Vícenásobný integrál - Multiple integral

Integrál jako plocha mezi dvěma křivkami.

Dvojitý integrál jako objem pod povrchem

z = 10 - X 2 - y 2 / 8

. Obdélníková oblast ve spodní části těla je doménou integrace, zatímco povrch je grafem funkce dvou proměnných, která má být integrována.

v matematika (konkrétně počet proměnných ), a vícenásobný integrál je určitý integrál a funkce několika reálných proměnných, například, $F (X, y)$ nebo $F (X, y, z)$ . Integrály funkce dvou proměnných přes oblast v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ (dále jen reálné číslo rovině) dvojité integrály, a integrály funkce tří proměnných přes oblast v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ (3D prostor se skutečným číslem) trojité integrály.^[1] Více integrálů funkce s jednou proměnnou najdete v části Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci.

Úvod

Stejně jako určitý integrál kladné funkce jedné proměnné představuje plocha oblasti mezi grafem funkce a $X$ - osa, dvojitý integrál kladné funkce dvou proměnných představuje objem oblasti mezi povrchem definovaným funkcí (na trojrozměrném Kartézské letadlo kde $z = F (X, y)$ ) a letadlo, které obsahuje jeho doména. ^[1] Pokud existuje více proměnných, získá se násobný integrál hypervolumes vícerozměrných funkcí.

Vícenásobná integrace funkce v $n$ proměnné: $F (X 1, X 2, ..., X n)$ přes doménu $D$ je nejčastěji reprezentován vnořenými integrálními znaky v obráceném pořadí provedení (integrální znak úplně vlevo je počítán jako poslední), následovaný argumenty funkce a integrand ve správném pořadí (integrál s ohledem na argument zcela vpravo je počítán jako poslední). Doména integrace je buď symbolicky reprezentována pro každý argument nad každým integrálním znaménkem, nebo je zkrácena proměnnou v integrálním znaku zcela vpravo:^[2]

{ displaystyle int cdots int _ { mathbf {D}} , f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) , dx_ {1} ! cdots dx_ {n}}

Vzhledem k tomu, koncept primitivní je definován pouze pro funkce jedné reálné proměnné, obvyklá definice neurčitý integrál se okamžitě nevztahuje na vícenásobný integrál.

Matematická definice

Pro $n > 1$ , zvažte takzvaný „napůl otevřený“ $n$ -dimenzionální hyperrektangulární doména $T$ , definováno jako:

{ displaystyle T = [a_ {1}, b_ {1}) krát [a_ {2}, b_ {2}) times cdots times [a_ {n}, b_ {n}) subseteq mathbf {R} ^ {n}.}

Rozdělit každý interval $[A j, b j)$ do konečné rodiny $Já j$ nepřekrývajících se podintervalů $i j α$ , přičemž každý podinterval je uzavřen na levém konci a otevřen na pravém konci.

Potom konečná rodina subrektanglů $C$ dána

{ displaystyle C = I_ {1} krát I_ {2} krát cdots krát I_ {n}}

je rozdělit z $T$ ; tj. podobdélníky $C k$ nepřekrývají se a jejich svazek je $T$ .

Nechat $F : T \to R$ být funkcí definovanou na $T$ . Zvažte oddíl $C$ z $T$ jak je definováno výše, takové $C$ je rodina $m$ dílčí obdélníky $C m$ a

{ displaystyle T = C_ {1} pohár C_ {2} pohár cdots pohár C_ {m}}

Můžeme přiblížit celkovou částku $(n + 1)$ th-rozměrný objem ohraničený níže $n$ -dimenzionální hyperrektangle $T$ a výše podle $n$ -rozměrný graf $F$ s následujícími Riemannova suma:

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) , operatorname {m} (C_ {k})}

kde $P k$ je bod v $C k$ a $m (C k)$ je součinem délek intervalů, jejichž kartézský součin je $C k$ , také známý jako míra $C k$ .

The průměr podříznutí $C k$ je největší z délek intervalů, jejichž kartézský součin je $C k$ . Průměr dané přepážky $T$ je definován jako největší z průměrů podobdélníků v oddílu. Intuitivně jako průměr přepážky $C$ je omezen menší a menší počet subrektanglů $m$ zvětší se a míra $m (C k)$ každého subrektanglu se zmenšuje. Funkce $F$ se říká, že je Riemann integrovatelný pokud omezit

{ displaystyle S = lim _ { delta až 0} součet _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) , operatorname {m} , (C_ {k})}

existuje, kde je limit převzat všechny možné oddíly $T$ maximálního průměru $δ$ .^[3]

Li $F$ je Riemann integrovatelný, $S$ se nazývá Riemannův integrál z $F$ přes $T$ a je označen

{ displaystyle int cdots int _ {T} , f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) , dx_ {1} ! cdots dx_ {n}}

Tento zápis je často zkrácen jako

{ displaystyle int _ {T} ! f ( mathbf {x}) , d ^ {n} mathbf {x}.}

kde $X$ představuje $n$ -tuple $(X 1, ... X n)$ a $d n X$ je $n$ -dimenzionální objem rozdíl.

Riemannův integrál funkce definované přes libovolně ohraničené $n$ -dimenzionální sada může být definována rozšířením této funkce na funkci definovanou přes napůl otevřený obdélník, jehož hodnoty jsou mimo doménu původní funkce nulové. Pak je integrál původní funkce nad původní doménou definován jako integrál rozšířené funkce nad její obdélníkovou doménou, pokud existuje.

V následujícím následuje Riemannův integrál v $n$ rozměry se budou nazývat vícenásobný integrál.

