Střídání Weierstrassem - Weierstrass substitution - Wikipedia

v integrální počet, Střídání Weierstrassem nebo tečná náhrada polovičního úhlu je metoda hodnocení integrály, který převádí a racionální funkce z trigonometrické funkce z ${ displaystyle x}$ do běžné racionální funkce ${ displaystyle t}$ nastavením ${ displaystyle t = tan (x / 2)}$.^[1][2] Není ztracena žádná obecnost tím, že se jedná o racionální funkce sinu a kosinu. Obecný transformační vzorec je

${ displaystyle int f ( sin (x), cos (x)) , dx = int { frac {2} {1 + t ^ {2}}} f vlevo ({ frac {2t } {1 + t ^ {2}}}, { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} vpravo) , dt.}$

Je pojmenován po Karl Weierstrass (1815–1897),^[3][4][5] ačkoli to lze najít v knize od Leonhard Euler z roku 1768.^[6] Michael Spivak napsal, že tato metoda byla „nejzáludnější substitucí“ na světě.^[7]

Střídání

Počínaje racionální funkcí sinusů a kosinů, jeden nahradí ${ displaystyle sin x}$ a ${ displaystyle cos x}$ s racionálními funkcemi proměnné${ displaystyle t}$ a spojuje diferenciály ${ displaystyle dx}$ a ${ displaystyle dt}$ jak následuje.

Nechat ${ displaystyle t = tan (x / 2)}$, kde ${ displaystyle - pi$. Pak^[1][8]

${ displaystyle sin left ({ frac {x} {2}} right) = { frac {t} { sqrt {1 + t ^ {2}}}} qquad { text {and} } qquad cos left ({ frac {x} {2}} right) = { frac {1} { sqrt {1 + t ^ {2}}}}.}$

Proto,

${ displaystyle sin x = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, qquad cos x = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2} }}, qquad { text {a}} qquad dx = { frac {2} {1 + t ^ {2}}} , dt.}$

Odvození vzorců

Podle vzorce s dvojitým úhlem,

${ displaystyle sin x = 2 sin left ({ frac {x} {2}} right) cos left ({ frac {x} {2}} right) = 2 cdot { frac {t} { sqrt {t ^ {2} +1}}} cdot { frac {1} { sqrt {t ^ {2} +1}}} = { frac {2t} {t ^ {2} +1}},}$

a

${ displaystyle cos x = 2 cos ^ {2} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) -1 = { frac {2} {t ^ {2} +1}} - 1 = { frac {2- (t ^ {2} +1)} {t ^ {2} +1}} = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}} }.}$

Konečně, protože ${ displaystyle t = tan left ({ frac {x} {2}} right)}$,

${ displaystyle dt = { frac {1} {2}} sec ^ {2} left ({ frac {x} {2}} right) dx = { frac {dx} {2 cos ^ {2} { frac {x} {2}}}} = { frac {dx} {2 cdot { frac {1} {t ^ {2} +1}}}} qquad Rightarrow qquad dx = { frac {2} {t ^ {2} +1}} dt.}$

Příklady

První příklad: kosekansový integrál

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int csc x , dx & = int { frac {dx} { sin x}} [6pt] & = int left ({ frac {1+ t ^ {2}} {2t}} vpravo) doleva ({ frac {2} {1 + t ^ {2}}} vpravo) dt && t = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int { frac {dt} {t}} [6pt] & = ln | t | + C [6pt] & = ln left | tan { frac { x} {2}} doprava | + C. end {zarovnáno}}}$

Výše uvedený výsledek můžeme potvrdit standardní metodou vyhodnocení kosekansového integrálu vynásobením čitatele a jmenovatele ${ displaystyle csc x- postýlka x}$ a provedení následujících substitucí do výsledného výrazu: ${ displaystyle u = csc x- postýlka x}$ a ${ displaystyle du = (- csc x dětská postýlka x + csc ^ {2} x) , dx}$. Tuto substituci lze získat z rozdílu derivátů kosekans a kotangensu, které mají kosekans jako společný faktor.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int csc x , dx & = int { frac { csc x ( csc x- cot x)} { csc x- cot x}} , dx [6pt] & = int { frac {( csc ^ {2} x- csc x cot x) , dx} { csc x- cot x}} && u = csc x- dětská postýlka x [6pt] & = int { frac {du} {u}} && du = (- csc x cot x + csc ^ {2} x) , dx [6pt] & = ln | u | + C = ln | csc x- cot x | + C. end {zarovnáno}}}$

