Divergentní série - Divergent series

v matematika, a divergentní série je nekonečná řada to není konvergentní, což znamená, že nekonečný sekvence z částečné částky série nemá konečnou hodnotu omezit.

Pokud řada konverguje, musí se jednotlivé členy řady přiblížit nule. Jakákoli řada, ve které se jednotlivé termíny nepřibližují k nule, se tedy rozchází. Konvergence je však silnější podmínkou: ne všechny řady, jejichž termíny se blíží nule, konvergují. Protikladem je harmonická řada

${ displaystyle 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {5}} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}}.}$

Divergence harmonické řady bylo prokázáno středověký matematik Nicole Oresme.

Ve specializovaných matematických kontextech lze hodnoty objektivně přiřadit určitým řadám, jejichž posloupnosti dílčích součtů se rozcházejí, aby bylo možné pochopit divergenci řady. A metoda summability nebo metoda sčítání je částečná funkce od množiny sérií k hodnotám. Například, Cesàro součet přiřadí Grandiho odlišná série.

${ displaystyle 1-1 + 1-1 + cdots}$

hodnota 1/2. Souhrn Cesàro je průměrování metoda spočívá v tom, že aritmetický průměr posloupnosti dílčích součtů. Další metody zahrnují analytické pokračování souvisejících sérií. v fyzika existuje široká škála metod sčítání; podrobněji o nich pojednává článek v regulace.

Dějiny

Před 19. stoletím byly divergentní řady široce používány Leonhard Euler a další, ale často vedly k matoucím a rozporuplným výsledkům. Hlavním problémem byla Eulerova myšlenka, že každá divergentní řada by měla mít přirozený součet, aniž by nejprve definovala, co se rozumí součtem divergentní řady. Augustin-Louis Cauchy nakonec dal přísnou definici součtu (konvergentní) řady a po nějakou dobu poté byly divergentní řady z matematiky většinou vyloučeny. Znovu se objevili v roce 1886 s Henri Poincaré práce na asymptotických sériích. V roce 1890 Ernesto Cesàro si uvědomil, že je možné přesně definovat součet některých divergentních řad a definovat Cesàro součet. (Toto nebylo první použití součtu Cesàro, který implicitně použil Ferdinand Georg Frobenius v roce 1880; Klíčovým přínosem Cesàra nebylo objevení této metody, ale jeho myšlenka, že je třeba výslovně definovat součet divergentní řady.) V letech po Cesàroově práci několik dalších matematiků poskytlo další definice součtu divergentní řady , i když nejsou vždy kompatibilní: různé definice mohou dát různé odpovědi na součet stejné divergentní řady; takže když mluvíme o součtu divergentní řady, je nutné specifikovat, kterou metodu sčítání člověk používá.

Věty o metodách sčítání odlišných řad

Metoda summability M je pravidelný pokud souhlasí se skutečným limitem pro všechny konvergentní řady. Takový výsledek se nazývá Abelianova věta pro Mz prototypu Ábelova věta. Zajímavější a obecně jemnější jsou částečné konverzní výsledky, tzv Tauberianovy věty, z prototypu prokázaného Alfred Tauber. Tady částečná konverzace znamená, že pokud M shrnuje řadu Σ, a tedy nějaké vedlejší podmínky Σ byl konvergentní na prvním místě; bez jakýchkoli vedlejších podmínek by takový výsledek řekl M pouze sčítané konvergentní řady (což je zbytečné jako metoda součtu pro divergentní řady).

Funkce udávající součet konvergentní řady je lineární, a vyplývá to z Hahnova – Banachova věta že ji lze rozšířit na metodu sčítání, která shrnuje libovolné řady s omezenými částečnými součty. Tomu se říká Banachův limit. Tato skutečnost není v praxi příliš užitečná, protože existuje mnoho takových rozšíření, nekonzistentní navzájem a také proto, že prokázání takových operátorů vyžaduje vyvolání axiom volby nebo jeho ekvivalenty, jako je Zornovo lemma. Jsou proto nekonstruktivní.

