Absolutní hodnota - Absolute value

The graf funkce absolutní hodnoty pro reálná čísla

Absolutní hodnotu čísla lze považovat za jeho vzdálenost od nuly.

v matematika, absolutní hodnota nebo modul a reálné číslo  X, označeno |X|, je nezáporné hodnotaX bez ohledu na jeho podepsat. A to, |X| = X -li X je pozitivní, a |X| = −X -li X je negativní (v jakém případě −X je pozitivní) a |0| = 0. Například absolutní hodnota 3 je 3 a absolutní hodnota -3 je také 3. Absolutní hodnotu čísla lze považovat za jeho vzdálenost od nuly.

Zobecnění absolutní hodnoty pro reálná čísla se vyskytuje v široké škále matematických nastavení. Například absolutní hodnota je definována také pro komplexní čísla, čtveřice, objednané prsteny, pole a vektorové prostory. Absolutní hodnota úzce souvisí s pojmy velikost, vzdálenost, a norma v různých matematických a fyzikálních kontextech.

Terminologie a notace

V roce 1806 Jean-Robert Argand představil termín modul, význam měrná jednotka ve francouzštině, konkrétně pro komplex absolutní hodnota,^[1][2] a byla vypůjčena do angličtiny v roce 1866 jako latinský ekvivalent modul.^[1] Termín absolutní hodnota byl v tomto smyslu používán nejméně od roku 1806 ve francouzštině^[3] a 1857 v angličtině.^[4] Zápis |X|, s svislá čára na každé straně, byl představen Karl Weierstrass v roce 1841.^[5] Jiná jména pro absolutní hodnota zahrnout číselná hodnota^[1] a velikost.^[1] V programovacích jazycích a výpočetních softwarových balících je absolutní hodnota X je obecně reprezentován břišní svaly(X)nebo podobný výraz.

Svislý pruhový zápis se také objevuje v řadě dalších matematických kontextů: například při použití na množinu označuje její mohutnost; při aplikaci na a matice, označuje jeho určující. Svislé pruhy označují absolutní hodnotu pouze pro algebraické objekty, pro které je definován pojem absolutní hodnoty, zejména prvek normovaná dělení algebra, například reálné číslo, komplexní číslo nebo čtveřice. Úzce příbuznou, ale odlišnou notací je použití svislých pruhů buď pro euklidovská norma^[6] nebo sup norma^[7] vektoru v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, ačkoli dvojité svislé pruhy s indexy (${displaystyle || cdot || _ {2}}$ a ${displaystyle || cdot || _ {infty}}$, respektive) jsou běžnější a méně nejednoznačná notace.

Definice a vlastnosti

Skutečná čísla

Pro všechny reálné číslo  X, absolutní hodnota nebo modul zX je označen |X| (A svislá čára na každé straně množství) a je definována jako^[8]

${displaystyle | x | = left {{egin {array} {rl} x, & {ext {if}} xgeq 0 -x, & {ext {if}} x <0.end {array}} ight.}$

Absolutní hodnotaX je tedy vždy buď pozitivní nebo nula, ale nikdy negativní: když X sám o sobě je negativní (X < 0), pak je jeho absolutní hodnota nutně kladná (|X| = −X > 0).

Od analytická geometrie z hlediska absolutní hodnoty skutečného čísla je toto číslo vzdálenost od nuly podél řádek skutečných čísel a obecněji absolutní hodnotou rozdílu dvou reálných čísel je vzdálenost mezi nimi. Pojem abstrakt funkce vzdálenosti v matematice lze vidět zobecnění absolutní hodnoty rozdílu (viz "Vzdálenost" níže).

