Trigonometrické funkce - Trigonometric functions

Trigonometrie
Obrys Dějiny Používání Funkce  (inverzní ) Zobecněná trigonometrie
Odkaz
Totožnosti Přesné konstanty Tabulky Jednotkový kruh
Zákony a věty
Sines Kosiny Tečny Kotangens Pythagorova věta
Počet
Trigonometrická substituce Integrály  (inverzní funkce ) Deriváty

Základy trigonometrie: pokud dvě pravé trojúhelníky mít stejné ostré úhly, oni jsou podobný, takže jejich boční délky jsou proporcionální. Přiměřenost konstanty jsou zapsány do obrázku: hřích θ, cos θ, opálení θ, kde θ je běžná míra pěti ostrých úhlů.

v matematika, trigonometrické funkce (také zvaný kruhové funkce, úhlové funkce nebo goniometrické funkce^[1][2]) jsou skutečné funkce které se vztahují k úhlu a pravoúhlý trojúhelník k poměrům dvou délek stran. Jsou široce používány ve všech vědách, které s nimi souvisejí geometrie, jako navigace, mechanika těles, nebeská mechanika, geodézie, a mnoho dalších. Patří mezi nejjednodušší periodické funkce, a jako takové jsou také široce používány pro studium periodických jevů, skrz Fourierova analýza.

Trigonometrické funkce nejpoužívanější v moderní matematice jsou sinus, kosinusa tečna. Jejich reciproční jsou příslušně kosekans, sekána kotangens, které jsou méně využívány. Každá z těchto šesti trigonometrických funkcí má odpovídající inverzní funkci (tzv inverzní trigonometrická funkce ) a ekvivalent v hyperbolické funkce také.^[3]

Nejstarší definice trigonometrických funkcí související s pravoúhlými trojúhelníky je definují pouze pro ostré úhly. K rozšíření těchto definic na funkce, jejichž doména je celek projektivně prodloužená reálná čára, geometrické definice pomocí standardu jednotkový kruh (tj. kruh s poloměr 1 jednotka) se často používá. Moderní definice vyjadřují trigonometrické funkce jako nekonečná řada nebo jako řešení diferenciální rovnice. To umožňuje rozšířit doménu sínusových a kosinových funkcí na celek složité letadlo a doména ostatních trigonometrických funkcí ke komplexní rovině (ze které jsou odstraněny některé izolované body).

Definice pravoúhlého trojúhelníku

Graf šesti trigonometrických funkcí, jednotkové kružnice a úsečky pro úhel θ = 0,7 radiány. Označené body 1, Sec (θ), Csc (θ) představují délku úsečky od počátku do tohoto bodu. Sin (θ), Tan (θ), a 1 jsou výšky čáry začínající od X-osi, zatímco Cos (θ), 1, a Dětská postýlka (θ) jsou délky podél X-osa počínaje od počátku.

V této části stejné velké písmeno označuje vrchol trojúhelníku a míru odpovídajícího úhlu; stejné malé písmeno označuje hranu trojúhelníku a jeho délku.

Vzhledem k ostrý úhel A = θ a pravoúhlý trojúhelník, přepona h je strana, která spojuje dva ostré úhly. Strana b přilehlý na θ je strana trojúhelníku, který spojuje θ do pravého úhlu. Třetí strana A se říká, že je naproti na θ.

Pokud úhel θ je dána, pak jsou všechny strany pravoúhlého trojúhelníku dobře definované až do měřítka. To znamená, že poměr libovolných dvou délek stran závisí pouze na θ. Těchto šest poměrů tedy definuje šest funkcí θ, což jsou trigonometrické funkce. Přesněji řečeno, šest trigonometrických funkcí je:^[4][5]

sinus

${displaystyle sin heta = {frac {a} {h}} = {frac {mathrm {opačný}} {mathrm {hypotenuse}}}}$

kosinus

${displaystyle cos heta = {frac {b} {h}} = {frac {mathrm {přilehlý}} {mathrm {hypotenuse}}}}$

tečna

${displaystyle an heta = {frac {a} {b}} = {frac {mathrm {naproti}} {mathrm {sousední}}}}$

kosekans

${displaystyle csc heta = {frac {h} {a}} = {frac {mathrm {hypotenuse}} {mathrm {opak}}}}$

sekán

${displaystyle sec heta = {frac {h} {b}} = {frac {mathrm {hypotenuse}} {mathrm {sousední}}}}$

kotangens

${displaystyle cot heta = {frac {b} {a}} = {frac {mathrm {přilehlý}} {mathrm {naproti}}}}$

V pravoúhlém trojúhelníku je součet dvou ostrých úhlů pravý úhel, tj. 90 ° nebo ${extstyle {frac {pi} {2}}}$ radiány.

Souhrn vztahů mezi trigonometrickými funkcemi^[6]

Funkce	Zkratka	Popis	Vztah
			použitím radiány	použitím stupňů
sinus	hřích	naproti/přepona	${displaystyle sin heta = cos left ({frac {pi} {2}} - heta ight) = {frac {1} {csc heta}}}$	${displaystyle sin x = cos left (90 ^ {circ} -xight) = {frac {1} {csc x}}}$
kosinus	cos	přilehlý/přepona	${displaystyle cos heta = sin left ({frac {pi} {2}} - heta ight) = {frac {1} {sec heta}},}$	${displaystyle cos x = hřích vlevo (90 ^ {circ} -xight) = {frac {1} {sec x}},}$
tečna	opálení (nebo tg)	naproti/přilehlý	${displaystyle an heta = {frac {sin heta} {cos heta}} = postýlka vlevo ({frac {pi} {2}} - heta ight) = {frac {1} {postýlka heta}}}$	${displaystyle an x ​​= {frac {sin x} {cos x}} = postýlka vlevo (90 ^ {circ} -xight) = {frac {1} {postýlka x}}}$
kotangens	dětská postýlka (nebo cotan nebo cotg nebo ctg nebo ctn)	přilehlý/naproti	${displaystyle cot heta = {frac {cos heta} {sin heta}} = levice ({frac {pi} {2}} - heta ight) = {frac {1} {an heta}}}$	${displaystyle cot x = {frac {cos x} {sin x}} = levice (90 ^ {circ} -xight) = {frac {1} {an x}}}$
sekán	sek	přepona/přilehlý	${displaystyle sec heta = csc left ({frac {pi} {2}} - heta ight) = {frac {1} {cos heta}}}$	${displaystyle sec x = csc left (90 ^ {circ} -xight) = {frac {1} {cos x}}}$
kosekans	csc (nebo cosec)	přepona/naproti	${displaystyle csc heta = sec left ({frac {pi} {2}} - heta ight) = {frac {1} {sin heta}}}$	${displaystyle csc x = sec left (90 ^ {circ} -xight) = {frac {1} {sin x}}}$