Nyní jsou poloviční úhlové vzorce pro sinusy a kosiny

${ displaystyle sin ^ {2} theta = { frac {1- cos 2 theta} {2}} quad { text {a}} quad cos ^ {2} theta = { frac {1+ cos 2 theta} {2}}.}$

Dávají

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int csc x , dx & = ln left | tan { frac {x} {2}} right | + C = ln { sqrt { frac { 1- cos x} {1+ cos x}}} + C [6pt] & = ln { sqrt {{ frac {1- cos x} {1+ cos x}} cdot { frac {1- cos x} {1- cos x}}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { frac {(1- cos x) ^ {2}} { sin ^ {2} x}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { left ({ frac {1- cos x} { sin x}} right) ^ { 2}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { left ({ frac {1} { sin x}} - { frac { cos x} { sin x}} vpravo) ^ {2}}} + C [6pt] & = ln { sqrt {( csc x- cot x) ^ {2}}} + C = ln vlevo | csc x- cot x right | + C, end {zarovnáno}}}$

takže tyto dvě odpovědi jsou rovnocenné. Alternativně lze použít a tečná poloviční úhel identity dostat

${ displaystyle tan { frac {x} {2}} = { frac {1- cos x} { sin x}} = { frac {1} { sin x}} - { frac { cos x} { sin x}} = csc x- cot x.}$

The secant integrál lze hodnotit podobným způsobem.

Druhý příklad: určitý integrál

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} & = int _ {0} ^ { pi} { frac {dx} {2+ cos x}} + int _ { pi} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} [6 bodů] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {2 , dt} {3 + t ^ {2}}} + int _ {- infty} ^ {0} { frac {2 , dt} { 3 + t ^ {2}}} & t & = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {2 , dt} {3 + t ^ {2}}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { du} {1 + u ^ {2}}} & t & = u { sqrt {3}} [6pt] & = { frac {2 pi} { sqrt {3}}}. end {zarovnáno }}}$

V prvním řádku nelze jednoduše nahradit ${ displaystyle t = 0}$ pro oba meze integrace. The jedinečnost (v tomto případě a vertikální asymptota ) z ${ displaystyle t = tan { frac {x} {2}}}$ na ${ displaystyle x = pi}$ je třeba vzít v úvahu. Alternativně nejprve vyhodnoťte neurčitý integrál a poté použijte mezní hodnoty.

${ displaystyle { begin {aligned} int { frac {dx} {2+ cos x}} & = int { frac {1} {2 + { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}} { frac {2 , dt} {t ^ {2} +1}} && t = tan { frac {x} {2}} [6 bodů] & = int { frac {2 , dt} {2 (t ^ {2} +1) + (1-t ^ {2})}} = int { frac {2 , dt} {t ^ {2} +3}} [6pt] & = { frac {2} {3}} int { frac {dt} { left ({ frac {t} { sqrt {3}} } right) ^ {2} +1}} && u = { frac {t} { sqrt {3}}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int { frac {du} {u ^ {2} +1}} && tan theta = u [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int cos ^ {2} theta sec ^ {2} theta , d theta = { frac {2} { sqrt {3}}} int d theta [6pt] & = { frac {2 } { sqrt {3}}} theta + C = { frac {2} { sqrt {3}}} arctan left ({ frac {t} { sqrt {3}}} right) + C [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} arctan left [{ frac { tan (x / 2)} { sqrt {3}}} vpravo ] + C. End {zarovnáno}}}$

Symetrií,

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} & = 2 int _ {0} ^ { pi} { frac {dx} {2+ cos x}} = lim _ {b rightarrow pi} { frac {4} { sqrt {3}}} arctan left ({ frac { tan x / 2} { sqrt {3}}} right) { Biggl |} _ {0} ^ {b} [6pt] & = { frac {4} { sqrt {3}}} { Biggl [} lim _ {b rightarrow pi} arctan left ({ frac { tan b / 2} { sqrt {3}}} right) - arctan (0) { Biggl]} = { frac {4} { sqrt {3}}} vlevo ({ frac { pi} {2}} - 0 vpravo) = { frac {2 pi} { sqrt {3}} }, end {zarovnáno}}}$

což je stejné jako u předchozí odpovědi.

