Článek na seznamu Wikimedia s pravidly pro výpočet derivace funkce v počtu
Toto je souhrn pravidla diferenciace , tj. pravidla pro výpočet derivát a funkce v počet .
Základní pravidla diferenciace Pokud není uvedeno jinak, všechny funkce jsou funkcemi reálná čísla (R ) které vracejí skutečné hodnoty; i když obecněji platí níže uvedené vzorce, ať jsou kdekoli dobře definované [1] [2] - včetně případu komplexní čísla (C ) .[3]
Diferenciace je lineární Pro jakékoli funkce F {displaystyle f} a G {displaystyle g} a jakákoli reálná čísla A {displaystyle a} a b {displaystyle b} , derivace funkce h ( X ) = A F ( X ) + b G ( X ) {displaystyle h (x) = af (x) + bg (x)} s ohledem na X {displaystyle x} je
h ′ ( X ) = A F ′ ( X ) + b G ′ ( X ) . {displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).} v Leibnizova notace toto se píše jako:
d ( A F + b G ) d X = A d F d X + b d G d X . {displaystyle {frac {d (af + bg)} {dx}} = a {frac {df} {dx}} + b {frac {dg} {dx}}.} Zvláštní případy zahrnují:
The pravidlo konstantního faktoru ( A F ) ′ = A F ′ {displaystyle (af) '= af'} ( F + G ) ′ = F ′ + G ′ {displaystyle (f + g) '= f' + g '} ( F − G ) ′ = F ′ − G ′ . {displaystyle (f-g) '= f'-g'.} Pravidlo produktu Pro funkce F a G , derivace funkce h (X ) = F (X ) G (X ) s ohledem na X je
h ′ ( X ) = ( F G ) ′ ( X ) = F ′ ( X ) G ( X ) + F ( X ) G ′ ( X ) . {displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).} V Leibnizově zápisu je to napsáno
d ( F G ) d X = d F d X G + F d G d X . {displaystyle {frac {d (fg)} {dx}} = {frac {df} {dx}} g + f {frac {dg} {dx}}.} Řetězové pravidlo Derivace funkce h ( X ) = F ( G ( X ) ) {displaystyle h (x) = f (g (x))} je
h ′ ( X ) = F ′ ( G ( X ) ) ⋅ G ′ ( X ) . {displaystyle h '(x) = f' (g (x)) cdot g '(x).} V Leibnizově zápisu je toto napsáno jako:
d d X h ( X ) = d d z F ( z ) | z = G ( X ) ⋅ d d X G ( X ) , {displaystyle {frac {d} {dx}} h (x) = {frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} cdot {frac {d} {dx}} g (X),} často zkráceno na
d h ( X ) d X = d F ( G ( X ) ) d G ( X ) ⋅ d G ( X ) d X . {displaystyle {frac {dh (x)} {dx}} = {frac {df (g (x))} {dg (x)}} cdot {frac {dg (x)} {dx}}.} Soustředit se na představu o mapách, přičemž rozdílem je mapa D {displaystyle {ext {D}}} , toto je psáno stručnějším způsobem jako:
[ D ( F ∘ G ) ] X = [ D F ] G ( X ) ⋅ [ D G ] X . {displaystyle [{ext {D}} (fcirc g)] _ {x} = [{ext {D}} f] _ {g (x)} cdot [{ext {D}} g] _ {x}, .} Pravidlo inverzní funkce Pokud je funkce F má inverzní funkce G , znamenající, že G ( F ( X ) ) = X {displaystyle g (f (x)) = x} a F ( G ( y ) ) = y , {displaystyle f (g (y)) = y,} pak
G ′ = 1 F ′ ∘ G . {displaystyle g '= {frac {1} {f'circ g}}.} V Leibnizově zápisu je toto psáno jako
d X d y = 1 d y d X . {displaystyle {frac {dx} {dy}} = {frac {1} {frac {dy} {dx}}}.} Zákony moci, polynomy, kvocienty a převrácené hodnoty Polynomiální nebo elementární pravidlo síly Li F ( X ) = X r {displaystyle f (x) = x ^ {r}} , pro jakékoli skutečné číslo r ≠ 0 , {displaystyle req 0,} pak
F ′ ( X ) = r X r − 1 . {displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.} Když r = 1 , {displaystyle r = 1,} toto se stane zvláštním případem, že pokud F ( X ) = X , {displaystyle f (x) = x,} pak F ′ ( X ) = 1. {displaystyle f '(x) = 1.}
Kombinace pravidla síly se součtem a konstantními vícenásobnými pravidly umožňuje výpočet derivace libovolného polynomu.