Horní: Trigonometrická funkce hřích θ pro vybrané úhly θ, π - θ, π + θ, a 2π - θ ve čtyřech kvadrantech.
Dno: Graf funkce sinus versus úhel. Jsou identifikovány úhly z horního panelu.

Radiány versus stupně

Tato sekce ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Trigonometrické funkce"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V geometrických aplikacích je argument trigonometrické funkce obecně měřítkem úhel. Z tohoto důvodu jakékoli úhlová jednotka je pohodlné a úhly se nejčastěji měří v stupňů (zejména v elementární matematika ).

Při použití trigonometrické funkce v počet, jejich argument obecně není úhel, ale a reálné číslo. V tomto případě je vhodnější vyjádřit argument trigonometrie jako délku oblouk z jednotkový kruh —Oddělený úhlem se středem kruhu jako vrchol. Proto jeden používá radián jako úhlová jednotka: radián je úhel, který vymezuje oblouk délky 1 na jednotkovém kruhu. Kompletní otáčet se je tedy úhel 2π radiány.

Velkou výhodou radiánů je, že vytvářejí mnoho vzorců, které jsou mnohem jednodušší, obvykle všechny vzorce relativně deriváty a integrály.

Z tohoto důvodu se často rozumí, že když není úhlová jednotka výslovně specifikována, argumenty trigonometrických funkcí jsou vždy vyjádřeny v radiánech.^[7]

Definice jednotkových kruhů

Na tomto obrázku je šest trigonometrických funkcí libovolného úhlu θ jsou reprezentovány jako Kartézské souřadnice bodů souvisejících s jednotkový kruh. Souřadnice A, B a D jsou hřích θ, opálení θ a csc θ, zatímco úsečky z A, C a E jsou cos θ, dětská postýlka θ a sek θ, resp.

Známky trigonometrických funkcí v každém kvadrantu. Mnemotechnická pomůcka "Všechno szdvořilost teachers (are) Crazy "uvádí funkce, které jsou kladné z kvadrantů I až IV.^[8] Toto je variace na mnemotechniku ​​"Všichni studenti využívají kalkul ".

Šest trigonometrických funkcí lze definovat jako hodnoty souřadnic bodů na Euklidovské letadlo které souvisejí s jednotkový kruh, který je kruh o poloměru jedna se středem na počátku Ó tohoto souřadnicového systému. Zatímco definice pravoúhlého trojúhelníku umožňuje definici trigonometrických funkcí pro úhly mezi 0 a ${extstyle {frac {pi} {2}}}$ radián (90°), definice jednotkových kruhů umožňují rozšířit doménu trigonometrických funkcí na všechna kladná a záporná reálná čísla.

Rotující a paprsek ze směru kladné poloviny X-osa pod úhlem θ (proti směru hodinových ručiček pro ${displaystyle heta> 0,}$ a ve směru hodinových ručiček pro ${displaystyle heta <0}$) poskytuje průsečíky tohoto paprsku (viz obrázek) s jednotkou kruh: ${displaystyle mathrm {A} = (x_ {mathrm {A}}, y_ {mathrm {A}})}$, a v případě potřeby rozšířením paprsku na čáru pomocí čára ${displaystyle {ext {“}} x = 1 {ext {”}} :; mathrm {B} = (x_ {mathrm {B}}, y_ {mathrm {B}}),}$ a s čára ${displaystyle {ext {“}} y = 1 {ext {”}} :; mathrm {C} = (x_ {mathrm {C}}, y_ {mathrm {C}}).}$ Tečna k jednotkové kružnici v bodě A, který je kolmý k tomuto paprsku, protíná y- a X- osa v bodech ${displaystyle mathrm {D} = (0, y_ {mathrm {D}})}$ a ${displaystyle mathrm {E} = (x_ {mathrm {E}}, 0)}$. Hodnoty souřadnic těchto bodů dávají všechny existující hodnoty trigonometrických funkcí pro libovolné skutečné hodnoty θ následujícím způsobem.

Goniometrické funkce cos a hřích jsou definovány jako X- a y-koordinované hodnoty bodu A. To znamená

${displaystyle cos heta = x_ {mathrm {A}} čtyřkolka}$ a ${displaystyle quad sin heta = y_ {mathrm {A}}.}$^[9]

V dosahu ${displaystyle 0leq heta leq pi / 2}$, tato definice se shoduje s definicí pravoúhlého trojúhelníku, přičemž pravoúhlý trojúhelník má poloměr jednotky OA tak jako přepona. A protože rovnice ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ platí pro všechny body ${displaystyle mathrm {P} = (x, y)}$ na jednotkové kružnici tato definice kosinu a sinu splňuje také Pytagorova identita

${displaystyle cos ^ {2} heta + sin ^ {2} heta = 1.}$

Další trigonometrické funkce lze najít podél jednotkového kruhu jako

${displaystyle an heta = y_ {mathrm {B}} čtyřkolka}$ a ${displaystyle quad cot heta = x_ {mathrm {C}},}$

${displaystyle csc heta = y_ {mathrm {D}} čtyřkolka}$ a ${displaystyle quad sec heta = x_ {mathrm {E}}.}$

Použitím metod Pythagorovy identity a geometrických důkazů lze tyto definice snadno ukázat, že se shodují s definicemi tangenty, kotangensu, sekans a kosekans, pokud jde o sinus a kosinus, tj.

