Regulovaný integrál - Regulated integral

v matematika, regulovaný integrál je definice integrace pro regulované funkce, které jsou definovány jako jednotné limity z krokové funkce. Použití regulovaného integrálu namísto Riemannův integrál byl zastán Nicolas Bourbaki a Jean Dieudonné.

Definice

Definice krokových funkcí

Nechť [A, b] být opraven Zavřeno, ohraničený interval v skutečná linie R. Funkce se skutečnou hodnotou φ : [A, b] → R se nazývá a kroková funkce pokud existuje konečný rozdělit

${displaystyle Pi = {a = t_ {0}$

z [A, b] takové, že φ je konstantní na každém otevřeno interval (t_i, t_i+1) z Π; Předpokládejme, že tato konstantní hodnota je C_i ∈ R. Poté definujte integrální krokové funkce φ být

${displaystyle int _ {a} ^ {b} varphi (t), mathrm {d} t: = sum _ {i = 0} ^ {k-1} c_ {i} | t_ {i + 1} -t_ { i} |.}$

Je možné ukázat, že tato definice je nezávislá na volbě oddílu, pokud Π₁ je další oddíl [A, b] takové, že φ je konstantní v otevřených intervalech Π₁, pak číselná hodnota integrálu φ je stejný pro Π₁ pokud jde o Π.

Rozšíření regulovaných funkcí

Funkce F : [A, b] → R se nazývá a regulovaná funkce pokud se jedná o jednotný limit posloupnosti funkcí kroku na [A, b]:

• existuje řada krokových funkcí (φ_n)_n∈N takové, že || φ_n − F ||_∞ → 0 jako n → ∞; nebo ekvivalentně
• pro všechny ε > 0, existuje kroková funkce φ_ε takové, že || φ_ε − F ||_∞ < ε; nebo ekvivalentně
• F spočívá v uzavření prostoru krokových funkcí, kde je uzavření provedeno v prostoru všech omezené funkce [A, b] → R as ohledem na nadřazená norma || - ||_∞; nebo ekvivalentně
• pro každého t ∈ [A, b), pravostranný limit

${displaystyle f (t +) = lim _ {sdownarrow t} f (s)}$

existuje a pro každého t ∈ (A, b], levostranný limit

${displaystyle f (t -) = lim _ {suparrow t} f (s)}$

existuje také.

Definujte integrální regulované funkce F být

${displaystyle int _ {a} ^ {b} f (t), mathrm {d} t: = lim _ {n o infty} int _ {a} ^ {b} varphi _ {n} (t), mathrm { d} t,}$

kde (φ_n)_n∈N je libovolná posloupnost krokových funkcí, která konverguje jednotně do F.

Je třeba zkontrolovat, zda tento limit existuje a je nezávislý na zvolené sekvenci, ale je to okamžitý důsledek spojité lineární prodloužení věta elementární funkční analýzy: a ohraničený lineární operátor T₀ definované na a hustý lineární podprostor E₀ a normovaný lineární prostor E a brát hodnoty v Banachově prostoru F se jedinečně rozšiřuje na ohraničený lineární operátor T : E → F se stejným (konečným) norma operátora.

Vlastnosti regulovaného integrálu

• Integrál je a lineární operátor: pro jakékoli regulované funkce F a G a konstanty α a β,

${displaystyle int _ {a} ^ {b} alfa f (t) + eta g (t), mathrm {d} t = alfa int _ {a} ^ {b} f (t), mathrm {d} t + eta int _ {a} ^ {b} g (t), mathrm {d} t.}$

• Integrál je také a ohraničený operátor: každá regulovaná funkce F je ohraničený, a pokud m ≤ F(t) ≤ M pro všechny t ∈ [A, b], pak

${displaystyle m | b-a | leq int _ {a} ^ {b} f (t), mathrm {d} tleq M | b-a |.}$

Zejména:

${displaystyle left | int _ {a} ^ {b} f (t), mathrm {d} tight | leq int _ {a} ^ {b} | f (t) |, mathrm {d} t.}$

• Vzhledem k tomu, že krokové funkce jsou integrovatelné a integrovatelnost a hodnota Riemannova integrálu jsou kompatibilní s jednotnými limity, je regulovaný integrál zvláštním případem Riemannova integrálu.

Rozšíření o funkce definované na celé reálné linii

Je možné rozšířit definice krokové funkce a regulované funkce a přidružených integrálů na funkce definované v celku skutečná linie. Je však třeba věnovat pozornost určitým technickým bodům:

• oddíl, na jehož otevřených intervalech je požadována konstantní kroková funkce, může být spočetnou sadou, ale musí být a diskrétní sada, tj. nemají č mezní body;
• požadavek jednotné konvergence musí být uvolněn s požadavkem jednotné konvergence na kompaktní sady, tj. Zavřeno a ohraničený intervaly;
• ne každý omezená funkce je integrovatelný (např. funkce s konstantní hodnotou 1). To vede k představě místní integrovatelnost.

Rozšíření o funkce s vektorovou hodnotou

Výše uvedené definice procházejí mutatis mutandis v případě funkcí s hodnotami v a normovaný vektorový prostor X.

Viz také

• Lebesgueův integrál
• Riemannův integrál

Reference

• Berberian, S.K. (1979). "Regulované funkce: Bourbakiho alternativa k Riemannově integrálu". Americký matematický měsíčník. Mathematical Association of America. 86 (3): 208. doi:10.2307/2321526. JSTOR  2321526.
• Gordon, Russell A. (1994). Integrály Lebesgue, Denjoy, Perron a Henstock. Postgraduální studium matematiky, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-3805-9.