Eliptický integrál - Elliptic integral - Wikipedia

v integrální počet, an eliptický integrál je jednou z řady souvisejících funkcí definovaných jako hodnota určitých integrálů. Původně vznikly v souvislosti s problémem najít délka oblouku z elipsa a byly nejprve studovány Giulio Fagnano a Leonhard Euler (C. 1750). Moderní matematika definuje „eliptický integrál“ jako jakýkoli jiný funkce F které lze vyjádřit ve formě

${ displaystyle f (x) = int _ {c} ^ {x} R vlevo (t, { sqrt {P (t)}} vpravo) , mathrm {d} t,}$

kde R je racionální funkce z jeho dvou argumentů, P je polynomiální stupně 3 nebo 4 bez opakovaných kořenů a C je konstanta.

Obecně nelze integrály v této formě vyjádřit pomocí základní funkce. Výjimky z tohoto obecného pravidla jsou kdy P má opakované kořeny, nebo kdy R(X,y) neobsahuje žádné zvláštní síly y. Nicméně s příslušnými redukční vzorec, každý eliptický integrál lze přivést do formy zahrnující integrály nad racionálními funkcemi a třemi Legendární kanonické formy (tj. eliptické integrály prvního, druhého a třetího druhu).

Kromě níže uvedené formy Legendre mohou být vyjádřeny i eliptické integrály Carlsonova symetrická forma. Další vhled do teorie eliptického integrálu lze získat studiem Schwarz – Christoffel mapování. Historicky, eliptické funkce byly objeveny jako inverzní funkce eliptických integrálů.

Argumentová notace

Neúplné eliptické integrály jsou funkce dvou argumentů; kompletní eliptické integrály jsou funkce jednoho argumentu. Tyto argumenty jsou vyjádřeny mnoha různými, ale ekvivalentními způsoby (dávají stejný eliptický integrál). Většina textů dodržuje kanonické schéma pojmenování pomocí následujících konvencí pojmenování.

Pro vyjádření jednoho argumentu:

• α, modulární úhel
• k = hřích α, eliptický modul nebo excentricita
• m = k² = hřích² α, parametr

Každá z výše uvedených tří veličin je zcela určena kteroukoli z ostatních (vzhledem k tomu, že nejsou nezáporné). Lze je tedy použít zaměnitelně.

Druhý argument lze rovněž vyjádřit jako φ, amplituda, nebo jako X nebo u, kde X = hřích φ = sn u a sn jeden z Jacobské eliptické funkce.

Určení hodnoty kteréhokoli z těchto veličin určuje ostatní. Všimněte si, že u záleží také na m. Některé další vztahy u zahrnout

${ displaystyle cos varphi = operatorname {cn} u, quad { textrm {a}} quad { sqrt {1-m sin ^ {2} varphi}} = operatorname {dn} u .}$

Ten druhý se někdy nazývá amplituda delta a napsáno jako Δ (φ) = dn u. Někdy literatura také odkazuje na doplňkový parametr, doplňkový modul, nebo doplňkový modulární úhel. Ty jsou dále definovány v článku o čtvrtletí.

Neúplný eliptický integrál prvního druhu

The neúplný eliptický integrál prvního druhu F je definován jako

${ displaystyle F ( varphi, k) = F vlevo ( varphi , | , k ^ {2} vpravo) = F ( sin varphi; k) = int _ {0} ^ { varphi} { frac { mathrm {d} theta} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}}}.}$

Toto je trigonometrická forma integrálu; střídání t = hřích θ a X = hřích φ, jeden získá Legendrovu normální formu:

${ displaystyle F (x; k) = int _ {0} ^ {x} { frac { mathrm {d} t} { sqrt { vlevo (1-t ^ {2} vpravo) vlevo (1-k ^ {2} t ^ {2} vpravo)}}}.}$

Ekvivalentně, pokud jde o amplitudu a modulární úhel, má:

${ displaystyle F ( varphi setminus alpha) = F ( varphi, sin alpha) = int _ {0} ^ { varphi} { frac { mathrm {d} theta} { sqrt {1 - ( sin theta sin alpha) ^ {2}}}}.}$