Vlastnosti

Vícenásobné integrály mají mnoho společných vlastností s integrály funkcí jedné proměnné (linearita, komutativita, monotónnost atd.). Jedna důležitá vlastnost více integrálů je, že hodnota integrálu je za určitých podmínek nezávislá na pořadí celých značek. Tato vlastnost je známá jako Fubiniho věta.^[4]

Zvláštní případy

V případě ${ displaystyle T subseteq mathbb {R} ^ {2}}$ , integrál

{ displaystyle l = iint _ {T} f (x, y) , dx , dy}

je dvojitý integrál z $F$ na $T$ , a pokud ${ displaystyle T subseteq mathbb {R} ^ {3}}$ integrál

{ displaystyle l = iiint _ {T} f (x, y, z) , dx , dy , dz}

je trojitý integrál z $F$ na $T$ .

Všimněte si, že podle konvence má dvojitý integrál dvě integrální znaménka a trojitý integrál má tři; toto je notační konvence, která je vhodná při výpočtu vícenásobného integrálu jako iterovaného integrálu, jak je znázorněno dále v tomto článku.

Metody integrace

Řešení problémů s více integrály spočívá ve většině případů v hledání způsobu, jak redukovat více integrálů na iterovaný integrál, řada integrálů jedné proměnné, z nichž každá je přímo řešitelná. U spojitých funkcí je to odůvodněno Fubiniho věta. Někdy je možné získat výsledek integrace přímým prozkoumáním bez jakýchkoli výpočtů.

Následuje několik jednoduchých metod integrace:^[1]

Integrace konstantních funkcí

Když je integrand a konstantní funkce $C$ , integrál se rovná součinu $C$ a míra oblasti integrace. Li $C = 1$ a doména je podoblastem $R 2$ , integrál udává oblast regionu, zatímco pokud je doména podoblastí $R 3$ , integrál udává objem regionu.

Příklad. Nechat $F (X, y) = 2$ a
${ displaystyle D = left {(x, y) in mathbf {R} ^ {2} : 2 leq x leq 4 ; 3 leq y leq 6 right }}$
v jakém případě
${ displaystyle int _ {3} ^ {6} int _ {2} ^ {4} 2 dx , dy = 2 int _ {3} ^ {6} int _ {2} ^ { 4} 1 dx , dy = 2 cdot operatorname {area} (D) = 2 cdot (2 cdot 3) = 12,}$
protože podle definice máme:
${ displaystyle int _ {3} ^ {6} int _ {2} ^ {4} 1 dx , dy = operatorname {area} (D).}$

Použití symetrie

Když je doména integrace symetrická o původu s ohledem na alespoň jednu z proměnných integrace a integrand je zvláštní s ohledem na tuto proměnnou je integrál roven nule, protože integrály přes dvě poloviny domény mají stejnou absolutní hodnotu, ale opačná znaménka. Když je integrand dokonce s ohledem na tuto proměnnou je integrál roven dvojnásobku integrálu na jedné polovině domény, protože integrály na obou polovinách domény jsou stejné.

Příklad 1. Zvažte funkci $F (X, y) = 2 hříchy (X) - 3 y 3 + 5$ integrované přes doménu
${ displaystyle T = left {(x, y) in mathbf {R} ^ {2} : x ^ {2} + y ^ {2} leq 1 right },}$
disk s poloměr 1 se středem na počátku se zahrnutou hranicí.
Pomocí vlastnosti linearity lze integrál rozložit na tři části:
${ displaystyle iint _ {T} vlevo (2 sin x-3y ^ {3} +5 vpravo) , dx , dy = iint _ {T} 2 sin x , dx , dy - iint _ {T} 3 roky ^ {3} , dx , dy + iint _ {T} 5 , dx , dy}$
Funkce $2 hříchy (X)$ je lichá funkce v proměnné $X$ a disk $T$ je symetrický vzhledem k $y$ -os, takže hodnota prvního integrálu je 0. Podobně funkce $3 y 3$ je zvláštní funkce $y$ , a $T$ je symetrický vzhledem k $X$ - osa, a tak jediným příspěvkem ke konečnému výsledku je příspěvek třetího integrálu. Proto se původní integrál rovná ploše disku krát 5 nebo 5 $π$ .

Příklad 2. Zvažte funkci $F (X, y, z) = X exp (y 2 + z 2)$ a jako integrační region míč s poloměrem 2 vystředěným na počátku,
${ displaystyle T = left {(x, y, z) in mathbf {R} ^ {3} : x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} leq 4 že jo}.}$
„Koule“ je symetrická kolem všech tří os, ale je dostatečná k integraci s ohledem na $X$ -osi, která ukazuje, že integrál je 0, protože funkce je lichá funkce této proměnné.

Normální domény zapnuty $R 2$

Tato metoda je použitelná pro jakoukoli doménu $D$ pro který:

the projekce z $D$ buď na $X$ - osa nebo $y$ -os je omezena dvěma hodnotami, $A$ a $b$
libovolná čára kolmá na tuto osu, která prochází mezi těmito dvěma hodnotami protíná doménu v intervalu, jehož koncové body jsou dány grafy dvou funkcí, $α$ a $β$ .

Taková doména se zde bude jmenovat a normální doména. Jinde v literatuře se normální domény někdy nazývají domény typu I nebo typu II, podle toho, na které ose je doména vláknitá. Ve všech případech musí být integrovaná funkce Riemannovsky integrovatelná do domény, což je pravda (například), pokud je funkce spojitá.

