Binomická řada - Binomial series

The binomická řada je Taylor série pro funkci ${ displaystyle f}$ dána ${ displaystyle f (x) = (1 + x) ^ { alpha}}$ , kde ${ displaystyle alpha in mathbb {C}}$ je libovolný komplexní číslo. Výslovně,

{ displaystyle { begin {aligned} (1 + x) ^ { alpha} & = sum _ {k = 0} ^ { infty} ; { alpha vyberte k} ; x ^ {k} qquad qquad qquad (1) & = 1+ alpha x + { frac { alpha ( alpha -1)} {2!}} x ^ {2} + cdots, end {zarovnáno} }}

a binomická řada je výkonová řada na pravé straně (1), vyjádřeno jako (zobecněné) binomické koeficienty

{ displaystyle { alpha vyberte k}: = { frac { alpha ( alpha -1) ( alpha -2) cdots ( alpha -k + 1)} {k!}}.}

Speciální případy

Li α je nezáporné celé číslon, pak (n + 2) th termín a všechny pozdější termíny v řadě jsou 0, protože každý obsahuje faktor (n − n); tedy v tomto případě je řada konečná a dává algebraické binomický vzorec.

Následující varianta platí pro libovolný komplexβ, ale je zvláště užitečný pro zpracování záporných celočíselných exponentů v (1):

{ displaystyle { frac {1} {(1-z) ^ { beta +1}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {k + beta zvolit k} z ^ {k }.}

Chcete-li to dokázat, nahraďte X = −z v (1) a aplikovat identitu binomického koeficientu, což je,

{ displaystyle {- beta -1 zvolit k} = (- 1) ^ {k} {k + beta zvolit k}.}

Konvergence

Podmínky konvergence

Zda (1) konverguje, závisí na hodnotách komplexních čísel $α$ a $X$ . Přesněji:

Li $| X | < 1$ , řada konverguje Absolutně pro jakékoli komplexní číslo α.
Li $| X | = 1$ , řada absolutně konverguje kdyby a jen kdyby buď $Re (α)> 0$ nebo $α = 0$ .
Li $| X | = 1$ a $X \neq -1$ , řada konverguje právě tehdy $Re (α)> -1$ .
Li $X = -1$ , řada konverguje tehdy a jen tehdy, když $Re (α)> 0$ nebo $α = 0$ .
Li $| X | > 1$ , řada se rozchází, pokud $α$ je nezáporné celé číslo (v takovém případě je řada konečný součet).

Zejména pokud ${ displaystyle alpha}$ není záporné celé číslo, situace na hranici disku konvergence, ${ displaystyle | x | = 1}$ , je shrnut následovně:

Li $Re(α) > 0$ , řada absolutně konverguje.
Li $-1 α) \leq 0$ , řada konverguje podmíněně -li $X \neq -1$ a liší se, pokud $X = -1$ .
Li $Re(α) \leq -1$ , řada se rozchází.

Totožnosti, které mají být použity v dokladu

Následující platí pro jakékoli komplexní číslo α:

{ displaystyle { alpha zvolte 0} = 1,}

{ displaystyle { alpha zvolit k + 1} = { alpha zvolit k} , { frac { alpha -k} {k + 1}}, qquad qquad (2)}

{ displaystyle { alpha zvolit k-1} + { alpha zvolit k} = { alfa +1 zvolit k}. qquad qquad (3)}

Ledaže ${ displaystyle alpha}$ je nezáporné celé číslo (v takovém případě binomické koeficienty zmizí jako ${ displaystyle k}$ je větší než ${ displaystyle alpha}$ ), užitečné asymptotické vztah pro binomické koeficienty je v Landauova notace:

{ displaystyle { alpha select k} = { frac {(-1) ^ {k}} { Gamma (- alpha) k ^ {1+ alpha}}} , (1 + o (1 )), quad { text {as}} k do infty. qquad qquad (4)}

To je v zásadě ekvivalentní s Eulerovou definicí Funkce gama:

{ displaystyle Gamma (z) = lim _ {k až infty} { frac {k! ; k ^ {z}} {z ; (z + 1) cdots (z + k)} }, qquad}

a okamžitě znamená hrubší hranice

{ displaystyle { frac {m} {k ^ {1+ operatorname {Re} , alpha}}} leq left | { alpha choose k} right | leq { frac {M} {k ^ {1+ operatorname {Re} , alpha}}}, qquad qquad (5)}

pro některé pozitivní konstanty m a M .

Výše uvedený vzorec pro zobecněný binomický koeficient lze přepsat na

{ displaystyle { alpha choose k} = prod _ {j = 1} ^ {k} left ({ frac { alpha +1} {j}} - 1 right). qquad qquad ( 6)}

Důkaz

K prokázání (i) a (v) použijte poměrový test a pomocí vzorce (2) výše ukážeme, že kdykoli ${ displaystyle alpha}$ není záporné celé číslo, poloměr konvergence je přesně 1. Část (ii) vyplývá ze vzorce (5) ve srovnání s řada p

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} ; { frac {1} {k ^ {p}}}, qquad}

s ${ displaystyle p = 1 + { text {Re}} , alpha}$ . K prokázání (iii) nejprve použijte vzorec (3) k získání