Protože symbol odmocniny představuje jedinečný pozitivní druhá odmocnina (při použití na kladné číslo), z toho vyplývá

${displaystyle | x | = {sqrt {x ^ {2}}}}$

je ekvivalentní definici výše a lze ji použít jako alternativní definici absolutní hodnoty reálných čísel.^[9]

Absolutní hodnota má následující čtyři základní vlastnosti (A, b jsou reálná čísla), která se používají pro zobecnění tohoto pojmu do jiných domén:

${displaystyle | a | geq 0}$	Nezápornost
${displaystyle | a | = 0iff a = 0}$	Pozitivní definitivita
${displaystyle | ab | = | a |, | b |}$	Multiplikativita
${displaystyle | a + b | leq | a | + | b |}$	Subadditivita, konkrétně nerovnost trojúhelníku

Z definice je zřejmá nezápornost, pozitivní definitivita a multiplikativita. Chcete-li vidět, že subadditivita platí, nejprve si povšimněte jedné ze dvou alternativ užívání s jako buď –1 nebo +1 zaručuje to ${displaystyle scdot (a + b) = | a + b | geq 0.}$ Nyní, protože ${displaystyle -1cdot xleq | x |}$ a ${displaystyle + 1cdot xleq | x |}$, z toho vyplývá, že podle toho, co je hodnota s, jeden má ${displaystyle scdot xleq | x |}$ pro všechny skutečné ${displaystyle x}$. Tudíž, ${displaystyle | a + b | = scdot (a + b) = scdot a + scdot bleq | a | + | b |}$, podle přání. (Zobecnění tohoto argumentu na komplexní čísla viz "Důkaz nerovnosti trojúhelníku pro komplexní čísla" níže.)

Některé další užitečné vlastnosti jsou uvedeny níže. Jedná se buď o bezprostřední důsledky definice, nebo vyplývající ze čtyř základních vlastností výše.

${displaystyle {ig |}, | a |, {ig |} = | a |}$	Idempotence (absolutní hodnota absolutní hodnoty je absolutní hodnota)
${displaystyle | -a | = | a |}$	Rovnoměrnost (reflexní symetrie grafu)
${displaystyle | a-b | = 0iff a = b}$	Totožnost nerozbitných (ekvivalent k pozitivní definitivitě)
${displaystyle | a-b | leq | a-c | + | c-b |}$	Nerovnost trojúhelníku (ekvivalent subadditivity)
${displaystyle left | {frac {a} {b}} ight | = {frac {| a |} {| b |}}}$ (li ${displaystyle beq 0}$)	Zachování rozdělení (ekvivalent multiplikativity)
${displaystyle | a-b | geq {ig |}, | a | - | b |, {ig |}}$	Nerovnost trojúhelníku vzad (ekvivalent subadditivity)

Dvě další užitečné vlastnosti týkající se nerovností jsou:

${displaystyle | a | leq biff -bleq aleq b}$

${displaystyle | a | geq biff aleq -b}$ nebo ${displaystyle ageq b}$

Tyto vztahy lze použít k řešení nerovností zahrnujících absolutní hodnoty. Například:

${displaystyle | x-3 | leq 9}$	${displaystyle iff -9leq x-3leq 9}$
	${displaystyle iff -6leq xleq 12}$

Absolutní hodnota, jako „vzdálenost od nuly“, se používá k definování absolutní rozdíl mezi libovolnými reálnými čísly, standardem metrický na reálných číslech.

Složitá čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla${displaystyle z}$ je vzdálenost${displaystyle r}$ z ${displaystyle z}$ od původu. Na obrázku je to vidět také ${displaystyle z}$ a jeho komplexní konjugát  ${displaystyle {ar {z}}}$ mají stejnou absolutní hodnotu.

Protože komplexní čísla nejsou nařízeno, definici skutečné absolutní hodnoty uvedenou nahoře nelze přímo použít na komplexní čísla. Geometrickou interpretaci absolutní hodnoty reálného čísla jako jeho vzdálenosti od 0 lze však zobecnit. Absolutní hodnota komplexního čísla je definována euklidovskou vzdáleností odpovídajícího bodu v složité letadlo z původ. To lze vypočítat pomocí Pythagorova věta: pro jakékoli komplexní číslo

${displaystyle z = x + iy,}$

kde X a y jsou reálná čísla, absolutní hodnota nebo modul zz je označen |z| a je definována^[10]

${displaystyle | z | = {sqrt {[mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$

kde Re (z) = X a já jsem(z) = y označit skutečné a imaginární části z, resp. Když imaginární část y je nula, to se shoduje s definicí absolutní hodnoty reálného číslaX.

