Operátor Laplace - Laplace operator

v matematika, Operátor Laplace nebo Laplacian je operátor diferenciálu dané divergence z spád a funkce na Euklidovský prostor. Obvykle se označuje symboly ∇·∇, ∇² (kde ∇ je operátor nabla ) nebo Δ. V Kartézský souřadnicový systém, Laplacian je dán součtem sekund částečné derivace funkce vzhledem ke každému nezávislé proměnné. V jiných souřadnicové systémy, jako válcovitý a sférické souřadnice, Laplacian má také užitečnou formu. Neformálně Laplacian ΔF(str) funkce F v určitém okamžiku str měří o kolik průměrná hodnota F přes malé koule nebo koule se středem na str se odchyluje od F(str).

Operátor Laplace je pojmenován po francouzském matematikovi Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), který nejprve aplikoval operátora na studium nebeská mechanika, kde operátor udává konstantní násobek hustoty hmoty, když je aplikován na gravitační potenciál kvůli distribuci hmoty s danou hustotou. Řešení rovnice ΔF = 0, nyní volal Laplaceova rovnice, jsou tzv harmonické funkce a představují možné gravitační pole v regionech vakuum.

Laplacian se vyskytuje v diferenciální rovnice které popisují mnoho fyzikálních jevů, jako např elektrický a gravitační potenciály, difúzní rovnice pro teplo a proudění tekutin, šíření vln, a kvantová mechanika. Laplacian představuje magneticka indukce z gradientní tok funkce. Například čistá rychlost, při které se chemická látka rozpuštěná v kapalině pohybuje směrem k určitému bodu nebo od něj, je úměrná Laplaciánu chemické koncentrace v tomto bodě; vyjádřeno symbolicky, výsledná rovnice je rovnice difúze. Z těchto důvodů je ve vědách široce používán pro modelování různých fyzikálních jevů. Laplacian je nejjednodušší eliptický operátor a je jádrem Hodgeova teorie stejně jako výsledky de Rhamova kohomologie. v zpracování obrazu a počítačové vidění, Laplaciánský operátor se používá pro různé úkoly, jako např kapka a Detekce hrany.

Definice

Operátor Laplace je a operátor diferenciálu druhého řádu v n-dimenzionální Euklidovský prostor, definovaný jako divergence (∇·) z spád (∇F ). Tedy pokud F je dvakrát rozlišitelné funkce se skutečnou hodnotou, pak Laplacian z F je definováno:

${ displaystyle Delta f = nabla ^ {2} f = nabla cdot nabla f}$

(1)

kde tyto notace pocházejí z formálního psaní:

${ displaystyle nabla = left ({ frac { částečné} { částečné x_ {1}}}, ldots, { frac { částečné} { částečné x_ {n}}} vpravo).}$

Ekvivalentně Laplacian z F je součet všech nemíchaný druhý částečné derivace v Kartézské souřadnice X_i:

${ displaystyle Delta f = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x_ {i} ^ {2}}}}$

(2)

Jako operátor diferenciálního řádu druhého řádu mapuje operátor Laplace C^k funkce do C^k−2 funkce pro k ≥ 2. Výraz (1) (nebo ekvivalentně (2)) definuje operátora Δ: C^k(ℝⁿ) → C^k−2(ℝⁿ)nebo obecněji operátor Δ: C^k(Ω) → C^k−2(Ω) pro všechny otevřená sada Ω.