V této notaci použití svislé čáry jako oddělovače naznačuje, že argument, který ji následuje, je „parametr“ (jak je definován výše), zatímco zpětné lomítko označuje, že se jedná o modulární úhel. Použití středníku znamená, že argument, který mu předchází, je sinus amplitudy:

${ displaystyle F ( varphi, sin alpha) = F left ( varphi , | , sin ^ {2} alpha right) = F ( varphi setminus alpha) = F ( sin varphi; sin alpha).}$

Toto potenciálně matoucí použití různých oddělovačů argumentů je tradiční v eliptických integrálech a většina notace je kompatibilní s tím, který používá v referenční knize Abramowitz a Stegun a to použité v integrálních tabulkách od Gradshteyn a Ryzhik.

S X = sn (u,k) jeden má:

${ displaystyle F (x; k) = u;}$

tedy Jacobské eliptické funkce jsou inverze k eliptickým integrálům.

Varianty notace

V literatuře existují ještě další konvence pro notaci eliptických integrálů. Zápis s vyměněnými argumenty, F(k,φ), se často setkáváme; a podobně E(k,φ) pro integrál druhého druhu. Abramowitz a Stegun nahradit integrál prvního druhu, F(φ,k), pro argument φ ve své definici integrálů druhého a třetího druhu, pokud po tomto argumentu nenasleduje svislá čára: tj. E(F(φ,k) | k²) pro E(φ | k²). Jejich úplné integrály navíc využívají parametr k² jako argument namísto modulu k, tj. K.(k²) spíše než K.(k). A integrál třetího druhu definovaného Gradshteyn a Ryzhik, Π (φ,n,k), dává amplitudu φ první a ne „charakteristika“ n.

Při používání těchto funkcí tedy musíme být opatrní při zápisu, protože různé renomované odkazy a softwarové balíčky používají v definicích eliptických funkcí různé konvence. Například některé odkazy a Wolfram je Mathematica software a Wolfram Alpha, definujte kompletní eliptický integrál prvního druhu z hlediska parametru m, místo eliptického modulu k.

${ displaystyle K (m) = int _ {0} ^ { tfrac { pi} {2}} { frac { mathrm {d} theta} { sqrt {1-m sin ^ {2 } theta}}}}$

Neúplný eliptický integrál druhého druhu

The neúplný eliptický integrál druhého druhu E v trigonometrické formě je

${ displaystyle E ( varphi, k) = E vlevo ( varphi , | , k ^ {2} vpravo) = E ( sin varphi; k) = int _ {0} ^ { varphi} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}} , mathrm {d} theta.}$

Střídání t = hřích θ a X = hřích φ, jeden získá Legendrovu normální formu:

${ displaystyle E (x; k) = int _ {0} ^ {x} { frac { sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} { sqrt {1-t ^ { 2}}}} , mathrm {d} t.}$

Ekvivalentně, pokud jde o amplitudu a modulární úhel:

${ displaystyle E ( varphi setminus alpha) = E ( varphi, sin alpha) = int _ {0} ^ { varphi} { sqrt {1- left ( sin theta sin alpha right) ^ {2}}} , mathrm {d} theta.}$

Vztahy s Jacobiho eliptické funkce zahrnout

${ displaystyle E { bigl (} operatorname {sn} (u; k); k { bigr)} = int _ {0} ^ {u} operatorname {dn} ^ {2} (w; k ) , mathrm {d} w = uk ^ {2} int _ {0} ^ {u} operatorname {sn} ^ {2} (w; k) , mathrm {d} w = vlevo (1-k ^ {2} vpravo) u + k ^ {2} int _ {0} ^ {u} operatorname {cn} ^ {2} (w; k) , mathrm {d} w .}$

The poledníkový oblouk délka od rovník na zeměpisná šířka φ je napsán v termínech E:

${ displaystyle m ( varphi) = a left (E ( varphi, e) + { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} varphi ^ {2}}} E ( varphi, e) vpravo),}$

kde A je poloviční hlavní osa, a E je excentricita.