Předmět divergentní řady, jako doména matematická analýza, se zaměřuje především na explicitní a přirozené techniky, jako je Abelův součet, Cesàro součet a Borelův součet a jejich vztahy. Příchod Wienerova tauberiánská věta označil v předmětu epochu a představil neočekávané souvislosti s Banachova algebra metody v Fourierova analýza.

Souvisí také součet odlišných řad extrapolace metody a sekvenční transformace jako numerické techniky. Příklady takových technik jsou Apostati Padé, Sekvenční transformace typu Levin a mapování závislé na pořadí související s renormalizace techniky pro velkou objednávku teorie poruch v kvantová mechanika.

Vlastnosti sčítacích metod

Metody sumace se obvykle soustředí na posloupnost dílčích součtů řady. I když tato posloupnost nekonverguje, můžeme často zjistit, že když vezmeme průměrný většího a většího počtu počátečních členů posloupnosti se průměr sblíží a můžeme použít tento průměr namísto limitu k vyhodnocení součtu řady. A metoda sčítání lze chápat jako funkci ze sady posloupností dílčích součtů k hodnotám. Li A je jakákoli metoda sumace přiřazující hodnoty k sadě sekvencí, můžeme ji mechanicky přeložit na a metoda součtu řad A^Σ který přiřazuje stejné hodnoty odpovídající řadě. Existují určité vlastnosti, které je žádoucí, aby tyto metody vlastnily, pokud mají dospět k hodnotám odpovídajícím limitům a součtům.

1. Pravidelnost. Metoda sčítání je pravidelný pokud, kdykoli sekvence s konverguje k X, A(s) = X. Ekvivalentně se vyhodnotí odpovídající metoda součtu řad A^Σ(A) = X.
2. Linearita. A je lineární pokud je to lineární funkce na posloupnostech, kde je definována, tak A(k r + s) = k A(r) + A(s) pro sekvence r, s a skutečný nebo složitý skalární k. Protože podmínky A_n+1 = s_n+1 − s_n série A jsou lineární funkcionály sekvence s a naopak, toto je ekvivalentní s A^Σ být lineární funkční z hlediska řady.
3. Stabilita (také zvaný translativita). Li s je sekvence začínající od s₀ a s′ Je posloupnost získaná vynecháním první hodnoty a odečtením od zbytku, takže s′_n = s_n+1 − s₀, pak A(s) je definován právě tehdy A(s′) Je definován a A(s) = s₀ + A(s′). Ekvivalentně, kdykoli A′_n = A_n+1 pro všechny n, pak A^Σ(A) = A₀ + A^Σ(A′).^[1][2] Další způsob, jak to uvést, je, že pravidlo posunu musí být platné pro řady, které lze sumarizovat touto metodou.

Třetí podmínka je méně důležitá a některé významné metody, jako např Borelův součet, nevlastní to.^[3]

Lze také poskytnout slabší alternativu k poslední podmínce.

Žádoucí vlastnost pro dvě odlišné metody součtu A a B sdílet je konzistence: A a B jsou konzistentní pokud pro každou sekvenci s kterému oba přiřadí hodnotu, A(s) = B(s). Pokud jsou dvě metody konzistentní a jedna sčítá více sérií než druhá, jedna sčítá více sérií silnější.

Existují výkonné metody numerické sumace, které nejsou ani pravidelné, ani lineární, například nelineární sekvenční transformace jako Sekvenční transformace typu Levin a Apostati Padé, jakož i na pořadí závislé mapování poruchových sérií na základě renormalizace techniky.

Vezmeme-li pravidelnost, linearitu a stabilitu jako axiomy, je možné shrnout mnoho divergentních řad elementárními algebraickými manipulacemi. To částečně vysvětluje, proč mnoho různých metod sčítání poskytuje pro určité řady stejnou odpověď.