$X$ -osa

Pokud doména $D$ je normální s ohledem na $X$ - osa a $F : D \to R$ je spojitá funkce; pak $α (X)$ a $β (X)$ (oba jsou definovány na intervalu $[A, b]$ ) jsou dvě funkce, které určují $D$ . Podle Fubiniho věty:^[5]

{ displaystyle iint _ {D} f (x, y) , dx , dy = int _ {a} ^ {b} dx int _ { alpha (x)} ^ { beta (x) } f (x, y) , dy.}

$y$ -osa

Li $D$ je normální s ohledem na $y$ - osa a $F : D \to R$ je spojitá funkce; pak $α (y)$ a $β (y)$ (oba jsou definovány na intervalu $[A, b]$ ) jsou dvě funkce, které určují $D$ . Opět podle Fubiniho věty:

{ displaystyle iint _ {D} f (x, y) , dx , dy = int _ {a} ^ {b} dy int _ { alpha (y)} ^ { beta (y) } f (x, y) , dx.}

Normální domény zapnuty $R 3$

Li $T$ je doména, která je normální vzhledem k $xy$ -rovina a určená funkcemi $α (X, y)$ a $β (X, y)$ , pak

{ displaystyle iiint _ {T} f (x, y, z) , dx , dy , dz = iint _ {D} int _ { alpha (x, y)} ^ { beta ( x, y)} f (x, y, z) , dz , dx , dy}

Tato definice je stejná pro dalších pět případů normality $R 3$ . Lze jej zobecnit přímým způsobem na domény v $R n$ .

Změna proměnných

Limity integrace často nejsou snadno zaměnitelné (bez normality nebo s komplexními formulemi k integraci). Jeden dělá změna proměnných přepsat integrál v „pohodlnější“ oblasti, kterou lze popsat v jednodušších vzorcích. K tomu je nutné funkci přizpůsobit novým souřadnicím.

Příklad 1a. Funkce je $F (X, y) = (X - 1) 2 + \sqrt y$ ; přijme-li substituci $X' = X - 1$ , $y' = y$ proto $X = X' + 1$ , $y = y'$ jeden získá novou funkci $F 2 (X, y) = (X') 2 + \sqrt y$ .

Podobně pro doménu, protože je ohraničena původními proměnnými, které byly dříve transformovány ( $X$ a $y$ v příkladu).
diferenciály $dx$ a $dy$ transformovat přes absolutní hodnotu determinant jakobiánské matice obsahující částečné derivace transformací týkajících se nové proměnné (zvažte například diferenciální transformaci v polárních souřadnicích).

Existují tři hlavní "druhy" změn proměnné (jedna v $R 2$ , dva dovnitř $R 3$ ); obecnější substituce však lze provést pomocí stejného principu.

Polární souřadnice

Transformace z kartézských na polární souřadnice.

v $R 2$ má-li doména kruhovou symetrii a funkce má některé konkrétní vlastnosti, lze použít transformace na polární souřadnice (viz příklad na obrázku), což znamená, že obecné body $P (X, y)$ v kartézských souřadnicích přepněte na příslušné body v polárních souřadnicích. To umožňuje změnit tvar domény a zjednodušit operace.

Základní vztah k provedení transformace je následující:

{ Displaystyle f (x, y) rightarrow f ( rho cos varphi, rho sin varphi).}

Příklad 2a. Funkce je $F (X, y) = X + y$ a použití transformace, které člověk získá
${ Displaystyle f ( rho, varphi) = rho cos varphi + rho sin varphi = rho ( cos varphi + sin varphi).}$

Příklad 2b. Funkce je $F (X, y) = X 2 + y 2$ , v tomto případě jeden má:
${ displaystyle f ( rho, varphi) = rho ^ {2} left ( cos ^ {2} varphi + sin ^ {2} varphi right) = rho ^ {2}}$
za použití Pytagorova trigonometrická identita (velmi užitečné pro zjednodušení této operace).

Transformace domény se provádí definováním délky koruny poloměru a amplitudy popsaného úhlu k definování $ρ, φ$ intervaly začínající od $X, y$ .

Příklad transformace domény z kartézské na polární.

Příklad 2c. Doména je $D = {X 2 + y 2 \leq 4}$ , to je obvod poloměru 2; je zřejmé, že zakrytý úhel je úhel kruhu, takže $φ$ se pohybuje od 0 do 2 $π$ , zatímco poloměr koruny se pohybuje od 0 do 2 (koruna s nulovým vnitřním poloměrem je pouze kruh).

Příklad 2d. Doména je $D = {X 2 + y 2 \leq 9, X 2 + y 2 \geq 4, y \geq 0}$ , to je kruhová koruna v pozitivu $y$ polorovina (viz obrázek v příkladu); $φ$ popisuje rovinný úhel while $ρ$ se pohybuje od 2 do 3. Proto bude transformovaná doména následující obdélník:
${ displaystyle T = {2 leq rho leq 3, 0 leq varphi leq pi }.}$
The Jacobian determinant této transformace je následující:
${ displaystyle { frac { částečné (x, y)} { částečné ( rho, varphi)}} = { begin {vmatrix} cos varphi & - rho sin varphi sin varphi & rho cos varphi end {vmatrix}} = rho}$
který byl získán vložením částečných derivací $X = ρ cos (φ)$ , $y = ρ hřích(φ)$ v prvním sloupci s ohledem na $ρ$ a v druhém ohledu na $φ$ , takže $dx dy$ rozdíly v této transformaci se stávají $ρ dρ dφ$ .
Po transformaci funkce a vyhodnocení domény je možné definovat vzorec pro změnu proměnných v polárních souřadnicích:
${ Displaystyle iint _ {D} f (x, y) , dx , dy = iint _ {T} f ( rho cos varphi, rho sin varphi) rho , d rho , d varphi.}$
$φ$ platí v $[0, 2π]$ interval while $ρ$ , což je míra délky, může mít pouze kladné hodnoty.

