Homogenní diferenciální rovnice - Homogeneous differential equation

A diferenciální rovnice může být homogenní v jednom ze dvou hledisek.

A diferenciální rovnice prvního řádu se říká, že je homogenní, pokud se dá psát

${displaystyle f (x, y) dy = g (x, y) dx,}$

kde F a G jsou homogenní funkce stejného stupně X a y.^[1] V tomto případě změna proměnné y = ux vede k rovnici tvaru

${displaystyle {frac {dy} {x}} = h (u) du,}$

což je snadné vyřešit integrace dvou členů.

Jinak je diferenciální rovnice homogenní, pokud se jedná o homogenní funkci neznámé funkce a jejích derivátů. V případě lineární diferenciální rovnice, to znamená, že neexistují žádné stálé výrazy. Řešení jakékoli lineární obyčejná diferenciální rovnice libovolného řádu lze odvodit integrací z řešení homogenní rovnice získané odstraněním konstantního členu.

Dějiny

Termín homogenní byl poprvé použit na diferenciální rovnice pomocí Johann Bernoulli v části 9 jeho článku z roku 1726 De integraionibus aequationum differentialium (O integraci diferenciálních rovnic).^[2]

Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu

Diferenciální rovnice
Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky.
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně algebraický Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / Odpojeno Přesný Homogenní  / Nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analogový) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picard – Lindelöfova věta Věta o Peanově existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchy – Kowalevského věta
Obecná témata Wronskian Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotické  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série / Integrovaná řešení Numerická integrace Diracova delta funkce
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Vzorec exponenciální odezvy Konečný rozdíl  (Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrační faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

První objednávka obyčejná diferenciální rovnice ve formě:

${displaystyle M (x, y), dx + N (x, y), dy = 0}$

je homogenní typ, pokud obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n.^[3] To znamená, že každou proměnnou vynásobíme parametrem${displaystyle lambda}$, shledáváme

${displaystyle M (lambda x, lambda y) = lambda ^ {n} M (x, y),}$ a ${displaystyle N (lambda x, lambda y) = lambda ^ {n} N (x, y) ,.}$

Tím pádem,

${displaystyle {frac {M (lambda x, lambda y)} {N (lambda x, lambda y)}} = {frac {M (x, y)} {N (x, y)}} ,.}$

Metoda řešení

V kvocientu ${displaystyle {frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {frac {M (x, y)} {N (x, y)}}}$, můžeme to nechat ${displaystyle t = 1 / x}$ zjednodušit tento kvocient funkce ${displaystyle f}$ jedné proměnné ${displaystyle y / x}$:

${displaystyle {frac {M (x, y)} {N (x, y)}} = {frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {frac {M (1, y / x)} {N (1, y / x)}} = f (y / x) ,.}$

To je

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = - f (y / x).}$

Představte změna proměnných ${displaystyle y = ux}$; rozlišit pomocí produktové pravidlo:

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {d (ux)} {dx}} = x {frac {du} {dx}} + u {frac {dx} {dx}} = x {frac {du} {dx}} + u.}$

Tím se transformuje původní diferenciální rovnice na oddělitelný formulář

${displaystyle x {frac {du} {dx}} = - f (u) -u,}$

nebo

${displaystyle {frac {1} {x}} {frac {dx} {du}} = {frac {-1} {f (u) + u}},}$

které lze nyní integrovat přímo: log X rovná se primitivní na pravé straně (viz obyčejná diferenciální rovnice ).

Speciální případ

Diferenciální rovnice prvního řádu tvaru (A, b, C, E, F, G jsou všechny konstanty)

${displaystyle (ax + by + c) dx + (ex + fy + g) dy = 0,}$

kde af ≠ býtlze transformovat na homogenní typ lineární transformací obou proměnných (${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$ jsou konstanty):

${displaystyle t = x + alpha; ,,,, z = y + eta,.}$

Homogenní lineární diferenciální rovnice

Lineární diferenciální rovnice je homogenní pokud je to homogenní lineární rovnice v neznámé funkci a jejích derivátech. Z toho vyplývá, že pokud ${displaystyle phi (x)}$ je řešení, tak je ${displaystyle cphi (x)}$, pro libovolnou (nenulovou) konstantu C. Aby tato podmínka mohla platit, musí každý nenulový člen lineární diferenciální rovnice záviset na neznámé funkci nebo její derivaci. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplní, se nazývá nehomogenní.

A lineární diferenciální rovnice lze reprezentovat jako a lineární operátor jednající na y (x) kde X je obvykle nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Obecná forma a lineární homogenní diferenciální rovnice je

${displaystyle L (y) = 0,}$

kde L je operátor diferenciálu, součet derivátů (definujících "0. derivát" jako původní, nediferencovanou funkci), každý vynásobený funkcí${displaystyle f_ {i}}$ z X:

${displaystyle L = součet _ {i = 0} ^ {n} f_ {i} (x) {frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} ,,}$

kde${displaystyle f_ {i}}$ mohou být konstanty, ale ne všechny${displaystyle f_ {i}}$ může být nula.

Například následující lineární diferenciální rovnice je homogenní:

${displaystyle sin (x) {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4 {frac {dy} {dx}} + y = 0 ,,}$

vzhledem k tomu, že následující dva jsou nehomogenní:

${displaystyle 2x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4x {frac {dy} {dx}} + y = cos (x) ,;}$

${displaystyle 2x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - 3x {frac {dy} {dx}} + y = 2 ,.}$

Existence konstantního členu je dostatečnou podmínkou k tomu, aby rovnice byla nehomogenní, jako ve výše uvedeném příkladu.

Viz také

• Oddělení proměnných

Poznámky

Reference

• Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012), Elementární diferenciální rovnice a okrajové úlohy (10. vydání), Wiley, ISBN  978-0470458310. (Toto je dobrý úvodní odkaz na diferenciální rovnice.)
• Ince, E. L. (1956), Obyčejné diferenciální rovnice, New York: Dover Publications, ISBN  0486603490. (Toto je klasický odkaz na ODR, poprvé publikovaný v roce 1926.)
• Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15. listopadu 2017). Příručka obyčejných diferenciálních rovnic: Přesná řešení, metody a problémy. CRC Press. ISBN  978-1-4665-6940-9.
• Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5. listopadu 2009). Diferenciální rovnice s lineární algebrou. Oxford University Press. str. 274–. ISBN  978-0-19-973666-9.

externí odkazy

• Homogenní diferenciální rovnice na MathWorld
• Wikibooks: Obyčejné diferenciální rovnice / substituce 1