Integrace substitucí - Integration by substitution

v počet, integrace substitucí, také známý jako u-střídání nebo změna proměnných,^[1] je metoda hodnocení integrály a antiderivativa. Je to protějšek k řetězové pravidlo pro diferenciace, ve skutečnosti jej lze volně považovat za použití pravidla řetězu „vzad“.

Nahrazení jedné proměnné

Úvod

Než důsledně uvedeme výsledek, prozkoumáme použití jednoduchého případu neurčité integrály.

Vypočítat ${ displaystyle textstyle int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) , dx}$.^[2]

Soubor ${ displaystyle u = 2x ^ {3} +1}$. To znamená ${ displaystyle textstyle { frac {du} {dx}} = 6x ^ {2}}$, nebo v diferenciální forma ${ displaystyle du = 6x ^ {2} , dx}$. Nyní

${ displaystyle int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) , dx = { frac {1} {6}} int underbrace {(2x ^ {3} +1) ^ {7}} _ {u ^ {7}} underbrace {(6x ^ {2}) , dx} _ {du} = { frac {1} {6}} int u ^ { 7} , du = { frac {1} {6}} vlevo ({ frac {1} {8}} u ^ {8} vpravo) = { frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} + C.}$

Tento postup se často používá, ale ne všechny integrály mají formu, která umožňuje jeho použití. V každém případě by měl být výsledek ověřen diferenciací a porovnáním s původní integrand.

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo [{ frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} vpravo] = { frac {1} { 6}} (2x ^ {3} +1) ^ {7} (6x ^ {2}) = (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}).}$

U určitých integrálů je také nutné upravit limity integrace, ale postup je většinou stejný.

Určité integrály

Nechat φ : [A,b] → Já být diferencovatelná funkce se spojitou derivací, kde Já ⊆ R je interval. Předpokládejme to F : Já → R je spojitá funkce. Pak^[3]

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f ( varphi (x)) varphi '(x) , dx = int _ { varphi (a)} ^ { varphi (b)} f (u) , du.}$

V Leibnizově zápisu substituce u = φ(X) výnosy

${ displaystyle { frac {du} {dx}} = varphi '(x).}$

Práce heuristicky s nekonečně malými čísly poskytuje rovnici

${ displaystyle du = varphi '(x) , dx,}$

což naznačuje výše uvedený substituční vzorec. (Tuto rovnici lze postavit na přísný základ jejím interpretací jako tvrzení o diferenciální formy.) Metodu integrace substitucí lze považovat za částečné zdůvodnění Leibnizova notace pro integrály a deriváty.

Vzorec se používá k transformaci jednoho integrálu na jiný integrál, který je snazší vypočítat. Vzorec lze tedy číst zleva doprava nebo zprava doleva, aby se zjednodušil daný integrál. Pokud se používá dřívějším způsobem, někdy se označuje jako u-střídání nebo w-střídání ve kterém je nová proměnná definována jako funkce původní proměnné nalezené uvnitř složené funkce vynásobená derivací vnitřní funkce. Druhý způsob se běžně používá v trigonometrická substituce, nahradí původní proměnnou a trigonometrická funkce nové proměnné a původního diferenciálu s rozdíl trigonometrické funkce.

Důkaz

Integraci substitucí lze odvodit z základní věta o počtu jak následuje. Nechat F a φ být dvě funkce splňující výše uvedenou hypotézu, že F je nepřetržitě zapnuto Já a φ′ je integrovatelný v uzavřeném intervalu [A,b]. Pak funkce F(φ(X))φ′(X) je také integrovatelný [A,b]. Proto integrály

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f ( varphi (x)) varphi '(x) , dx}$

a

${ displaystyle int _ { varphi (a)} ^ { varphi (b)} f (u) , du}$

ve skutečnosti existují a zbývá ukázat, že jsou si rovni.

Od té doby F je spojitý, má primitivní F. The složená funkce F ∘ φ je pak definováno. Od té doby φ je rozlišitelný, kombinující řetězové pravidlo a definice primitivní funkce dává

${ displaystyle (F circ varphi) '(x) = F' ( varphi (x)) varphi '(x) = f ( varphi (x)) varphi' (x).}$

Uplatnění základní věta o počtu dvakrát dává

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int _ {a} ^ {b} f ( varphi (x)) varphi '(x) , dx & = int _ {a} ^ {b} (F circ varphi) '(x) , dx & = (F circ varphi) (b) - (F circ varphi) (a) & = F ( varphi (b)) - F ( varphi (a)) & = int _ { varphi (a)} ^ { varphi (b)} f (u) , du, end {zarovnáno}}}$

což je substituční pravidlo.