${displaystyle an heta = {frac {sin heta} {cos heta}}, quad cot heta = {frac {cos heta} {sin heta}}, quad sec heta = {frac {1} {cos heta}}, quad csc heta = {frac {1} {sin heta}}.}$

Trigonometrické funkce: Sinus, Kosinus, Tečna, Cosecant (tečkovaný), Secant (tečkovaný), Kotangens (tečkovaný) – animace

Protože rotace o úhel ${displaystyle pm 2pi}$ nezmění polohu ani velikost tvaru, bodů A, B, C, D, a E jsou stejné pro dva úhly, jejichž rozdíl je celočíselný násobek ${displaystyle 2pi}$. Trigonometrické funkce tedy jsou periodické funkce s tečkou ${displaystyle 2pi}$. To znamená rovnost

${displaystyle sin heta = sin left (heta + 2kpi ight) quad}$ a ${displaystyle quad cos heta = cos left (heta + 2kpi ight)}$

podržte pro jakýkoli úhel θ a jakékoli celé číslo k. Totéž platí pro další čtyři trigonometrické funkce. Pozorováním znaménka a monotónnosti funkcí sine, kosinus, kosekans a secan ve čtyřech kvadrantech lze ukázat, že 2π je nejmenší hodnota, pro kterou jsou periodické (tj. 2π je základní období těchto funkcí). Avšak po otočení o úhel ${displaystyle pi}$, body B a C již se vrací do své původní polohy, takže tečná funkce a kotangensová funkce mají základní období π. To znamená rovnost

${displaystyle an heta = an (heta + kpi) quad}$ a ${displaystyle čtyřkolka heta = dětská postýlka (heta + kpi)}$

podržte pro jakýkoli úhel θ a jakékoli celé číslo k.

Algebraické hodnoty

The jednotkový kruh, přičemž některé body jsou označeny kosinusem a sinusem (v tomto pořadí) a odpovídajícími úhly v radiánech a stupních.

The algebraické výrazy pro nejdůležitější úhly jsou následující:

${displaystyle sin 0 = sin 0 ^ {circ} quad = {frac {sqrt {0}} {2}} = 0}$ (rovný úhel )

${displaystyle sin {frac {pi} {6}} = sin 30 ^ {circ} = {frac {sqrt {1}} {2}} = {frac {1} {2}}}$

${displaystyle sin {frac {pi} {4}} = hřích 45 ^ {circ} = {frac {sqrt {2}} {2}}}$

${displaystyle sin {frac {pi} {3}} = hřích 60 ^ {circ} = {frac {sqrt {3}} {2}}}$

${displaystyle sin {frac {pi} {2}} = sin 90 ^ {circle} = {frac {sqrt {4}} {2}} = 1}$ (pravý úhel )

Psaní čitatelů jako druhé odmocniny po sobě jdoucích nezáporných celých čísel s jmenovatelem 2 poskytuje snadný způsob, jak si tyto hodnoty zapamatovat.^[10]

Takové jednoduché výrazy obecně neexistují pro jiné úhly, které jsou racionálními násobky přímého úhlu. Pro úhel, který je měřen ve stupních, je násobkem tří, lze sinus a kosinus vyjádřit pomocí odmocniny viz Trigonometrické konstanty vyjádřené ve skutečných radikálech. Tyto hodnoty sinu a kosinu lze tedy konstruovat pomocí pravítko a kompas.

Pro úhel celočíselného počtu stupňů lze sinus a kosinus vyjádřit pomocí odmocniny a třetí odmocnina nereálné komplexní číslo. Galoisova teorie umožňuje dokázat, že pokud úhel není násobkem 3 °, kořenům nerealistické krychle je nevyhnutelné.

Pro úhel, který, měřený ve stupních, je a racionální číslo, sínus a kosinus jsou algebraická čísla, které lze vyjádřit pomocí nth kořeny. To vyplývá ze skutečnosti, že Galoisovy skupiny z cyklotomické polynomy jsou cyklický.

Pro úhel, který, měřený ve stupních, není racionální číslo, pak buď úhel, nebo sinus i kosinus jsou transcendentální čísla. Toto je důsledek Bakerova věta, prokázáno v roce 1966.

Jednoduché algebraické hodnoty

Následující tabulka shrnuje nejjednodušší algebraické hodnoty trigonometrických funkcí.^[11] Symbol ∞ představuje bod v nekonečnu na projektivně prodloužená reálná linie; není podepsán, protože, když se objeví v tabulce, má příslušná trigonometrická funkce tendenci +∞ na jedné straně a do –∞ na druhé straně, když argument má sklon k hodnotě v tabulce.