Motivace

Difúze

V fyzický teorie difúze, operátor Laplace (přes Laplaceova rovnice ) vzniká přirozeně v matematickém popisu rovnováha.^[1] Konkrétně pokud u je hustota v rovnováze určitého množství, jako je chemická koncentrace, pak čistý tok z u přes hranici jakékoli hladké oblasti PROTI je nula, za předpokladu, že uvnitř není žádný zdroj nebo jímka PROTI:

${ displaystyle int _ { částečné V} nabla u cdot mathbf {n} , dS = 0,}$

kde n je navenek jednotka normální na hranici PROTI. Podle věta o divergenci,

${ displaystyle int _ {V} operatorname {div} nabla u , dV = int _ { částečné V} nabla u cdot mathbf {n} , dS = 0.}$

Protože to platí pro všechny hladké oblasti PROTI, lze ukázat, že to znamená:

${ displaystyle operatorname {div} nabla u = Delta u = 0.}$

Levá strana této rovnice je Laplaceův operátor. Samotný Laplaceův operátor má fyzickou interpretaci pro nerovnovážnou difúzi jako míru, v jaké bod představuje zdroj nebo propad chemické koncentrace, ve smyslu upřesněném difúzní rovnice.

Průměry

Vzhledem k dvakrát nepřetržitě diferencovatelné funkci ${ displaystyle f: { mathbb {R}} ^ {n} do { mathbb {R}}}$, bod ${ displaystyle p in { mathbb {R}} ^ {n}}$ a skutečné číslo ${ displaystyle h> 0}$, nechali jsme ${ displaystyle { overline {f}} _ {B} (p, h)}$ být průměrná hodnota ${ displaystyle f}$ přes míč s poloměrem ${ displaystyle h}$ se středem na ${ displaystyle p}$, a ${ displaystyle { overline {f}} _ {S} (p, h)}$ být průměrná hodnota ${ displaystyle f}$ přes kouli s poloměrem ${ displaystyle h}$ se středem na ${ displaystyle p}$. Pak máme:^[2]

${ displaystyle {f} _ {B} (p, h) = f (p) + { frac { Delta f (p)} {2 (n + 2)}} h ^ {2} + o (h ^ {2}) ; ; ; ; { mbox {pro}} ; ; h do 0}$

a

${ displaystyle {f} _ {S} (p, h) = f (p) + { frac { Delta f (p)} {2n}} h ^ {2} + o (h ^ {2}) ; ; ; ; { mbox {pro}} ; ; h do 0.}$

Hustota spojená s potenciálem

Li φ označuje elektrostatický potenciál spojené s a distribuce poplatků q, pak je samotné rozdělení náboje dáno záporem Laplaciana z φ:

${ displaystyle q = - varepsilon _ {0} Delta varphi,}$

kde ε₀ je elektrická konstanta.

To je důsledek Gaussův zákon. Opravdu, pokud PROTI je libovolná hladká oblast, pak podle Gaussova zákona tok elektrostatického pole E je úměrná přiloženému poplatku:

${ displaystyle int _ { částečné V} mathbf {E} cdot mathbf {n} , dS = int _ {V} operatorname {div} mathbf {E} , dV = { frac {1} { varepsilon _ {0}}} int _ {V} q , dV.}$

kde první rovnost je způsobena věta o divergenci. Protože elektrostatické pole je (záporný) gradient potenciálu, dává to nyní:

${ displaystyle - int _ {V} operatorname {div} ( operatorname {grad} varphi) , dV = { frac {1} { varepsilon _ {0}}} int _ {V} q , dV.}$

Protože to platí pro všechny regiony PROTI, musíme mít

${ displaystyle operatorname {div} ( operatorname {grad} varphi) = - { frac {1} { varepsilon _ {0}}} q}$

Stejný přístup naznačuje, že zápor Laplacian z gravitační potenciál je distribuce hmoty. Často je uvedeno rozložení náboje (nebo hmotnosti) a související potenciál není znám. Nalezení potenciální funkce podléhající vhodným okrajovým podmínkám je ekvivalentní řešení Poissonova rovnice.

Minimalizace energie

Další motivací pro Laplaciany, kteří se objevují ve fyzice, je řešení ΔF = 0 v regionu U jsou funkce, díky nimž Dirichletova energie funkční stacionární:

${ displaystyle E (f) = { frac {1} {2}} int _ {U} Vert nabla f Vert ^ {2} , dx.}$

Chcete-li to vidět, předpokládejme F : U → ℝ je funkce a u : U → ℝ je funkce, která mizí na hranici U. Pak:

${ displaystyle left. { frac {d} {d varepsilon}} vpravo | _ { varepsilon = 0} E (f + varepsilon u) = int _ {U} nabla f cdot nabla u , dx = - int _ {U} u , Delta f , dx}$

kde poslední rovnost následuje pomocí Greenova první identita. Tento výpočet ukazuje, že pokud ΔF = 0, pak E stojí kolem F. Naopak, pokud E stojí kolem F, pak ΔF = 0 podle základní lemma variačního počtu.