Neúplný eliptický integrál třetího druhu

The neúplný eliptický integrál třetího druhu Π je

${ displaystyle Pi (n; varphi setminus alpha) = int _ {0} ^ { varphi} { frac {1} {1-n sin ^ {2} theta}} { frac { mathrm {d} theta} { sqrt {1 vlevo ( sin theta sin alpha right) ^ {2}}}}}$

nebo

${ displaystyle Pi (n; varphi , | , m) = int _ {0} ^ { sin varphi} { frac {1} {1-nt ^ {2}}} { frac { mathrm {d} t} { sqrt { vlevo (1-mt ^ {2} vpravo) vlevo (1-t ^ {2} vpravo)}}}}$

Číslo n se nazývá charakteristický a může nabývat jakékoli hodnoty, nezávisle na ostatních argumentech. Všimněte si však, že hodnota Π (1; π/2 | m) je nekonečný pro všechny m.

Vztah k Jacobským eliptickým funkcím je

${ displaystyle Pi { bigl (} n; , operatorname {am} (u; k); , k { bigr)} = int _ {0} ^ {u} { frac { mathrm {d} w} {1-n , operatorname {sn} ^ {2} (w; k)}}.}$

Délka poledníku od rovníku do zeměpisné šířky φ souvisí také se zvláštním případem Π:

${ displaystyle m ( varphi) = a left (1-e ^ {2} right) Pi left (e ^ {2}; varphi , | , e ^ {2} right). }$

Kompletní eliptický integrál prvního druhu

Spiknutí úplného eliptického integrálu prvního druhu K.(k)

Eliptické integrály jsou považovány za „úplné“, když je amplituda φ = π/2 a proto X = 1. The kompletní eliptický integrál prvního druhu K. lze tedy definovat jako

${ displaystyle K (k) = int _ {0} ^ { tfrac { pi} {2}} { frac { mathrm {d} theta} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}}} = int _ {0} ^ {1} { frac { mathrm {d} t} { sqrt { left (1-t ^ {2} right) vlevo (1-k ^ {2} t ^ {2} vpravo)}}},}$

nebo kompaktněji, pokud jde o neúplný integrál prvního druhu jako

${ displaystyle K (k) = F left ({ tfrac { pi} {2}}, k right) = F left ({ tfrac { pi} {2}} , | , k ^ {2} vpravo) = F (1; k).}$

Lze jej vyjádřit jako a výkonová řada

${ displaystyle K (k) = { frac { pi} {2}} součet _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} vpravo) ^ {2} k ^ {2n} = { frac { pi} {2}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { bigl (} P_ {2n} (0) { bigr)} ^ {2} k ^ {2n},}$

kde P_n je Legendární polynomy, což odpovídá

${ displaystyle K (k) = { frac { pi} {2}} vlevo (1+ vlevo ({ frac {1} {2}} vpravo) ^ {2} k ^ {2} + left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) ^ {2} k ^ {4} + cdots + left ({ frac { left (2n-1 right) ) !!} { left (2n right) !!}} right) ^ {2} k ^ {2n} + cdots right),}$

kde n!! označuje dvojitý faktoriál. Z hlediska Gauss hypergeometrická funkce, lze eliptický integrál prvního druhu vyjádřit jako

${ displaystyle K (k) = { tfrac { pi} {2}} , {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1 } {2}}; 1; k ^ {2} vpravo).}$

Úplný eliptický integrál prvního druhu se někdy nazývá čtvrtletní období. To lze vypočítat velmi efektivně, pokud jde o aritmeticko – geometrický průměr:

${ displaystyle K (k) = { frac { frac { pi} {2}} { operatorname {agm} left (1, { sqrt {1-k ^ {2}}} right)} }.}$

Vidět Carlson (2010, 19.8) pro podrobnosti.

Vztah k funkci Jacobi theta

Vztah k Jacobiho theta funkce darováno

${ displaystyle K (k) = { frac { pi} {2}} theta _ {3} ^ {2} (q),}$

Kde ne já q je

${ displaystyle q (k) = exp left (- pi { frac {K left ({ sqrt {1-k ^ {2}}} right)} {K (k)}} right ).}$

Asymptotické výrazy

${ displaystyle K left (k right) přibližně { frac { pi} {2}} + { frac { pi} {8}} { frac {k ^ {2}} {1-k ^ {2}}} - { frac { pi} {16}} { frac {k ^ {4}} {1-k ^ {2}}}}$