Třetí příklad: sinus i kosinus

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac {dx} {a cos x + b sin x + c}} & = int { frac {2dt} {a (1-t ^ {2 }) + 2bt + c (t ^ {2} +1)}} [6pt] & = int { frac {2dt} {(ca) t ^ {2} + 2bt + a + c}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2})}}} arctan { frac {(ca) tan { frac {x} {2}} + b} { sqrt {c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2})}}} + C end {zarovnáno}}}$

Li ${ displaystyle 4E = 4 (c-a) (c + a) - (2b) ^ {2} = 4 (c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2}))> 0.}$

Geometrie

Weierstrassova substituce parametrizuje jednotkový kruh se středem na (0, 0). Namísto + ∞ a −∞ máme pouze jeden ∞, na obou koncích reálné linie. To je často vhodné při řešení racionálních funkcí a trigonometrických funkcí. (To je jednobodové zhutnění linky.)

Tak jako X se mění, bod (cosX, hříchX) se opakovaně otáčí kolem jednotkový kruh se středem na (0, 0). Bod

${ displaystyle left ({ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, { frac {2t} {1 + t ^ {2}}} right)}$

jde jen jednou kolem kruhu jako t jde od −∞ do + ∞ a nikdy nedosáhne bodu (−1, 0), ke kterému se přistupuje jako k limitu jako t blíží se ± ∞. Tak jako t jde od −∞ do −1, bod určený t prochází částí kruhu ve třetím kvadrantu, od (−1, 0) do (0, −1). Tak jako t jde od −1 do 0, bod sleduje část kružnice ve čtvrtém kvadrantu od (0, −1) do (1, 0). Tak jako t jde od 0 do 1, bod sleduje část kruhu v prvním kvadrantu od (1, 0) do (0, 1). Nakonec jako t jde od 1 do + ∞, bod sleduje část kružnice ve druhém kvadrantu od (0, 1) do (−1, 0).

Zde je další geometrické hledisko. Nakreslete kruh jednotek a nechte P být bod (−1, 0). Řádek přes P (kromě svislé čáry) je určena jeho sklonem. Kromě toho každá z čar (kromě svislé čáry) protíná jednotkovou kružnici přesně ve dvou bodech, z nichž jeden je P. To určuje funkci od bodů na jednotkové kružnici po svahy. Goniometrické funkce určují funkci od úhlů k bodům na jednotkové kružnici a kombinací těchto dvou funkcí máme funkci od úhlů ke svahům.

Galerie

• 

  (1/2) Substituce Weierstrass souvisí s úhlem sklonu čáry.

• 

  (2/2) Weierstrassova substituce je znázorněna jako stereografická projekce kruhu.

Hyperbolické funkce

Stejně jako u jiných vlastností sdílených mezi trigonometrickými funkcemi a hyperbolickými funkcemi je možné použít hyperbolické identity vytvořit podobnou formu substituce:

${ displaystyle sinh x = { frac {2t} {1-t ^ {2}}}, qquad cosh x = { frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2} }}, qquad tanh x = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, qquad { text {a}} qquad dx = { frac {2} {1-t ^ {2}}} , dt.}$

Viz také

• Racionální křivka
• Stereografická projekce
• Tečný poloviční úhel vzorec
• Trigonometrická substituce
• Eulerovo střídání

Další čtení

• Edwards, Joseph (1921). „Kapitola VI“. Pojednání o integrálním počtu s aplikacemi, příklady a problémy. London: Macmillan and Co, Ltd.

Poznámky a odkazy

externí odkazy

• Weierstrassovy substituční vzorce na PlanetMath