Abelsův test - Abels test - Wikipedia
Část série článků o | |||||
Počet | |||||
---|---|---|---|---|---|
| |||||
Specializované | |||||
v matematika, Ábelova zkouška (také známý jako Ábelovo kritérium) je metoda testování pro konvergence z nekonečná řada. Test je pojmenován po matematikovi Niels Henrik Abel. Existují dvě mírně odlišné verze Ábelova testu - jedna se používá se sérií reálných čísel a druhá se používá výkonová řada v komplexní analýza. Abelův test jednotné konvergence je kritériem pro jednotná konvergence a série z funkce v závislosti na parametry.
Ábelův test v reálné analýze
Předpokládejme, že následující tvrzení jsou pravdivá:
- je konvergentní řada,
- {bn} je monotónní sekvence a
- {bn} je ohraničený.
Pak je také konvergentní.
Je důležité si uvědomit, že tento test je hlavně relevantní a užitečný v kontextu ne absolutně konvergentních řad Pro absolutně konvergentní řady je tato věta, i když pravdivá, téměř evidentní.
Tuto větu lze dokázat přímo pomocí součet podle částí.
Ábelův test v komplexní analýze
Úzce související konvergenční test, známý také jako Ábelova zkouška, lze často použít ke stanovení konvergence a výkonová řada na hranici jeho kruh konvergence. Konkrétně Abelův test uvádí, že pokud posloupnost kladná reálná čísla monotónně klesá (nebo alespoň u všech n větší než nějaké přirozené číslo m, my máme ) s
pak výkonová řada
konverguje všude na uzavřeném jednotkový kruh, kromě případů, kdy z = 1. Ábelovu zkoušku nelze použít, když z = 1, takže konvergence v tomto jediném bodě musí být zkoumána samostatně. Všimněte si, že Ábelova zkouška implikuje zejména to, že poloměr konvergence je alespoň 1. Lze jej také použít na výkonovou řadu s poloměrem konvergence R ≠ 1 jednoduchou změnou proměnných ζ = z/R.[1] Všimněte si, že Ábelova zkouška je zobecněním Kritérium Leibniz tím, že z = −1.
Důkaz Ábelova testu: Předpokládejme to z je bod na jednotkové kružnici, z ≠ 1. Pro každého , definujeme
Vynásobením této funkce číslem (1 - z), získáváme
První součet je konstantní, druhý konverguje rovnoměrně na nulu (protože předpokládá posloupnost konverguje k nule). Zbývá jen ukázat, že řada konverguje. Ukážeme to tím, že ukážeme, že to dokonce absolutně konverguje:kde poslední součet je konvergující teleskopická suma. Absolutní hodnota zmizela, protože posloupnost se podle předpokladu snižuje.
Proto sekvence konverguje (i rovnoměrně) na disku uzavřené jednotky. Li , můžeme rozdělit podle (1 - z) a získat výsledek.
Abelův test jednotné konvergence
Abelův test jednotné konvergence je kritériem pro jednotná konvergence řady funkcí nebo nesprávná integrace funkcí závislých na parametry. Souvisí to s Ábelovým testem konvergence běžné řady reálných čísel a důkaz se opírá o stejnou techniku součet podle částí.
Zkouška je následující. Nechť {Gn} být jednotně ohraničený sled skutečných hodnot spojité funkce na setu E takhle Gn+1(X) ≤ Gn(X) pro všechny X ∈ E a kladná celá čísla n, a nechť {Fn} být posloupnost funkcí se skutečnou hodnotou tak, že řada ΣFn(X) konverguje rovnoměrně E. Pak ΣFn(X)Gn(X) konverguje rovnoměrně E.
Poznámky
- ^ (Moretti, 1964, s. 91)
Reference
- Gino Moretti, Funkce komplexní proměnné, Prentice-Hall, Inc., 1964
- Apostol, Tom M. (1974), Matematická analýza (2. vyd.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
- Weisstein, Eric W. „Abelův test jednotné konvergence“. MathWorld.