Když komplexní čísloz je vyjádřena v polární forma tak jako

${displaystyle z = re ^ {i heta},}$

s ${displaystyle r = {sqrt {[mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} geq 0}$ (a θ ∈ arg (z) je argument (nebo fáze) z z), jeho absolutní hodnota je

${displaystyle | z | = r}$.

Protože produkt libovolného komplexního číslaz a jeho komplexní konjugát  ${displaystyle {ar {z}} = x-iy,}$ se stejnou absolutní hodnotou je vždy nezáporné reálné číslo ${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2})}$, lze absolutní hodnotu komplexního čísla pohodlně vyjádřit jako

${displaystyle | z | = {sqrt {zcdot {overline {z}}}},}$

připomínající alternativní definici skutečností: ${displaystyle | x | = {sqrt {xcdot x}}.}$

Složitá absolutní hodnota sdílí čtyři základní vlastnosti uvedené výše pro skutečnou absolutní hodnotu.

V jazyce teorie skupin, multiplikativní vlastnost může být přeformulována následovně: absolutní hodnota je a skupinový homomorfismus z multiplikativní skupina komplexních čísel na skupina při násobení kladná reálná čísla.^[11]

Důležité je, že majetek subadditivita ("nerovnost trojúhelníku ") se vztahuje na jakoukoli konečnou sbírku n komplex čísla ${extstyle (z_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ tak jako

${displaystyle {Bigg |} součet _ {k = 1} ^ {n} z_ {k} {Bigg |} leq součet _ {k = 1} ^ {n} | z_ {k} | .quad quad (*)}$

Tato nerovnost platí také pro nekonečno rodiny, za předpokladu, že nekonečná řada ${extstyle sum _ {k = 1} ^ {infty} z_ {k}}$ je absolutně konvergentní. Li Lebesgueova integrace je považováno za spojitý analog součtu, pak je tato nerovnost analogicky dodržována komplexně oceněnou, měřitelné funkce ${displaystyle f: mathbb {R} o mathbb {C}}$ při integraci přes a měřitelná podmnožina ${displaystyle E}$:

${displaystyle {Bigg |} int _ {E} f dx {Bigg |} leq int _ {E} | f | dx.quad quad (**)}$

(To zahrnuje Riemann integrovatelný funkce přes omezený interval ${displaystyle [a, b]}$ jako zvláštní případ.)

Důkaz složitosti trojúhelníku nerovnosti

Nerovnost trojúhelníku, jak je dána ${displaystyle (*)}$, lze prokázat použitím tří snadno ověřitelných vlastností komplexních čísel: Jmenovitě pro každé komplexní číslo ${displaystyle zin mathbb {C}}$,

i): existuje ${displaystyle cin mathbb {C}}$ takhle ${displaystyle | c | = 1}$ a ${displaystyle | z | = ccdot z}$;

ii): ${displaystyle mathrm {Re} (z) leq | z |}$.

Také pro rodinu komplexních čísel ${displaystyle (w_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$, ${extstyle sum _ {k} w_ {k} = sum _ {k} mathrm {Re} (w_ {k}) + isum _ {k} mathrm {Im} (w_ {k})}$. Zejména,

(iii): pokud ${extstyle sum _ {k} w_ {k} v mathbb {R}}$, pak ${extstyle součet _ {k} w_ {k} = součet _ {k} mathrm {Re} (w_ {k})}$.

Důkaz ${displaystyle (*)}$: Vybrat ${displaystyle cin mathbb {C}}$ takhle ${displaystyle | c | = 1}$ a ${extstyle {ig |} součet _ {k} z_ {k} {ig |} = c {ig (} součet _ {k} z_ {k} {ig)}}$ (shrnuto ${displaystyle k = 1, ldots, n}$). Následující výpočet pak poskytuje požadovanou nerovnost:

${displaystyle {Big |} sum _ {k} z_ {k} {Big |}; {overset {(i)} {=}}; c {Big (} sum _ {k} z_ {k} {Big)} = sum _ {k} cz_ {k}; {overset {(iii)} {=}}; sum _ {k} mathrm {Re} (cz_ {k}); {overset {(ii)} {leq}} ; součet _ {k} | cz_ {k} | = součet _ {k} | c || z_ {k} | = součet _ {k} | z_ {k} |}$.