Vzájemné pravidlo Derivát h ( X ) = 1 F ( X ) {displaystyle h (x) = {frac {1} {f (x)}}} pro jakoukoli (nerezovou) funkci F je:
h ′ ( X ) = − F ′ ( X ) ( F ( X ) ) 2 {displaystyle h '(x) = - {frac {f' (x)} {(f (x)) ^ {2}}}} kdekoli F je nenulová.V Leibnizově zápisu je to napsáno
d ( 1 / F ) d X = − 1 F 2 d F d X . {displaystyle {frac {d (1 / f)} {dx}} = - {frac {1} {f ^ {2}}} {frac {df} {dx}}.} Reciproční pravidlo lze odvodit buď z pravidla kvocientu, nebo z kombinace pravidla moci a pravidla řetězu.
Pravidlo kvocientu Li F a G jsou funkce, pak:
( F G ) ′ = F ′ G − G ′ F G 2 {displaystyle left ({frac {f} {g}} ight) '= {frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} quad} kdekoli G je nenulová.To lze odvodit z pravidla produktu a recipročního pravidla.
Zobecněné pravidlo moci Pravidlo elementární moci se značně zobecňuje. Nejobecnějším pravidlem moci je pravidlo funkční síly : pro jakékoli funkce F a G ,
( F G ) ′ = ( E G ln F ) ′ = F G ( F ′ G F + G ′ ln F ) , {displaystyle (f ^ {g}) '= left (e ^ {gln f} ight)' = f ^ {g} left (f '{g over f} + g'ln fight), quad} kdekoli jsou obě strany dobře definované.[4]
Speciální případy
Li F ( X ) = X A {extstyle f (x) = x ^ {a}!} , pak F ′ ( X ) = A X A − 1 {extstyle f '(x) = ax ^ {a-1}} když A je jakékoli nenulové reálné číslo a X je pozitivní. Reciproční pravidlo lze odvodit jako zvláštní případ, kdy G ( X ) = − 1 {extstyle g (x) = - 1!} . Deriváty exponenciálních a logaritmických funkcí d d X ( C A X ) = A C A X ln C , C > 0 {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (c ^ {ax} ight) = {ac ^ {ax} ln c}, qquad c> 0} výše uvedená rovnice platí pro všechny C , ale derivát pro C < 0 {extstyle c <0} získá komplexní číslo.
d d X ( E A X ) = A E A X {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (e ^ {ax} ight) = ae ^ {ax}} d d X ( log C X ) = 1 X ln C , C > 0 , C ≠ 1 {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (log _ {c} xight) = {1 nad xln c}, qquad c> 0, ceq 1} výše uvedená rovnice platí také pro všechny C , ale získá komplexní číslo, pokud C < 0 {extstyle c <0!} .