Souřadnicové výrazy

Dva rozměry

Operátor Laplace ve dvou rozměrech je dán vztahem:

v Kartézské souřadnice,

${ displaystyle Delta f = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y ^ {2} }}}$

kde X a y jsou standardem Kartézské souřadnice z xy-letadlo.

v polární souřadnice,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta f & = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné f} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné theta ^ {2}}} & = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné r ^ {2}}} + { frac {1} {r}} { frac { částečné f} { částečné r}} + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné theta ^ {2}}}, end {zarovnáno}}}$

kde r představuje radiální vzdálenost a θ úhel.

Tři rozměry

Ve třech rozměrech je běžné pracovat s Laplaciany v celé řadě různých souřadnicových systémů.

v Kartézské souřadnice,

${ displaystyle Delta f = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y ^ {2} }} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}}.}$

v válcové souřadnice,

${ displaystyle Delta f = { frac {1} { rho}} { frac { částečné} { částečné rho}} vlevo ( rho { frac { částečné f} { částečné rho }} vpravo) + { frac {1} { rho ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné varphi ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}},}$

kde ${ displaystyle rho}$ představuje radiální vzdálenost, φ úhel azimutu a z výška.

v sférické souřadnice:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta f & = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} { frac { částečné f} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné f} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné varphi ^ {2}}} & = { frac {1} {r}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné r ^ { 2}}} (rf) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné f} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} f} { partial varphi ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

kde φ představuje azimutální úhel a θ the zenitový úhel nebo společná zeměpisná šířka.

Obecně křivočaré souřadnice (ξ¹, ξ², ξ³):

${ displaystyle Delta = nabla xi ^ {m} cdot nabla xi ^ {n} { frac { částečné ^ {2}} { částečné xi ^ {m} částečné xi ^ { n}}} + nabla ^ {2} xi ^ {m} { frac { částečné} { částečné xi ^ {m}}} = g ^ {mn} vlevo ({ frac { částečné ^ {2}} { částečné xi ^ {m} částečné xi ^ {n}}} - Gamma _ {mn} ^ {l} { frac { částečné} { částečné xi ^ {l }}}že jo),}$

kde předpokládá se součet nad opakovanými indexy,G^mn je inverzní metrický tenzor a Γ^l _mn jsou Christoffel symboly pro vybrané souřadnice.

N rozměry

Libovolně křivočaré souřadnice v N rozměry (ξ¹, …, ξ^N), můžeme Laplacian napsat jako inverzní metrický tenzor, ${ displaystyle g ^ {ij}}$:

${ displaystyle Delta = { frac {1} { sqrt { det g}}} { frac { částečné} { částečné xi ^ {i}}} vlevo ({ sqrt { det g }} g ^ {ij} { frac { částečné} { částečné xi ^ {j}}} vpravo)}$,

z Voss - Weyl vzorec^[3] pro divergence.

v sférické souřadnice v N rozměry, s parametrizací X = rθ ∈ ℝ^N s r představující kladný skutečný poloměr a θ prvek jednotková koule S^N−1,

${ displaystyle Delta f = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné r ^ {2}}} + { frac {N-1} {r}} { frac { částečné f} { partial r}} + { frac {1} {r ^ {2}}} Delta _ {S ^ {N-1}} f}$

kde Δ_S^N−1 je Operátor Laplace – Beltrami na (N − 1)- koule, známá jako sférický Laplacian. Dva radiální derivační výrazy lze ekvivalentně přepsat jako:

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {N-1}}} { frac { částečný} { částečný r}} vlevo (r ^ {N-1} { frac { částečný f} { částečné r}} vpravo).}$

V důsledku toho byl sférický Laplacian funkce definované na S^N−1 ⊂ ℝ^N lze vypočítat jako obyčejný Laplacian funkce rozšířené na ℝ^N∖{0} takže je konstantní podél paprsků, tj. homogenní stupně nula.