Z tohoto důkazu je zřejmé, že platí rovnost ${displaystyle (*)}$ přesně pokud všechny ${displaystyle cz_ {k}}$ jsou nezáporná reálná čísla, která se naopak vyskytují přesně, pokud jsou všechna nenulová ${displaystyle z_ {k}}$ mít stejné argument, tj., ${displaystyle z_ {k} = a_ {k} zeta}$ pro komplexní konstantu ${displaystyle zeta}$ a skutečné konstanty ${displaystyle a_ {k} geq 0}$ pro ${displaystyle 1leq kleq n}$.

Od té doby ${displaystyle f}$ měřitelné to znamená ${displaystyle | f |}$ je také měřitelný, důkaz nerovnosti ${displaystyle (**)}$ postupuje stejnou technikou nahrazením ${extstyle sum _ {k} (cdot)}$ s ${extstyle int _ {E} (cdot), dx}$ a ${displaystyle z_ {k}}$ s ${displaystyle f (x)}$.^[12]

Funkce absolutní hodnoty

The graf funkce absolutní hodnoty pro reálná čísla

Složení absolutní hodnoty s a kubická funkce v různých objednávkách

Funkce skutečné absolutní hodnoty je kontinuální všude. to je rozlišitelný všude kromě X = 0. to je monotónně klesá na intervalu (−∞,0] a monotónně se zvyšuje na intervalu [0,+∞). Protože skutečné číslo a jeho naproti mají stejnou absolutní hodnotu, je to sudá funkce, a tedy není invertibilní. Funkce skutečné absolutní hodnoty je a po částech lineární, konvexní funkce.

Skutečná i složitá funkce jsou idempotentní.

Vztah k znakové funkci

Funkce absolutní hodnoty reálného čísla vrací jeho hodnotu bez ohledu na jeho znaménko, zatímco funkce sign (nebo signum) vrací znaménko čísla bez ohledu na jeho hodnotu. Následující rovnice ukazují vztah mezi těmito dvěma funkcemi:

${displaystyle | x | = xoperatorname {sgn} (x),}$

nebo

${displaystyle | x | operatorname {sgn} (x) = x,}$

a pro X ≠ 0,

${displaystyle operatorname {sgn} (x) = {frac {| x |} {x}} = {frac {x} {| x |}}.}$

Derivát

Funkce skutečné absolutní hodnoty má pro každého derivaci X ≠ 0, ale není rozlišitelný na X = 0. Jeho derivát pro X ≠ 0 je dán kroková funkce:^[13][14]

${displaystyle {frac {d | x |} {dx}} = {frac {x} {| x |}} = {egin {cases} -1 & x <0 1 & x> 0.end {cases}}}$

Funkce skutečné absolutní hodnoty je příkladem spojité funkce, která dosahuje globálního minima tam, kde derivace neexistuje.

The subdiferenciální z|X| naX = 0 je interval  [−1,1].^[15]

The komplex funkce absolutní hodnoty je spojitá všude kromě komplexní diferencovatelné nikde protože to porušuje Cauchy – Riemannovy rovnice.^[13]

Druhá derivace|X| s ohledem naX je nula všude kromě nuly, kde neexistuje. Jako zobecněná funkce, druhý derivát lze brát jako dvojnásobek Diracova delta funkce.

Antiderivativní

The primitivní (neurčitý integrál) funkce skutečné absolutní hodnoty je

${displaystyle int | x | dx = {frac {x | x |} {2}} + C,}$

kde C je libovolný konstanta integrace. To není komplexní primitivní protože složité výhody mohou existovat pouze pro komplexně diferencovatelné (holomorfní ) funkce, což komplexní funkce absolutní hodnoty není.