d d X ( ln X ) = 1 X , X > 0. {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (ln xight) = {1 nad x}, qquad x> 0.} d d X ( ln | X | ) = 1 X . {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (ln | x | ight) = {1 nad x}.} d d X ( X X ) = X X ( 1 + ln X ) . {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (x ^ {x} ight) = x ^ {x} (1 + ln x).} d d X ( F ( X ) G ( X ) ) = G ( X ) F ( X ) G ( X ) − 1 d F d X + F ( X ) G ( X ) ln ( F ( X ) ) d G d X , -li F ( X ) > 0 , a pokud d F d X a d G d X existovat. {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (f (x) ^ {g (x)} ight) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {frac {df} { dx}} + f (x) ^ {g (x)} ln {(f (x))} {frac {dg} {dx}}, qquad {ext {if}} f (x)> 0, {ext {and if}} {frac {df} {dx}} {ext {and}} {frac {dg} {dx}} {ext {exist.}}} d d X ( F 1 ( X ) F 2 ( X ) ( . . . ) F n ( X ) ) = [ ∑ k = 1 n ∂ ∂ X k ( F 1 ( X 1 ) F 2 ( X 2 ) ( . . . ) F n ( X n ) ) ] | X 1 = X 2 = . . . = X n = X , -li F i < n ( X ) > 0 a {displaystyle {frac {d} {dx}} vlevo (f_ {1} (x) ^ {f_ {2} (x) ^ {vlevo (... ight) ^ {f_ {n} (x)}}}) ight) = vlevo [limity součtu _ {k = 1} ^ {n} {frac {částečné} {částečné x_ {k}}} vlevo (f_ {1} (x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {left (... ight) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} ight) ight] {iggr vert} _ {x_ {1} = x_ {2} = .. . = x_ {n} = x}, {ext {if}} f_ {i 0 {ext {and}}} d F i d X existuje. {displaystyle {frac {df_ {i}} {dx}} {ext {existuje. }}} Logaritmické deriváty The logaritmická derivace je další způsob stanovení pravidla pro rozlišení logaritmus funkce (pomocí pravidla řetězu):
( ln F ) ′ = F ′ F {displaystyle (ln f) '= {frac {f'} {f}} čtyřkolka} kdekoli F je pozitivní.Logaritmická diferenciace je technika, která používá logaritmy a jejich pravidla diferenciace ke zjednodušení určitých výrazů před skutečným použitím derivátu. Logaritmy lze použít k odstranění exponentů, převodu produktů na součty a převodu dělení na odčítání - každý z nich může vést ke zjednodušenému výrazu deriváty.
Deriváty trigonometrických funkcí ( hřích X ) ′ = cos X {displaystyle (sin x) '= cos x} ( arcsin X ) ′ = 1 1 − X 2 {displaystyle (arcsin x) '= {1 nad {sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( cos X ) ′ = − hřích X {displaystyle (cos x) '= - sin x} ( arccos X ) ′ = − 1 1 − X 2 {displaystyle (arccos x) '= - {1 nad {sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( opálení X ) ′ = sek 2 X = 1 cos 2 X = 1 + opálení 2 X {displaystyle (an x) '= sec ^ {2} x = {1 over cos ^ {2} x} = 1 + an ^ {2} x} ( arktan X ) ′ = 1 1 + X 2 {displaystyle (arctan x) '= {1 nad 1 + x ^ {2}}} ( dětská postýlka X ) ′ = − csc 2 X = − 1 hřích 2 X = − ( 1 + dětská postýlka 2 X ) {displaystyle (cot