Příklady

Příklad 1:

Zvažte integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} x cos (x ^ {2} +1) dx.}$

Proveďte náhradu ${ displaystyle u = x ^ {2} +1}$ získat ${ displaystyle du = 2xdx}$, význam ${ displaystyle textstyle xdx = { frac {1} {2}} du}$. Proto,

${ displaystyle { begin {zarovnaný} int _ {x = 0} ^ {x = 2} x cos (x ^ {2} +1) dx & = { frac {1} {2}} int _ {u = 1} ^ {u = 5} cos (u) , du [6pt] & = { frac {1} {2}} ( sin (5) - sin (1)). end {zarovnáno}}}$

Od spodní hranice ${ displaystyle x = 0}$ byl nahrazen ${ displaystyle u = 1}$a horní mez ${ displaystyle x = 2}$ s ${ displaystyle 2 ^ {2} + 1 = 5}$, transformace zpět na ${ displaystyle x}$ bylo zbytečné.

Alternativně lze plně vyhodnotit neurčitý integrál (viz. níže ) nejprve použijte okrajové podmínky. To se stává obzvláště užitečné, když se používá více substitucí.

Příklad 2:

Pro integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx,}$

je nutná variace výše uvedeného postupu. Střídání ${ displaystyle x = sin u}$ naznačující ${ displaystyle dx = cos udu}$ je užitečné, protože ${ displaystyle { sqrt {1- sin ^ {2} u}} = cos (u)}$. Máme tedy

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx & = int _ {0} ^ { pi / 2} { sqrt {1- sin ^ {2} u}} cos (u) , du [6pt] & = int _ {0} ^ { pi / 2} cos ^ {2} u , du [6pt] & = left [{ frac {u} {2}} + { frac { sin (2u)} {4}} right] { Biggl |} _ {0} ^ { pi / 2} [6pt] & = { frac { pi} {4}} + 0 = { frac { pi} {4}}. end {zarovnáno}}}$

Výsledný integrál lze vypočítat pomocí integrace po částech nebo a vzorec dvojitého úhlu, ${ displaystyle 2 cos ^ {2} u = 1 + cos (2u)}$, následuje ještě jedno střídání. Lze si také všimnout, že integrovaná funkce je pravá horní čtvrtina kruhu s poloměrem jedna, a proto integrace pravé horní čtvrtiny od nuly do jedné je geometrický ekvivalent k ploše jedné čtvrtiny jednotkové kružnice, nebo ${ displaystyle pi / 4}$.

Antidivativa

K určení lze použít náhradu antiderivativa. Jeden si vybere vztah mezi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle u}$, určuje odpovídající vztah mezi ${ displaystyle dx}$ a ${ displaystyle du}$ diferenciací a provádí substituce. Doufejme, že bude možné určit primitivní funkci pro substituovanou funkci; původní substituce mezi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle u}$ je poté vrácena.

Podobně jako v příkladu 1 výše lze pomocí této metody získat následující primitivní funkce:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int x cos (x ^ {2} +1) , dx & = { frac {1} {2}} int 2x cos (x ^ {2} +1 ) , dx [6pt] & = { frac {1} {2}} int cos u , du [6pt] & = { frac {1} {2}} sin u + C = { frac {1} {2}} sin (x ^ {2} +1) + C, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle C}$ je libovolný konstanta integrace.

Nebyly zjištěny žádné integrální hranice k transformaci, ale v posledním kroku bylo vráceno původní nahrazení ${ displaystyle u = x ^ {2} +1}$ bylo nutné. Při hodnocení určitých integrálů substitucí je možné nejprve nejprve vypočítat anti-negativ, poté použít okrajové podmínky. V takovém případě není třeba hraniční podmínky transformovat.

