Základní singularita - Essential singularity

Graf funkce exp (1 /z), zaměřený na základní singularitu v z= 0. Odstín představuje složitý argument, jas představuje absolutní hodnota. Tento graf ukazuje, jak přístup k základní singularitě z různých směrů přináší odlišné chování (na rozdíl od pólu, který by při přístupu z jakéhokoli směru byl jednotně bílý).

Model ilustrující základní singularitu komplexní funkce 6w = exp (1 / (6z))

v komplexní analýza, an zásadní singularita funkce je „těžká“ jedinečnost poblíž kterého funkce vykazuje zvláštní chování.

Kategorie zásadní singularita je „zbylá“ nebo výchozí skupina izolovaných singularit, které jsou obzvláště nezvládnutelné: podle definice nezapadají do žádné z dalších dvou kategorií singularity, které lze nějakým způsobem řešit - odnímatelné singularity a póly.

Formální popis

Zvažte otevřená podmnožina ${ displaystyle U}$ z složité letadlo ${ displaystyle mathbb {C}}$. Nechat ${ displaystyle a}$ být prvkem ${ displaystyle U}$, a ${ displaystyle f tračník U setminus {a } do mathbb {C}}$ A holomorfní funkce. Bod ${ displaystyle a}$ se nazývá zásadní singularita funkce ${ displaystyle f}$ pokud singularita není ani a pól ani a odnímatelná singularita.

Například funkce ${ displaystyle f (z) = e ^ {1 / z}}$má zásadní singularitu v ${ displaystyle z = 0}$.

Alternativní popisy

Nechat A být komplexní číslo, předpokládejme, že F(z) není definován na A ale je analytický v nějakém regionu U komplexní roviny, a to každý otevřeno sousedství z A má neprázdnou křižovatku s U.

Pokud obojí

${ displaystyle lim _ {z až a} f (z)}$ a ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ tedy existují A je odnímatelná singularita oba F a 1 /F.

Li

${ displaystyle lim _ {z až a} f (z)}$ existuje ale ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ tedy neexistuje A je nula z F a a pól z 1 /F.

Podobně, pokud

${ displaystyle lim _ {z až a} f (z)}$ neexistuje, ale ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ tedy existuje A je pól F a nula 1 /F.

Pokud ne

${ displaystyle lim _ {z až a} f (z)}$ ani ${ displaystyle lim _ {z to a} { frac {1} {f (z)}}}$ tedy existuje A je zásadní singularita obou F a 1 /F.

Dalším způsobem, jak charakterizovat základní singularitu, je to, že Laurentova řada z F na místě A má nekonečně mnoho záporných stupňů (tj hlavní část série Laurent je nekonečný součet). Související definice je, že pokud existuje bod ${ displaystyle a}$ pro které neexistuje žádný derivát ${ displaystyle f (z) (z-a) ^ {n}}$ konverguje k limitu jako ${ displaystyle z}$ má sklony k ${ displaystyle a}$, pak ${ displaystyle a}$ je základní singularita ${ displaystyle f (z)}$.^[1]

Chování holomorfní funkce blízko jejich podstatných singularit popisuje Casorati-Weierstrassova věta a podstatně silnější Picardova velká věta. Ten říká, že v každém sousedství má zásadní jedinečnost A, funkce F přebírá každý komplexní hodnota, snad s výjimkou jedné, nekonečně mnohokrát. (Výjimka je nutná, protože funkce exp (1 /z) nikdy nepřijímá hodnotu 0.)

Reference

externí odkazy

• Základní singularita podle Stephen Wolfram, Demonstrační projekt Wolfram.
• Základní singularita na Planet Math