x) '= - csc ^ {2} x = - {1 over sin ^ {2} x} = - (1 + cot ^ {2} x)} ( arccot X ) ′ = − 1 1 + X 2 {displaystyle (operatorname {arccot} x) '= - {1 nad 1 + x ^ {2}}} ( sek X ) ′ = opálení X sek X {displaystyle (sec x) '= an xsec x} ( arcsec X ) ′ = 1 | X | X 2 − 1 {displaystyle (operatorname {arcsec} x) '= {1 nad | x | {sqrt {x ^ {2} -1}}}} ( csc X ) ′ = − dětská postýlka X csc X {displaystyle (csc x) '= - dětská postýlka xcsc x} ( arccsc X ) ′ = − 1 | X | X 2 − 1 {displaystyle (operatorname {arccsc} x) '= - {1 přes | x | {sqrt {x ^ {2} -1}}}}
Je běžné dodatečně definovat inverzní tangenciální funkce se dvěma argumenty , arktan ( y , X ) {displaystyle arctan (y, x)!} . Jeho hodnota leží v rozsahu [ − π , π ] {displaystyle [-pi, pi]!} a odráží kvadrant bodu ( X , y ) {displaystyle (x, y)!} . Pro první a čtvrtý kvadrant (tj. X > 0 {displaystyle x> 0!} ) jeden má arktan ( y , X > 0 ) = arktan ( y / X ) {displaystyle arctan (y, x> 0) = arctan (y / x)!} . Jeho dílčí deriváty jsou
∂ arktan ( y , X ) ∂ y = X X 2 + y 2 {displaystyle {frac {částečný arctan (y, x)} {částečný y}} = {frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}} , a ∂ arktan ( y , X ) ∂ X = − y X 2 + y 2 . {displaystyle {frac {částečný arktan (y, x)} {částečný x}} = {frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
Deriváty hyperbolických funkcí ( sinh X ) ′ = hovadina X = E X + E − X 2 {displaystyle (sinh x) '= cosh x = {frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}}} ( arsinh X ) ′ = 1 X 2 + 1 {displaystyle (operatorname {arsinh}, x) '= {1 nad {sqrt {x ^ {2} +1}}}} ( hovadina X ) ′ = sinh X = E X − E − X 2 {displaystyle (cosh x) '= sinh x = {frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}}} ( arcosh X ) ′ = 1 X 2 − 1 {displaystyle (operatorname {arcosh}, x) '= {frac {1} {sqrt {x ^ {2} -1}}}} ( tanh X ) ′ = sech 2 X {displaystyle (anh x) '= {operatorname {sech} ^ {2}, x}} ( artanh X ) ′ = 1 1 − X 2 {displaystyle (operatorname {artanh}, x) '= {1 nad 1-x ^ {2}}} ( coth X ) ′ = − csch 2 X {displaystyle (operatorname {coth}, x) '= -, operatorname {csch} ^ {2}, x} ( arcoth X ) ′ = 1 1 − X 2 {displaystyle (operatorname {arcoth}, x) '= {1 nad 1-x ^ {2}}} ( sech X ) ′ = − tanh X sech X {displaystyle (operatorname {sech}, x) '= - anh x, operatorname {sech}, x} ( arsech X ) ′ = − 1 X 1 − X 2 {displaystyle (operatorname {arsech}, x) '= - {1 nad x {sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( csch X ) ′ = − coth X csch X {displaystyle (operatorname {csch}, x) '= -, operatorname {coth}, x, operatorname {csch}, x} ( arcsch X ) ′ = − 1 | X | 1 + X 2 {displaystyle (operatorname {arcsch}, x) '= - {1 přes | x | {sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
Vidět Hyperbolické funkce omezení těchto derivátů.