${displaystyle {egin {array} {| c | cccccccccc}} hline {egin {matrix} {ext {Radian}} {ext {Degree}} end {matrix}} & {egin {matrix} 0 0 ^ {circ } end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {pi} {12}} 15 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {pi} {8}} 22.5 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {pi} {6}} 30 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {pi} {4}} 45 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {pi} {3}} 60 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {3pi} {8} } 67,5 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {5pi} {12}} 75 ^ {circ} end {matrix}} & {egin {matrix} {frac {pi} { 2}} 90 ^ {circ} end {matrix}} hline sin & 0 & {frac {{sqrt {6}} - {sqrt {2}}} {4}} & {frac {sqrt {2- {sqrt { 2}}}} {2}} & {frac {1} {2}} & {frac {sqrt {2}} {2}} & {frac {sqrt {3}} {2}} & {frac {sqrt {2+ {sqrt {2}}}} {2}} a {frac {{sqrt {6}} + {sqrt {2}}} {4}} & 1 cos & 1 & {frac {{sqrt {6}} + {sqrt {2}}} {4}} & {frac {sqrt {2+ {sqrt {2}}}} {2}} & {frac {sqrt {3}} {2}} & {frac {sqrt {2}} {2}} & {frac {1} {2}} & {frac {sqrt {2- {sqrt {2}}}} {2}} & {frac {{sqrt {6}} - { sqrt {2}}} {4}} & 0 an & 0 & 2- {sqrt {3}} & {sqrt {2}} - 1 & {frac {sqrt {3}} {3}} & 1 & {sqrt {3}} & {sqrt {2}} + 1 & 2 + {sqrt {3}} & infty cot & infty & 2 + {sqrt {3} } & {sqrt {2}} + 1 & {sqrt {3}} & 1 & {frac {sqrt {3}} {3}} & {sqrt {2}} - 1 & 2- {sqrt {3}} & 0 sec & 1 & { sqrt {6}} - {sqrt {2}} & {sqrt {2}} {sqrt {2- {sqrt {2}}}} & {frac {2 {sqrt {3}}} {3}} & { sqrt {2}} & 2 & {sqrt {2}} {sqrt {2+ {sqrt {2}}}} & {sqrt {6}} + {sqrt {2}} & infty csc & infty & {sqrt {6}} + {sqrt {2}} & {sqrt {2}} {sqrt {2+ {sqrt {2}}}} & 2 & {sqrt {2}} & {frac {2 {sqrt {3}}} {3}} & {sqrt {2}} {sqrt {2- {sqrt {2}}}} & {sqrt {6}} - {sqrt {2}} & 1 hline end {array}}}$

V počtu

Sinusová funkce (modrá) je těsně aproximována jejím Taylorův polynom stupně 7 (růžová) pro celý cyklus zaměřený na počátek.

Animace pro aproximaci kosinu pomocí Taylorových polynomů.

${displaystyle cos (x)}$ společně s prvními Taylorovými polynomy ${displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}$

Trigonometrické funkce jsou rozlišitelný. To není hned zřejmé z výše uvedených geometrických definic. Moderní trend v matematice je navíc budování geometrie z počet spíše než naopak^{[Citace je zapotřebí ]}. Proto, s výjimkou velmi základní úrovně, jsou trigonometrické funkce definovány pomocí metod kalkulu.

Pro definování trigonometrických funkcí uvnitř počtu existují dvě ekvivalentní možnosti, buď použití výkonová řada nebo diferenciální rovnice. Tyto definice jsou ekvivalentní, protože od jedné z nich je snadné načíst druhou jako vlastnost. Definice pomocí diferenciálních rovnic je však jaksi přirozenější, protože například volba koeficientů výkonové řady se může jevit jako zcela libovolná a Pytagorova identita je mnohem snazší odvodit z diferenciálních rovnic.

Definice diferenciálními rovnicemi

Sinus a kosinus jsou jedinečné diferencovatelné funkce takhle

${displaystyle {egin {aligned} {frac {d} {dx}} sin x & = cos x, {frac {d} {dx}} cos x & = - sin x, sin 0 & = 0, cos 0 & = 1 .end {zarovnáno}}}$

Diferenciací těchto rovnic získáme, že sinus i kosinus jsou řešením diferenciální rovnice

${displaystyle y '' + y = 0.}$

Uplatnění pravidlo kvocientu k definici tangenty jako kvocientu sinu kosinusem dostaneme, že funkce tangenty ověří

${displaystyle {frac {d} {dx}} an x ​​= 1 + an ^ {2} x.}$

Rozšiřování výkonových řad

Aplikace diferenciálních rovnic na výkonová řada s neurčitými koeficienty lze odvodit relace opakování pro koeficienty Taylor série sinusových a kosinových funkcí. Tyto relace opakování lze snadno vyřešit a poskytují řadě rozšíření^[12]

${displaystyle {egin {aligned} sin x & = x- {frac {x ^ {3}} {3!}} + {frac {x ^ {5}} {5!}} - {frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots [8pt] & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) !}} [8pt] cos x & = 1- {frac {x ^ {2}} {2!}} + {Frac {x ^ {4}} {4!}} - {frac {x ^ {6} } {6!}} + Cdots [8pt] & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n)!}}. konec {zarovnáno}}}$

The poloměr konvergence těchto sérií je nekonečné. Proto lze sinus a kosinus rozšířit na celé funkce (nazývané také „sinus“ a „kosinus“), které jsou (podle definice) komplexní funkce které jsou definovány a holomorfní v celku složité letadlo.

Být definován jako zlomky celých funkcí, lze další trigonometrické funkce rozšířit na meromorfní funkce, to jsou funkce, které jsou holomorfní v celé složité rovině, kromě některých izolovaných bodů zvaných póly. Zde jsou póly čísla formuláře ${extstyle (2k + 1) {frac {pi} {2}}}$ pro tečnu a sečen, nebo ${displaystyle kpi}$ pro kotangens a kosekans, kde k je libovolné celé číslo.

Vztahy opakování lze také vypočítat pro koeficienty Taylor série ostatních trigonometrických funkcí. Tyto série jsou konečné poloměr konvergence. Jejich koeficienty mají a kombinační výklad: vyjmenovávají střídavé obměny konečných množin.^[13]

Přesněji definování

U_n, nth číslo nahoru / dolů,

B_n, nth Bernoulliho číslo, a

E_n, je nth Eulerovo číslo,

jeden má následující rozšíření série:^[14]

${displaystyle {egin {aligned} an x ​​& {} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {U_ {2n + 1} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} & {} = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} vlevo (2 ^ {2n} -1 světlo) B_ {2n} x ^ { 2n-1}} {(2n)!}} & {} = X + {frac {1} {3}} x ^ {3} + {frac {2} {15}} x ^ {5} + {frac {17} {315}} x ^ {7} + cdots, qquad {ext {for}} | x | <{frac {pi} {2}}. End {aligned}}}$