Tato aproximace má relativní přesnost lepší než 3×10⁻⁴ pro k < 1/2. Zachování pouze prvních dvou výrazů je správné s přesností 0,01 pro k < 1/2.^{[Citace je zapotřebí ]}

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice pro eliptický integrál prvního druhu je

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} k}} vlevo (k vlevo (1-k ^ {2} vpravo) { frac { mathrm {d} K ( k)} { mathrm {d} k}} vpravo) = kK (k)}$

Druhým řešením této rovnice je ${ displaystyle K left ({ sqrt {1-k ^ {2}}} right)}$. Toto řešení tento vztah splňuje

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} k}} K (k) = { frac {E (k)} {k vlevo (1-k ^ {2} vpravo )}} - { frac {K (k)} {k}}.}$

Kompletní eliptický integrál druhého druhu

Spiknutí úplného eliptického integrálu druhého druhu ${ displaystyle E (k)}$

The úplný eliptický integrál druhého druhu E je definován jako

${ displaystyle E (k) = int _ {0} ^ { tfrac { pi} {2}} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}} , mathrm {d} theta = int _ {0} ^ {1} { frac { sqrt {1-k ^ {2} t ^ {2}}} { sqrt {1-t ^ {2}} }} , mathrm {d} t,}$

nebo kompaktněji, pokud jde o neúplný integrál druhého druhu E(φ,k) tak jako

${ displaystyle E (k) = E left ({ tfrac { pi} {2}}, k right) = E (1; k).}$

Pro elipsu s poloviční hlavní osou A a poloviční vedlejší osa b a výstřednost E = √1 − b²/A², úplný eliptický integrál druhého druhu E(E) se rovná jedné čtvrtině obvod C elipsy měřené v jednotkách poloviční hlavní osy A. Jinými slovy:

${ displaystyle c = 4aE (e).}$

Úplný eliptický integrál druhého druhu lze vyjádřit jako a výkonová řada

${ displaystyle E (k) = { frac { pi} {2}} součet _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} left (n! right) ^ {2}}} right) ^ {2} { frac {k ^ {2n}} {1-2n}},}$

což odpovídá

${ displaystyle E (k) = { frac { pi} {2}} vlevo (1- vlevo ({ frac {1} {2}} vpravo) ^ {2} { frac {k ^ {2}} {1}} - left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}} right) ^ {2} { frac {k ^ {4}} {3}} - cdots - left ({ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} right) ^ {2} { frac {k ^ {2n}} {2n-1}} - cdots right).}$

Z hlediska Gaussova hypergeometrická funkce, lze eliptický integrál druhého druhu vyjádřit jako

${ displaystyle E (k) = { tfrac { pi} {2}} , {} _ {2} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}}, - { tfrac { 1} {2}}; 1; k ^ {2} vpravo).}$

Výpočet

Stejně jako integrál prvního druhu lze kompletní eliptický integrál druhého druhu vypočítat velmi efektivně pomocí aritmeticko-geometrického průměru (Carlson 2010, 19.8).

Definujte sekvence ${ displaystyle a_ {n}}$ a ${ displaystyle g_ {n}}$, kde ${ displaystyle a_ {0} = 1}$, ${ displaystyle g_ {0} = { sqrt {1-k ^ {2}}} = k '}$ a relace opakování ${ displaystyle a_ {n + 1} = { frac {a_ {n} + g_ {n}} {2}}}$, ${ displaystyle g_ {n + 1} = { sqrt {a_ {n} g_ {n}}}}$ držet. Dále definujte ${ displaystyle c_ {n} = { sqrt { left | a_ {n} ^ {2} -g_ {n} ^ {2} right |}}}$. Podle definice,

${ displaystyle a _ { infty} = lim _ {n to infty} a_ {n} = lim _ {n to infty} g_ {n} = operatorname {agm} (1, { sqrt {1-k ^ {2}}})}$.

Taky, ${ displaystyle lim _ {n to infty} c_ {n} = 0}$. Pak

${ displaystyle E (k) = { frac { pi} {2a _ { infty}}} vlevo (1- součet _ {n = 0} ^ { infty} 2 ^ {n-1} c_ { n} ^ {2} vpravo).}$

V praxi by aritmeticko-geometrický průměr byl jednoduše vypočítán až do určitého limitu. Tento vzorec kvadraticky konverguje pro všechny ${ displaystyle | k | leq 1}$. Aby se výpočet dále urychlil, relace ${ displaystyle c_ {n + 1} = { frac {c_ {n} ^ {2}} {4a_ {n + 1}}}}$ může být použito.