Deriváty speciálních funkcí Funkce Riemann Zeta ζ ( X ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n X {displaystyle quad zeta (x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {x}}}} ζ ′ ( X ) = − ∑ n = 1 ∞ ln n n X = − ln 2 2 X − ln 3 3 X − ln 4 4 X − ⋯ {displaystyle zeta '(x) = - součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {ln n} {n ^ {x}}} = - {frac {ln 2} {2 ^ {x}}} - {frac {ln 3} {3 ^ {x}}} - {frac {ln 4} {4 ^ {x}}} - cdots} = − ∑ p primární p − X ln p ( 1 − p − X ) 2 ∏ q primární , q ≠ p 1 1 − q − X {displaystyle, = - součet _ {p {ext {prime}}} {frac {p ^ {- x} ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}}} prod _ {q { ext {prime}}, qeq p} {frac {1} {1-q ^ {- x}}}}
Deriváty integrálů Předpokládejme, že je třeba rozlišovat s ohledem na X funkce
F ( X ) = ∫ A ( X ) b ( X ) F ( X , t ) d t , {displaystyle F (x) = int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t), dt,} kde funkce F ( X , t ) {displaystyle f (x, t)} a ∂ ∂ X F ( X , t ) {displaystyle {frac {částečné} {částečné x}}, f (x, t)} jsou oba spojité v obou t {displaystyle t} a X {displaystyle x} v některých oblastech ( t , X ) {displaystyle (t, x)} letadlo, včetně A ( X ) ≤ t ≤ b ( X ) , {displaystyle a (x) leq tleq b (x),} X 0 ≤ X ≤ X 1 {displaystyle x_ {0} leq xleq x_ {1}} a funkce A ( X ) {displaystyle a (x)} a b ( X ) {displaystyle b (x)} jsou spojité a oba mají spojité derivace pro X 0 ≤ X ≤ X 1 {displaystyle x_ {0} leq xleq x_ {1}} . Pak pro X 0 ≤ X ≤ X 1 {displaystyle, x_ {0} leq xleq x_ {1}} :
F ′ ( X ) = F ( X , b ( X ) ) b ′ ( X ) − F ( X , A ( X ) ) A ′ ( X ) + ∫ A ( X ) b ( X ) ∂ ∂ X F ( X , t ) d t . {displaystyle F '(x) = f (x, b (x)), b' (x) -f (x, a (x)), a '(x) + int _ {a (x)} ^ { b (x)} {frac {částečný} {částečný x}}, f (x, t); dt ,.} Tento vzorec je obecnou formou Leibnizovo integrální pravidlo a lze je odvodit pomocí základní věta o počtu .
Deriváty pro n th pořadí Některá pravidla existují pro výpočet n - th derivace funkcí, kde n je kladné celé číslo. Tyto zahrnují:
Vzorec Faà di Bruno Li F a G jsou n - tedy časově rozlišitelné
d n d X n [ F ( G ( X ) ) ] = n ! ∑ { k m } F ( r ) ( G ( X ) ) ∏ m = 1 n 1 k m ! ( G ( m ) ( X ) ) k m {displaystyle {frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! součet _ {{k_ {m}}} ^ {} f ^ {(r) } (g (x)) prod _ {m = 1} ^ {n} {frac {1} {k_ {m}!}} vlevo (g ^ {(m)} (x) ight) ^ {k_ {m }}} kde r = ∑ m = 1 n − 1 k m {displaystyle r = součet _ {m = 1} ^ {n-1} k_ {m}} a sada { k m } {displaystyle {k_ {m}}} sestává ze všech nezáporných celočíselných řešení diofantické rovnice ∑ m = 1 n m k m = n {displaystyle sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n} .
Obecné Leibnizovo pravidlo Li F a G jsou n - tedy časově rozlišitelné
d n d X n [ F ( X ) G ( X ) ] = ∑ k = 0 n ( n k ) d n − k d X n − k F ( X ) d k d X k G ( X ) {displaystyle {frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = součet _ {k = 0} ^ {n} {jiné {n} {k}} {frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)} Viz také Reference ^ Calculus (5. vydání) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaumova osnova, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.^ Advanced Calculus (3. vydání) R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.^ Složité proměnné M.R. Speigel, S.Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3^ „Pravidlo exponenta pro deriváty“ . Matematický trezor . 2016-05-21. Citováno 2019-07-25 .Zdroje a další čtení Tato pravidla jsou uvedena v mnoha knihách o čisté i aplikované matematice, a to jak o základním, tak o pokročilém počtu. Ty v tomto článku (kromě výše uvedených odkazů) najdete v:
Matematická příručka vzorců a tabulek (3. vydání) , S.Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.Matematické metody pro fyziku a inženýrství , K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3NIST Handbook of Mathematical Functions , F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.externí odkazy Prostředky knihovny o Pravidla diferenciace