${displaystyle {egin {aligned} csc x & {} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n + 1} 2left (2 ^ {2n-1} -1ight) B_ { 2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} & {} = X ^ {- 1} + {frac {1} {6}} x + {frac {7} {360}} x ^ {3} + {frac {31} {15120}} x ^ {5} + cdots, qquad {ext {for}} 0 <| x |$

${displaystyle {egin {aligned} sec x & {} = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {U_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}} = součet _ {n = 0 } ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}} & {} = 1+ {frac {1} {2}} x ^ {2} + {frac {5} {24}} x ^ {4} + {frac {61} {720}} x ^ {6} + cdots, qquad {ext {for}} | x | <{frac {pi} {2}}. konec {zarovnáno}}}$

${displaystyle {egin {aligned} cot x & {} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n} 2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1} } {(2n)!}} & {} = X ^ {- 1} - {frac {1} {3}} x- {frac {1} {45}} x ^ {3} - {frac {2 } {945}} x ^ {5} -cdots, qquad {ext {for}} 0 <| x |$

Částečné rozšíření frakce

Existuje řada reprezentací jako částečná expanze zlomku kde právě přeloženo vzájemné funkce jsou shrnuty tak, že póly funkce kotangens a vzájemné funkce se shodují:^[15]

${displaystyle pi cot pi x = lim _ {N o infty} součet _ {n = -N} ^ {N} {frac {1} {x + n}}.}$

Tuto identitu lze prokázat pomocí Herglotz trik.^[16]Kombinace (–n)th s nth termín vést k absolutně konvergentní série:

${displaystyle pi cot pi x = {frac {1} {x}} + 2xsum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.}$

Podobně lze najít částečnou expanzi zlomků pro sekansovou, kosekansovou a tangenciální funkci:

${displaystyle {frac {pi} {sin pi x}} = {frac {1} {x}} + 2xsum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n}} {x ^ {2} -n ^ {2}}},}$

${displaystyle {frac {pi} {cos pi x}} = součet _ {n = 0} ^ {infty} (- 1) ^ {n} {frac {(2n + 1)} {(n + {frac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}},}$

${displaystyle pi an pi x = 2xsum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1} {(n + {frac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Nekonečné rozšiřování produktu

Následující nekonečný produkt pro sinus má při komplexní analýze velký význam:

${displaystyle sin z = zdisplaystyle prod _ {n = 1} ^ {infty} left (1- {frac {z ^ {2}} {n ^ {2} pi ^ {2}}} ight), quad zin mathbb { C}.}$

Důkaz tohoto rozšíření naleznete na Sinus. Z toho lze odvodit, že

${displaystyle cos z = displaystyle prod _ {n = 1} ^ {infty} left (1- {frac {z ^ {2}} {left (n- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} pi ^ {2}}} ight), quad zin mathbb {C}.}$

Vztah k exponenciální funkci (Eulerův vzorec)

${displaystyle cos (heta)}$ a ${displaystyle sin (heta)}$ jsou skutečnou a imaginární součástí ${displaystyle e ^ {i heta}}$ resp.

Eulerův vzorec souvisí sínus a kosinus s exponenciální funkce:

${displaystyle e ^ {ix} = cos x + isin x.}$

Tento vzorec se běžně uvažuje pro skutečné hodnoty X, ale zůstává pravdivý pro všechny komplexní hodnoty.

Důkaz: Nechte ${displaystyle f_ {1} (x) = cos x + isin x,}$ a ${displaystyle f_ {2} (x) = e ^ {ix}.}$ Jeden má ${extstyle {frac {d} {dx}} f_ {j} (x) = if_ {j} (x)}$ pro j = 1, 2. The pravidlo kvocientu z toho vyplývá, že ${extstyle {frac {d} {dx}} vlevo ({frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}} vpravo) = 0}$. Proto, ${extstyle {frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}}}$ je konstantní funkce, která se rovná 1, tak jako ${displaystyle f_ {1} (0) = f_ {2} (0) = 1.}$ To dokazuje vzorec.

Jeden má

${displaystyle {egin {aligned} e ^ {ix} & = cos x + isin x [5pt] e ^ {- ix} & = cos x-isin x.end {aligned}}}$

Řešení tohoto lineární systém v sinu a kosinu je lze vyjádřit pomocí exponenciální funkce:

${displaystyle {egin {aligned} sin x & = {frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} [5pt] cos x & = {frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}}. konec {zarovnáno}}}$

Když X je skutečné, lze jej přepsat jako

${displaystyle cos x = operatorname {Re} vlevo (e ^ {ix} ight), qquad sin x = operatorname {Im} vlevo (e ^ {ix} ight).}$

Většina trigonometrické identity lze prokázat vyjádřením trigonometrických funkcí z hlediska komplexní exponenciální funkce pomocí výše uvedených vzorců a poté pomocí identity ${displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}}$ pro zjednodušení výsledku.

Definice pomocí funkčních rovnic

Lze také definovat trigonometrické funkce pomocí různých funkční rovnice.

Například,^[17] sínus a kosinus tvoří jedinečný pár spojité funkce které splňují rozdílový vzorec

${displaystyle cos (x-y) = cos xcos y + sin xsin y,}$

a přidaná podmínka

${displaystyle 0$

Ve složité rovině

Sinus a kosinus a komplexní číslo ${displaystyle z = x + iy}$ lze vyjádřit pomocí skutečných sinusů, kosinů a hyperbolické funkce jak následuje:

${displaystyle {egin {zarovnáno} sin z & = sin xcosh y + icos xsinh y [5pt] cos z & = cos xcosh y-isin xsinh yend {zarovnáno}}}$

Využitím výhody zbarvení domény, je možné grafovat trigonometrické funkce jako funkce s komplexní hodnotou. Z grafu lze vidět různé vlastnosti jedinečné pro složité funkce; například funkce sinu a kosinu lze považovat za neomezené jako imaginární část ${displaystyle z}$ se zvětší (protože bílá barva představuje nekonečno) a skutečnost, že funkce obsahují jednoduché nuly nebo póly je zřejmé ze skutečnosti, že odstín cykluje kolem každé nuly nebo pólu přesně jednou. Porovnáním těchto grafů s grafy odpovídajících hyperbolických funkcí se zvýrazní vztahy mezi těmito dvěma.