Euklidovská invariance

Laplacian je pod všemi invariantní Euklidovské transformace: rotace a překlady. Například ve dvou dimenzích to znamená, že:

${ Displaystyle Delta (f (x cos theta -y sin theta + a, x sin theta + y cos theta + b)) = ( Delta f) (x cos theta - y sin theta + a, x sin theta + y cos theta + b)}$

pro všechny θ, A, a b. V libovolných rozměrech,

${ Displaystyle Delta (f circ rho) = ( Delta f) circ rho}$

kdykoli ρ je rotace a podobně:

${ displaystyle Delta (f circ tau) = ( Delta f) circ tau}$

kdykoli τ je překlad. (Obecněji to platí, když ρ je ortogonální transformace jako a odraz.)

Ve skutečnosti je algebra všech skalárních lineárních diferenciálních operátorů s konstantními koeficienty, které dojíždějí se všemi euklidovskými transformacemi, polynomiální algebra generovaná Laplaceovým operátorem.

Spektrální teorie

The spektrum Laplaceova operátora se skládá ze všech vlastní čísla λ pro které existuje odpovídající vlastní funkce F s:

${ displaystyle - Delta f = lambda f.}$

Toto je známé jako Helmholtzova rovnice.

Li Ω je ohraničená doména v ℝⁿ, pak vlastní funkce Laplacian jsou ortonormální základ pro Hilbertův prostor L²(Ω). Tento výsledek v zásadě vyplývá z spektrální věta na kompaktní operátoři s vlastním nastavením, aplikovaný na inverzi Laplacian (který je kompaktní, podle Poincarého nerovnost a Rellich – Kondrachovova věta ).^[4] Lze také ukázat, že vlastní funkce jsou nekonečně diferencovatelné funkce.^[5] Obecněji platí, že tyto výsledky platí pro operátor Laplace – Beltrami na jakémkoli kompaktním Riemannově varietě s hranicí, nebo dokonce pro problém Dirichletova vlastního čísla libovolného eliptický operátor s hladkými koeficienty na ohraničené doméně. Když Ω je n-koule, vlastní funkce Laplacian jsou sférické harmonické.

Vektor Laplacian

The vektorový operátor Laplace, také označeno ${ displaystyle nabla ^ {2}}$, je operátor diferenciálu definované nad a vektorové pole.^[6] Vektor Laplacian je podobný skalární Laplacian; zatímco skalární Laplacian platí pro a skalární pole a vrátí skalární veličinu, vektor Laplacian platí pro a vektorové pole, vrací vektorové množství. Při výpočtu ortonormální Kartézské souřadnice, vrácené vektorové pole se rovná vektorovému poli skalární Laplacian aplikován na každou vektorovou složku.

The vektor Laplacian a vektorové pole ${ displaystyle mathbf {A}}$ je definován jako

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {A} = nabla ( nabla cdot mathbf {A}) - nabla times ( nabla times mathbf {A}).}$

v Kartézské souřadnice, to se redukuje na mnohem jednodušší formu:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {A} = ( nabla ^ {2} A_ {x}, nabla ^ {2} A_ {y}, nabla ^ {2} A_ {z}), }$

kde ${ displaystyle A_ {x}}$, ${ displaystyle A_ {y}}$, a ${ displaystyle A_ {z}}$ jsou komponenty ${ displaystyle mathbf {A}}$. Toto lze považovat za zvláštní případ Lagrangeova vzorce; vidět Vektorový trojitý produkt.

Výrazy vektoru Laplacian v jiných souřadnicových systémech viz Del ve válcových a sférických souřadnicích.