Například kdykoli r ≠ 1, the geometrické řady

${ displaystyle { begin {sladěno} G (r, c) & = sum _ {k = 0} ^ { infty} cr ^ {k} && & = c + sum _ {k = 0} ^ { infty} cr ^ {k + 1} && { text {(stabilita)}} & = c + r sum _ {k = 0} ^ { infty} cr ^ {k} && { text {(linearita)}} & = c + r , G (r, c), && { text {tudíž}} G (r, c) & = { frac {c} {1-r }}, { text {pokud není nekonečný}} && end {zarovnáno}}}$

lze vyhodnotit bez ohledu na konvergenci. Přesněji řečeno, jakákoli metoda součtu, která má tyto vlastnosti a která přiřadí konečnou hodnotu geometrické řadě, musí tuto hodnotu přiřadit. Kdy však r je reálné číslo větší než 1, dílčí součty se zvyšují bez vazby a průměrovací metody přiřadí limit nekonečna.

Klasické metody sčítání

Dvě klasické metody sčítání pro řady, obyčejná konvergence a absolutní konvergence, definují součet jako limit určitých dílčích součtů. Jsou zahrnuty pouze pro úplnost; striktně vzato, nejde o skutečné metody součtu pro divergentní řady, protože ze své podstaty je řada odlišná, pouze pokud tyto metody nefungují. Většina, ale ne všechny, metody sčítání pro divergentní řady rozšiřují tyto metody na větší třídu sekvencí.

Absolutní konvergence

Absolutní konvergence definuje součet posloupnosti (nebo množiny) čísel jako limit sítě všech částečných součtů A_k1 + ... + A_kn, pokud existuje. Nezáleží na pořadí prvků posloupnosti a klasická věta říká, že posloupnost je absolutně konvergentní právě tehdy, když je posloupnost absolutních hodnot konvergentní ve standardním smyslu.

Součet série

Cauchyova klasická definice součtu řady A₀ + A₁ + ... definuje součet jako limit posloupnosti dílčích součtů A₀ + ... + A_n. Toto je výchozí definice konvergence sekvence.

Nørlund znamená

Předpokládat p_n je posloupnost kladných výrazů, počínaje od p₀. Předpokládejme také to

${ displaystyle { frac {p_ {n}} {p_ {0} + p_ {1} + cdots + p_ {n}}} rightarrow 0.}$

Pokud nyní transformujeme posloupnost s pomocí p dát vážené prostředky, nastavení

${ displaystyle t_ {m} = { frac {p_ {m} s_ {0} + p_ {m-1} s_ {1} + cdots + p_ {0} s_ {m}} {p_ {0} + p_ {1} + cdots + p_ {m}}}}$

pak limit t_n tak jako n jde do nekonečna je průměr nazývaný Nørlund znamenat N_p(s).

Nørlundův průměr je pravidelný, lineární a stabilní. Jakékoli dva Nørlundovy prostředky jsou navíc konzistentní.

Cesàro součet

Nejvýznamnějším prostředkem Nørlund jsou součty Cesàro. Tady, pokud definujeme sekvenci p^k podle

${ displaystyle p_ {n} ^ {k} = {n + k-1 vyberte k-1}}$

pak součet Cesàro C_k je definováno C_k(s) = N_(p^k)(s). Cesàro částky jsou Nørlund, pokud k ≥ 0, a proto jsou pravidelné, lineární, stabilní a konzistentní. C₀ je obyčejný součet a C₁ je obyčejný Cesàro součet. Cesàro částky mají tu vlastnost, že pokud h > k, pak C_h je silnější než C_k.

Abelian znamená

Předpokládat λ = {λ₀, λ₁, λ₂,...} je přísně rostoucí posloupnost směřující k nekonečnu, a to λ₀ ≥ 0. Předpokládat

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} exp (- lambda _ {n} x)}$

konverguje pro všechna reálná čísla X > 0. Pak Abelian průměr A_λ je definován jako

${ displaystyle A _ { lambda} (s) = lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} f (x).}$

Obecněji, pokud série pro F konverguje pouze pro velké X ale lze analyticky pokračovat do všech pozitivních skutečných X, pak lze ještě definovat součet divergentní řady o limit výše.

Série tohoto typu je známá jako generalizovaná Dirichletova řada; v aplikacích na fyziku se tomu říká metoda regularizace tepelného jádra.

Abelian prostředky jsou pravidelné a lineární, ale ne stabilní a ne vždy konzistentní mezi různými možnostmi λ. Některé speciální případy jsou však velmi důležité metody sčítání.