Příklad 2e. Funkce je $F (X, y) = X$ a doména je stejná jako v příkladu 2d. Z předchozí analýzy $D$ známe intervaly $ρ$ (od 2 do 3) a $φ$ (od 0 do $π$ ). Nyní změníme funkci:
${ displaystyle f (x, y) = x longrightarrow f ( rho, varphi) = rho cos varphi.}$
nakonec použijeme integrační vzorec:
${ displaystyle iint _ {D} x , dx , dy = iint _ {T} rho cos varphi rho , d rho , d varphi.}$
Jakmile jsou intervaly známy, máte
${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} int _ {2} ^ {3} rho ^ {2} cos varphi , d rho , d varphi = int _ {0 } ^ { pi} cos varphi d varphi left [{ frac { rho ^ {3}} {3}} vpravo] _ {2} ^ {3} = { Big [} sin varphi { Big]} _ {0} ^ { pi} vlevo (9 - { frac {8} {3}} vpravo) = 0.}$

Válcové souřadnice

Válcové souřadnice.

v $R 3$ integraci na doménách s kruhovou základnou lze provést pomocí průchod do válcové souřadnice; transformace funkce je provedena následujícím vztahem:

{ Displaystyle f (X, y, z) rightarrow f ( rho cos varphi, rho sin varphi, z)}

Transformace domény může být graficky dosažena, protože se mění pouze tvar základny, zatímco výška sleduje tvar počáteční oblasti.

Příklad 3a. Tento region je $D = {X 2 + y 2 \leq 9, X 2 + y 2 \geq 4, 0 \leq z \leq 5}$ (to je „trubka“, jejíž základnou je kruhová korunka z příkladu 2d a jejíž výška je 5); pokud se použije transformace, získá se tato oblast:
${ Displaystyle T = {2 leq rho leq 3, 0 leq varphi leq 2 pi, 0 leq z leq 5 }}$
(tj. hranol, jehož základna je podobná obdélníku v příkladu 2d a jehož výška je 5).
Protože $z$ komponenta se během transformace nemění, $dx dy dz$ diferenciály se liší jako v průchodu k polárním souřadnicím: proto se stávají $ρ dρ dφ dz$ .
Nakonec je možné použít konečný vzorec na válcové souřadnice:
${ Displaystyle iiint _ {D} f (x, y, z) , dx , dy , dz = iiint _ {T} f ( rho cos varphi, rho sin varphi, z ) rho , d rho , d varphi , dz.}$
Tato metoda je vhodná v případě válcových nebo kónických domén nebo v oblastech, kde je snadné individualizovat z interval a dokonce transformovat kruhovou základnu a funkci.

Příklad 3b. Funkce je $F (X, y, z) = X 2 + y 2 + z$ a jako integrační doména toto válec: $D = {X 2 + y 2 \leq 9, -5 \leq z \leq 5 }$ . Transformace $D$ ve válcových souřadnicích je následující:
${ Displaystyle T = {0 leq rho leq 3, 0 leq varphi leq 2 pi, -5 leq z leq 5 }.}$
zatímco se funkce stane
${ displaystyle f ( rho cos varphi, rho sin varphi, z) = rho ^ {2} + z}$
Nakonec lze použít integrační vzorec:
${ displaystyle iiint _ {D} vlevo (x ^ {2} + y ^ {2} + z vpravo) , dx , dy , dz = iiint _ {T} vlevo ( rho ^ {2} + z vpravo) rho , d rho , d varphi , dz;}$
vývoj vzorce, který máte
${ displaystyle int _ {- 5} ^ {5} dz int _ {0} ^ {2 pi} d varphi int _ {0} ^ {3} left ( rho ^ {3} + rho z right) , d rho = 2 pi int _ {- 5} ^ {5} left [{ frac { rho ^ {4}} {4}} + { frac { rho ^ {2} z} {2}} vpravo] _ {0} ^ {3} , dz = 2 pi int _ {- 5} ^ {5} vlevo ({ frac {81} { 4}} + { frac {9} {2}} z vpravo) , dz = cdots = 405 pi.}$

Sférické souřadnice

Sférické souřadnice.

v $R 3$ některé domény mají sférickou symetrii, takže je možné určit souřadnice každého bodu integrační oblasti o dva úhly a jednu vzdálenost. Je tedy možné použít průchod do sférické souřadnice; funkce je transformována tímto vztahem:

{ Displaystyle f (X, y, z) longrightarrow f ( rho cos theta sin varphi, rho sin theta sin varphi, rho cos varphi)}

Body na $z$ -osy nemají přesnou charakterizaci ve sférických souřadnicích, takže $θ$ se může pohybovat mezi 0 a 2 $π$ .

Lepší integrační doménou pro tuto pasáž je sféra.

Příklad 4a. Doména je $D = X 2 + y 2 + z 2 \leq 16$ (koule s poloměrem 4 a středem v počátku); použitím transformace získáte region
${ Displaystyle T = {0 leq rho leq 4, 0 leq varphi leq pi, 0 leq theta leq 2 pi }.}$
Jacobian determinant této transformace je následující:
${ displaystyle { frac { částečné (x, y, z)} { částečné ( rho, theta, varphi)}} = { begin {vmatrix} cos theta sin varphi & - rho sin theta sin varphi & rho cos theta cos varphi sin theta sin varphi & rho cos theta sin varphi & rho sin theta cos varphi cos varphi & 0 & - rho sin varphi end {vmatrix}} = rho ^ {2} sin varphi}$
The $dx dy dz$ diferenciály se proto transformují na $ρ 2 hřích(φ) dρ dθ dφ$ .
Tím se získá konečný vzorec integrace:
${ displaystyle iiint _ {D} f (x, y, z) , dx , dy , dz = iiint _ {T} f ( rho sin varphi cos theta, rho sin varphi sin theta, rho cos varphi) rho ^ {2} sin varphi , d rho , d theta , d varphi.}$

Je lepší použít tuto metodu v případě sférických domén a v případě funkcí, které lze snadno zjednodušit prvním základním vztahem trigonometrie rozšířeným na $R 3$ (viz příklad 4b); v ostatních případech může být lepší použít válcové souřadnice (viz příklad 4c).