Zobecnění

Laplacián každého tenzorové pole ${ displaystyle mathbf {T}}$ ("tensor" zahrnuje skalární a vektorový) je definován jako divergence z spád tenzoru:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {T} = ( nabla cdot nabla) mathbf {T}.}$

Pro zvláštní případ, kdy ${ displaystyle mathbf {T}}$ je skalární (tenzor stupně nula), Laplacian nabývá známé formy.

Li ${ displaystyle mathbf {T}}$ je vektor (tenzor prvního stupně), gradient je a kovarianční derivace což má za následek tenzor druhého stupně a divergence je opět vektor. Vzorec pro vektor Laplacian výše lze použít, aby se zabránilo tenzorové matematice, a může se ukázat, že je ekvivalentní divergenci Jacobian matrix níže pro gradient vektoru:

${ displaystyle nabla mathbf {T} = ( nabla T_ {x}, nabla T_ {y}, nabla T_ {z}) = { begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} end {bmatrix}}, { text {where}} T_ {uv} equiv { frac { částečné T_ {u}} { částečné v}}.}$

Stejným způsobem lze na bodový součin vektoru, který se vyhodnotí jako vektor, gradientem jiného vektoru (tenzor 2. stupně), pohlížet jako na produkt matic:

${ displaystyle mathbf {A} cdot nabla mathbf {B} = { begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} end {bmatrix}} nabla mathbf {B} = { begin {bmatrix} mathbf {A} cdot nabla B_ {x} & mathbf {A} cdot nabla B_ {y} & mathbf {A} cdot nabla B_ {z} end { bmatrix}}.}$

Tato identita je výsledkem závislým na souřadnicích a není obecná.

Použití ve fyzice

Příkladem použití vektoru Laplacian je Navier-Stokesovy rovnice pro Newtonian nestlačitelný tok:

${ displaystyle rho left ({ frac { částečné mathbf {v}} { částečné t}} + ( mathbf {v} cdot nabla) mathbf {v} vpravo) = rho mathbf {f} - nabla p + mu left ( nabla ^ {2} mathbf {v} right),}$

kde termín s vektorem Laplacian z rychlost pole ${ displaystyle mu left ( nabla ^ {2} mathbf {v} right)}$ představuje viskózní zdůrazňuje v tekutině.

Dalším příkladem je vlnová rovnice pro elektrické pole, ze které lze odvodit Maxwellovy rovnice při absenci poplatků a proudů:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} - mu _ {0} epsilon _ {0} { frac { částečné ^ {2} mathbf {E}} { částečné t ^ {2 }}} = 0.}$

Předchozí rovnici lze také zapsat jako:

${ displaystyle Box , mathbf {E} = 0,}$

kde

${ displaystyle Box equiv { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2}, }$

je D'Alembertian, použitý v Klein-Gordonova rovnice.

Zobecnění

Verze Laplacian může být definována kdekoli Dirichletova energie funkční dává smysl, což je teorie Dirichletské formy. U prostorů s dodatečnou strukturou lze uvést jasnější popis Laplacian, a to následovně.

Operátor Laplace – Beltrami

Laplacian lze také zobecnit na eliptický operátor zvaný Operátor Laplace – Beltrami definované na a Riemannovo potrubí. Operátor d'Alembert zobecňuje na hyperbolický operátor pseudoriemanianské rozdělovače. Operátor Laplace – Beltrami, pokud je použit na funkci, je stopa (tr) funkce Hesián:

${ displaystyle Delta f = operatorname {tr} { big (} H (f) { big)}}$

kde je stopa vzata s ohledem na inverzní k metrický tenzor. Operátor Laplace – Beltrami lze také zobecnit na operátora (nazývaného také operátor Laplace – Beltrami), který pracuje na tenzorová pole podobným vzorcem.