Abelův součet

Li λ_n = n, pak získáme metodu Abelův součet. Tady

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} e ^ {- nx} = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n},}$

kde z = exp (-X). Pak limit F(X) tak jako X blíží 0 až pozitivní reality je limit výkonové řady pro F(z) tak jako z se blíží 1 zespodu prostřednictvím kladných reálů a Ábelovy sumy A(s) je definován jako

${ displaystyle A (s) = lim _ {z rightarrow 1 ^ {-}} sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} z ^ {n}.}$

Abelův součet je částečně zajímavý, protože odpovídá, ale je silnější než Cesàro součet: A(s) = C_k(s) kdykoli je definován druhý. Ábelova suma je tedy pravidelná, lineární, stabilní a konzistentní s Cesàrovým součtem.

Lindelöfův součet

Li λ_n = n log (n), pak (indexování od jednoho) máme

${ displaystyle f (x) = a_ {1} + a_ {2} 2 ^ {- 2x} + a_ {3} 3 ^ {- 3x} + cdots.}$

Pak L(s), Lindelöf součet (Volkov 2001 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFVolkov2001 (Pomoc), je limit F(X) tak jako X jde na kladnou nulu. Lindelöfův součet je výkonná metoda při aplikaci na výkonové řady mezi jinými aplikacemi, která shrnuje výkonové řady v Hvězda Mittag-Leffler.

Li G(z) je analytický na disku kolem nuly, a proto má a Řada Maclaurin G(z), tedy s kladným poloměrem konvergence L(G(z)) = G(z) ve hvězdě Mittag-Leffler. Kromě toho konvergence k G(z) je jednotný u kompaktních podmnožin hvězdy.

Analytické pokračování

Několik metod sčítání zahrnuje převzetí hodnoty analytického pokračování funkce.

Analytické pokračování výkonových řad

Pokud ΣA_nXⁿ konverguje pro malý komplex X a lze analyticky pokračovat po určité cestě z X = 0 do bodu X = 1, pak lze definovat součet řady jako hodnotu v X = 1. Tato hodnota může záviset na volbě cesty.

Eulerův součet

Eulerova sumace je v podstatě explicitní formou analytického pokračování. Pokud konverguje výkonová řada pro malý komplex z a lze analyticky pokračovat na otevřený disk s průměrem od −1/q + 1 na 1 a je spojitá v 1, pak se její hodnota v nazývá Euler nebo (E,q) součet série A₀ + .... Euler to použil předtím, než bylo obecně definováno analytické pokračování, a dal explicitní vzorce pro výkonovou řadu analytického pokračování.

Operaci Eulerova součtu lze opakovat několikrát, což je v zásadě ekvivalentní převodu analytického pokračování výkonové řady do boduz = 1.

Analytické pokračování Dirichletovy řady

Tato metoda definuje součet řady jako hodnotu analytického pokračování Dirichletovy řady

${ displaystyle f (s) = { frac {a_ {1}} {1 ^ {s}}} + { frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + { frac {a_ { 3}} {3 ^ {s}}} + cdots}$

na s = 0, pokud existuje a je jedinečný. Tato metoda je někdy zaměňována s regularizací funkce zeta.

Li s = 0 je izolovaná singularita, součet je definován konstantním členem expanze Laurentovy řady.

Regulace funkce Zeta

Pokud série

${ displaystyle f (s) = { frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + { frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + { frac {1} {a_ {3} ^ {s}}} + cdots}$

(pro kladné hodnoty A_n) konverguje pro velké reálné s a může být analyticky pokračovalo podél skutečné linie do s = -1, pak jeho hodnota na s = -1 se nazývá zeta legalizována součet série A₁ + A₂ + ... regularizace funkce Zeta je nelineární. V aplikacích čísla A_i jsou někdy vlastní čísla samostatného operátoru A s kompaktním rozpouštědlem a F(s) je potom stopa A^−s. Například pokud A má vlastní čísla 1, 2, 3, ... pak F(s) je Funkce Riemann zeta, ζ(s), jehož hodnota na s = -1 je -1/12, přiřazení hodnoty divergentní řadě 1 + 2 + 3 + 4 + .... Další hodnoty s lze také použít k přiřazení hodnot pro odlišné částky ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2, ζ(−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 a obecně