{ displaystyle (1 + x) součet _ {k = 0} ^ {n} ; { alpha zvolit k} ; x ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ {n} ; { alpha +1 zvolit k} ; x ^ {k} + { alpha zvolit n} ; x ^ {n + 1}, qquad qquad (7)}

a poté znovu použijte (ii) a vzorec (5), abyste prokázali konvergenci pravé strany, když ${ displaystyle { text {Re}} , alpha> -1}$ předpokládá se. Na druhou stranu se řada nesbližuje, pokud ${ displaystyle | x | = 1}$ a ${ displaystyle { text {Re}} , alpha leq -1}$ , opět podle vzorce (5). Případně to můžeme pozorovat pro všechny ${ displaystyle j, left | { frac { alpha +1} {j}} - 1 right | geq 1 - { frac {{ text {Re}} , alpha +1} {j }} geq 1}$ . Tedy podle vzorce (6) pro všechny ${ displaystyle k, left | { alpha zvolit k} vpravo | geq 1}$ . Tím je dokončen důkaz (iii). Pokud jde o (iv), používáme identitu (7) výše s ${ displaystyle x = -1}$ a ${ displaystyle alpha -1}$ namísto ${ displaystyle alpha}$ , spolu se vzorcem (4), získat

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} ; { alfa zvolit k} ; (- 1) ^ {k} = { alpha -1 zvolit n} ; (- 1) ^ {n} = { frac {1} { Gamma (- alpha +1) n ^ { alpha}}} (1 + o (1))}

tak jako ${ displaystyle n to infty}$ . Tvrzení (iv) nyní vyplývá z asymptotického chování sekvence ${ displaystyle n ^ {- alpha} = e ^ {- alpha log (n)}}$ . (Přesně, ${ displaystyle { big |} e ^ {- alpha log n} { big |} = e ^ {- { text {Re}} , alpha , log n}}$ určitě konverguje k ${ displaystyle 0}$ -li ${ displaystyle { text {Re}} , alpha> 0}$ a rozcházejí se ${ displaystyle + infty}$ -li ${ displaystyle { text {Re}} , alpha <0}$ . Li ${ displaystyle { text {Re}} , alpha = 0}$ , pak ${ displaystyle n ^ {- alpha} = e ^ {- i { text {Im}} , alpha log n}}$ konverguje tehdy a jen tehdy, když sekvence ${ displaystyle { text {Im}} , alpha log n}$ konverguje ${ displaystyle { text {mod}} ; 2 pi}$ , což je jistě pravda, pokud ${ displaystyle alpha = 0}$ ale nepravdivé, pokud ${ displaystyle { text {Im}} , alpha neq 0}$ : v druhém případě je sekvence hustá ${ displaystyle { text {mod}} ; 2 pi}$ , vzhledem k faktu, že ${ displaystyle log n}$ rozchází a ${ displaystyle log (n + 1) - log n}$ konverguje k nule).

Shrnutí binomické řady

Obvyklý argument pro výpočet součtu binomické řady je následující. Terminálně rozlišujeme binomickou řadu v konvergenčním disku |X| <1 a pomocí vzorce (1) platí, že součet řady je an analytická funkce řešení obyčejné diferenciální rovnice (1 +X)u'(X) = αu(X) s počátečními údaji u(0) = 1. Jedinečným řešením tohoto problému je funkce u(X) = (1 + X)^α, což je tedy součet binomické řady, alespoň pro |X| <1. Rovnost se rozšiřuje na |X| = 1, kdykoli se řada sblíží v důsledku Ábelova věta a kontinuitou (1 +X)^α.

Dějiny

První výsledky týkající se binomických řad pro jiné než celočíselné exponenty dal Sir Isaac Newton při studiu oblastí uzavřených pod určitými křivkami. John Wallis vycházel z této práce zvážením výrazů formy y = (1 − X²)^m kde m je zlomek. Zjistil, že (psáno moderně) následné koeficienty C_k z (-X²)^k lze nalézt vynásobením předchozího koeficientu číslem ${ displaystyle { tfrac {m- (k-1)} {k}}}$ (jako v případě celočíselných exponentů), čímž implicitně dává vzorec pro tyto koeficienty. Explicitně píše následující instance^[1]

{ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 - { frac {x ^ {2}} {2}} - { frac {x ^ {4}} {8}} - { frac {x ^ {6}} {16}} cdots}

{ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2} = 1 - { frac {3x ^ {2}} {2}} + { frac {3x ^ {4}} {8}} + { frac {x ^ {6}} {16}} cdots}

{ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/3} = 1 - { frac {x ^ {2}} {3}} - { frac {x ^ {4}} {9}} - { frac {5x ^ {6}} {81}} cdots}

Binomická řada se proto někdy označuje jako Newtonova binomická věta. Newton neposkytuje žádný důkaz a není výslovný o povaze série; s největší pravděpodobností ověřil případy, kdy se sérií zacházelo jako s (opět v moderní terminologii) formální mocenské řady.^{[Citace je zapotřebí ]} Později, Niels Henrik Abel diskutovali o tomto tématu ve vzpomínce, kde se zabývali zejména otázkami konvergence.

Viz také

Reference

^ Příběh binomické věty, J. L. Coolidge, Americký matematický měsíčník 56: 3 (1949), s. 147–157. Ve skutečnosti tento zdroj uvádí všechny nekonstantní výrazy se záporným znaménkem, což pro druhou rovnici není správné; jeden musí předpokládat, že toto je chyba přepisu.

[1] Příběh binomické věty, J. L. Coolidge, Americký matematický měsíčník 56: 3 (1949), s. 147–157. Ve skutečnosti tento zdroj uvádí všechny nekonstantní výrazy se záporným znaménkem, což pro druhou rovnici není správné; jeden musí předpokládat, že toto je chyba přepisu.

[1]