Trigonometrické funkce v komplexní rovině

${displaystyle sin z,}$	${displaystyle cos z,}$	${displaystyle an z,}$	${displaystyle cot z,}$	${displaystyle sec z,}$	${displaystyle csc z,}$

Základní identity

Mnoho identity vzájemně propojit trigonometrické funkce. Tato část obsahuje ty nejzákladnější; více identit viz Seznam trigonometrických identit. Tyto identity lze prokázat geometricky z definic jednotkových kruhů nebo z definic pravoúhlého trojúhelníku (i když u posledních definic je třeba dávat pozor na úhly, které nejsou v intervalu [0, π/2]viz Důkazy trigonometrických identit ). Pro negeometrické důkazy používající pouze nástroje z počet, lze přímo použít diferenciální rovnice podobným způsobem jako v výše uvedený důkaz Eulerovy identity. Lze také použít Eulerovu identitu pro vyjádření všech trigonometrických funkcí, pokud jde o složité exponenciály, a použití vlastností exponenciální funkce.

Parita

Kosinus a secan jsou i funkce; ostatní trigonometrické funkce jsou liché funkce. To je:

${displaystyle {egin {aligned} sin (-x) & = - sin x cos (-x) & = cos x an (-x) & = - an x ​​ cot (-x) & = - cot x csc (-x) & = - csc x sec (-x) & = sec x.end {zarovnáno}}}$

Období

Všechny trigonometrické funkce jsou periodické funkce období 2π. Toto je nejmenší období, s výjimkou tečny a kotangensu, které mají π jako nejmenší období. To znamená, že pro každé celé číslo k, jeden má

${displaystyle {egin {sladěný} sin (x + 2kpi) & = sin x cos (x + 2kpi) & = cos x an (x + kpi) & = an x ​​ cot (x + kpi) & = cot x csc (x + 2kpi) & = csc x sec (x + 2kpi) & = sec x.end {zarovnáno}}}$

Pytagorova identita

The Pytagorova identita, je výrazem Pythagorova věta z hlediska trigonometrických funkcí. to je

${displaystyle sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1.}$

Součet a rozdílové vzorce

Vzorce součtu a rozdílu umožňují rozšíření sinu, kosinu a tečny součtu nebo rozdílu dvou úhlů, pokud jde o siny a kosiny a tečny samotných úhlů. Ty lze odvodit geometricky pomocí argumentů, které se datují do Ptolemaios. Lze je také vyrobit algebraicky pomocí Eulerův vzorec.

Součet

${displaystyle {egin {zarovnáno} hřích vlevo (x + yight) & = hřích xcos y + cos xsin y, cos vlevo (x + yight) & = cos xcos y-sin xsin y, an (x + y) & = {frac {an x + an y} {1- an x ​​an y}}. end {aligned}}}$

Rozdíl

${displaystyle {egin {zarovnáno} hřích vlevo (x-yight) & = sin xcos y-cos xsin y, cos left (x-yight) & = cos xcos y + sin xsin y, an (xy) & = { frac {an x- an y} {1+ an x ​​an y}}. end {aligned}}}$

Když jsou dva úhly stejné, součtové vzorce se redukují na jednodušší rovnice známé jako vzorce s dvojitým úhlem.

${displaystyle {egin {aligned} sin 2x & = 2sin xcos x = {frac {2 an x} {1+ an ^ {2} x}}, cos 2x & = cos ^ {2} x-sin ^ {2} x = 2cos ^ {2} x-1 = 1-2sin ^ {2} x = {frac {1- an ^ {2} x} {1+ an ^ {2} x}}, an 2x & = {frac { 2 an x} {1- an ^ {2} x}}. End {aligned}}}$

Tyto identity lze použít k odvození identity součtu produktu.

Nastavením ${displaystyle heta = 2x}$ a ${displaystyle t = an x,}$ to umožňuje vyjádření všech trigonometrických funkcí ${displaystyle heta}$ jako racionální zlomek z ${extstyle t = an {frac {heta} {2}}}$:

${displaystyle {egin {aligned} sin heta & = {frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, cos heta & = {frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2 }}}, an heta & = {frac {2t} {1-t ^ {2}}}. konec {zarovnáno}}}$

Dohromady s

${displaystyle d heta = {frac {2} {1 + t ^ {2}}}, dt,}$

to je tečná náhrada polovičního úhlu, což umožňuje snížit výpočet integrály a antiderivativa trigonometrických funkcí na funkce racionálních zlomků.

Deriváty a primitivní deriváty

The deriváty trigonometrických funkcí vyplývá z funkcí sinusových a kosinusových aplikací pravidlo kvocientu. Hodnoty uvedené pro antiderivativa v následující tabulce lze ověřit jejich rozlišením. ČísloC je konstanta integrace.

${displaystyle {egin {array} {| c | c | c |} hline f (x) & f '(x) & int f (x), dx hline sin x & cos x & -cos x + C cos x & -sin x & sin x + C an x ​​& sec ^ {2} x = 1 + an ^ {2} x & -ln vlevo (| cos x | ight) + C cot x & -csc ^ {2} x = - (1 + cot ^ {2 } x) & ln vlevo (| sin x | ight) + C sec x & sec x an x ​​& ln vlevo (| sec x + an x ​​| ight) + C csc x & -csc xcot x & -ln vlevo (| csc x + cot x | ight) + C hline konec {pole}}}$

Inverzní funkce

Trigonometrické funkce jsou periodické, a proto nejsou injekční, tak přísně vzato, nemají inverzní funkce. Avšak na každém intervalu, ve kterém je trigonometrická funkce monotóní, lze definovat inverzní funkci, a to definuje inverzní trigonometrické funkce jako funkce s více hodnotami. Chcete-li definovat skutečnou inverzní funkci, musíte omezit doménu na interval, kde je funkce monotónní, a tedy je bijektivní z tohoto intervalu do jeho obrazu funkcí. Společná volba pro tento interval, nazývaná sada hlavní hodnoty, je uveden v následující tabulce. Jako obvykle jsou inverzní trigonometrické funkce označeny předponou „arc“ před jménem nebo jeho zkratkou funkce.