Vzdálenost

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak je uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost od tohoto čísla po počátek podél linie reálných čísel pro reálná čísla nebo v komplexní rovině pro složitá čísla a obecněji je absolutní hodnotou rozdílu dvou reálných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní Euklidovská vzdálenost mezi dvěma body

${displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {n})}$

a

${displaystyle b = (b_ {1}, b_ {2}, tečky, b_ {n})}$

v Euklidovský n-prostor je definován jako:

${displaystyle {sqrt {extstyle suma _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$

To lze považovat za zobecnění, protože pro ${displaystyle a_ {1}}$ a ${displaystyle b_ {1}}$ reálné, tj. v 1 prostoru, podle alternativní definice absolutní hodnoty,

${displaystyle | a_ {1} -b_ {1} | = {sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2}}} = {sqrt {extstyle součet _ {i = 1} ^ {1} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}},}$

a pro ${displaystyle a = a_ {1} + ia_ {2}}$ a ${displaystyle b = b_ {1} + ib_ {2}}$ komplexní čísla, tj. ve 2-prostoru,

${displaystyle | a-b |}$	${displaystyle = | (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) |}$
	${displaystyle = | (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) |}$
	${displaystyle = {sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {sqrt {extstyle součet _ {i = 1 } ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$

Výše uvedené ukazuje, že vzdálenost „absolutní hodnota“ pro reálná a komplexní čísla souhlasí se standardní euklidovskou vzdáleností, kterou zdědí v důsledku toho, že je považovala za jednorozměrný a dvojrozměrný euklidovský prostor.

Vlastnosti absolutní hodnoty rozdílu dvou reálných nebo komplexních čísel: nezápornost, identita nerozporných, symetrie a výše uvedená trojúhelníková nerovnost mohou motivovat obecnější představu a funkce vzdálenosti jak následuje:

Skutečně cenná funkce d na setu X × X se nazývá a metrický (nebo a funkce vzdálenosti) zapnutoX, pokud splňuje následující čtyři axiomy:^[16]

${displaystyle d (a, b) geq 0}$	Nezápornost
${displaystyle d (a, b) = 0iff a = b}$	Totožnost nerozbitných
${displaystyle d (a, b) = d (b, a)}$	Symetrie
${displaystyle d (a, b) leq d (a, c) + d (c, b)}$	Nerovnost trojúhelníku

Zobecnění

Objednané prsteny

Definici absolutní hodnoty dané pro reálná čísla výše lze rozšířit na libovolné objednaný prsten. To je, pokudA je prvek objednaného prstenuR, pak absolutní hodnota zA, označeno |A|, je definován jako:^[17]

${displaystyle | a | = left {{egin {array} {rl} a, & {ext {if}} ageq 0 -a, & {ext {if}} a <0.end {array}} ight.}$

kde −A je aditivní inverzní zA, 0 je aditivní identita, a

Pole

Čtyři základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla lze použít k zobecnění pojmu absolutní hodnoty na libovolné pole, a to následovně.

Funkce se skutečnou hodnotouproti na pole  F se nazývá absolutní hodnota (také a modul, velikost, hodnotanebo ocenění)^[18] pokud splňuje následující čtyři axiomy:

${displaystyle v (a) geq 0}$	Nezápornost
${displaystyle v (a) = 0iff a = mathbf {0}}$	Pozitivní definitivita
${displaystyle v (ab) = v (a) v (b)}$	Multiplikativita
${displaystyle v (a + b) leq v (a) + v (b)}$	Subadditivita nebo nerovnost trojúhelníku

Kde 0 označuje aditivní identita zF. Z pozitivní definitivity a multiplikativity vyplývá, že proti(1) = 1, kde 1 označuje multiplikativní identita zF. Skutečné a komplexní absolutní hodnoty definované výše jsou příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Li proti je absolutní hodnota naF, pak funkced na F × F, definován d(A, b) = proti(A − b), je metrika a následující jsou ekvivalentní:

• d uspokojuje ultrametrický nerovnost ${displaystyle d (x, y) leq max (d (x, z), d (y, z))}$ pro všechny X, y, z vF.
• ${displaystyle {ig {} v {Big (} {extstyle sum _ {k = 1} ^ {n}} mathbf {1} {Big)}: nin mathbb {N} {ig}}}$ je ohraničený vR.
• ${displaystyle v {Big (} {extstyle sum _ {k = 1} ^ {n}} mathbf {1} {Big)} leq 1}$ pro každého ${displaystyle nin mathbb {N}.}$
• ${displaystyle v (a) leq 1Rightarrow v (1 + a) leq 1}$ pro všechny ${displaystyle ain F.}$
• ${displaystyle v (a + b) leq mathrm {max} {v (a), v (b)}}$ pro všechny ${displaystyle a, bin F.}$

Absolutní hodnota, která splňuje všechny (tedy všechny) výše uvedené podmínky, je považována za non-Archimedean, jinak se říká, že je Archimedean.^[19]

Vektorové prostory

Opět lze použít základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla, s malou úpravou, k zobecnění pojmu na libovolný vektorový prostor.

Funkce se skutečnou hodnotou na a vektorový prostor  PROTI přes poleF, zastoupená jako || · ||, se nazývá absolutní hodnota, ale častěji a norma, pokud splňuje následující axiomy:

Pro všechnyA vF, a proti, u vPROTI,

${displaystyle | mathbf {v} | geq 0}$	Nezápornost
${displaystyle | mathbf {v} | = 0iff mathbf {v} = 0}$	Pozitivní definitivita
${displaystyle | amathbf {v} | = | a || mathbf {v} |}$	Pozitivní homogenita nebo pozitivní škálovatelnost
${displaystyle | mathbf {v} + mathbf {u} | leq | mathbf {v} | + | mathbf {u} |}$	Subadditivita nebo nerovnost trojúhelníku

Norma vektoru se také nazývá jeho délka nebo velikost.

V případě Euklidovský prostor  Rⁿ, funkce definovaná

${displaystyle | (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}) | = {sqrt {extstyle součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}}$

je norma zvaná Euklidovská norma. Když skutečná číslaR jsou považovány za jednorozměrný vektorový prostorR¹, absolutní hodnota je a norma, a je p-norm (viz L^p prostor ) pro všechnyp. Absolutní hodnota je ve skutečnosti „jedinou“ normou R¹, v tom smyslu, že pro každou normu || · || naR¹, ||X|| = ||1|| ⋅ |X|. Složitá absolutní hodnota je zvláštním případem normy v vnitřní produktový prostor. Je totožný s euklidovskou normou, pokud složité letadlo je identifikován s Euklidovské letadlo  R².

Složení algebry

Každá kompoziční algebra A má involuce X → X* volal jeho časování. Produkt v A prvku X a jeho konjugát X* je psáno N(X) = x x* a zavolal norma x.

Skutečná čísla ℝ, komplexní čísla ℂ a čtveřice ℍ jsou všechny kompoziční algebry s normami danými určité kvadratické tvary. Absolutní hodnota v nich divize algebry je dán odmocnina normy složení algebry.

Obecně může být normou kompoziční algebry a kvadratická forma to není definitivní a má nulové vektory. Stejně jako v případě dělení algebry, když prvek X má tedy nenulovou normu X má multiplikativní inverzní dána X*/N(X).

Poznámky

Reference

• Bartle; Sherbert; Úvod do reálné analýzy (4. vydání), John Wiley & Sons, 2011 ISBN  978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J .; Imaginární příběh; Princeton University Press; (vázaná kniha, 1998). ISBN  0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN  978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaumova osnova počátečního počtu, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN  978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. a Robertson, E.F .; „Jean Robert Argand“.
• Schechter, Eric; Příručka pro analýzu a její základy, str. 259–263, „Absolutní hodnoty“, Akademický tisk (1997) ISBN  0-12-622760-8.

externí odkazy

• "Absolutní hodnota", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• absolutní hodnota na PlanetMath.org.
• Weisstein, Eric W. "Absolutní hodnota". MathWorld.