{ displaystyle iiint _ {T} f (a, b, c) rho ^ {2} sin varphi , d rho , d theta , d varphi.}

Navíc $ρ 2$ a $hřích φ$ pocházejí z Jacobian.

V následujících příkladech role $φ$ a $θ$ byly obráceny.

Příklad 4b. $D$ je stejná oblast jako v příkladu 4a a $F (X, y, z) = X 2 + y 2 + z 2$ je funkce pro integraci. Jeho transformace je velmi snadná:
${ Displaystyle f ( rho sin varphi cos theta, rho sin varphi sin theta, rho cos varphi) = rho ^ {2},}$
zatímco známe intervaly transformované oblasti $T$ z $D$ :
${ Displaystyle T = {0 leq rho leq 4, 0 leq varphi leq pi, 0 leq theta leq 2 pi }.}$
Proto použijeme integrační vzorec:
${ displaystyle iiint _ {D} vlevo (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} vpravo) , dx , dy , dz = iiint _ {T} rho ^ {2} , rho ^ {2} sin theta , d rho , d theta , d varphi,}$
a vyvíjíme se
${ displaystyle iiint _ {T} rho ^ {4} sin theta , d rho , d theta , d varphi = int _ {0} ^ { pi} sin varphi , d varphi int _ {0} ^ {4} rho ^ {4} d rho int _ {0} ^ {2 pi} d theta = 2 pi int _ {0} ^ { pi} sin varphi left [{ frac { rho ^ {5}} {5}} right] _ {0} ^ {4} , d varphi = 2 pi left [{ frac { rho ^ {5}} {5}} vpravo] _ {0} ^ {4} { Big [} - cos varphi { Big]} _ {0} ^ { pi} = { frac {4096 pi} {5}}.}$

Příklad 4c. Doména $D$ je míč se středem v počátku a poloměru $3 A$ ,
${ displaystyle D = left {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} leq 9a ^ {2} right }}$
a $F (X, y, z) = X 2 + y 2$ je funkce pro integraci.
Při pohledu na doménu se jeví jako vhodné převzít přechod ke sférickým souřadnicím, ve skutečnosti intervaly proměnných, které vymezují nový $T$ regiony jsou zjevně:
${ Displaystyle T = {0 leq rho leq 3a, 0 leq varphi leq 2 pi, 0 leq theta leq pi }.}$
Použitím transformace však dostaneme
${ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} longrightarrow rho ^ {2} sin ^ {2} theta cos ^ {2} varphi + rho ^ {2} sin ^ {2} theta sin ^ {2} varphi = rho ^ {2} sin ^ {2} theta}$ .
Aplikováním vzorce pro integraci získáme:
${ displaystyle iiint _ {T} rho ^ {2} sin ^ {2} theta rho ^ {2} sin theta , d rho , d theta , d varphi = iiint _ {T} rho ^ {4} sin ^ {3} theta , d rho , d theta , d varphi}$
což je velmi těžké vyřešit. Tento problém bude vyřešen pomocí průchodu do válcových souřadnic. Nové $T$ intervaly jsou
${ displaystyle T = left {0 leq rho leq 3a, 0 leq varphi leq 2 pi, - { sqrt {9a ^ {2} - rho ^ {2}}} leq z leq { sqrt {9a ^ {2} - rho ^ {2}}} right };}$
the $z$ interval byl získán rozdělením míče na dva hemisféry jednoduše řešením nerovnost ze vzorce $D$ (a pak přímo transformovat $X 2 + y 2$ do $ρ 2$ ). Nová funkce je jednoduše $ρ 2$ . Použití integračního vzorce
${ displaystyle iiint _ {T} rho ^ {2} rho , d rho , d varphi , dz.}$
Pak máme
${ displaystyle { begin {zarovnáno} int _ {0} ^ {2 pi} d varphi int _ {0} ^ {3a} rho ^ {3} d rho int _ {- { sqrt {9a ^ {2} - rho ^ {2}}}} ^ { sqrt {9a ^ {2} - rho ^ {2}}} , dz & = 2 pi int _ {0} ^ {3a} 2 rho ^ {3} { sqrt {9a ^ {2} - rho ^ {2}}} , d rho & = - 2 pi int _ {9a ^ {2} } ^ {0} (9a ^ {2} -t) { sqrt {t}} , dt && t = 9a ^ {2} - rho ^ {2} & = 2 pi int _ {0} ^ {9a ^ {2}} left (9a ^ {2} { sqrt {t}} - t { sqrt {t}} right) , dt & = 2 pi left ( int _ {0} ^ {9a ^ {2}} 9a ^ {2} { sqrt {t}} , dt- int _ {0} ^ {9a ^ {2}} t { sqrt {t}} , dt right) & = 2 pi left [9a ^ {2} { frac {2} {3}} t ^ { frac {3} {2}} - { frac {2} {5}} t ^ { frac {5} {2}} vpravo] _ {0} ^ {9a ^ {2}} & = 2 cdot 27 pi a ^ {5} vlevo (6 - { frac {18} {5}} right) & = { frac {648 pi} {5}} a ^ {5}. end {zarovnáno}}}$
Díky přechodu na válcové souřadnice bylo možné redukovat trojitý integrál na jednodušší integrál s jednou proměnnou.