${displaystyle {egin {array} {| c | c | c | c |} hline {ext {Function}} & {ext {Definition}} & {ext {Domain}} & {ext {Set of principal values}} hline y = arcsin x & sin y = x & -1leq xleq 1 & - {frac {pi} {2}} leq yleq {frac {pi} {2}} y = arccos x & cos y = x & -1leq xleq 1 & 0leq yleq pi y = arctan x & an y = x & -infty leq xleq infty & - {frac {pi} {2}} 1 & 0leq yleq pi,; yeq {frac {pi} {2}} y = operatorname {arccsc} x & csc y = x & x <-1 {ext {or}} x> 1 & - {frac {pi} {2}} leq yleq {frac {pi} {2}} ,; yeq 0 hline end {array}}}$

Zápisy hřeší^−1, cos^−1, atd. se často používají pro arcsin a arccos atd. Při použití této notace lze inverzní funkce zaměnit s multiplikativními inverzemi. Zápis s předponou „arc“ se takové záměně vyhýbá, ačkoli „arcsec“ pro arcsecant lze zaměnit s „arcsecond ".

Stejně jako sinus a kosinus lze inverzní trigonometrické funkce vyjádřit také pomocí nekonečných řad. Mohou být také vyjádřeny jako složité logaritmy. Vidět Inverzní trigonometrické funkce pro detaily.

Aplikace

Úhly a strany trojúhelníku

V této části A, B, C označit tři (vnitřní) úhly trojúhelníku a A, b, C označit délky příslušných protilehlých hran. Vztahují se k nim různé vzorce, které jsou pojmenovány podle trigonometrických funkcí, které zahrnují.

Zákon sinusů

The sinusový zákon uvádí, že pro libovolný trojúhelník se stranami A, b, a C a úhly naproti těmto stranám A, B a C:

${displaystyle {frac {sin A} {a}} = {frac {sin B} {b}} = {frac {sin C} {c}} = {frac {2Delta} {abc}},}$

kde Δ je plocha trojúhelníku, nebo ekvivalentně

${displaystyle {frac {a} {sin A}} = {frac {b} {sin B}} = {frac {c} {sin C}} = 2R,}$

kde R je trojúhelník circumradius.

To lze dokázat rozdělením trojúhelníku na dva pravé a použitím výše uvedené definice sinu. Zákon sinusů je užitečný pro výpočet délek neznámých stran v trojúhelníku, pokud jsou známy dva úhly a jedna strana. Toto je běžná situace, ke které dochází v triangulace, technika k určení neznámých vzdáleností měřením dvou úhlů a přístupné uzavřené vzdálenosti.

Zákon kosinů

The zákon kosinů (také známý jako kosinový vzorec nebo kosinové pravidlo) je příponou Pythagorova věta:

${displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos C ,,}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle cos C = {frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.}$

V tomto vzorci úhel v C je naproti straněC. Tuto větu lze prokázat rozdělením trojúhelníku na dva pravé a použitím Pythagorova věta.

Zákon kosinů lze použít k určení strany trojúhelníku, pokud jsou známy dvě strany a úhel mezi nimi. Lze jej také použít k vyhledání kosinů úhlu (a následně samotných úhlů), pokud jsou známy délky všech stran.

Zákon tečen

Následující text tvoří zákon tečen^[18]

${displaystyle {frac {an {frac {AB} {2}}} {an {frac {A + B} {2}}}} = {frac {ab} {a + b}} ,; qquad {frac {an {frac {AC} {2}}} {an {frac {A + C} {2}}}} = {frac {ac} {a + c}} ,; qquad {frac {an {frac {BC} { 2}}} {an {frac {B + C} {2}}}} = {frac {bc} {b + c}}.}$

Vysvětlení vzorců ve slovech by bylo těžkopádné, ale vzorce součtů a rozdílů pro délky a odpovídající opačné úhly jsou v teorému zjevné.

Zákon kotangensů

Li

${displaystyle zeta = {sqrt {{frac {1} {s}} (s-a) (s-b) (s-c)}}}}$ (poloměr vepsané kružnice pro trojúhelník)

a

${displaystyle s = {frac {a + b + c} {2}} ~}$ (poloviční obvod trojúhelníku),

pak následující vše tvoří zákon kotangensů^[18]

${displaystyle cot {frac {A} {2}} = {frac {sa} {zeta}} ~; qquad cot {frac {B} {2}} = {frac {sb} {zeta}} ~; qquad cot { frac {C} {2}} = {frac {sc} {zeta}} ~.}$

Z toho vyplývá, že

${displaystyle {frac {cot {dfrac {A} {2}}} {sa}} = {frac {cot {dfrac {B} {2}}} {sb}} = {frac {cot {dfrac {C} { 2}}} {sc}} = {frac {1} {zeta}} ~.}$

Věta je slovy: kotangens polovičního úhlu se rovná poměru poloobvodu minus opačná strana k uvedenému úhlu, k inradiusu pro trojúhelník.

A Lissajousova křivka, postava vytvořená pomocí funkce založené na trigonometrii.

Periodické funkce

Animace aditivní syntéza a čtvercová vlna s rostoucím počtem harmonických

Sinusové základní funkce (dole) mohou po přidání vytvořit pilovitou vlnu (nahoře). Všechny základní funkce mají uzly v uzlech pilovitého zubu a všechny kromě základního (k = 1) mají další uzly. Oscilace viděná kolem pilovitého zubu, když k je velký se nazývá Gibbsův fenomén

Trigonometrické funkce jsou také důležité ve fyzice. K popisu se používají například funkce sinus a kosinus jednoduchý harmonický pohyb, který modeluje mnoho přírodních jevů, jako je pohyb hmoty připojené k pružině a pro malé úhly kyvadlový pohyb hmoty visící na provázku. Funkce sinus a kosinus jsou jednorozměrné projekce rovnoměrný kruhový pohyb.