${ displaystyle zeta (-s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {s} = 1 ^ {s} + 2 ^ {s} + 3 ^ {s} + cdots = - { frac {B_ {s + 1}} {s + 1}} ,,}$

kde B_k je Bernoulliho číslo.^[4]

Integrální funkce znamená

Li J(X) = Σp_nXⁿ je integrální funkce, pak J součet série A₀ + ... je definován jako

${ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} { frac { sum _ {n} p_ {n} (a_ {0} + cdots + a_ {n}) x ^ {n}} { sum _ {n} p_ {n} x ^ {n}}},}$

pokud tento limit existuje.

Existuje variace této metody, kde série pro J má konečný poloměr konvergence r a rozcházejí se X = r. V tomto případě definujeme součet výše, s výjimkou limitu jako X má sklony k r spíše než nekonečno.

Borelův součet

Ve zvláštním případě, když J(X) = E^X to dává jednu (slabou) formu Borelův součet.

Valironova metoda

Valironova metoda je zevšeobecněním Borelovy sumace na určité obecnější integrální funkce J. Valiron ukázal, že za určitých podmínek je to ekvivalentní definování součtu řady jako

${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} { sqrt { frac {H (n)} {2 pi}}} součet _ {h v Z} e ^ {- { frac { 1} {2}} h ^ {2} H (n)} (a_ {0} + cdots + a_ {h})}$

kde H je druhý derivát G a C(n) = E^−G(n), a A₀ + ... + A_h má být interpretováno jako 0, kdyžh < 0.

Momentové metody

Předpokládejme to dμ je míra na skutečné linii taková, že všechny okamžiky

${ displaystyle mu _ {n} = int x ^ {n} , d mu}$

jsou konečné. Li A₀ + A₁ + ... je série taková

${ displaystyle a (x) = { frac {a_ {0} x ^ {0}} { mu _ {0}}} + { frac {a_ {1} x ^ {1}} { mu _ {1}}} + cdots}$

konverguje pro všechny X na podporu μ, pak (dμ) součet řady je definován jako hodnota integrálu

${ displaystyle int a (x) , d mu}$

pokud je definován. (Všimněte si, že pokud jsou čísla μ_n rostou příliš rychle, pak míru jednoznačně neurčují μ.)

Borelův součet

Například pokud dμ = E^−X dx pro pozitivní X a 0 pro zápor X pak μ_n = n!, a to dává jednu verzi Borelův součet, kde je hodnota součtu dána vztahem

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} sum { frac {a_ {n} t ^ {n}} {n!}} , dt.}$

Existuje zobecnění v závislosti na proměnné α, nazývané (B ',α) součet, kde je součet řady A₀ + ... je definován jako

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} sum { frac {a_ {n} t ^ {n alpha}} { Gamma (n alpha +1)}} , dt}$

pokud tento integrál existuje. Další zobecnění má nahradit součet pod integrálem jeho analytickým pokračováním z maléhot.

Různé metody

Hausdorffovy transformace

Hardy (1949, kapitola 11).

Hölderův součet

Huttonova metoda

V roce 1812 Hutton představil metodu sčítání divergentní řady počínaje posloupností částečných součtů a opakovaným použitím operace nahrazení posloupnostis₀, s₁, ... podle sekvence průměrů s₀ + s₁/2, s₁ + s₂/2, ..., a poté převzetí limitu (Hardy 1949, str. 21).

Sčítatelnost Ingham

Série A₁ + ... se nazývá Ingham summable to s -li

${ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} součet _ {1 leq n leq x} a_ {n} { frac {n} {x}} left [{ frac {x} {n }} vpravo] = s.}$

Albert Ingham ukázal, že pokud δ je libovolné kladné číslo pak (C, -δ) (Cesàro) summability implikuje Ingham summability a Ingham summability implies (C,δ) shrnutelnost Hardy (1949, Dodatek II).