Další zobecnění Laplaceova operátoru, které je k dispozici na pseudoriemanských varietách, používá vnější derivace „Termíny Laplacian“ jsou vyjádřeny jako

${ displaystyle Delta f = delta df.}$

Tady δ je codifferential, což lze vyjádřit také pomocí Hodge hvězda a vnější derivát. Tento operátor se liší znaménkem od výše definovaného „Laplacianova analytika“. Obecněji je „Hodge“ Laplacian definován na diferenciální formy α podle

${ displaystyle Delta alpha = delta d alpha + d delta alpha.}$

Toto je známé jako Operátor Laplace – de Rham, který je spojen s operátorem Laplace – Beltrami Weitzenböck identita.

D'Alembertian

Laplacian lze určitými způsoby zobecnit neeuklidovský prostory, kde to může být eliptický, hyperbolický nebo ultrahyperbolický.

V Minkowského prostor the Operátor Laplace – Beltrami se stává D'Alembertův operátor ⧠ nebo D'Alembertian:

${ displaystyle square = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} - { frac { částečné ^ { 2}} { částečné x ^ {2}}} - { frac { částečné ^ {2}} { částečné y ^ {2}}} - { frac { částečné ^ {2}} { částečné z ^ {2}}}.}$

Jedná se o zobecnění Laplaceova operátoru v tom smyslu, že je to diferenciální operátor, který je neměnný pod izometrická skupina podkladového prostoru a redukuje se na Laplaceův operátor, pokud je omezen na časově nezávislé funkce. Celkové znaménko metriky je zde zvoleno tak, aby prostorové části operátoru připustily záporné znaménko, což je obvyklá konvence u vysokoenergetických částicová fyzika. D'Alembertův operátor je také známý jako vlnový operátor, protože je diferenciálním operátorem, který se objevuje v vlnové rovnice, a je také součástí Klein-Gordonova rovnice, což se redukuje na vlnovou rovnici v nehmotném případě.

Další faktor C v metrice je potřeba ve fyzice, pokud se prostor a čas měří v různých jednotkách; podobný faktor by byl vyžadován, pokud by například X směr byl měřen v metrech, zatímco y směr byly měřeny v centimetrech. Ve skutečnosti teoretičtí fyzici obvykle pracují v takových jednotkách C = 1 za účelem zjednodušení rovnice.

Viz také

• Operátor Laplace – Beltrami, zobecnění na submanifolds v euklidovském prostoru a Riemannian a pseudo-Riemannian potrubí.
• The vektor Laplacian operátor, zobecnění Laplacian na vektorová pole.
• The Laplacian v diferenciální geometrii.
• The diskrétní Laplaceův operátor je konečný rozdíl analoga spojitého Laplacian, definovaný v grafech a mřížkách.
• Laplacian je běžným operátorem v zpracování obrazu a počítačové vidění (viz Laplacian z Gaussian, detektor blobů, a měřítko prostoru ).
• The seznam vzorců v Riemannově geometrii obsahuje výrazy pro Laplacian, pokud jde o symboly Christoffel.
• Weylovo lemma (Laplaceova rovnice).
• Earnshawova věta což ukazuje, že stabilní statické gravitační, elektrostatické nebo magnetické odpružení je nemožné.
• Del ve válcových a sférických souřadnicích.
• Další situace, ve kterých je definován Laplacian, jsou: analýza fraktálů, kalkul časové stupnice a diskrétní vnější počet.

Poznámky

Reference

• Evans, L. (1998), Parciální diferenciální rovniceAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Feynman, R .; Leighton, R; Sands, M. (1970), „Kapitola 12: Elektrostatické analogy“, Feynmanovy přednášky z fyziky, 2, Addison-Wesley-Longman
• Gilbarg, D .; Trudinger, N. (2001), Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řáduSpringer, ISBN  978-3-540-41160-4.
• Schey, H. M. (1996), Div, Grad, Curl a tak dáleW. W. Norton, ISBN  978-0-393-96997-9.

Další čtení

• http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node23.html

externí odkazy

• „Operátor Laplaceova“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Laplacian". MathWorld.
• Jak by Laplace skryl kozu: Nová věda o magických oknech
• Laplacian v odvození polárních souřadnic