Abelsův test - Abels test - Wikipedia

v matematika, Ábelova zkouška (také známý jako Ábelovo kritérium) je metoda testování pro konvergence z nekonečná řada. Test je pojmenován po matematikovi Niels Henrik Abel. Existují dvě mírně odlišné verze Ábelova testu - jedna se používá se sérií reálných čísel a druhá se používá výkonová řada v komplexní analýza. Abelův test jednotné konvergence je kritériem pro jednotná konvergence a série z funkce v závislosti na parametry.

Ábelův test v reálné analýze

Předpokládejme, že následující tvrzení jsou pravdivá:

1. ${ displaystyle sum a_ {n}}$ je konvergentní řada,
2. {b_n} je monotónní sekvence a
3. {b_n} je ohraničený.

Pak ${ displaystyle sum a_ {n} b_ {n}}$ je také konvergentní.

Je důležité si uvědomit, že tento test je hlavně relevantní a užitečný v kontextu ne absolutně konvergentních řad ${ displaystyle sum a_ {n}}$Pro absolutně konvergentní řady je tato věta, i když pravdivá, téměř evidentní.

Tuto větu lze dokázat přímo pomocí součet podle částí.

Ábelův test v komplexní analýze

Úzce související konvergenční test, známý také jako Ábelova zkouška, lze často použít ke stanovení konvergence a výkonová řada na hranici jeho kruh konvergence. Konkrétně Abelův test uvádí, že pokud posloupnost kladná reálná čísla ${ displaystyle (a_ {n})}$ monotónně klesá (nebo alespoň u všech n větší než nějaké přirozené číslo m, my máme ${ displaystyle a_ {n} geq a_ {n + 1}}$) s

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0}$

pak výkonová řada

${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n}}$

konverguje všude na uzavřeném jednotkový kruh, kromě případů, kdy z = 1. Ábelovu zkoušku nelze použít, když z = 1, takže konvergence v tomto jediném bodě musí být zkoumána samostatně. Všimněte si, že Ábelova zkouška implikuje zejména to, že poloměr konvergence je alespoň 1. Lze jej také použít na výkonovou řadu s poloměrem konvergence R ≠ 1 jednoduchou změnou proměnných ζ = z/R.^[1] Všimněte si, že Ábelova zkouška je zobecněním Kritérium Leibniz tím, že z = −1.

Důkaz Ábelova testu: Předpokládejme to z je bod na jednotkové kružnici, z ≠ 1. Pro každého ${ displaystyle n geq 1}$, definujeme

${ displaystyle f_ {n} (z): = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k}.}$

Vynásobením této funkce číslem (1 - z), získáváme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} (1-z) f_ {n} (z) & = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (1-z) z ^ {k} = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k} - sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k + 1} = a_ {0} + sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} z ^ {k} - sum _ {k = 1} ^ {n + 1} a_ {k-1} z ^ {k} & = a_ {0} -a_ {n} z ^ {n + 1} + sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k-1}) z ^ {k}. end {zarovnáno}}}$

První součet je konstantní, druhý konverguje rovnoměrně na nulu (protože předpokládá posloupnost ${ displaystyle (a_ {n})}$ konverguje k nule). Zbývá jen ukázat, že řada konverguje. Ukážeme to tím, že ukážeme, že to dokonce absolutně konverguje:${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} left | (a_ {k} -a_ {k-1}) z ^ {k} right | = sum _ {k = 1} ^ { infty} | a_ {k} -a_ {k-1} | cdot | z | ^ {k} leq sum _ {k = 1} ^ { infty} (a_ {k-1} -a_ {k})}$kde poslední součet je konvergující teleskopická suma. Absolutní hodnota zmizela, protože posloupnost ${ displaystyle (a_ {n})}$ se podle předpokladu snižuje.

Proto sekvence ${ displaystyle (1-z) f_ {n} (z)}$ konverguje (i rovnoměrně) na disku uzavřené jednotky. Li ${ displaystyle z not = 1}$, můžeme rozdělit podle (1 - z) a získat výsledek.

Abelův test jednotné konvergence

Abelův test jednotné konvergence je kritériem pro jednotná konvergence řady funkcí nebo nesprávná integrace funkcí závislých na parametry. Souvisí to s Ábelovým testem konvergence běžné řady reálných čísel a důkaz se opírá o stejnou techniku součet podle částí.

Zkouška je následující. Nechť {G_n} být jednotně ohraničený sled skutečných hodnot spojité funkce na setu E takhle G_n+1(X) ≤ G_n(X) pro všechny X ∈ E a kladná celá čísla n, a nechť {F_n} být posloupnost funkcí se skutečnou hodnotou tak, že řada ΣF_n(X) konverguje rovnoměrně E. Pak ΣF_n(X)G_n(X) konverguje rovnoměrně E.

Poznámky

Reference

• Gino Moretti, Funkce komplexní proměnné, Prentice-Hall, Inc., 1964
• Apostol, Tom M. (1974), Matematická analýza (2. vyd.), Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-00288-1
• Weisstein, Eric W. „Abelův test jednotné konvergence“. MathWorld.

externí odkazy

• Důkaz (pro skutečnou sérii) na PlanetMath.org