Trigonometrické funkce se také osvědčily při studiu obecné periodické funkce. Charakteristické vlnové vzorce periodických funkcí jsou užitečné pro modelování opakujících se jevů, jako je zvuk nebo světlo vlny.^[19]

Za poměrně obecných podmínek periodická funkce F(X) lze vyjádřit jako součet sinusových vln nebo kosinových vln v a Fourierova řada.^[20] Označujeme sinus nebo kosinus základní funkce podle φ_k, rozšíření periodické funkce F(t) má formu:

${displaystyle f (t) = součet _ {k = 1} ^ {infty} c_ {k} varphi _ {k} (t).}$

Například čtvercová vlna lze psát jako Fourierova řada

${displaystyle f_ {ext {square}} (t) = {frac {4} {pi}} součet _ {k = 1} ^ {infty} {sin {ig (} (2k-1) t {ig)} nad 2k-1}.}$

Na animaci obdélníkové vlny vpravo nahoře je vidět, že jen několik výrazů již vytváří docela dobrou aproximaci. Superpozice několika termínů v expanzi a pilovitá vlna jsou zobrazeny dole.

Dějiny

Zatímco rané studium trigonometrie lze vysledovat až do starověku, trigonometrické funkce, jaké se dnes používají, byly vyvinuty ve středověku. The akord funkce byla objevena uživatelem Hipparchus z Nicaea (180–125 př. N. L.) A Ptolemaios z Římský Egypt (90–165 nl). Funkce sinu a versine (1 - kosinus) lze vysledovat zpět do jyā a koti-jyā funkce používané v Gupta období Indická astronomie (Aryabhatiya, Surya Siddhanta ), překladem ze sanskrtu do arabštiny a poté z arabštiny do latiny.^[21] (Vidět Aryabhatův sinusový stůl.)

Všech šest trigonometrických funkcí v současné době bylo známo v Islámská matematika do 9. století, stejně jako sinusový zákon, použito v řešení trojúhelníků.^[22] With the exception of the sine (which was adopted from Indian mathematics), the other five modern trigonometric functions were discovered by Persian mathematicians, including the cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant.^[22] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produced tables of sines, cosines and tangents. Circa 830, Habash al-Hasib al-Marwazi discovered the cotangent, and produced tables of tangents and cotangents.^[23][24] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) discovered the reciprocal functions of secant and cosecant, and produced the first table of cosecants for each degree from 1° to 90°.^[24] The trigonometric functions were later studied by mathematicians including Omar Khayyám, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Džamšíd al-Káší (14. století), Ulugh Beg (14. století), Regiomontanus (1464), Rheticus, and Rheticus' student Valentinus Otho.

Madhava ze Sangamagramy (c. 1400) made early strides in the analýza of trigonometric functions in terms of nekonečná řada.^[25] (Vidět Madhava série a Madhavův sinusový stůl.)

Podmínky tečna a sekán were first introduced by the dánština matematik Thomas Fincke ve své knize Geometria rotundi (1583).^[26]

The 16. století Francouzský matematik Albert Girard made the first published use of the abbreviations hřích, cos, a opálení ve své knize Trigonométrie.^[27]

In a paper published in 1682, Leibniz dokázal to hřích X není algebraic function z X.^[28] Though introduced as ratios of sides of a pravoúhlý trojuhelník, and thus appearing to be racionální funkce, Leibnitz result established that they are actually transcendentální funkce of their argument. The task of assimilating circular functions into algebraic expressions was accomplished by Euler in his Úvod do analýzy nekonečna (1748). His method was to show that the sine and cosine functions are střídavé řady formed from the even and odd terms respectively of the exponenciální řada. He presented "Eulerův vzorec ", as well as near-modern abbreviations (hřích., cos., tang., cot., sek., a cosec.).^[21]

A few functions were common historically, but are now seldom used, such as the akord, versine (which appeared in the earliest tables^[21]), krycí plachta, haversine,^[29] the exsecant a exkantant. The list of trigonometric identities shows more relations between these functions.

• crd(θ) = 2 sin(θ/2)
• versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin²(θ/2)
• coversin(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π/2 − θ)
• haversin(θ) = 1/2versin(θ) = sin²(θ/2)
• exsec(θ) = sec(θ) − 1
• excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1

Etymologie

Slovo sinus odvozuje se^[30] z latinský sinus, meaning "bend; bay", and more specifically "the hanging fold of the upper part of a tóga ", "the bosom of a garment", which was chosen as the translation of what was interpreted as the Arabic word jaib, meaning "pocket" or "fold" in the twelfth-century translations of works by Al-Battani a al-Khwārizmī do Středověká latina.^[31]The choice was based on a misreading of the Arabic written form j-y-b (جيب), which itself originated as a přepis from Sanskrit jīvā, which along with its synonym jyā (the standard Sanskrit term for the sine) translates to "bowstring", being in turn adopted from Starořečtina χορδή "string".^[32]

Slovo tečna pochází z latiny tangens meaning "touching", since the line touches the circle of unit radius, whereas sekán stems from Latin secans—"cutting"—since the line řezy the circle.^[33]

The prefix "spolu- " (in "cosine", "cotangent", "cosecant") is found in Edmund Gunter je Canon triangulorum (1620), which defines the cosinus as an abbreviation for the sinus complementi (sine of the complementary angle ) and proceeds to define the cotangens podobně.^[34][35]

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• "Trigonometric functions", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Visionlearning Module on Wave Mathematics
• GonioLab Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• q-Sine Article about the q-analog of sin at MathWorld
• q-Cosine Article about the q-analog of cos at MathWorld