The tangenciální funkce lze integrovat pomocí substituce vyjádřením ve smyslu sinu a kosinu:

${ displaystyle int tan x , dx = int { frac { sin x} { cos x}} , dx}$

Použití substituce ${ displaystyle u = cos x}$ dává ${ displaystyle du = - sin x , dx}$ a

${ displaystyle { begin {zarovnané} int tan x , dx & = int { frac { sin x} { cos x}} , dx & = int - { frac {du} {u}} & = - ln | u | + C & = - ln | cos x | + C = ln | sec x | + C. end {zarovnáno}}}$

Substituce pro více proměnných

Lze také použít substituci při integraci funkcí několika proměnných. Zde substituční funkce (proti₁,...,proti_n) = φ(u₁, ..., u_n) musí být injekční a průběžně diferencovatelné a diferenciály se transformují jako

${ displaystyle dv_ {1} cdots dv_ {n} = | det (D varphi) (u_ {1}, ldots, u_ {n}) | , du_ {1} cdots du_ {n}, }$

kde det (Dφ)(u₁, ..., u_n) označuje určující z Jacobian matrix z částečné derivace z φ na místě (u₁, ..., u_n). Tento vzorec vyjadřuje skutečnost, že absolutní hodnota determinantu matice se rovná objemu rovnoběžník překlenuto jeho sloupci nebo řádky.

Přesněji řečeno změna proměnných vzorec je uveden v další větě:

Teorém. Nechat U být otevřeným souborem Rⁿ a φ : U → Rⁿ an injekční diferencovatelná funkce s spojitými parciálními derivacemi, jejichž Jacobian je pro každého nenulový X v U. Pak pro jakoukoli skutečnou hodnotu, kompaktně podporovanou nepřetržitou funkci F, s podporou obsaženou v φ(U),

${ displaystyle int _ { varphi (U)} f ( mathbf {v}) , d mathbf {v} = int _ {U} f ( varphi ( mathbf {u})) vlevo | det (D varphi) ( mathbf {u}) vpravo | , d mathbf {u}.}$

Podmínky věty mohou být oslabeny různými způsoby. Zaprvé požadavek, který φ být průběžně diferencovatelné lze nahradit slabším předpokladem, že φ být pouze diferencovatelné a mít nepřetržitou inverzi.^[4] To je zaručeno, pokud φ je průběžně diferencovatelný věta o inverzní funkci. Alternativně požadavek, že det (Dφ) ≠ 0 lze vyloučit použitím Sardova věta.^[5]

U Lebesgueových měřitelných funkcí lze teorém uvést v následující podobě:^[6]

Teorém. Nechat U být měřitelnou podmnožinou Rⁿ a φ : U → Rⁿ an injekční funkce, a předpokládejme, že pro všechny X v U tady existuje φ′(X) v R^n,n takhle φ(y) = φ(X) + φ '(X)(y − X) + Ó(||y − X||) tak jako y → X (tady Ó je málo-Ó notace ). Pak φ(U) je měřitelný a pro jakoukoli funkci se skutečnou hodnotou F definováno dne φ(U),

${ Displaystyle int _ { varphi (U)} f (v) , dv = int _ {U} f ( varphi (u)) left | det varphi '(u) vpravo | , du}$

v tom smyslu, že pokud existuje jeden integrál (včetně možnosti být řádně nekonečný), pak i ten druhý a mají stejnou hodnotu.

Další velmi obecná verze v teorie míry je následující:^[7]Teorém. Nechat X být místně kompaktní Hausdorffův prostor vybaven konečnou Radonová míra μa nechte Y být σ-kompaktní Hausdorffův prostor s a σ-konečný Radonová míra ρ. Nechat φ : X → Y být kontinuální a absolutně kontinuální funkce (pokud to znamená, že ρ(φ(E)) = 0 kdykoli μ(E) = 0). Pak existuje skutečná hodnota Borel měřitelná funkce w na X tak, že pro každého Lebesgue integrovatelný funkce F : Y → R, funkce (F ∘ φ) ⋅ w je Lebesgue integrovatelný X, a

${ displaystyle int _ {Y} f (y) , d rho (y) = int _ {X} (f circ varphi) (x) , w (x) , d mu ( X).}$

Dále je možné psát

${ displaystyle w (x) = (g circ varphi) (x)}$

pro nějakou Borel měřitelnou funkci G na Y.

v teorie geometrických měr, integrace substitucí se používá s Funkce Lipschitz. Funkce bi-Lipschitz je funkce Lipschitz φ : U → Rⁿ který je injektivní a jehož inverzní funkce φ⁻¹ : φ(U) → U je také Lipschitz. Podle Rademacherova věta mapování bi-Lipschitz je diferencovatelné téměř všude. Zejména Jacobian determinant bi-Lipschitz mapování det Dφ je dobře definován téměř všude. Pak platí následující výsledek:

Teorém. Nechat U být otevřenou podmnožinou Rⁿ a φ : U → Rⁿ být bi-Lipschitz mapování. Nechat F : φ(U) → R být měřitelný. Pak

${ displaystyle int _ {U} (f circ varphi) (x) | det D varphi (x) | , dx = int _ { varphi (U)} f (x) , dx }$

v tom smyslu, že pokud existuje buď integrál (nebo je správně nekonečný), pak i ten druhý a mají stejnou hodnotu.