Viz také zadání rozdílového objemu v nabla ve válcových a sférických souřadnicích.

Příklady

Dvojitý integrál přes obdélník

Předpokládejme, že chceme integrovat funkci s více proměnnými $F$ přes region $A$ :

{ displaystyle A = left {(x, y) in mathbf {R} ^ {2} : 11 leq x leq 14 ; 7 leq y leq 10 right } { mbox {and}} f (x, y) = x ^ {2} + 4y ,}

Z toho formulujeme iterovaný integrál

{ displaystyle int _ {7} ^ {10} int _ {11} ^ {14} (x ^ {2} + 4y) , dx , dy}

Nejprve se provede vnitřní integrál, který se integruje s ohledem na $X$ a brát $y$ jako konstanta, protože to není proměnná integrace. Výsledek tohoto integrálu, což je funkce závislá pouze na $y$ , je poté integrován s ohledem na $y$ .

{ displaystyle { begin {aligned} int _ {11} ^ {14} left (x ^ {2} + 4y right) , dx & = left [{ frac {1} {3}} x ^ {3} + 4yx right] _ {x = 11} ^ {x = 14} & = { frac {1} {3}} (14) ^ {3} + 4y (14) - { frac {1} {3}} (11) ^ {3} -4y (11) & = 471 + 12y end {zarovnáno}}}

Výsledek poté integrujeme s ohledem na $y$ .

{ displaystyle { begin {aligned} int _ {7} ^ {10} (471 + 12y) dy & = { Big [} 471y + 6y ^ {2} { Big]} _ {y = 7} ^ {y = 10} & = 471 (10) +6 (10) ^ {2} -471 (7) -6 (7) ^ {2} & = 1719 end {zarovnáno}}}

V případech, kdy je dvojitý integrál absolutní hodnoty funkce konečný, je pořadí integrace zaměnitelné, to znamená integrace s ohledem na X první a integrace s ohledem na y nejprve vyprodukovat stejný výsledek. To je Fubiniho věta. Například provedením předchozího výpočtu se obráceným řádem získáte stejný výsledek:

{ displaystyle { begin {aligned} int _ {11} ^ {14} int _ {7} ^ {10} , left (x ^ {2} + 4y right) , dy , dx & = int _ {11} ^ {14} { Big [} x ^ {2} y + 2y ^ {2} { Big]} _ {y = 7} ^ {y = 10} , dx & = int _ {11} ^ {14} , (3x ^ {2} +102) , dx & = { Big [} x ^ {3} + 102x { Big]} _ {x = 11} ^ {x = 14} & = 1719. end {zarovnáno}}}

Dvojitý integrál nad normální doménou

Příklad: dvojitý integrál přes normální oblast D

Zvažte region (viz obrázek v příkladu):

{ displaystyle D = {(x, y) v mathbf {R} ^ {2} : x geq 0, y leq 1, y geq x ^ {2} }}

Vypočítat

{ displaystyle iint _ {D} (x + y) , dx , dy.}

Tato doména je normální s ohledem na X- a y-sekery. Chcete-li použít vzorce, je nutné najít funkce, které určují D a intervaly, ve kterých jsou tyto funkce definovány. V tomto případě jsou to dvě funkce:

{ displaystyle alpha (x) = x ^ {2} { text {and}} beta (x) = 1}

zatímco interval je dán průsečíky funkcí s X = 0, takže interval je [A, b] = [0, 1] (normalita byla zvolena s ohledem na X-os pro lepší vizuální porozumění).

Nyní je možné použít vzorec:

{ displaystyle iint _ {D} (x + y) , dx , dy = int _ {0} ^ {1} dx int _ {x ^ {2}} ^ {1} (x + y ) , dy = int _ {0} ^ {1} dx left [xy + { frac {y ^ {2}} {2}} right] _ {x ^ {2}} ^ {1} }

(nejprve se druhý integrál počítá s ohledem na X jako konstanta). Zbývající operace spočívají v aplikaci základních technik integrace:

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} left [xy + { frac {y ^ {2}} {2}} right] _ {x ^ {2}} ^ {1} , dx = int _ {0} ^ {1} left (x + { frac {1} {2}} - x ^ {3} - { frac {x ^ {4}} {2}} right) dx = cdots = { frac {13} {20}}.}

Pokud zvolíme normalitu s ohledem na y-osu, kterou jsme mohli vypočítat

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} dy int _ {0} ^ { sqrt {y}} (x + y) , dx.}

a získat stejnou hodnotu.

Příklad domény v R³ to je s ohledem na xy-letadlo.

Výpočet objemu

Pomocí výše popsaných metod je možné vypočítat objemy některých běžných pevných látek.

Válec: Objem válce s výškou $h$ a kruhová základna poloměru $R$ lze vypočítat integrací konstantní funkce $h$ přes kruhovou základnu pomocí polárních souřadnic.

{ displaystyle mathrm {Volume} = int _ {0} ^ {2 pi} d varphi , int _ {0} ^ {R} h rho , d rho = 2 pi h vlevo [{ frac { rho ^ {2}} {2}} vpravo] _ {0} ^ {R} = pi R ^ {2} h}

To je v souladu s vzorcem pro objem a hranol

{ displaystyle mathrm {Volume} = { text {základní plocha}} krát { text {výška}}.}

Koule: Objem koule s poloměrem $R$ lze vypočítat integrací konstantní funkce 1 přes kouli pomocí sférických souřadnic.

