Integrace prostředí - Shell integration

Objem je aproximován souborem dutých válců. Jak se stěny válců ztenčují, přibližování se zlepšuje. Limit této aproximace je skořepinový integrál.

Integrace prostředí (dále jen skořápková metoda v integrální počet ) je metoda pro výpočetní the objem a revoluční těleso, při integraci podél osy kolmo na osa revoluce. To je v rozporu s integrace disku který se integruje podél osy paralelní k ose revoluce.

Definice

Skořepinová metoda je následující: Zvažte objem ve třech rozměrech, který získáte otočením průřezu v xy- letadlo kolem y-osa. Předpokládejme, že průřez je definován grafem pozitivní funkce F(X) na intervalu [A, b]. Vzorec pro svazek pak bude:

${ displaystyle 2 pi int _ {a} ^ {b} xf (x) , dx}$

Pokud je funkce z y souřadnice a osa otáčení je X- osa, pak se vzorec stane:

${ displaystyle 2 pi int _ {a} ^ {b} yf (y) , dy}$

Pokud se funkce otáčí kolem čáry X = h nebo y = k, pak se vzorce stanou:^[1]

${ displaystyle { begin {cases} displaystyle 2 pi int _ {a} ^ {b} (xh) f (x) , dx, & { text {if}} h leq a$

a

${ displaystyle { begin {cases} displaystyle 2 pi int _ {a} ^ {b} (yk) f (y) , dy, & { text {if}} k leq a$

Vzorec je odvozen výpočtem dvojitý integrál v polární souřadnice.

Příklad

Uvažujme níže zobrazený objem, jehož průřez v intervalu [1, 2] je definován:

${ displaystyle y = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}}$

Průřez

3D objem

V případě integrace disku bychom museli vyřešit X daný y. Protože je objem uprostřed dutý, najdeme dvě funkce, jednu, která definuje vnitřní těleso a druhou, která definuje vnější těleso. Po integraci těchto dvou funkcí s diskovou metodou je odečteme, abychom získali požadovaný objem.

U shellové metody potřebujeme pouze následující vzorec:

${ displaystyle 2 pi int _ {1} ^ {2} x ((x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}) , dx}$

Rozšířením polynomu se integrál stává velmi jednoduchým. Nakonec zjistíme, že objem je π/10 kubické jednotky.

Viz také

• Solidní revoluce
• Integrace disku

Reference

• Weisstein, Eric W. "Metoda mušlí". MathWorld.
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaumovy obrysy: Kalkul. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2. str. 244–248 (online kopie, str. 244, v Knihy Google )