Výše uvedená věta byla poprvé navržena Euler když rozvinul pojem dvojité integrály v roce 1769. Ačkoli generalizovaný trojnásobnými integrály od Lagrange v roce 1773, a používán Legendre, Laplace, Gauss a nejprve zobecněn na n proměnné podle Michail Ostrogradski v roce 1836 překvapivě dlouho odolával plně přísnému formálnímu důkazu a poprvé byl uspokojivě vyřešen o 125 let později Élie Cartan v sérii článků začínajících v polovině 90. let 20. století.^[8][9]

Pravděpodobné použití

Substituci lze použít k pravděpodobnému zodpovězení následující důležité otázky: vzhledem k náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ s hustotou pravděpodobnosti ${ displaystyle p_ {X}}$ a další náhodná proměnná ${ displaystyle Y}$ takhle ${ displaystyle Y = phi (X)}$, pro co je hustota pravděpodobnosti ${ displaystyle Y}$?

Nejjednodušší je odpovědět na tuto otázku nejprve odpovědí na trochu jinou otázku: jaká je pravděpodobnost ${ displaystyle Y}$ má hodnotu v určité konkrétní podmnožině ${ displaystyle S}$? Označte tuto pravděpodobnost ${ displaystyle P (Y v S)}$. Samozřejmě, pokud ${ displaystyle Y}$ má hustotu pravděpodobnosti ${ displaystyle p_ {Y}}$ pak je odpověď

${ displaystyle P (Y in S) = int _ {S} p_ {Y} (y) , dy,}$

ale to není opravdu užitečné, protože to nevíme ${ displaystyle p_ {Y}}$; to je to, co se snažíme najít. Můžeme dosáhnout pokroku zvážením problému v proměnné ${ displaystyle X}$. ${ displaystyle Y}$ bere hodnotu v ${ displaystyle S}$ kdykoli ${ displaystyle X}$ bere hodnotu v ${ displaystyle phi ^ {- 1} (S)}$, tak

${ displaystyle P (Y v S) = int _ { phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) , dx.}$

Přechod z proměnné ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ dává

${ displaystyle P (Y in S) = int _ { phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) , dx = int _ {S} p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | { frac {d phi ^ {- 1}} {dy}} right | , dy.}$

Kombinace tohoto s naší první rovnicí dává

${ displaystyle int _ {S} p_ {Y} (y) , dy = int _ {S} p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | { frac {d phi ^ {- 1}} {dy}} doprava | , dy,}$

tak

${ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | { frac {d phi ^ {- 1}} {dy}} vpravo | .}$

V případě, že ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ závisí na několika nekorelovaných proměnných, tj. ${ displaystyle p_ {X} = p_ {X} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ a ${ displaystyle y = phi (x)}$, ${ displaystyle p_ {Y}}$ lze nalézt substitucí v několika proměnných diskutovaných výše. Výsledek je

${ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} ( phi ^ {- 1} (y)) left | det D phi ^ {- 1} (y) right |.}$

Viz také

• Funkce hustoty pravděpodobnosti
• Substituce proměnných
• Trigonometrická substituce
• Střídání Weierstrassem
• Eulerovo střídání
• Dopředné opatření

Poznámky

Reference

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Počítadlo / rané transcendenty (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN  978-0-321-66414-3
• Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler a diferenciály", The College Mathematics Journal, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130
• Fremlin, D.H. (2010), Teorie měření, svazek 2, Torres Fremlin, ISBN  978-0-9538129-7-4.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reálná a abstraktní analýza, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-04559-7.
• Katz, V. (1982), „Změna proměnných ve více integrálech: Euler na Cartan“, Matematický časopis, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856
• Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýzaMcGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054234-1.
• Swokowski, Earl W. (1983), Kalkul s analytickou geometrií (alternativní vydání), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN  0-87150-341-7
• Spivak, Michael (1965), Kalkul na rozdělovačích potrubích, Westview Press, ISBN  978-0-8053-9021-6.

externí odkazy

• Integrace substitucí na Encyclopedia of Mathematics
• Vzorec plochy na Encyclopedia of Mathematics