{ displaystyle { begin {aligned} { text {Volume}} & = iiint _ {D} f (x, y, z) , dx , dy , dz & = iiint _ {D } 1 , dV & = iiint _ {S} rho ^ {2} sin varphi , d rho , d theta , d varphi & = int _ {0} ^ {2 pi} , d theta int _ {0} ^ { pi} sin varphi , d varphi int _ {0} ^ {R} rho ^ {2} , d rho & = 2 pi int _ {0} ^ { pi} sin varphi , d varphi int _ {0} ^ {R} rho ^ {2} , d rho & = 2 pi int _ {0} ^ { pi} sin varphi { frac {R ^ {3}} {3}} , d varphi & = { frac {2 } {3}} pi R ^ {3} { Big [} - cos varphi { Big]} _ {0} ^ { pi} = { frac {4} {3}} pi R ^ {3}. End {zarovnáno}}}

Čtyřstěn (trojúhelníkový pyramida nebo 3-simplexní ): Objem čtyřstěnu s vrcholem u počátku a okrajů délky $ℓ$ podél $X$ -, $y$ - a $z$ -axes lze vypočítat integrací konstantní funkce 1 přes čtyřstěn.

{ displaystyle { begin {aligned} { text {Volume}} & = int _ {0} ^ { ell} dx int _ {0} ^ { ell -x} , dy int _ { 0} ^ { ell -xy} , dz & = int _ {0} ^ { ell} dx int _ {0} ^ { ell -x} ( ell -xy) , dy & = int _ {0} ^ { ell} left (l ^ {2} -2 ell x + x ^ {2} - { frac {( ell -x) ^ {2}} {2}} vpravo) , dx & = ell ^ {3} - ell ell ^ {2} + { frac { ell ^ {3}} {3}} - vlevo [{ frac { ell ^ {2} x} {2}} - { frac { ell x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} vpravo] _ {0} ^ { ell} & = { frac { ell ^ {3}} {3}} - { frac { ell ^ {3}} {6}} = { frac { ell ^ {3}} {6}} end {zarovnáno}}}

To je v souladu se vzorcem pro objem a pyramida

{ displaystyle mathrm {Volume} = { frac {1} {3}} krát { text {základní plocha}} krát { text {výška}} = { frac {1} {3}} krát { frac { ell ^ {2}} {2}} times ell = { frac { ell ^ {3}} {6}}.}

Příklad nesprávné domény.

Vícenásobný nesprávný integrál

V případě neohraničených domén nebo funkcí neohraničených blízko hranice domény musíme zavést dvojnásobek nesprávný integrál nebo trojitý nesprávný integrál.

Více integrálů a iterované integrály

Fubiniho věta uvádí, že pokud^[4]

{ displaystyle iint _ {A krát B} vlevo | f (x, y) vpravo | , d (x, y) < infty,}

to znamená, že pokud je integrál absolutně konvergentní, pak násobný integrál poskytne stejný výsledek jako kterýkoli ze dvou iterovaných integrálů:

{ displaystyle iint _ {A krát B} f (x, y) , d (x, y) = int _ {A} left ( int _ {B} f (x, y) , dy right) , dx = int _ {B} left ( int _ {A} f (x, y) , dx right) , dy.}

Zejména k tomu dojde, pokud $| F (X, y) |$ je omezená funkce a $A$ a $B$ jsou ohraničené množiny.

Pokud integrál není absolutně konvergentní, je třeba dbát na to, aby nedošlo k záměně pojmů vícenásobný integrál a iterovaný integrál, zejména proto, že pro každý koncept se často používá stejná notace. Zápis

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} f (x, y) , dy , dx}

znamená v některých případech spíše iterovaný integrál než skutečný dvojitý integrál. V iterovaném integrálu vnější integrál

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} cdots , dx}

je integrál s ohledem na $X$ následující funkce $X$ :

{ displaystyle g (x) = int _ {0} ^ {1} f (x, y) , dy.}

Dvojitý integrál je naopak definován s ohledem na oblast v $xy$ -letadlo. Pokud dvojitý integrál existuje, pak se rovná každému ze dvou iterovaných integrálů (buď „ $dy dx$ „nebo“ $dx dy$ ") a jeden ji často vypočítá výpočtem kteréhokoli z iterovaných integrálů. Někdy však tyto dva iterované integrály existují, když dvojitý integrál není, a v některých takových případech jsou dva iterované integrály různá čísla, tj. jeden má

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} f (x, y) , dy , dx neq int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} f (x, y) , dx , dy.}

Toto je případ přeskupení a podmíněně konvergentní integrální.

Na druhou stranu některé podmínky zajišťují, že dva iterované integrály jsou stejné, i když dvojitý integrál nemusí existovat. Podle Fichtenholz –Lichtenštejnsko věta, pokud $F$ je omezen na $[0, 1] \times [0, 1]$ a oba iterované integrály existují, pak jsou si rovny. Kromě toho existence vnitřních integrálů zajišťuje existenci vnějších integrálů.^[6]^[7]^[8] Dvojitý integrál nemusí v tomto případě existovat, i když Lebesgueův integrál, podle Sierpiński.^[9]

Zápis

{ displaystyle int _ {[0,1] krát [0,1]} f (x, y) , dx , dy}

lze použít, pokud si přejete zdůraznit dvojí integrál spíše než iterovaný integrál.

Některé praktické aplikace

Docela obecně, stejně jako v jedné proměnné, lze použít násobný integrál k nalezení průměru funkce přes danou množinu. Vzhledem k sadě $D \subseteq R n$ a integrovatelná funkce $F$ přes $D$ průměrná hodnota $F$ nad jeho doménou je dáno

{ displaystyle { bar {f}} = { frac {1} {m (D)}} int _ {D} f (x) , dx,}

kde $m (D)$ je opatření z $D$ .