Derivační a diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac { mathrm {d} E (k)} { mathrm {d} k}} = { frac {E (k) -K (k)} {k}}}$

${ displaystyle left (k ^ {2} -1 right) { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} k}} left (k ; { frac { mathrm {d} E (k)} { mathrm {d} k}} vpravo) = kE (k)}$

Druhým řešením této rovnice je E(√1 − k²) − K.(√1 − k²).

Kompletní eliptický integrál třetího druhu

Spiknutí úplného eliptického integrálu třetího druhu ${ displaystyle Pi (n, k)}$ s několika pevnými hodnotami ${ displaystyle n}$

The úplný eliptický integrál třetího druhu Π lze definovat jako

${ displaystyle Pi (n, k) = int _ {0} ^ { tfrac { pi} {2}} { frac { mathrm {d} theta} { vlevo (1-n sin ^ {2} theta right) { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}}}}}$

Všimněte si, že někdy je eliptický integrál třetího druhu definován inverzním znaménkem pro charakteristický n,

${ displaystyle Pi '(n, k) = int _ {0} ^ { tfrac { pi} {2}} { frac { mathrm {d} theta} { vlevo (1 + n sin ^ {2} theta right) { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} theta}}}}}$

Stejně jako úplné eliptické integrály prvního a druhého druhu lze úplný eliptický integrál třetího druhu vypočítat velmi efektivně pomocí aritmeticko-geometrického průměru (Carlson 2010, 19.8).

Částečné derivace

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné Pi (n, k)} { částečné n}} & = { frac {1} {2 vlevo (k ^ {2} -n right) (n-1)}} left (E (k) + { frac {1} {n}} left (k ^ {2} -n right) K (k) + { frac {1 } {n}} left (n ^ {2} -k ^ {2} right) Pi (n, k) right) [10px] { frac { částečné Pi (n, k) } { částečné k}} & = { frac {k} {nk ^ {2}}} vlevo ({ frac {E (k)} {k ^ {2} -1}} + Pi (n , k) right) end {zarovnáno}}}$

Funkční vztahy

Legendrov vztah:

${ displaystyle K (k) E left ({ sqrt {1-k ^ {2}}} right) + E (k) K left ({ sqrt {1-k ^ {2}}} right) -K (k) K left ({ sqrt {1-k ^ {2}}} right) = { frac { pi} {2}}.}$

Viz také

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 17“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 587. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Byrd, P. F .; Friedman, M.D. (1971). Příručka eliptických integrálů pro inženýry a vědce (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-05318-2.
• Carlson, B. C. (1995). "Numerický výpočet reálných nebo komplexních eliptických integrálů". Numerické algoritmy. 10 (1): 13–26. arXiv:matematika / 9409227. Bibcode:1995NuAlg..10 ... 13C. doi:10.1007 / BF02198293.
• Carlson, B. C. (2010), "Eliptický integrál", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953). Vyšší transcendentální funkce. Svazek II (PDF). McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-Londýn. PAN  0058756.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Jurij Veniaminovič; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. „8.1.“. In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů. Přeložil Scripta Technica, Inc. (8. vydání). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Greenhill, Alfred George (1892). Aplikace eliptických funkcí. New York: Macmillan.
• Hancock, Harris (1910). Přednášky o teorii eliptických funkcí. New York: J. Wiley & synové.
• King, Louis V. (1924). O přímém numerickém výpočtu eliptických funkcí a integrálů. Cambridge University Press.
• Press, W. H .; Teukolsky, S. A .; Vetterling, W. T .; Flannery, B. P. (2007), „Oddíl 6.12. Eliptické integrály a Jacobské eliptické funkce“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8

externí odkazy

• "Eliptický integrál", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein, „Eliptický integrál“ (Mathworld)
• Kód Matlab pro vyhodnocení eliptických integrálů eliptickým projektem
• Racionální aproximace pro úplné eliptické integrály (Exstrom Laboratories)
• Stručná historie eliptických vět o integrálním sčítání