Lambertova shrnutelnost

Série A₁ + ... je volán Lambert sumarizovatelný na s -li

${ displaystyle lim _ {y rightarrow 0 ^ {+}} sum _ {n geq 1} a_ {n} { frac {nye ^ {- ny}} {1-e ^ {- ny}} } = s.}$

Pokud je série (C,k) (Cesàro) lze shrnout pro všechny k pak je Lambert summable na stejnou hodnotu, a pokud je řada Lambert summable pak je Abel summable na stejnou hodnotu Hardy (1949, Dodatek II).

Shrnutí Le Roy

Série A₀ + ... se nazývá Le Roy, který lze shrnout s -li

${ displaystyle lim _ { zeta rightarrow 1 ^ {-}} sum _ {n} { frac { gama (1+ zeta n)} { gama (1 + n)}} a_ {n } = s.}$

Hardy (1949, 4.11)

Součet Mittag-Leffler

Série A₀ + ... se nazývá Mittag-Leffler (M) součet s -li

${ displaystyle lim _ { delta rightarrow 0} sum _ {n} { frac {a_ {n}} { Gamma (1+ delta n)}} = s.}$

Hardy (1949, 4.11)

Shrnutí Ramanujan

Ramanujanův součet je metoda přiřazení hodnoty divergentní řadě používaná Ramanujanem a založená na Souhrnný vzorec Euler – Maclaurin. Ramanujan součet série F(0) + F(1) + ... záleží nejen na hodnotách F na celá čísla, ale také na hodnoty funkce F v neintegrálních bodech, takže nejde o metodu součtu ve smyslu tohoto článku.

Riemannova summability

Série A₁ + ... je voláno (R,k) (nebo Riemann) lze shrnout do s -li

${ displaystyle lim _ {h rightarrow 0} sum _ {n} a_ {n} left ({ frac { sin nh} {nh}} right) ^ {k} = s.}$

Hardy (1949, 4.17) Série A₁ + ... se nazývá R.₂ lze shrnout do s -li

${ displaystyle lim _ {h rightarrow 0} { frac {2} { pi}} součet _ {n} { frac { sin ^ {2} nh} {n ^ {2} h}} (a_ {1} + cdots + a_ {n}) = s.}$

Riesz znamená

Li λ_n tvoří rostoucí posloupnost reálných čísel a

${ displaystyle A _ { lambda} (x) = a_ {0} + cdots + a_ {n} { text {for}} lambda _ {n}$

pak Riesz (R,λ,κ) součet série A₀ + ... je definován jako

${ displaystyle lim _ { omega rightarrow infty} { frac { kappa} { omega ^ { kappa}}} int _ {0} ^ { omega} A _ { lambda} (x) ( omega -x) ^ { kappa -1} , dx.}$

Sumarizace Vallée-Poussin

Série A₁ + ... se nazývá VP (nebo Vallée-Poussin) sčítatelný do s -li

${ displaystyle lim _ {m rightarrow infty} součet _ {k = 0} ^ {m} a_ {k} { frac {[ Gamma (m + 1)] ^ {2}} { Gamma (m + 1-k) , Gamma (m + 1 + k)}} = lim _ {m rightarrow infty} left [a_ {0} + a_ {1} { frac {m} { m + 1}} + a_ {2} { frac {m (m-1)} {(m + 1) (m + 2)}} + cdots right] = s,}$

kde ${ Displaystyle Gamma (x)}$ je funkce gama.Hardy (1949, 4.17).

Viz také

• Silvermanova-Toeplitzova věta

Poznámky

Reference

• Arteca, GA; Fernández, F.M .; Castro, E.A. (1990), Teorie poruch velkého řádu a metody sumace v kvantové mechanice, Berlín: Springer-Verlag.
• Baker, Jr., G. A .; Graves-Morris, P. (1996), Pádé přibližné, Cambridge University Press.
• Brezinski, C .; Zaglia, M. Redivo (1991), Extrapolační metody. Teorie a praxe, Severní Holandsko.
• Hardy, G. H. (1949), Divergentní série, Oxford: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.-C .; Zinn-Justin, J. (1990), Chování poruchy řádu ve velkém řádu, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Volkov, I.I. (2001) [1994], „Lindelöfova metoda sčítání“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Zakharov, A.A. (2001) [1994], „Abelova metoda sčítání“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• "Rieszova metoda sčítání", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]