyle { sqrt { tan ^ {2} theta}} = - tan theta}$ místo toho v tom případě.

Substituce, které vylučují trigonometrické funkce

Substituci lze použít k odstranění trigonometrických funkcí.

Například,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int f ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { pm { sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f left (u, pm { sqrt {1-u ^ {2}}} right) , du && u = sin (x) [6pt] int f ( sin ( x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { mp { sqrt {1-u ^ {2}}}}} f vlevo ( pm { sqrt {1 -u ^ {2}}}, u right) , du && u = cos (x) [6pt] int f ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} f vlevo ({ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, { frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right) , du && u = tan left ({ tfrac {x} {2}} right) [6pt] end {aligned}}}$

Poslední substituce je známá jako Střídání Weierstrassem, který využívá tečné poloviční úhlové vzorce.

Například,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac {4 cos x} {(1+ cos x) ^ {3}}} , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} { frac {4 vlevo ({ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} vpravo)} { vlevo (1 + { frac { 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} vpravo) ^ {3}}} , du = int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2} ) , du & = int (1-u ^ {4}) , du = u - { frac {u ^ {5}} {5}} + C = tan { frac {x} {2}} - { frac {1} {5}} tan ^ {5} { frac {x} {2}} + C. end {zarovnáno}}}$

Hyperbolická substituce

Střídání hyperbolické funkce lze také použít ke zjednodušení integrálů.^[4]

V integrálu ${ displaystyle int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx}$, provést střídání ${ displaystyle x = a sinh {u}}$, ${ displaystyle dx = a cosh u , du.}$

Potom pomocí identit ${ displaystyle cosh ^ {2} (x) - sinh ^ {2} (x) = 1}$ a ${ displaystyle sinh ^ {- 1} {x} = ln (x + { sqrt {x ^ {2} +1}}),}$

${ displaystyle { begin {seřazeno} int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx & = int { frac {a cosh u} { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} sinh ^ {2} u}}} , du [6pt] & = int { frac {a cosh {u}} {a { sqrt {1+ sinh ^ {2} {u}}}}} , du [6pt] & = int { frac {a cosh {u}} {a cosh u}} , du [6pt] & = u + C [6pt] & = sinh ^ {- 1} { frac {x} {a}} + C [6pt] & = ln left ( { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + { frac {x} {a}} right) + C [6pt] & = ln left ({ frac {{ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} right) + C end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Integrace substitucí
• Střídání Weierstrassem
• Eulerovo střídání

Reference