V mnoha aplikacích se navíc používá více integrálů fyzika. Níže uvedené příklady také ukazují některé variace notace.

v mechanika, moment setrvačnosti se počítá jako objemový integrál (trojný integrál) z hustota zváženo druhou mocninou vzdálenosti od osy:

{ displaystyle I_ {z} = iiint _ {V} rho r ^ {2} , dV.}

The gravitační potenciál spojené s a distribuce hmoty dané hmotou opatření $dm$ na trojrozměrném Euklidovský prostor $R 3$ je^[10]

{ displaystyle V ( mathbf {x}) = - iiint _ { mathbf {R} ^ {3}} { frac {G} {| mathbf {x} - mathbf {y} |}} , dm ( mathbf {y}).}

Pokud existuje spojitá funkce $ρ (X)$ představující hustotu distribuce při $X$ , aby $dm (X) = ρ (X) d 3 X$ , kde $d 3 X$ je euklidovský objemový prvek, pak je gravitační potenciál

{ displaystyle V ( mathbf {x}) = - iiint _ { mathbf {R} ^ {3}} { frac {G} {| mathbf {x} - mathbf {y} |}} , rho ( mathbf {y}) , d ^ {3} mathbf {y}.}

v elektromagnetismus, Maxwellovy rovnice lze zapsat pomocí více integrálů pro výpočet celkového magnetického a elektrického pole.^[11] V následujícím příkladu je elektrické pole vyrobené distribucí poplatky dané objemem hustota náboje $ρ (r \to)$ je získán a trojitý integrál vektorové funkce:

{ displaystyle { vec {E}} = { frac {1} {4 pi varepsilon _ {0}}} iiint { frac {{ vec {r}} - { vec {r}} '} { left | { vec {r}} - { vec {r}}' right | ^ {3}}} rho ({ vec {r}} ') , d ^ { 3} r '.}

To lze také psát jako integrál s ohledem na a podepsané opatření představující distribuci poplatků.

Viz také

Hlavní analýza věty, které se týkají více integrálů:

Reference

^ ^A ^b ^C Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. vydání). Brooks Cole Cengage učení. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Larson; Edwards (2014). Počet proměnných (10. vydání). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
^ Rudin, Walter. Principy matematické analýzy. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3. vyd.). McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ ^A ^b Jones, Frank (2001). Integrace Lebesgue v euklidovském prostoru. Jones a Bartlett. str.527 –529.^{[ISBN chybí ]}
^ Stewart, James (07.05.2015). Calculus, 8. vydání. Cengage Learning. ISBN 978-1285740621.
^ Lewin, Jonathan (2003). Interaktivní úvod do matematické analýzy. Cambridge. Sekta. 16.6. ISBN 978-1107694040.
^ Lewin, Jonathan (1987). „Některé aplikace věty o omezené konvergenci pro úvodní kurz analýzy“. Americký matematický měsíčník. AMS. 94 (10): 988–993. doi:10.2307/2322609. JSTOR 2322609.
^ Sinclair, George Edward (1974). „Konečně aditivní zobecnění věty Fichtenholz – Lichtenstein“. Transakce Americké matematické společnosti. AMS. 193: 359–374. doi:10.2307/1996919. JSTOR 1996919.
^ Bogachev, Vladimir I. (2006). Teorie měření. 1. Springer. Bod 3.10.49.^{[ISBN chybí ]}
^ Kibble, Tom W. B .; Berkshire, Frank H. (2004). Klasická mechanika (5. vydání). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6.
^ Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Další čtení

Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5. vydání). ISBN 0-201-79131-5.
Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2009). Pokročilá inženýrská matematika (3. vyd.). Nakladatelství Narosa. ISBN 978-81-7319-730-7.
Herman, Edwin „Jed“ a Strang, Gilbert (2016): Kalkul: Svazek 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 978-1-50669-805-2. (PDF )

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Multiple Integral“. MathWorld.
L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Vícenásobný integrál", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Matematický asistent na webu online hodnocení dvojitých integrálů v systému Windows Kartézské souřadnice a polární souřadnice (zahrnuje mezikroky v řešení, založené na Maxima (software) )

[Stewart-1] A ^b ^C Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. vydání). Brooks Cole Cengage učení. ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] Larson; Edwards (2014). Počet proměnných (10. vydání). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.

[3] Rudin, Walter. Principy matematické analýzy. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3. vyd.). McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

[a-4] A ^b Jones, Frank (2001). Integrace Lebesgue v euklidovském prostoru. Jones a Bartlett. str.527 –529.^{[ISBN chybí ]}

[5] Stewart, James (07.05.2015). Calculus, 8. vydání. Cengage Learning. ISBN 978-1285740621.

[6] Lewin, Jonathan (2003). Interaktivní úvod do matematické analýzy. Cambridge. Sekta. 16.6. ISBN 978-1107694040.

[7] Lewin, Jonathan (1987). „Některé aplikace věty o omezené konvergenci pro úvodní kurz analýzy“. Americký matematický měsíčník. AMS. 94 (10): 988–993. doi:10.2307/2322609. JSTOR 2322609.

[8] Sinclair, George Edward (1974). „Konečně aditivní zobecnění věty Fichtenholz – Lichtenstein“. Transakce Americké matematické společnosti. AMS. 193: 359–374. doi:10.2307/1996919. JSTOR 1996919.

[9] Bogachev, Vladimir I. (2006). Teorie měření. 1. Springer. Bod 3.10.49.^{[ISBN chybí ]}

[10] Kibble, Tom W. B .; Berkshire, Frank H. (2004). Klasická mechanika (5. vydání). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6.

[11] Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]